（江苏专用）2017版高考数学大一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 文（习题+单元小练）（打包5套）.zip

1第 1 课 集合的概念与运算(本课时对应学生用书第 页)自主学习 回归教材1.(必修1P10第5题改编)已知集合 A={m+2，2 m2+m}，若3∈ A，则实数 m= .【答案】 -32【解析】因为3∈ A，所以 m+2=3或2 m2+m=3.当 m+2=3，即 m=1时，2 m2+m=3，此时集合 A中有重复元素3，所以 m=1不合题意，舍去；当2 m2+m=3时，解得 m=- 或 m=1(舍去)，此时当 m=-32时，m+2= ≠3，满足题意，所以 m=- .2.(必修1P17第6题改编)已知集合 A=[1，4)， B=(-∞ ， a)， AB，则实数 a的取值范围为 .【答案】[4， +∞ )【解析】在数轴上画出集合 A， B，根据图象可知 a∈[4， +∞ ).3.(必修1P13习题5改编)设集合 A={x|x=2k-1， k∈Z}， B={x|x=2k， k∈Z}，则 A∩ B= ， A∪ B= .【答案】  Z4.(必修1P14第8题改编)设全集 U={1，2，3，4，5}，集合 A={1，2，3}， B={2，3，4}，则∁U(A∩ B)= .【答案】{1，4，5}【解析】 A∩ B={2，3}，所以∁ U(A∩ B)={1，4，5} .5.(必修1P17习题8改编)满足{1，3}∪ A={1，3，5}的集合 A共有 个 .【答案】42【解析】集合 A必须含有元素5，元素1和3不确定，所以集合 A的本质是{1，3}的所有子集与元素5组成的集合，共4个 .1.集合的概念(1)一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合，集合中的每一个对象称为该集合的元素 .(2)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性 .(3)集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图等 .(4)集合按含有元素的个数可分为有限集、无限集、空集 .(5)特别地，自然数集记作N，正整数集记作N *或N +，整数集记作Z，有理数集记作Q，实数集记作R，复数集记作C .2.两类关系(1)元素与集合的关系，用∈或 表示 .(2)集合与集合的关系，用 、 或 =表示 .3.集合的运算(1)全集：如果集合 S含有我们所研究的各个集合的全部元素，那么这个集合就可以看作一个全集，通常用 U表示 .一切所研究的集合都是这个集合的子集 .(2)交集：由所有属于集合 A且属于集合 B的元素构成的集合，称为 A与 B的交集，记作 A∩ B，即A∩ B={x|x∈ A且 x∈ B}.(3)并集：由所有属于集合 A或者属于集合 B的元素构成的集合，称为 A与 B的并集，记作 A∪ B，即 A∪ B={x|x∈ A或 x∈ B}.(4)补集：设 AS，由 S中不属于 A的所有元素组成的集合称为 S的子集 A的补集，记作∁ SA，即∁SA={x|x∈ S且 xA}.4.常见结论3(1)A， A∪ B=B∪ A， A A∪ B， A∩ BA.(2)A∩ B=AA B； A∪ B=A B A.(3)∁U(A∩ B)=(∁UA)∪(∁ UB)；∁ U(A∪ B)=(∁UA)∩(∁ UB).【要点导学】要点导学 各个击破集合间的基本关系例1 已知集合 A={x|-2≤ x≤5}， B={x|m+1≤ x≤2 m-1}.(1)若 BA，求实数 m 的取值范围；(2)当 x∈R 时，没有元素 x 使 x∈ A 与 x∈ B同时成立，求实数 m的取值范围 .【思维引导】(1)对于 B A，一定要分 B=和 B≠ 两类讨论 .(2)“没有元素 x使 x∈ A与x∈ B同时成立”表示 A∩ B= .【解答】(1)①当 m+12m-1，即 m2m-1，得 m4.综上， m4.4故实数 m的取值范围为{ m|m4}.