（江苏专用）2018版高考数学大一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数I 文（课件+教师用书）（打包18套）苏教版.zip

12.1 函数及其表示1.函数与映射函数 映射两集合A、 B设 A， B 是两个非空的数集 设 A， B 是两个非空集合对应法则f： A→ B如果按某种对应法则 f，对于集合 A中的每一个元素 x，在集合 B 中都有唯一的元素 y 和它对应如果按某种对应法则 f，对于 A 中的每一个元素，在 B 中都有唯一的元素与之对应名称这样的对应叫做从集合 A 到集合 B 的一个函数称对应 f： A→ B 为从集合 A 到集合B 的映射记法 y＝ f(x)(x∈ A) f： A→ B2.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域在函数 y＝ f(x)， x∈ A 中，其中所有 x 组成的集合 A 称为函数 y＝ f(x)的定义域；将所有 y组成的集合叫做函数 y＝ f(x)的值域.(2)函数的三要素：定义域、对应法则和值域.(3)函数的表示法表示函数的常用方法有列表法、解析法和图象法.3.分段函数在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式，这样的函数，通常叫做分段函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.【知识拓展】求函数定义域常见结论(1)分式的分母不为零；(2)偶次根式的被开方数不小于零；(3)对数函数的真数必须大于零；(4)指数函数和对数函数的底数大于零且不等于 1；2(5)正切函数 y＝tan x， x≠ kπ＋ (k∈Z)；π 2(6)零次幂的底数不能为零；(7)实际问题中除要考虑函数解析式有意义外，还应考虑实际问题本身的要求.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)对于函数 f： A→ B，其值域是集合 B.( × )(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数.( × )(3)映射是特殊的函数.( × )(4)若 A＝R， B＝{ x|x0}， f： x→ y＝| x|，其对应是从 A 到 B 的映射.( × )(5)分段函数是由两个或几个函数组成的.( × )1.已知函数 f(x)＝ ，若 f(a)＝5，则实数 a 的值为________.2x＋ 1答案 12解析 f(a)＝ ，由题意知 ＝5，所以 a＝12.2a＋ 1 2a＋ 12.(2016·江苏)函数 y＝ 的定义域是________.3－ 2x－ x2答案 [－3,1]解析 要使原函数有意义，需满足 3－2 x－ x2≥0，解得－3≤ x≤1，故函数的定义域为[－3,1].3.(教材改编)设 f(x)＝Error! g(x)＝Error! 则 f(g(π))的值为________.答案 0解析 由题意得， g(π)＝0，∴ f(g(π))＝ f(0)＝0.4.(教材改编)如果 f( )＝ ，则当 x≠0,1 时， f(x)＝________.1x x1－ x答案 1x－ 1解析 令 ＝ t，则 x＝ ，代入 f( )＝ ，1x 1t 1x x1－ x则有 f(t)＝ ＝ ，∴ f(x)＝ .1t1－ 1t 1t－ 1 1x－ 15.已知 f(x)＝ ，则 f(f(x))的定义域为________.1x＋ 13答案 { x|x≠－2 且 x≠－1}解析 因为 f(x)＝ ，1x＋ 1所以 f(x)的定义域为{ x|x≠－1}，则在 f(f(x))中， f(x)≠－1，即 ≠－1，1x＋ 1解得 x≠－2，所以 f(f(x))的定义域为{ x|x≠－2 且 x≠－1}.题型一 函数的概念例 1 有以下判断：① f(x)＝ 与 g(x)＝Error!表示同一函数；|x|x②函数 y＝ f(x)的图象与直线 x＝1 的交点最多有 1 个；③ f(x)＝ x2－2 x＋1 与 g(t)＝ t2－2 t＋1 是同一函数；④若 f(x)＝| x－1|－| x|，则 f ＝0.(f(12))其中正确判断的序号是________.答案 ②③解析 对于①，由于函数 f(x)＝ 的定义域为{ x|x∈R 且 x≠0}，而函数 g(x)＝Error!的|x|x定义域是 R，所以二者不是同一函数；对于②，若 x＝1 不是 y＝ f(x)定义域内的值，则直线x＝1 与 y＝ f(x)的图象没有交点，如果 x＝1 是 y＝ f(x)定义域内的值，由函数定义可知，直线 x＝1 与 y＝ f(x)的图象只有一个交点，即 y＝ f(x)的图象与直线 x＝1 最多有一个交点；对于③， f(x)与 g(t)的定义域、值域和对应法则均相同，所以 f(x)和 g(t)表示同一函数；对于④，由于 f ＝ － ＝0，所以 f ＝ f(0)＝1.