（浙江专用）2017年高考数学 专题六 不等式练习（打包9套）.zip

1【步步高】 （浙江专用）2017 年高考数学 专题六 不等式 第 40 练 不等式的概念及性质练习训练目标 (1)了解不等式概念及应用方法；(2)掌握不等式的性质，提高综合应用能力.训练题型(1)利用比较法判断不等关系；(2)运用不等式的性质判断不等关系；(3)将不等式概念及性质与函数知识结合判断不等关系.解题策略(1)作差比较；(2)作商比较；(3)利用不等式的性质化简变形，合理放大或缩小；(4)借助基本函数单调性比较大小.一、选择题1．(2015·金华十校联考)设 a， b 是实数，则“ ab1”是“ a＋ b＋ ”的( )1a 1bA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．已知实数 x， y 满足 ax B．ln( x2＋1)ln( y2＋1)1x2＋ 1 1y2＋ 1C．sin xsin y D． x3y33．已知 0N B． MNC． M＝ N D．不确定5．(2015·江西南昌八中上学期第三次月考)已知a， b， c∈R， a＋ b＋ c＝0， abc0， T＝ ＋ ＋ ，则( )1a 1b 1cA． T0 B． T 成立，则实数 m 的取值范围为( )x－ mex xA．(－∞，－ ) B．(－ ，e)1e 1eC．(－∞，0) D．(0，＋∞)27．已知 a， b， c∈R，给出下列命题：①若 ab，则 ac2bc2；②若 ab≠0，则 ＋ ≥2；ab ba③若 ab0， n∈N *，则 anbn；④若 logab0， a≠1)，则( a－1)( b－1)0 B．2 a－ b0 且 a≠1，则 loga(a3＋1)与 loga(a2＋1)的大小关系为____________________．12．已知 a， b， c∈{正实数}，且 a2＋ b2＝ c2，当 n∈N， n2 时， cn与 an＋ bn的大小关系为________．(用“”连结)3答案解析1．A [方法一 因为 a＋ －( b＋ )＝ ，1a 1b (a－ b)(ab－ 1)ab所以若 ab1，显然 a＋ －( b＋ )＝ 0，则充分性成立；1a 1b (a－ b)(ab－ 1)ab当 a＝ ， b＝ 时，12 23显然不等式 a＋ b＋ 成立，但 ab1 不成立，1a 1b所以必要性不成立，故选 A.方法二 令函数 f(x)＝ x＋ ，1x则 f′( x)＝1－ ＝ ，1x2 x2－ 1x2可知 f(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上为增函数，在(－1,1)上为减函数，所以“ ab1”是“ a＋ b＋ ”的充分不必要条件，选 A.]1a 1b2．D [因为 0y.采用赋值法判断，A 中，当 x＝1， y＝0 时， 0,1＋ b0,1－ ab0，1b∴ M－ N＝ ＋ ＝ 0，∴ MN.]1－ a1＋ a 1－ b1＋ b 2－ 2ab(1＋ a)(1＋ b)4．B [ M－ N＝ a1a2－ a1－ a2＋1＝ a1(a2－1)－( a2－1)＝( a1－1)( a2－1)．又 a1， a2∈(0,1)，故( a1－1)( a2－1)0，故 MN.]5．B [方法一 取特殊值， a＝2， b＝ c＝－1，则 T＝－ 0，知三数中一正两负，不妨设 a0， b0，∴ T 得：－ mex× － x(x0)，x－ mex x x令 f(x)＝e x× － x(x0)，则－ mf(x)min.xf′( x)＝e x× ＋e x× －1≥ ×ex－10( x0)，x12x 2所以 f(x)为(0，＋∞)上的增函数，所以 f(x)≥ f(0)＝0，－ m0， m0， a≠1)，则有可能 a1,01，即( a－1)( b－1)2 ＝2,2 ＋ 22＝4，D 错误；ab ba ab·ba ab ba由 a＋ b＝12 ，即 abab(a≠ b)12解析 图(1)所示广告牌的面积为 (a2＋ b2)，图(2)所示广告牌的面积为 ab，显然不等式可12表示为 (a2＋ b2)ab(a≠ b)．1211．log a(a3＋1)log a(a2＋1)解析 ( a3＋1)－( a2＋1)＝ a2(a－1)，5①当 0log a(a2＋1)；②当 a1 时， a3＋1 a2＋1，∴log a(a3＋1)log a(a2＋1)，∴总有 loga(a3＋1)log a(a2＋1)．12． cnan＋ bn解析 ∵ a， b， c∈{正实数}，∴ an， bn， cn0.