【精要点评】(1)空集是任何集合的子集，因此，当 BA 时需考虑 B=的情形；(2)当 A∩ B=时也需考虑 B= 的情形，当集合 B不是空集时，要保证 B A，可以利用数轴，这样既直观又简洁；(3)虽然本题的难度不大，但都需要分两种情况讨论，在(1)中解不等式组时需求交集，而最终结果又都要求两种讨论结果的并集，因此本题综合性还是很强的 .变式1 已知集合 A=1-2，， B={x|mx-1=0}，若 A∩ B=B，则所有实数 m组成的集合是 .【答案】{ -1，0，2}【解析】由 A∩ B=B，知 BA.若 B=，则 m=0；若 B={-1}，则 -m-1=0，解得 m=-1；若 B=12，则 m-1=0，解得 m=2.综上， m的取值集合是{ -1，0，2} .变式2 已知集合 A={x|x2-ax+a2-19=0}， B={x|x2-5x+6=0}， C={x|x2+2x-8=0}.(1)若 A∩ B=A∪ B，求实数 a的值；(2)若 A∩ B， A∩ C= ，求实数 a的值 .【解答】由已知得 B={2，3}， C={2， -4}.(1)因为 A∩ B=A∪ B，所以 A=B，所以2，3是一元二次方程 x2-ax+a2-19=0的两个根，则有2-19a， ，解得 a=5.(2)由 A∩ BA∩ B≠ ，又因为 A∩ C= ，所以3∈ A， 2A， -4 A，由3∈ A，得3 2-3a+a2-19=0，解得 a=5或 a=-2.当 a=5时， A={x|x2-5x+6=0}={2，3}，与2 A矛盾，不符合题意；当 a=-2时， A={x|x2+2x-15=0}={3， -5}，符合题意 .所以实数 a的值为 -2.5集合间的运算例2 设全集 U={x|x≤20的质数}， M∩∁ UN={3，5} ， N∩∁ UM={7，19}，(∁ UM)∩(∁ UN)={2，17}，求集合 M与 N.【思维引导】对于离散型数集的交、并、补运算，常利用Venn图，化抽象为具体，其解题关键是认清 M， N，将全集 U分成的四个区域的集合形式 .【解答】由(∁ UM)∩(∁ UN)={2，17}，可知 M， N中都没有元素2，17 .由 N∩∁ UM={7，19}，可知 N中有元素7，19， M中没有元素7，19 .由 M∩∁ UN={3，5}，可知 M中有元素3，5， N中没有元素3，5 .(例2)如图所示，由图象知剩下的元素11，13 不在 M∩∁ UN， N∩ ∁UM，(∁ UM)∩(∁ UN)三部分中，只能11∈( M∩ N)，13∈( M∩ N)，所以 M={3，5，11，13}， N={7，11，13，19} .【精要点评】集合问题大都比较抽象，对连续数集间的运算，要借助数轴的直观性，进行合理转化；对离散数集间的运算，要借助Venn图，这是数形结合思想的具体体现 .运算结果要注意端点能否取得 .当然本题还要注意的就是1既不是质数也不是合数 .【高频考点·题组强化】1.(2016·苏州期中)设集合 A={x|-1≤ x≤2}， B={x|0≤ x≤4}，则 A∩ B= .【答案】{ x|0≤ x≤2}【解析】由题意知， A∩ B={x|0≤ x≤2} .2.(2014·淮安、宿迁摸底)已知全集 U={1，2，3，4}，集合 A={2，3}， B={3，4}，则∁ U(A∪ B)= .【答案】{1}6【解析】由题意可得 A∪ B={2，3，4}，故∁ U(A∪ B)={1}.3.(2015·黄山模拟)若集合 M=21|yx， P={y|y= -1x}，那么 M∩ P= .【答案】(0， +∞ )【解析】因为集合 M=2|yx={y|y0}， P={y|y= -x}={y|y≥0}，所以 M∩ P=(0， +∞ ).4.已知集合 A={-4，2 a-1， a2}， B={a-5，1 -a，9}，分别求适合下列条件的 a的值 .(1)9∈( A∩ B)；(2){9}=A∩ B.【解答】(1)因为9∈( A∩ B)，所以9∈ B且9∈ A.所以2 a-1=9或 a2=9，所以 a=5或 a=±3.根据集合中元素的互异性检验知 a=5或 a=-3.(2)因为{9} =A∩ B，所以9∈( A∩ B)，所以 a=5或 a=-3.当 a=5时， A={-4，9，25}， B={0， -4，9}，此时 A∩ B={-4，9}，与 A∩ B={9}矛盾，故舍去 .当 a=-3时， A={-4， -7，9}， B={-8，4，9}，此时 A∩ B={9}，满足题意 .