(12) |12－ 1| |12| (f(12))综上可知，正确的判断是②③.思维升华 函数的值域可由定义域和对应法则唯一确定，当且仅当定义域和对应法则都相同的函数才是同一函数.值得注意的是，函数的对应法则是就结果而言的(判断两个函数的对应法则是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应法则算出的函数值是否相同).(1)(2016·南京模拟)下列所给图象中函数图象的个数为________.4(2)下列各组函数中，表示同一个函数的是________.① y＝ x－1 和 y＝ ；x2－ 1x＋ 1② y＝ x0和 y＝1；③ f(x)＝ x2和 g(x)＝( x＋1) 2；④ f(x)＝ 和 g(x)＝ . x 2x x x 2答案 (1)2 (2)④解析 (1)①中当 x0 时，每一个 x 的值对应两个不同的 y 值，因此不是函数图象，②中当x＝ x0时， y 的值有两个，因此不是函数图象，③④中每一个 x 的值对应唯一的 y 值，因此是函数图象.(2)①中两个函数的定义域不同；②中 y＝ x0的 x 不能取 0；③中两函数的对应法则不同.题型二 函数的定义域问题命题点 1 求函数的定义域例 2 (1)(教材改编)函数 f(x)＝ 的定义域用区间表示为____________. x－ 1 04－ 2x(2)若函数 y＝ f(x)的定义域为[0,2]，则函数 g(x)＝ 的定义域是________.f 2xx－ 1答案 (1)[0,1)∪(1,2) (2)[0,1)解析 (1)要使函数有意义，需满足Error!即Error!∴函数 f(x)的定义域为[0,1)∪(1,2).(2)由 0≤2 x≤2，得 0≤ x≤1，又 x－1≠0，即 x≠1，所以 0≤ x＜1，即 g(x)的定义域为[0,1).引申探究例 2(2)中，若将“函数 y＝ f(x)的定义域为[0,2]”改为“函数 y＝ f(x＋1)的定义域为[0,2]” ，则函数 g(x)＝ 的定义域为________________.f 2xx－ 1答案 [ ，1)∪(1， ]12 32解析 由函数 y＝ f(x＋1)的定义域为[0,2]，得函数 y＝ f(x)的定义域为[1,3]，5令Error! 得 ≤ x≤ 且 x≠1，12 32∴ g(x)的定义域为[ ，1)∪(1， ].12 32命题点 2 已知函数的定义域求参数范围例 3 (1)若函数 f(x)＝ 的定义域为 R，则 a 的取值范围为________.21xa(2)若函数 y＝ 的定义域为 R，则实数 a 的取值范围是________.ax＋ 1ax2＋ 2ax＋ 3答案 (1)[－1,0] (2)[0,3)解析 (1)因为函数 f(x)的定义域为 R，所以 －1≥0 对 x∈R 恒成立，2xa即 ≥2 0， x2＋2 ax－ a≥0 恒成立，因此有 Δ ＝(2 a)2＋4 a≤0，解得－1≤ a≤0.(2)因为函数 y＝ 的定义域为 R，ax＋ 1ax2＋ 2ax＋ 3所以 ax2＋2 ax＋3＝0 无实数解，即函数 t＝ ax2＋2 ax＋3 的图象与 x 轴无交点.当 a＝0 时，函数 y＝3 的图象与 x 轴无交点；当 a≠0 时，则 Δ ＝(2 a)2－4·3 a1) (2)2 x＋7 (3) ＋2x－ 1 23x 13解析 (1)(换元法)令 t＝ ＋1( t1)，则 x＝ ，2x 2t－ 1∴ f(t)＝lg ，即 f(x)＝lg (x1).2t－ 1 2x－ 1(2)(待定系数法)设 f(x)＝ ax＋ b(a≠0)，则 3f(x＋1)－2 f(x－1)＝3 ax＋3 a＋3 b－2 ax＋2 a－2 b＝ ax＋5 a＋ b，即 ax＋5 a＋ b＝2 x＋17，不论 x 为何值都成立，∴Error! 解得Error!∴ f(x)＝2 x＋7.(3)(消去法)在 f(x)＝2 f( ) －1 中，用 代替 x，1x x 1x得 f( )＝2 f(x) －1，1x 1x将 f( )＝ －1 代入 f(x)＝2 f( ) －1 中，1x 2f xx 1x x可求得 f(x)＝ ＋ .23x 13思维升华 函数解析式的求法7(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法；(2)换元法：已知复合函数 f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(3)配凑法：由已知条件 f(g(x))＝ F(x)，可将 F(x)改写成关于 g(x)的表达式，然后以 x 替代 g(x)，便得 f(x)的解析式；(4)消去法：已知 f(x)与 f 或 f(－ x)之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个(1x)等式组成方程组，通过解方程组求出 f(x).