而 ＝( )n＋( )n.an＋ bncn ac bc∵ a2＋ b2＝ c2，则( )2＋( )2＝1，ac bc∴02，∴( )n( )2，( )n( )2.ac ac bc bc∴ ＝( )n＋( )n ＝1.an＋ bncn ac bc a2＋ b2c2∴ an＋ bncn.1【步步高】 （浙江专用）2017 年高考数学 专题六 不等式 第 41 练 不等式的解法练习训练目标(1)掌握一元二次不等式解法；(2)会用“三个二次关系”解决有关不等式的问题.训练题型(1)解一元二次不等式；(2)与不等式有关的集合问题；(3)参数个数、范围问题；(4)不等式恒成立问题.解题策略(1)利用“三个二次关系”给出不等式解集；(2)利用转化思想将参数问题、恒成立问题转化为不等式求解问题；(3)利用根与系数的关系解决有关二次方根的问题.一、选择题1．(2015·深圳期末)设 f(x)＝Error!则不等式 f(x)0 时， f(x)＝( x－1) 2，若当 x∈[－2，－ ]时， n≤ f(x)12≤ m 恒成立，则 m－ n 的最小值为( )A．1 B. C. D.12 13 347．设 00 恒成立，则 x 的取值范围为( )A．(－∞，2)∪(3，＋∞) B．(－∞，1)∪(2，＋∞)C．(－∞，1)∪(3，＋∞) D．(1,3)二、填空题9．(2015·广东“十校”联考)若不等式－4 m(x2－1)对满足－2≤ m≤2 的所有 m 都成立，则 x 的取值范围是____________．11．已知集合 A＝{ x||2x－3|≤1， x∈R}，集合 B＝{ x|ax2－2 x≤0， x∈R}， A∩(∁ UB)＝∅ ，则实数 a 的取值范围是________．12．设关于 x 的不等式| x2－2 x＋3 m－1|≤2 x＋3 的解集为 A，且－1 D∈/ A,1∈ A，则实数 m的取值范围是______________________．3答案解析1．A [ f(x)2 或 x≤0，故选 A.]2．B [由题意得 A＝{ x|－ x2＋ x＋20}＝{ x|－1e 或 x≤－ }，故12A∩ B＝(－1，－ ]．]123．D [原不等式可化为( x－1)( x－ a)1 时，得 10，1a ba∴－ x2＋ x－10，解得 21，即( ax)2－2 ax＋14⇔( ax－1) 24⇔ax－12 或 ax－13 或ax0 对于任意的 a∈[－1,1]恒成立，易知只需 f(－1)＝ x2－5 x＋60，且 f(1)＝ x2－3 x＋20 即可，4联立方程解得 x3.]9.127解析 由－40 时， B＝{ x(x－ )≤0， x∈R}＝[0， ]，2a 2a若 A⊆B，则 ≥2，即 02×(－1)＋3，即|3 m＋2|1，解得 m－ .①13由 1∈ A，得|1 2－2×1＋3 m－1|≤2×1＋3，即|3 m－2|≤5，解得－1≤ m≤ .②73故由①②得实数 m 的取值范围是{ m|－ m≤ }．13 731【步步高】 （浙江专用）2017 年高考数学 专题六 不等式 第 42 练 简单的线性规划问题练习训练目标(1)掌握不等式(组)表示的平面区域的确定方法；(2)会求目标函数的最值；(3)了解目标函数的简单应用.训练题型(1)求平面区域面积；(2)求目标函数最值；(3)求参数值或参数范围；(4)求最优解；(5)实际应用问题.解题策略(1)根据不等式(组)画出可行域；(2)准确理解目标函数的变量及相关参数的几何意义；(3)用好数形结合思想，将要解决的问题恰当的与图形相联系；(4)注意目标函数的变形应用.一、选择题1．(2015·济南二模)不等式组Error!所表示的平面区域的面积为( )A．1 B. C. D.12 13 142．不等式组Error!表示的平面区域是( )A．矩形 B．三角形 C．直角梯形 D．等腰梯形3．若不等式组Error!表示的平面区域是一个三角形，则实数 a 的取值范围是( )A．(－∞，0] B．[0,2) C．[0,2] D．(2，＋∞)4．(2015·昆明一模)已知 x， y 满足约束条件Error!(k 为常数且 k0， b0)满足约束条件Error!且最大值为 40，则 ＋ 的最小值为( )5a 1bA. B．4 C. D．1256 9428．(2014·山东)已知 x， y 满足约束条件Error!当目标函数 z＝ ax＋ by(a0， b0)在该约束条件下取到最小值 2 时， a2＋ b2的最小值为( )5A．5 B．4 C. D．