综上， a的值为 -3.5.已知集合 A={x|x2-2x-3≤0}， B={x|x2-2mx+m2-4≤0， x∈R， m∈R} .(1)若 A∩ B=[0，3]，求实数 m的值；(2)若 A∁RB，求实数 m的取值范围 .【解答】由已知得 A={x|-1≤ x≤3}， B={x|m-2≤ x≤ m+2}.(1)因为 A∩ B=[0，3]，所以-203， ，所以 m=2.(2)∁RB={x|xm+2}，因为 A∁RB，所以 m-23或 m+25或 m0，其中 k∈R .(1)当 k变化时，试求不等式的解集 A.(2)对于不等式的解集 A，若满足 A∩Z =B.试探究集合 B能否为有限集，若能，求出使得集合 B中元素个数最少的 k的所有取值，并用列举法表示集合 B；若不能，请说明理由 .【思维引导】(1)由二次项的系数 k的符号对解集的影响→对应方程的根的大小→确定讨论标准→求得解集 .(2)由不等式的解集→当 k0且 k≠2时， A=(-∞ ，4)∪4k，；当 k=2时， A=(-∞ ，4)∪(4， +∞ )；当 k0}，那么A×B= .8.(2015·盐城月考)若对任意的 x∈A，且1∈A，就称集合 A是“和谐”集合，则在集合M=1-0234， ， ， ， ， ， ，的所有非空子集中，“和谐”集合的个数是 .二、 解答题9.已知集合M={0，1}，A={( x， y)|x∈M， y∈M}，B={( x， y)|y=-x+1}.(1)请用列举法表示集合A；(2)求A∩B，并写出集合A∩B的所有子集.10.已知集合A={ x|x2-4x+30}， B={y|y≤2}，所以 A-B={y|y2}，B-A={y|y≤0}，所以 A⊕ B=(-∞ ，0]∪(2， +∞ ).6.{1，2，3，4} 【解析】因为 B={x|x(4-x)4}，所以∁ RB={x|0≤ x≤4}，所以A∩(∁ RB)={1，2，3，4} .7. [0，1]∪(2， +∞ ) 【解析】 A=[0，2]， B=(1， +∞ )， A∪ B=[0， +∞ )， A∩ B=(1，2]，所以 A×B=[0，1]∪(2， +∞ ).8. 15 【解析】根据题意，知 M中共有8个元素，则 M的非空子集个数为2 8-1=255，又“和谐”集合中的元素两两成对，互为倒数，观察集合 M，互为倒数的数有两对，即2与 2，3与 ，包括两个倒数是自身的数1与 -1，可将这些数看作是四个元素，由于包括四个元素的集合的非空子集数是2 4-1=15，则 M的子集中，“和谐”集合的个数为15 .9.(1)A={(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)} .(2)集合 A中元素(0，0)，(1，1) B，且(0，1)，(1，0)∈ B，所以 A∩ B={(1，0)，(0，1)} .13集合 A∩ B的所有子集为 ，{(1，0)}，{(0，1)}，{(1，0)，(0，1)} .10. 因为 A={x|x2-4x+30}=(1，3)， B={x|x2-6x+80}=(2，4)，所以 A∩ B=(2，3) .令 f(x)=2x2-9x+m，则对任意的 x∈ A∩ B都有 x∈ C，即 f(x)0在(2，3)上恒成立，则810(3)-7fm， ，解得 m≤9 .综上，实数 m的取值范围是( -∞ ，9] .11.设 x0∈ A，则 x0≠0，否则 q=0，与题设矛盾 .由20+px0+q=0，两边同除以20x，得 q201+p x+1=0，知 x∈ B，故集合 A， B中的元素互为倒数 .由①知存在 x0∈ A，使得 01x∈ B，且 x0= ，得 x0=1或 x0=-1.由②知 A={1， -2}或 A={-1， -2}.若 A={1， -2}，则 B= 2，，得 p=1， q=-2.同理，若 A={-1， -2}，则 B=-，，得 p=3， q=2.综上， p=1， q=-2或 p=3， q=2.12. 6 【解析】给力数的个位数取值：0，1，2，给力数的其它数位取值：0，1，2，3，所以A={0，1，2，3}，所以集合 A中的数字和为6 .1第 2 课 四种命题和充要条件(本课时对应学生用书第 页)自主学习 回归教材1.