(1)已知 f( ＋1)＝ x＋2 ，求 f(x)的解析式；x x(2)已知一次函数 f(x)满足 f(f(x))＝4 x－1，求 f(x)；(3)已知 f(x)＋3 f(－ x)＝2 x＋1，求 f(x).解 (1)设 ＋1＝ t(t≥1)，x∴ f(t)＝( t－1) 2＋2( t－1)＝ t2－1，∴ f(x)＝ x2－1( x≥1).(2)设 f(x)＝ kx＋ b(k≠0)，则 f(f(x))＝ k2x＋ kb＋ b，即 k2x＋ kb＋ b＝4 x－1，∴Error! ∴Error!或Error!故 f(x)＝2 x－ 或 f(x)＝－2 x＋1.13(3)以－ x 代替 x 得 f(－ x)＋3 f(x)＝－2 x＋1，∴ f(－ x)＝－3 f(x)－2 x＋1，代入 f(x)＋3 f(－ x)＝2 x＋1 可得 f(x)＝－ x＋ .1482.分类讨论思想在函数中的应用典例 (1)已知实数 a≠0，函数 f(x)＝Error!若 f(1－ a)＝ f(1＋ a)，则 a 的值为______________.(2)(2015·山东改编)设函数 f(x)＝Error!则满足 f(f(a))＝2 f(a)的 a 的取值范围是____________.思想方法指导 (1)求分段函数的函数值，首先要确定自变量的范围，通过分类讨论求解；(2)当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时，应根据每一段解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围.解析 (1)当 a0 时，1－ a1，由 f(1－ a)＝ f(1＋ a)，可得 2(1－ a)＋ a＝－(1＋ a)－2 a，解得 a＝－ ，不合题意.32当 a1,1＋ a0 时，2－ m2，所以 3(2－ m)－ m＝－(2＋ m)－2 m，所以 m＝8；当 m2，2＋ m0，求实数 a 的值.解 (1)由题意，得 f(－ )＝ f(－ ＋1)＝ f(－ )32 32 12＝ f(－ ＋1)＝ f( )＝2× ＋1＝2.12 12 12(2)当 0a2 时，由 f(a)＝2 a＋1＝4，得 a＝ ，32当 a≥2 时，由 f(a)＝ a2－1＝4，得 a＝ 或 a＝－ (舍去)，5 5综上所述， a＝ 或 a＝ .32 512.2 函数的单调性与最值1.函数的单调性(1)单调函数的定义增函数 减函数一般地，设函数 y＝ f(x)的定义域为 A，区间 I⊆A.如果对于区间 I 内的任意两个值 x1， x2定义 当 x1f(x2)，那么就说函数 f(x)在区间 I 上是单调减函数图象描述自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数 y＝ f(x)在区间 I 上是单调增函数或单调减函数，那么就说函数 y＝ f(x)在区间 I上具有单调性，区间 I 叫做 y＝ f(x)的单调区间.2.函数的最值前提 设函数 y＝ f(x)的定义域为 A，如果存在 x0∈ A，使得条件对于任意的 x∈ A，都有 f(x)≤ f(x0)对于任意的 x∈ A，都有 f(x)≥ f(x0)结论 f(x0)为最大值 f(x0)为最小值【知识拓展】函数单调性的常用结论(1)对∀ x1， x2∈ D(x1≠ x2)， 0⇔f(x)在 D 上是增函数，f x1 － f x2x1－ x20)的增区间为(－∞，－ ]和[ ，＋∞)，减区间为[－ ，0)和ax a a a(0， ].a(3)在区间 D 上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数.(4)函数 f(g(x))的单调性与函数 y＝ f(u)和 u＝ g(x)的单调性的关系是“同增异减”.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若定义在 R 上的函数 f(x)，有 f(－1)0)的单调增区间为________.答案 (0，＋∞)解析 函数的对称轴为 x＝－1，又 x0，所以函数 f(x)的单调增区间为(0，＋∞).5.(教材改编)已知函数 f(x)＝ ， x∈[2,6]，则 f(x)的最大值为________，最小值为2x－ 1________.