25二、填空题9．(2015·课标全国Ⅰ)若 x， y 满足约束条件Error!则 的最大值为________．yx10．(2015·湖北襄阳第五中学质检)某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过 50 亩，投入资金不超过 54 万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表所示：年产量/亩 年种植成本/亩 每吨售价黄瓜 4 吨 1.2 万元 0.55 万元韭菜 6 吨 0.9 万元 0.3 万元为使一年的种植总利润(总利润＝总销售收入－总种植成本)最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位：亩)分别为________．11．(2015·陕西大学附中月考)设 x， y 满足约束条件Error!若目标函数z＝ ax＋ by(a0， b0)的最大值为 6，则 log ( ＋ )的最小值为________．31a 2b12．(2015·浙江嘉兴一中上学期入学摸底测试)已知函数 f(x)＝ x2－2 x，点集 M＝{( x， y)|f(x)＋ f(y)≤2}， N＝{( x， y)|f(x)－ f(y)≥0}，则 M∩ N 所构成平面区域的面积为________．3答案解析1．D [作出不等式组所表示的平面区域如图中△ BCD 及其内部所示，由题意知xB＝1， xC＝2.由Error! 得 yD＝ ，12所以 S△ BCD＝ ×(xC－ xB)× ＝ .]12 12 142．B [不等式组Error!⇔ Error!或Error!那么利用不等式表示的区域可知，得到的平面区域为三角形．]3．B [Error!表示的平面区域为图中阴影部分，要使此区域与 x≥ a 围成一个三角形，应有 0≤ a0， b0)过直线 x－ y＋2＝0 与直线 2x－ y－6＝0 的交点(8,10)时，目标函数 z＝ ax＋ by(a0， b0)取得最大值 40，即 4a＋5 b＝20，而 ＋ ＝( ＋ )× ＝ ＋( ＋ )≥ .5a 1b 5a 1b 4a＋ 5b20 54 5b4a a5b 94当且仅当 2a＝5 b 时，等号成立．故选 C.]58．B [方法一 线性约束条件所表示的可行域如图阴影部分所示．由Error! 解得Error!所以 z＝ ax＋ by 在 A(2,1)处取得最小值，故 2a＋ b＝2 ，5a2＋ b2＝ a2＋(2 －2 a)2＝( a－4) 2＋4≥4.5 5方法二 画出满足约束条件的可行域知，当目标函数过直线 x－ y－1＝0 与 2x－ y－3＝0 的交点 A(2,1)时取得最小值，所以有 2a＋ b＝2 .5又因为 a2＋ b2是原点(0,0)到点( a， b)的距离的平方，故当 为原点到直线 2a＋ b－2 ＝0 的距离时最小，a2＋ b2 5所以 的最小值是 ＝2，a2＋ b2|－ 25|22＋ 12所以 a2＋ b2的最小值是 4.故选 B.]9．3解析 画出可行域如图阴影所示，∵ 表示过点( x， y)与原点(0,0)的直线的斜率，yx∴点( x， y)在点 A 处时 最大．yx由Error! 得Error!∴ A(1,3)．∴ 的最大值为 3.yx10．30,206解析 设黄瓜和韭菜的种植面积分别为 x， y 亩，总利润为 z 万元，则目标函数z＝(0.55×4 x－1.2 x)＋(0.3×6 y－0.9 y)＝ x＋0.9 y，线性约束条件为Error!即Error!作出可行域如图阴影部分所示，求得 A(0,50)， B(30,20)， C(45,0)，平移直线 x＋0.9 y＝0可知直线经过点 B(30，20)，即 x＝30， y＝20 时， z 取得最大值．11．2解析 画出约束条件表示的可行域如图所示．由可行域可知 z＝ ax＋ by(a0， b0)在(2,4)点取得最大值，故 2a＋4 b＝6，即 a＋2 b＝3，因为 a0， b0，所以 ＋ ＝ ( ＋ )1a 2b a＋ 2b3 1a 2b＝ (5＋ ＋ )13 2ab 2ba≥ (5＋2· )＝3(当且仅当 a＝ b＝1 时， “＝”成立)，13 2ab·2ba所以 ＋ ≥3，log ( ＋ )≥log 3＝2.1a 2b 31a 2b 312．2π解析 由 f(x)＋ f(y)＝ x2－2 x＋ y2－2 y≤2，得( x－1) 2＋( y－1) 2≤4，于是点集 M＝{( x， y)|f(x)＋ f(y)≤2}表示的平面区域是以(1,1)为圆心，半径 r＝2 的圆面．