(选修2-1P8习题1改编)命题：“若 x20”及其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中正确命题的个数为 .【答案】2【解析】原命题为真，所以逆否命题为真；逆命题为“若 x20，则 xAC，则 CB”的否命题为 命题 .(2)命题“若 ab=0，则 b=0”的逆否命题为 命题 .【答案】(1)真 (2)假4.(选修2-1P9习题4(2)改编)“sin α= sin β ”是“ α=β ”的 条件 .(填“充分不必要”、“必要不充分”、“ 充要”或“ 既不充分也不必要”)【答案】必要不充分5.(选修2-1P20习题改编)已知 p， q都是 r的必要条件， s是 r的充分条件， q是 s的充分条件，则 r是 q的 条件， p是 q的 条件 .【答案】充要 必要【解析】 qs r q，所以 r是 q的充要条件； qs r p，所以 p是 q的必要条件 .21.记“若 p则 q”为原命题，则否命题为“若非 p则非 q”，逆命题为“若 q则 p”，逆否命题为“若非 q则非 p”.其中互为逆否命题的两个命题同真假，即等价，原命题与逆否命题等价，逆命题与否命题等价 .因此，四种命题为真的个数只能是偶数 .2.对命题“若 p则 q”而言，当它是真命题时，记作 pq，称 p是 q的充分条件， q是 p的必要条件；当它是假命题时，记作 p / q，称 p是 q的非充分条件， q是 p的非必要条件 .3.①若 pq，且 q / p，则 p是 q的充分不必要条件；②若 p / q，且 q p，则 p是 q的必要不充分条件；③若 p q，且 q p，则 p是 q的充要条件，记作 pq；④若 p / p，且 q / p，则 p是 q的既不充分也不必要条件 .4.证明命题条件的充要性时，既要证明原命题成立(即条件的充分性)，又要证明它的逆命题成立(即条件的必要性) .【要点导学】要点导学 各个击破命题真假的判断例1 在△ ABC中，已知命题 p：若 C=60°，则sin 2A+sin2B-sin Asin B=sin2C.(1)求证：命题 p是真命题；(2)写出命题 p的逆命题，判断逆命题的真假，并说明理由 .3【思维引导】(1)利用正弦定理将待证式转化为 a2+b2-ab=c2，然后利用余弦定理即证；(2)分清命题 p的条件与结论，正确地对原命题的条件和结论进行互换或否定 .【解答】设△ ABC的内角 A， B， C所对的边分别为 a， b， c.(1)因为 C=60°，由余弦定理得 c2=a2+b2-2abcos 60°，即 c2=a2+b2-ab.由正弦定理 sinaA=bB=sin，得sin 2C=sin2A+sin2B-sin Asin B.故命题 p是真命题 .(2)命题 p的逆命题：在△ ABC中，若sin 2A+sin2B-sin Asin B=sin2C，则 C=60°.它是真命题 .证明如下：由sin 2A+sin2B-sin Asin B=sin2C和正弦定理得 c2=a2+b2-ab.而由余弦定理 c2=a2+b2-2abcos C，得cos C=1.因为0° |an|(n∈N *)”是“数列{ an}为递增数列”的 ；5(5)“函数 f(x)=x3+2x2+mx+1在( -∞ ， +∞ )上单调递增”是“ m≥ 289x对任意的 x0恒成立”的 .【思维引导】判定 p是 q的什么条件，实际上就是判断“若 p则 q”和它的逆命题“若 q则p”的真假，这部分内容经常与其他知识点相结合考查 .【答案】(1)充分不必要条件 (2)充分不必要条件 (3)必要不充分条件 (4)充分不必要条件 (5)充要条件【解析】(1)因为 x=2kπ + 4(k∈Z) tan x=1，但反过来不一定成立，即tan x=1x=kπ + 4(k∈Z)，(2)因为 x2， y2，根据不等式的性质易得 x+y4， xy4，但反过来不一定成立，如x=3， y=24.(3)一元二次方程 x2+x+m=0有实数解 m≤14，因为 m≤ m|an|(n∈N *)，所以当 n≥2时， an0，即当 n≥2时， an+1an.若 a1≥0，有 a2|a1|=a1，若 a1a1显然成立，充分性得证 .当数列{ an}为递增数列时，设 an=-2，则 a2|a1|不成立 .