答案 2 25解析 可判断函数 f(x)＝ 在[2,6]上为减函数，2x－ 1所以 f(x)max＝ f(2)＝2， f(x)min＝ f(6)＝ .25题型一 确定函数的单调性(区间)命题点 1 给出具体解析式的函数的单调性例 1 (1)(2016·连云港模拟)函数 f(x)＝ (x2－4)的单调递增区间是______________.1log(2)y＝－ x2＋2| x|＋3 的单调增区间为____________.答案 (1)(－∞，－2) (2)(－∞，－1]，[0,1]解析 (1)因为 y＝ t， t0 在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求12log函数 t＝ x2－4 的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(－∞，－2).(2)由题意知，当 x≥0 时， y＝－ x2＋2 x＋3＝－( x－1) 2＋4；当 x0)，用定义法判断函数 f(x)在(－1,1)上的单调性.axx2－ 1解 设－10， x1x2＋10，( x －1)( x －1)0.21 2又∵ a0，∴ f(x1)－ f(x2)0，∴函数 f(x)在(－1,1)上为减函数.引申探究如何用导数法求解例 2?解 f′( x)＝ ＝ ，a· x2－ 1 － ax·2x x2－ 1 2 － a x2＋ 1 x2－ 1 2∵ a0，∴ f′( x)0，所以函数 y＝(3－ x2)ex的单调递增区间是(－3,1).题型二 函数的最值例 3 (1)函数 f(x)＝Error!的最大值为________.答案 2解析 当 x≥1 时，函数 f(x)＝ 为减函数，所以 f(x)在 x＝1 处取得最大值，为 f(1)＝1；1x当 x0 恒成立，试求实数 a 的取值范围.解 ①当 a＝ 时， f(x)＝ x＋ ＋2，12 12x又 x∈[1，＋∞)，所以 f′( x)＝1－ 0，12x2即 f(x)在[1，＋∞)上是增函数，所以 f(x)min＝ f(1)＝1＋ ＋2＝ .12×1 72② f(x)＝ x＋ ＋2， x∈[1，＋∞).ax(ⅰ)当 a≤0 时， f(x)在[1，＋∞)内为增函数.最小值为 f(1)＝ a＋3.要使 f(x)0 在 x∈[1，＋∞)上恒成立，只需 a＋30，所以－30， a－3，所以 01)的最小值为________.x2＋ 8x－ 1答案 (1)1 (2)8解析 (1)易知函数 y＝ x＋ 在[1，＋∞)上为增函数，∴ x＝1 时， ymin＝1.(本题也可x－ 1用换元法求解)(2)方法一 (基本不等式法)f(x)＝ ＝x2＋ 8x－ 1  x－ 1 2＋ 2 x－ 1 ＋ 9x－ 1＝( x－1)＋ ＋2≥2 ＋2＝8，9x－ 1  x－ 1 ·9x－ 1当且仅当 x－1＝ ，即 x＝4 时， f(x)min＝8.9x－ 1方法二 (导数法) f′( x)＝ ， x－ 4  x＋ 2 x－ 1 2令 f′( x)＝0，得 x＝4 或 x＝－2(舍去).当 14 时， f′( x)0，f(x)在(4，＋∞)上是递增的，所以 f(x)在 x＝4 处取到极小值也是最小值，即 f(x)min＝ f(4)＝8.题型三 函数单调性的应用命题点 1 比较大小例 4 已知函数 f(x)的图象向左平移 1 个单位后关于 y 轴对称，当 x2x11 时，[ f(x2)－ f(x1)]·(x2－ x1)ac解析 根据已知可得函数 f(x)的图象关于直线 x＝1 对称，且在(1，＋∞)上是减函数，因为 a＝ f(－ )＝ f( )，且 2ac.12 52 527命题点 2 解函数不等式例 5 (2017·苏州月考)定义在 R 上的奇函数 y＝ f(x)在(0，＋∞)上递增，且 f( )＝0，则12满足 f( x)0 的 x 的集合为________________.19log答案 { x|00，得 x ，或－ 0 成立，那么 a 的取值范f x1 － f x2x1－ x2围是________.答案 (1)[－ ，0] (2)[ ，2)14 32解析 (1)当 a＝0 时， f(x)＝2 x－3，在定义域 R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当 a≠0 时，二次函数 f(x)的对称轴为 x＝－ ，1a因为 f(x)在(－∞，4)上单调递增，所以 ax2; ② x1＋ x2＝0；③ x10 时， f′( x)0，∴ f(x)在[0，＋∞)上为增函数，由 f(x1)0 时，恒有 f(x)1.9(1)求证： f(x)在 R 上是增函数；(2)若 f(3)＝4，解不等式 f(a2＋ a－5)0，∵当 x0 时， f(x)1，∴ f(x2－ x1)1. [3 分]f(x2)＝ f[(x2－ x1)＋ x1]＝ f(x2－ x1)＋ f(x1)－1， [5 分]∴ f(x2)－ f(x1)＝ f(x2－ x1)－10⇒ f(x1)0 且 a－1≥0，∴ a≥1.7.