同理，由 f(x)－ f(y)＝ x2－2 x－ y2＋2 y≥0，可得( x－ y)(x＋ y－2)≥0，即Error! 或Error!于是点集 N＝{( x， y)|f(x)－ f(y)≥0}表示的平面区域就是不等式组所表示的平面区域．7所以 M∩ N 所构成的平面区域如图所示，于是 S＝ ·π· r2＝2π.121【步步高】 （浙江专用）2017 年高考数学 专题六 不等式 第 43 练 基本不等式的“基本功”练习训练目标(1)熟练掌握基本不等式及应用方法；(2)会用基本不等式解决最值问题；(3)能将基本不等式与函数、数列、三角函数等知识结合，解决综合问题.训练题型(1)比较两数(式)的大小；(2)求最大(小)值；(3)求代数式、函数式值域；(4)求参数范围；(5)与其他知识交汇综合应用.解题策略(1)直接利用基本不等式(注意应用条件)；(2)将已知条件变形，以“和”或“积”为定值为目标，构造基本不等式“模型”(注意积累变形技巧，总结变形突破点).一、选择题1．(2015·长沙一模)设 a0， b0.若 a＋ b＝1，则 ＋ 的最小值是( )1a 1bA．2 B. C．4 D．8142．(2015·湖南)若实数 a， b 满足 ＋ ＝ ，则 ab 的最小值为( )1a 2b abA. B．2 2C．2 D．423．(2015·北京东城区一模)已知 b0 且 a≠0，直线( b2＋1) x＋ ay＋2＝0 与直线x－ b2y－1＝0 互相垂直，则 ab 的最小值为( )A．1 B．2 C．2 D．22 34．(2015·大连期末)设 x， y∈R， a1， b1，若 ax＝ by＝3， a＋ b＝2 ，则 ＋ 的最大值31x 1y为( )A．2 B. C．1 D.32 125．若实数 x， y 满足 x2＋ xy＋ y2＝1，则 x＋ y 的最大值为( )A. B．2 C．3 D.233 2 36．若 ab0，则 a2＋ 的最小值为( )1b(a－ b)A．2 B．3 C．4 D．57．(2015·黄冈模拟)若实数 x， y， z 满足 x2＋ y2＋ z2＝2，则 xy＋ yz＋ xz 的取值范围是( )2A．[－1,2] B．[1,2]C．[－1,1] D．[－2,2]8．(2015·杭州第一次质量预测)已知 a， b 是两个互相垂直的单位向量，且a·c＝ b·c＝1，则对任意的正实数 t，| c＋ ta＋ b|的最小值是( )1tA．2 B．2 C．4 D．42 2二、填空题9．(2015·济南一模)若实数 x， y 满足 4x＋4 y＝2 x＋1 ＋2 y＋1 ，则 t＝2 x＋2 y的取值范围是________．10．若对任意 x0， ≤ a 恒成立，则 a 的取值范围是________．xx2＋ 3x＋ 111．(2015·株洲教学质量检测一)已知 M 是△ ABC 内的一点，且 · ＝2 ，∠ BAC＝30°.若AB→ AC→ 3△ MBC，△ MCA 和△ MAB 的面积分别为 ， x， y，则 ＋ 的最小值是________．12 1x 4y12．已知正实数 x， y 满足等式 x＋ y＋8＝ xy，若对任意满足条件的 x， y，不等式( x＋ y)2－ a(x＋ y)＋1≥0 恒成立，则实数 a 的取值范围是________．3答案解析1．C [由题意得 ＋ ＝ ＋ ＝2＋ ＋ ≥2＋2 ＝4，当且仅当 ＝ ，即1a 1b a＋ ba a＋ bb ba ab ba×ab ba aba＝ b＝ 时取等号，所以最小值为 4.]122．C [由 ＋ ＝ 知 a0， b0，所以 ＝ ＋ ≥2 ，即 ab≥2 ，当且仅当Error!即1a 2b ab ab 1a 2b 2ab 2a＝ ， b＝2 时取“＝” ，所以 ab 的最小值为 2 .]42 42 23．B [由两条直线垂直的充要条件可得，(－ )· ＝－1，解得 a＝ ，b2＋ 1a 1b2 b2＋ 1b2所以 ab＝ ·b＝ ＝ b＋ .b2＋ 1b2 b2＋ 1b 1b因为 b0，所以 b＋ ≥2 ＝2，1b b·1b当且仅当 b＝ ，即 b＝1 时取“＝” ．]1b4．C [由 ax＝ by＝3，得 x＝log a3， y＝log b3，由 a1， b1 知 x0， y0，＋ ＝log 3a＋log 3b＝log 3ab≤log 3( )2＝1，1x 1y a＋ b2当且仅当 a＝ b＝ 时“＝”成立，则 ＋ 的最大值为 1.]31x 1y5．