函数 f(x)＝ x－log 2(x＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________.(13)答案 3解析 由于 y＝ x在 R 上递减， y＝log 2(x＋2)在[－1，1]上递增，所以 f(x)在[－1,1]上(13)单调递减，故 f(x)在[－1,1]上的最大值为 f(－1)＝3.8.(2017·江苏天一中学月考)对 a， b∈R，记 max{a， b}＝Error!函数 f(x)＝max{| x＋1|，| x－2|}( x∈R)的最小值是________.答案 3211解析 方法一 f(x)＝Error! f(x)在(－∞， )和[ ，＋∞)上分别为减函数和增函数，12 12∴[ f(x)]min＝ f( )＝ .12 32方法二 作函数 f(x)的图象如图所示，由图知当 x＝ 时，[ f(x)]min＝ f( )＝ .12 12 329.若函数 f(x)＝|2 x＋ a|的单调递增区间是[3，＋∞)，则 a＝________.答案 －6解析 f(x)＝|2 x＋ a|＝Error!函数的单调递增区间为[－ ，＋∞)，a2∴－ ＝3，∴ a＝－6.a210.(2016·连云港调研)已知 a0 且 a≠1，设函数 f(x)＝Error!的最大值为 1，则 a 的取值范围为______________.答案 [ ，1)13解析 f(x)在(－∞，3]上是增函数，则 f(x)max＝1.∵ f(x)在 R 上的最大值为 1，∴02 不符，而 t＝1 时满足题意.13.已知 f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，且满足 f(x)＋ f(y)＝ f(xy).(1)求证： f(x)－ f(y)＝ f( )；xy(2)若 f(4)＝－4，解不等式 f(x)－ f( )≥－12.1x－ 12(1)证明 由条件 f(x)＋ f(y)＝ f(xy)可得 f( )＋ f(y)＝ f( ·y)＝ f(x)，xy xy所以 f(x)－ f(y)＝ f( ).xy(2)解 因为 f(4)＝－4，所以 f(4)＋ f(4)＝ f(16)＝－8，f(4)＋ f(16)＝ f(64)＝－12.由(1)可得 f(x)－ f( )＝ f(x(x－12))，1x－ 12又 f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，得Error! ⇒x12，由 f(x)－ f( )≥－12，1x－ 12即 f(x(x－12))≥ f(64)，所以 x(x－12)≤64.所以 x2－12 x－64＝( x－16)( x＋4)≤0，得－4≤ x≤16，又 x12，所以 x∈(12,16].故原不等式的解集为{ x|120 且 3a2＋2 a＋10 恒成立，由(1)知函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递减，故由 f(2a2＋ a＋1)3 a2－2 a＋1，即 a2－3 a0，解得 0a3，∴ a 的取值范围为{ a|0a3}.12.3 函数的奇偶性与周期性1.函数的奇偶性奇偶性 定义 图象特点偶函数如果对于任意的 x∈ A，都有 f(－ x)＝ f(x)，那么称函数 y＝ f(x)是偶函数关于 y 轴对称奇函数一般地，设函数y＝ f(x)的定义域为 A如果对于任意的 x∈ A，都有 f(－ x)＝－ f(x)，那么称函数 y＝ f(x)是奇函数关于原点对称2.周期性(1)周期函数：对于函数 y＝ f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有 f(x＋ T)＝ f(x)，那么就称函数 y＝ f(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期.【知识拓展】1.函数奇偶性常用结论(1)如果函数 f(x)是偶函数，那么 f(x)＝ f(|x|).(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇.2.函数周期性常用结论对 f(x)定义域内任一自变量的值 x：(1)若 f(x＋ a)＝－ f(x)，则 T＝2 a(a0).(2)若 f(x＋ a)＝ ，则 T＝2 a(a0).1f x(3)若 f(x＋ a)＝－ ，则 T＝2 a(a0).1f x【思考辨析】2判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点.( × )(2)若函数 y＝ f(x＋ a)是偶函数，则函数 y＝ f(x)关于直线 x＝ a 对称.