A [由 x2＋ y2＋ xy＝1，得( x＋ y)2－ xy＝1，即 xy＝( x＋ y)2－1≤ ，(x＋ y)24所以 (x＋ y)2≤1，34故－ ≤ x＋ y≤ ，233 233当且仅当 x＝ y 时“＝”成立，所以 x＋ y 的最大值为 .]2336．C [依题意得 a－ b0，所以 a2＋ ≥ a2＋ ＝ a2＋ ≥2 ＝4，1b(a－ b) 1[b＋ (a－ b)2 ]2 4a2 a2·4a2当且仅当Error!即 a＝ ， b＝ 时取等号，因此 a2＋ 的最小值是 4.]222 1b(a－ b)47．A [因为 x2＋ y2＋ z2＝2，所以 2x2＋2 y2＋2 z2＝4，所以 4≥2 xy＋2 yz＋2 xz，即 xy＋ yz＋ xz≤2.又因为( x＋ y＋ z)2＝ x2＋ y2＋ z2＋2 xy＋2 xz＋2 yz≥0，所以 xy＋ yz＋ xz≥－1，所以 xy＋ yz＋ xz 的取值范围是[－1,2]．]8．B [∵ a， b 是互相垂直的单位向量，设 a＝(1,0)， b＝(0,1)， c＝( x， y)．由 a·c＝ b·c＝1，得 x＝ y＝1，即 c＝(1,1)，∴ c＋ ta＋ b＝(1,1)＋( t,0)＋(0， )＝(1＋ t,1＋ )，1t 1t 1t∴| c＋ ta＋ b|＝ 1t (1＋ t)2＋ (1＋ \f(1,t))2＝ ，2＋ 2(t＋ \f(1,t))＋ t2＋ 1t2∵ t0，∴ t＋ ≥2， t2＋ ≥2，1t 1t2当且仅当 t＝1 时取等号，∴| c＋ ta＋ b|≥ ＝2 ，1t 2＋ 4＋ 2 2故| c＋ ta＋ b|的最小值为 2 .]1t 29．(2,4]解析 设 a＝2 x， b＝2 y，则 a0， b0，由条件得 a2＋ b2＝2( a＋ b)，∵( a＋ b)2＝ a2＋ b2＋2 ab≤2( a2＋ b2)，当且仅当 a＝ b 时取等号，∴( a＋ b)2≤4( a＋ b)，∴ a＋ b≤4，又( a＋ b)2－2( a＋ b)＝2 ab0，∴ a＋ b2，∴20 恒成立，设 u＝ x＋ ＋3，xx2＋ 3x＋ 1 1x＋ 1x＋ 3 1x∴只需 a≥ 恒成立即可．1u∵ x0，∴ u≥5(当且仅当 x＝1 时取等号)．5由 u≥5 知 0 ≤ ，∴ a≥ .1u 15 1511．18解析 由已知得 · ＝| || |cos∠ BACAB→ AC→ AB→ AC→ ＝2 ，3∴| || |＝4，AB→ AC→ ∴ S△ ABC＝ x＋ y＋ ＝ | || |sin∠ BAC＝1，12 12AB→ AC→ 即 x＋ y＝ ，12而 ＋ ＝2( ＋ )·(x＋ y)＝2(5＋ ＋ )1x 4y 1x 4y yx 4xy≥2(5＋2 )＝18，yx·4xy当且仅当 y＝2 x 时，等号成立．12．(－∞， ]658解析 因为 x＋ y＋8＝ xy≤( )2，x＋ y2即 4(x＋ y)＋32≤( x＋ y)2，解得 x＋ y≥8 或 x＋ y≤－4(舍去)．不等式( x＋ y)2－ a(x＋ y)＋1≥0 恒成立可等价转化为 a≤ 恒成立，(x＋ y)2＋ 1x＋ y令 x＋ y＝ t(t≥8)，且 f(t)＝ ＝ t＋ .t2＋ 1t 1t函数 f(t)在[8，＋∞)上单调递增，所以 f(t)min＝ f(8)＝8＋ ＝ .18 658所以实数 a 的取值范围为(－∞， ]．6581【步步高】 （浙江专用）2017 年高考数学 专题六 不等式 第 44 练 绝对值不等式练习训练目标(1)绝对值不等式的解法；(2)利用绝对值不等式求最值；(3)绝对值不等式的综合应用.训练题型(1)求绝对值不等式的解集；(2)求含绝对值的函数的最值；(3)求参数的取值范围.解题策略(1)绝对值不等式的三种常用解法：零点分段法，数形结合法，构造函数法；(2)利用绝对值三角不等式定理| a|－| b|≤| a±b|≤| a|＋| b|求函数最值；(3)不等式恒成立问题、存在性问题都可以转化为最值问题解决.一、选择题1．不等式|2 x－1||a－2|＋1 对于一切非零实数 x 均成立，则实数 a 的取值范围是( )1xA．(1,3) B．(1，＋∞)C．(－∞，3) D．(－∞，1)3．已知关于 x 的不等式| x－ a|＋1－ x0 的解集为 R，则实数 a 的取值范围是( )A．[1，＋∞) B．(1，＋∞)C．(－∞，1] D．(－∞，1)二、填空题4．不等式 x|x－4|－30，则当 a＝________时， ＋ 取得最小值．12|a| |a|b三、解答题9．