( √ )(3)函数 f(x)在定义域上满足 f(x＋ a)＝－ f(x)，则 f(x)是周期为 2a(a0)的周期函数.( √ )(4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.( √ )(5)若 T 是函数的一个周期，则 nT(n∈Z， n≠0)也是函数的周期.( √ )1.(教材改编)对于定义域是 R 的任意奇函数 f(x)，下列结论正确的有________.(填序号)① f(x)－ f(－ x)＞0； ② f(x)－ f(－ x)≤0；③ f(x)·f(－ x)≤0; ④ f(x)·f(－ x)＞0.答案 ③解析 ①②显然不正确.对任意奇函数 f(x)，有 f(－ x)＝－ f(x)，∴ f(x)·f(－ x)＝－[ f(x)]2≤0，故③正确，④不正确.2.(教材改编)函数 y＝ f(x)为(－∞，＋∞)上的偶函数，且 f(|a|)＝3，则 f(－ a)＝________.答案 3解析 若 a≥0，则 f(－ a)＝ f(a)＝ f(|a|)＝3；若 a0 时，－ x0， f(x)＝ x2＋ x，∴ f(－ x)＝－(－ x)2－ x＝－ x2－ x＝－( x2＋ x)＝－ f(x).∴对于 x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，均有 f(－ x)＝－ f(x).4∴函数 f(x)为奇函数.思维升华 (1)利用定义判断函数奇偶性的步骤(2)分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内 x 取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x 的范围取相应的解析式化简，判断 f(x)与 f(－ x)的关系，得出结论，也可以利用图象作判断.(1)(2016· 北京海淀区模拟 )下列函数中为偶函数的是________.① y＝ ； ② y＝lg| x|；1x③ y＝( x－1) 2； ④ y＝2 x.(2)已知 f(x)是奇函数， g(x)是偶函数，且 f(－1)＋ g(1)＝2， f(1)＋ g(－1)＝4，则 g(1)＝________.答案 (1)② (2)3解析 (1)②中，函数 y＝lg| x|的定义域为{ x|x≠0}且 lg|－ x|＝lg| x|，∴函数 y＝lg| x|是偶函数.(2)∵ f(x)是奇函数， g(x)是偶函数， f(－1)＋ g(1)＝2， f(1)＋ g(－1)＝4，∴－ f(1)＋ g(1)＝2， f(1)＋ g(1)＝4，得 g(1)＝3.题型二 函数的周期性例 2 (1)(2016·淮安模拟)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数， g(x)是定义在 R 上的奇函数，且 g(x)＝ f(x－1)，则 f(2 017)＋ f(2 019)＝________.(2)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，并且 f(x＋2)＝－ ，当 2≤ x≤3 时， f(x)＝ x，1f x则 f(105.5)＝______.答案 (1)0 (2)2.5解析 (1)由题意，得 g(－ x)＝ f(－ x－1)，又∵ f(x)是定义在 R 上的偶函数， g(x)是定义在 R 上的奇函数，∴ g(－ x)＝－ g(x)， f(－ x)＝ f(x)，∴ f(x－1)＝－ f(x＋1)，∴ f(x)＝－ f(x＋2)，∴ f(x)＝ f(x＋4)，∴ f(x)的周期为 4，5∴ f(2 017)＝ f(1)， f(2 019)＝ f(3)＝ f(－1)，又∵ f(1)＝ f(－1)＝ g(0)＝0，∴ f(2 017)＋ f(2 019)＝0.(2)由已知，可得 f(x＋4)＝ f[(x＋2)＋2]＝－ ＝－ ＝ f(x).1f x＋ 2 1－ 1f x故函数的周期为 4.∴ f(105.5)＝ f(4×27－2.5)＝ f(－2.5)＝ f(2.5).∵2≤2.5≤3，由题意，得 f(2.5)＝2.5.∴ f(105.5)＝2.5.引申探究例 2(2)中，若将 f(x＋2)＝－ 改为 f(x＋2)＝－ f(x)，其他条件不变，则 f(105.5)的1f x值为________.答案 2.5解析 f(x＋4)＝ f[(x＋2)＋2]＝－ f(x＋2)＝ f(x)，∴函数的周期为 4(下同例题).思维升华 函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质.对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x＋6)＝ f(x)，当－3≤ x0 且 1＋ x≠0，由奇函数的性质21＋ x可得 f(0)＝0.所以 lg(a＋2)＝0，即 a＝－1，经检验 a＝－1 满足函数的定义域.(2)因为 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数，所以 f ＝ f 且 f(－1)＝ f(1)，(32) (－ 12)故 f ＝ f ，(12) (－ 12)7从而 ＝－ a＋1，12b＋ 212＋ 1 12即 3a＋2 b＝－2. ①由 f(－1)＝ f(1)，得－ a＋1＝ ，b＋ 22即 b＝－2 a. ②由①②得 a＝2， b＝－4，从而 a＋3 b＝－10.思维升华 (1)关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题.(2)掌握以下两个结论，会给解题带来方便：① f(x)为偶函数⇔ f(x)＝ f(|x|).②若奇函数在 x＝0 处有意义，则 f(0)＝0.(1) 若 f(x)＝ln(e 3x＋1)＋ ax 是偶函数，则 a＝________.(2)奇函数 f(x)的定义域为 R.若 f(x＋2)为偶函数，且 f(1)＝1，则 f(8)＋ f(9)＝________.答案 (1)－ (2)132解析 (1)函数 f(x)＝ln(e 3x＋1)＋ ax 是偶函数，故 f(－ x)＝ f(x)，即 ln(e－3 x＋1)－ ax＝ln(e 3x＋1)＋ ax，化简得 ln ＝2 ax＝ln e 2ax，1＋ e3xe3x＋ e6x即 ＝e 2ax，1＋ e3xe3x＋ e6x整理得 e3x＋1＝e 2ax＋3 x(e3x＋1)，所以 2ax＋3 x＝0，解得 a＝－ .32(2)由 f(x＋2)是偶函数可得 f(－ x＋2)＝ f(x＋2)，又由 f(x)是奇函数得 f(－ x＋2)＝－ f(x－2)，所以 f(x＋2)＝－ f(x－2)， f(x＋4)＝－ f(x)，f(x＋8)＝ f(x)，故 f(x)是以 8 为周期的周期函数，所以 f(9)＝ f(8＋1)＝ f(1)＝1，又因为 f(x)是定义在 R 上的奇函数，所以 f(0)＝0，所以 f(8)＝ f(0)＝0，故 f(8)＋ f(9)＝1.2.抽象函数问题8考点分析 抽象函数问题在高考中也时常遇到，常常涉及求函数的定义域，由函数的周期性求函数值或判断函数的奇偶性等.一般以填空题来呈现，有时在解答题中也有所体现.此类题目较为抽象，易失分，应引起足够重视.一、抽象函数的定义域典例 1 已知函数 y＝ f(x)的定义域是[0,8]，则函数 g(x)＝ 的定义域为f x2－ 12－ log2 x＋ 1________.解析 要使函数有意义，需使Error! 即Error!解得 1≤ x0， f(x＋2)＝ ，对任意 x∈R1f x恒成立，则 f(2 019)＝________.解析 因为 f(x)0， f(x＋2)＝ ，1f x所以 f(x＋4)＝ f[(x＋2)＋2]＝ ＝ ＝ f(x)，1f x＋ 2 11f x即函数 f(x)的周期是 4，所以 f(2 019)＝ f(505×4－1)＝ f(－1).因为函数 f(x)为偶函数，所以 f(2 019)＝ f(－1)＝ f(1).当 x＝－1 时， f(－1＋2)＝ ，得 f(1)＝ .1f － 1 1f 1即 f(1)＝1，所以 f(2 019)＝ f(1)＝1.答案 1三、抽象函数的单调性与不等式典例 3 设函数 f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，且满足 f(xy)＝ f(x)＋ f(y).若 f(3)＝1，且 f(a)f(a－1)＋2，求实数 a 的取值范围.规范解答解 因为 f(xy)＝ f(x)＋ f(y)且 f(3)＝1，所以 2＝2 f(3)＝ f(3)＋ f(3)＝ f(9).又 f(a)f(a－1)＋2，所以 f(a)f(a－1)＋ f(9).9再由 f(xy)＝ f(x)＋ f(y)，可知 f(a)f[9(a－1)]，因为 f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，从而有Error! 解得 10 时， f(x)＝Error!则 f(f(－16))＝________.答案 12解析 由题意 f(－16)＝－ f(16)＝－log 216＝－4，故 f(f(－16))＝ f(－4)＝－ f(4)＝－cos ＝ .4π6 126.(2016·盐城模拟)已知 f(x)＝ ax2＋ bx 是定义在[ a－1,2 a]上的偶函数，那么 a＋ b 的值是________.答案 13解析 依题意得 f(－ x)＝ f(x)，∴ b＝0，又 a－1＝－2 a，∴ a＝ ，∴ a＋ b＝ .13 137.