设 f(x)＝ x2－ x＋14，且| x－ a|0，即 x1 时， y＝ ，1t＋ 4t＋ 1因为 t＋ ≥2 ＝4(当且仅当 t＝2 时取等号)，4t 4所以 y＝ ≤ ，1t＋ 4t＋ 1 15即 y 的最大值为 (当 t＝2，即 x＝5 时取得最大值)．15所以 t0 时， y∈(0， ]．15所以 y∈[0， ]．15(2)令 t＝ x－1，故 x＝ t＋1，因为 x1，所以 t0.则函数 f(x)可化为 y＝( t＋1)＋(t＋ 1)2＋ 1t＝2 t＋ ＋3，2t因为 t0，所以 2t＋ ≥2 ＝4，2t 2t×2t当且仅当 2t＝ ，即 t＝1， x＝2 时取等号．2t所以 2t＋ ＋3≥4＋3＝7，2t即函数 f(x)的最小值为 f(2)＝7.2．证明 因为 a， b， c 都是正数，所以 ＋ ＝ ( ＋ )≥ .abc bca 1cab ba 2c3同理可得 ＋ ≥ ， ＋ ≥ ，bca cab 2a cab abc 2b将上述三个不等式两边分别相加，并除以 2，得 ＋ ＋ ≥ ＋ ＋ .abc bca cab 1a 1b 1c3．解 (1)当 0950.综上所述，当 x＝100 时， L(x)取得最大值 1 000，即年产量为 100 千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大．4．解 (1)由题设知：| x－1|＋| x＋2|7，不等式的解集是以下不等式组解集的并集：Error!，或Error! ，或Error! ，解得函数 f(x)的定义域为(－∞，－4)∪(3，＋∞)．(2)不等式 f(x)≥34即| x－1|＋| x＋2|≥ a＋8，∵ x∈R 时，恒有| x－1|＋| x＋2|≥|(x－1)－( x＋2)|＝3，不等式| x－1|＋| x＋2|≥a＋8 解集是 R，∴ a＋8≤3∴ a 的取值范围是(－∞，－5]．5．解 (1)当 t＝－1 时， f(x)≤ g(x)，即 lg(x＋1)≤2lg(2 x－1)，此不等式等价于Error!解得 x≥ .54所以原不等式的解集为{ x|x≥ }．54(2)因为当 x∈[0,1]时， f(x)≤ g(x)恒成立，所以 x∈[0,1]时，Error!恒成立，所以 x∈[0,1]时，Error!恒成立，即 x∈[0,1]时， t≥－2 x＋ 恒成立，x＋ 1于是转化为求－2 x＋ (x∈[0,1])的最大值问题．x＋ 1令 u＝ ，则 x＝ u2－1，x＋ 1由 x∈[0,1]，知 u∈[1， ]．2所以－2 x＋ ＝－2( u2－1)＋ ux＋ 1＝－2( u－ )2＋ ，14 178当 u＝1，即 x＝0 时，－2 x＋ 有最大值 1.x＋ 1所以 t 的取值范围是[1，＋∞)．1【步步高】 （浙江专用）2017 年高考数学 专题六 不等式 第 45 练 不等式的综合应用练习训练目标巩固不等式的基础知识，提高不等式在解决函数、三角函数、数列、向量、几何等方面的应用能力，训练解题步骤的规范性.训练题型(1)求函数值域、最值；(2)解决与数列有关的不等式问题、最值问题；(3)解决恒成立问题、求参数范围问题；(4)不等式证明.解题策略将问题中的条件进行综合分析、变形转化，形成不等式“模型” ，从而利用不等式性质或基本不等式解决.1．(1)求函数 y＝ 的值域；x－ 1x＋ 3＋ x－ 1(2)求函数 f(x)＝ x＋ (x1)的最小值．x2＋ 1x－ 12．(2015·江苏南通学情检测)已知 a， b， c 均为正数，求证： ＋ ＋ ≥ ＋ ＋ .abc bca cab 1a 1b 1c23．(2015·福建长乐二中等五校期中联考)某厂生产某种产品的年固定成本为 250 万元，每生产 x 千件，需另投入成本为 C(x)万元，当年产量不足 80 千件时， C(x)＝ x2＋10 x(万元)；13当年产量不少于 80 千件时， C(x)＝51 x＋ －1 450(万元)．通过市场分析，若每件售10 000x价为 500 元时，该厂一年内生产的商品能全部销售完．(1)写出年利润 L(万元)关于年产量 x(千件)的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？4．已知函数 f(x)＝log 2(|x－1|＋| x＋2|－ a)．(1)当 a＝7 时，求函数 f(x)的定义域；(2)若关于 x 的不等式 f(x)≥3 的解集是 R，求实数 a 的取值范围．5．已知 f(x)＝lg( x＋1)， g(x)＝2lg(2 x＋ t)(t∈R， t 是参数)．