(2017·苏北四市联考)已知函数 f(x)＝Error!若 f(x)为奇函数，则 g(－ )＝________.14答案 2解析 g(－ )＝ f(－ )＝－ f( )14 14 14＝－log 2 ＝－log 22－2 ＝2.148.(2016·常州模拟)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数， f(x＋1)是偶函数，则 f(1)＋ f(2)11＋ f(3)＋ f(4)＝________.答案 0解析 由 f(x＋1)是偶函数得 f(－ x＋1)＝ f(x＋1)，又 f(x)是定义在 R 上的奇函数，所以f(－ x＋1)＝－ f(x－1)，即－ f(x－1)＝ f(x＋1)，所以 f(x＋2)＝－ f(x)，即 f(x)＋ f(x＋2)＝0，所以 f(1)＋ f(3)＝0， f(2)＋ f(4)＝0，因此 f(1)＋ f(2)＋ f(3)＋ f(4)＝0.9.函数 f(x)在 R 上为奇函数，且当 x0 时， f(x)＝ ＋1，则当 x0 时， f(x)＝ ＋1，x∴当 x0，f(－ x)＝ ＋1＝－ f(x)，－ x即 x0 时， f(x)＝－( ＋1)＝－ －1.－ x － x10.(2016·南京模拟)若函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是单调递增函数.如果实数 t 满足 f(ln t)＋ f(ln )≤2 f(1)，那么 t 的取值范围是________.1t答案 [ ，e]1e解析 由于函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，所以 f(ln t)＝ f(ln )，1t由 f(ln t)＋ f(ln )≤2 f(1)，1t得 f(ln t)≤ f(1).又函数 f(x)在区间[0，＋∞)上是单调递增函数，所以|ln t|≤1，即－1≤ln t≤1，故 ≤ t≤e.1e11.(2016·江苏苏北四市二调)定义在 R 上的奇函数 f(x)满足当 x≥0 时， f(x)＝log 2(x＋2)＋( a－1) x＋ b(a， b 为常数)，若 f(2)＝－1，则 f(－6)的值为________.答案 4解析 由已知得 f(0)＝0＝1＋ b，∴ b＝－1，又 f(2)＝2＋2( a－1)－1＝－1，∴ a＝0，∴ f(x)＝log 2(x＋2)－ x－1( x≥0)，∴ f(－6)＝－ f(6)＝－3＋6＋1＝4.12.(2016·江苏扬州中学开学考试)已知 f(x)是定义在[－2，2]上的奇函数，且当 x∈(0,2]时， f(x)＝2 x－1，函数 g(x)＝ x2－2 x＋ m，如果∀ x1∈[－ 2,2]，∃ x2∈[－2，2]，使得 g(x2)＝ f(x1)，则实数 m 的取值范围是____________.答案 [－5，－2]解析 ∵ f(x)是定义在[－2,2]上的奇函数，∴ f(0)＝0，12当 x∈(0,2]时， f(x)＝2 x－1 的值域为(0,3]，∴当 x∈[－2,2]时， f(x)的值域为[－3,3]，若∀ x1∈[－2,2]，∃ x2∈[－2,2]，使得 g(x2)＝ f(x1)，则 g(x)max≥3 且 g(x)min≤－3，∵ g(x)＝ x2－2 x＋ m＝( x－1) 2＋ m－1，∴当 x∈[－2,2]时，g(x)max＝ g(－2)＝8＋ m， g(x)min＝ g(1)＝ m－1，故 8＋ m≥3 且 m－1≤－3，解得 m≥－5 且 m≤－2，故－5≤ m≤－2.13.设 f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数， f(x＋2)＝－ f(x)，当 0≤ x≤1 时， f(x)＝ x.(1)求 f(π)的值；(2)当－4≤ x≤4 时，求 f(x)的图象与 x 轴所围成图形的面积.解 (1)由 f(x＋2)＝－ f(x)，得f(x＋4)＝ f[(x＋2)＋2]＝－ f(x＋2)＝ f(x)，∴ f(x)是以 4 为周期的周期函数.∴ f(π)＝ f(－1×4＋π)＝ f(π－4)＝－ f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.(2)由 f(x)是奇函数与 f(x＋2)＝－ f(x)，得 f[(x－1)＋2]＝－ f(x－1)＝ f[－( x－1)]，即 f(1＋ x)＝ f(1－ x).从而可知函数 y＝ f(x)的图象关于直线 x＝1 对称.又当 0≤ x≤1 时， f(x)＝ x，且 f(x)的图象关于原点成中心对称，则 f(x)的图象如图所示.设当－4≤ x≤4 时， f(x)的图象与 x 轴围成的图形面积为 S，则 S＝4 S△ OAB＝4×( ×2×1)12＝4