(1)当 t＝－1 时，解不等式 f(x)≤ g(x)；(2)如果当 x∈[0,1]时， f(x)≤ g(x)恒成立，求参数 t 的取值范围．3答案解析1．A [|2 x－1|(x－1) 2对任意的 x∈[1，＋∞)恒成立，即( a－1)[( a＋1)－2 x]0 对任意的 x∈[1，＋∞)恒成立，所以Error!(舍去)或Error!对任意的 x∈[1，＋∞]恒成立，解得 a5；当－2≤ x ；12 52当 x≥ 时， y＝3 x＋1≥ ，12 52故函数 y＝|2 x－1|＋| x＋2|的最小值为 .因为不等式|2 x－1|＋| x＋2|≥ a2＋ a＋2 对任意52 12实数 x 恒成立，所以 ≥ a2＋ a＋2.解不等式 ≥ a2＋ a＋2，得－1≤ a≤ ，故 a 的取值范围52 12 52 12 12为[－1， ]．127．1解析 ∵ f(x－2)＝ m－| x|≥0，∴| x|≤ m，∴ m0 且－ m≤ x≤ m.又 f(x－2)≥0 的解集为[－1,1]，∴ m＝1.8．－24解析 由于 a＋ b＝2，所以 ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＋ ，由于 b0，| a|0，12|a| |a|b a＋ b4|a| |a|b a4|a| b4|a| |a|b所以 ＋ ≥2 ＝1，因此当 a0 时， ＋ 的最小值是 ＋1＝ ；当 a0b4|a| |a|b b4|a|·|a|b 12|a| |a|b 14 54时， ＋ 的最小值是－ ＋1＝ .故 ＋ 的最小值为 ，此时Error!12|a| |a|b 14 34 12|a| |a|b 34即 a＝－2.9．证明 | f(x)－ f(a)|＝| x2－ a2＋ a－ x|＝|( x－ a)(x＋ a－1)|＝| x－ a||x＋ a－1|| x＋ a－1|＝|( x－ a)＋2 a－1|≤| x－ a|＋|2 a|＋1|2 a|＋2＝2(| a|＋1)．10．解 (1)当 a＝－3 时， f(x)＝Error!当 x≤2 时，由 f(x)≥3 得－2 x＋5≥3，解得 x≤1；当 2x3 时， f(x)≥3 无解；当 x≥3 时，由 f(x)≥3 得 2x－5≥3，解得 x≥4.所以 f(x)≥3 的解集为{ x|x≤1 或 x≥4}．(2)f(x)≤| x－4|⇔| x－4|－| x－2|≥| x＋ a|.当 x∈[1,2]时，| x－4|－| x－2|≥| x＋ a|⇔4－ x－(2－ x)≥| x＋ a|⇔－2－ a≤ x≤2－ a.由条件得－2－ a≤1 且 2－ a≥2，即－3≤ a≤0.故满足条件的 a 的取值范围为[－3,0]． 1【步步高】 （浙江专用）2017 年高考数学 专题六 不等式 第 46 练 不等式中的易错题练习训练目标 对不等式部分的易错题型强化训练，降低出错率.训练题型(1)不等式性质应用中出错；(2)解不等式运算错误；(3)基本不等式应用中的错误；(4)不等式综合应用中的思路障碍.解题策略规范运算过程及解题步骤，养成思维缜密的良好习惯，总结出易错类型及易错点.一、选择题1．(2015·金华十校联考)已知函数 f(x)＝Error!则不等式 x＋( x＋1) f(x＋1)≤1 的解集是( )A．{ x|－1≤ x≤ －1} B．{ x|x≤1}2C．{ x|x≤ －1} D．{ x|－ －1≤ x≤ －1}2 2 22．若不等式 x2＋ ax＋1≥0 对一切 x∈ 恒成立，则 a 的最小值为( )(0，12]A．0 B．－2 C．－ D．－3523．已知 a， b 都是正实数，且满足 log4(2a＋ b)＝log 2 ，则 2a＋ b 的最小值为( )abA．12 B．10 C．8 D．64．若 a， b 是常数， a0， b0， a≠ b， x， y∈(0，＋∞)，则 ＋ ≥ ，当且仅当a2x b2y (a＋ b)2x＋ y＝ 时取等号．利用以上结论，可以得到函数 f(x)＝ ＋ (0－1)的最小值为( )x2＋ 7x＋ 10x＋ 1A．2 B．7 C．9 D．108．若 a、 b、 c0 且 a(a＋ b＋ c)＋ bc＝4－2 ，则 2a＋ b＋ c 的最小值为( )3A. －1 B. ＋13 32C．2 ＋2 D．2 －23 3二、填空题9．已知 x0， y0，lg 2 x＋lg 8 y＝lg 2，则 ＋ 的最小值是________．1x 13y10．对于 0≤ m≤4 的任意 m，不等式 x2＋ mx4x＋ m－3 恒成立，则 x 的取值范围是________________．11．设正实数 x， y， z 满足 x2－3 xy＋4 y2－ z＝0，则当 取得最大值时， ＋ － 的最大值xyz 2x 1y 2z为________．12．某运输公司接受了向一地区每天至少运送 180 t 物资的任务，该公司有 8 辆载重为 6 t的 A 型卡车和 4 辆载重为 10 t 的 B 型卡车，有 10 名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数为 A型卡车 4 次， B 型卡车 3 次，每辆卡车每天往返的费用为 A 型卡车 320 元， B 型卡车 504 元，则公司如何调配车辆，才能使公司所花的费用最低，最低费用为________元．3答案解析1．C [由题意得不等式 x＋( x＋1) f(x＋1)≤1 等价于Error!①或Error! ②解不等式组①得 x0， b0，所以 2a＋ b＝ ·2a·b≤ · ，12 12 (2a＋ b)24所以 2a＋ b≥8，当且仅当 2a＝ b 时取等号，所以 2a＋ b 的最小值为 8，故选 C.]4．C [由题意可得 f(x)＝ ＋ ＝ ＋ ≥ ＝25，当且仅当3x 41－ 3x 323x 221－ 3x (3＋ 2)23x＋ (1－ 3x)＝ ，即 x＝ 时取等号，故最小值为 25.]33x 21－ 3x 155．C [如图，作出可行域，由 z＝10 x＋10 y⇒y＝－ x＋ ，它表示斜率为－1，纵截距为 的平行直线系，z10 z10要使 z＝10 x＋10 y 取得最大值，当直线 z＝10 x＋10 y 通过 A( ， )时 z 取得最大值．112 924因为 x， y∈N *，故 A 点不是最优整数解．于是考虑可行域内 A 点附近的整点(5,4)，(4,4)，经检验直线经过点(5,4)时， zmax＝90.]6．B [不等式( x＋ y) ≥9 对任意正实数 x， y 恒成立，则(1x＋ ay)1＋ a＋ ＋ ≥ a＋2 ＋1≥9，所以 ≥2 或 ≤－4(舍去)．所以正实数 a 的最小值为 4.]yx axy a a a7．C [ y＝ ＝x2＋ 7x＋ 10x＋ 1 (x＋ 1)2＋ 5(x＋ 1)＋ 4x＋ 1＝( x＋1)＋ ＋5，4x＋ 1当 x－1，即 x＋10 时， y≥2 ＋5＝9(当且仅当 x＝1 时取“＝”)．故选(x＋ 1)×4x＋ 1C.]8．D [由 a(a＋ b＋ c)＋ bc＝4－2 ，3得( a＋ c)·(a＋ b)＝4－2 .3∵ a、 b、 c0.∴( a＋ c)·(a＋ b)≤ 2(当且仅当 a＋ c＝ b＋ a，即 b＝ c 时取“＝”)，(2a＋ b＋ c2 )∴2 a＋ b＋ c≥2 ＝2( －1)＝2 －2.]4－ 23 3 39．4解析 由 x0， y0，lg 2 x＋lg 8 y＝lg 2，得 lg 2x8y＝lg 2，即 2x＋3 y＝2，所以 x＋3 y＝1，故 ＋ ＝( ＋ )(x＋3 y)1x 13y 1x 13y＝2＋ ＋ ≥2＋2 ＝4，3yx x3y 3yx·x3y当且仅当 ＝ ，即 x＝ ， y＝ 时取等号，3yx x3y 12 16所以 ＋ 的最小值为 4.1x 13y10．(－∞，－1)∪(3，＋∞)解析 不等式可化为 m(x－1)＋ x2－4 x＋30 在 0≤ m≤4 时恒成立．令 f(m)＝ m(x－1)＋ x2－4 x＋3.则Error! ⇒Error!⇒Error!即 x3.11．15解析 由 x2－3 xy＋4 y2－ z＝0，得 z＝ x2－3 xy＋4 y2，∴ ＝ ＝ ≤ ＝1，xyz xyx2－ 3xy＋ 4y2 1xy＋ 4yx－ 3 124－ 3当且仅当 x＝2 y 时取等号．此时 z＝2 y2，∴ ＋ － ＝ ＋ － ＝－( )2＋ ＝－( －1) 2＋1≤1.2x 1y 2z 22y 1y 22y2 1y 2y 1y12．答案 2 560解析 设每天调出 A 型卡车 x 辆， B 型卡车 y 辆，公司所花的费用为 z 元，则目标函数z＝320 x＋504 y(x， y∈N)．由题意可得，Error!作出上述不等式组所确定的平面区域即可行域，如图中阴影部分所示．结合图形可知， z＝320 x＋504 y 在可行域内经过的整数点中，点(8,0)使 z＝320 x＋504 y 取得最小值， zmin＝320×8＋504×0＝2 560.故每天调出 A 型卡车 8 辆，公司所花费用最低．