(5)函数 f(x)=x3+2x2+mx+1在( -∞ ， +∞ )上单调递增 f'(x)=3x2+4x+m≥0恒成立Δ= 16-12m≤0 m≥4.m≥ 289对任意 x0恒成立 m≥ max89，又 289x= ≤x= 3，所以 m≥4.6【精要点评】在判断时注意反例的应用；在判断“若 p则 q”较繁琐时，可以利用它的逆否命题“若非 q则非 p”，判断其是否正确；有时将某些条件转化为与它等价的条件再与另一条件进行判断会更简单 .结合充要条件求参数例3 已知集合 M={x|x5}， P={x|(x-a)(x-8)≤0} .(1)求实数 a的取值范围，使它成为 M∩ P={x|50成立的充分不必要条件是 xa，则实数 a的取值范围是 .【答案】[1， +∞ )【解析】由不等式 x-1x0，得()-1x0，得 -11.由充分不必要条件的含义可知{ x|xa}为不等式解集的真子集，进而得到 a≥1 .7充要条件的证明例4 已知 a， b， c都是实数，求证：方程 ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件是 ac0，且 x1x2= 0， x21，则 p是 q的 条件 .【答案】充分不必要【解析】由 q：2 x1=20，解得 x0，所以 pq，但 q p，所以 p是 q的充分不必要条件 .93.(2015·南通模考)已知集合 M={x|x-20，且 m0，所以方程 mx2-2x+3=0有两个同号且不相等的实数根 .②必要性：若方程 mx2-2x+3=0有两个同号且不相等的实数根，则有124mx，，所以0 b，则 a+1b”的逆否命题是 .2.(2014·启东中学)若使“ x≥1”与“ x≥ a”恰有一个成立的充要条件为{ x|0≤ x1”是“ lo12g(x+2)0不成立”是真命题，则实数 a的取值范围是 .6.设 n∈N *，则一元二次方程 x2-4x+n=0有整数解的充要条件是 n= .7.已知命题 p：| x|a， q：-10.若 p是 q的必要不充分条件，则实数 a的取值范围是 . 8.(2015·郑州质检)给定方程：12x+sin x-1=0，下列命题中： ①该方程没有小于0的实数解；②该方程有无数个实数解；③该方程在(-∞，0)内有且只有一个实数根；④若 x0是方程的实数根，则 x0-1.其中正确的命题是 .(填序号)二、 解答题9.(2014·惠州一模)已知集合A=23124|yxx， ，，B={ x|x+m2≥1}.若命题p： x∈A，命题 q： x∈B，并且 p是 q的充分条件，求实数 m的取值范围.10.设 a， b， c为△ABC的三边，求证：方程 x2+2ax+b2=0与 x2+2cx-b2=0有公共根的充要条件是a2=b2+c2.1111.已知函数 f(x)=4sin2π4x-2 3cos 2x-1，且给定命题 p： x 2， x∈R.若命题q：-21 x-1，故“ x1”是“lo12g(x+2)0不成立”是真命题，则有 a=0或2041a， ，解得 a∈[ -3，0] .6. 3或4 【解析】由 x2-4x+n=0，得( x-2)2=4-n，即 x=2± 4-n.因为 n∈N *，方程要有整数解，所以 n=3或4，故当 n=3或4时方程有整数解 .7. (-∞ ，0) 【解析】由命题 p： |x|aR0-xa， ，或 ， ，q：-12x0x1.因为 p是 q的必要不充分条件，所以使命题 q成立的不等式的解集是使命题 p成立的不等式解集的子集，所以 a-1，故④正确 .139.由 y=x2-3x+1，配方得 y=23-4x+716.因为 x∈324，，所以 ymin=716， ymax=2，即 y∈76，，所以 A=|21y.由 x+m2≥1，得 x≥1 -m2， B={x|x≥1 -m2}.因为 p是 q的充分条件，所以 AB，所以1 -m2≤76，解得 m≥34或 m≤ - .故实数 m的取值范围是3,4∪，.10.设 m是两个方程的公共根，显然 m≠0 .由题设知 m2+2am+b2=0， ①m2+2cm-b2=0， ②由① +②得2 m(a+c+m)=0，所以 m=-(a+c)， ③将③代入①得( a+c)2-2a(a+c)+b2=0，化简得 a2=b2+c2，所以所给的两个方程有公共根的必要条件是 a2=b2+c2.下面证明充分性 .因为 a2=b2+c2，所以方程 x2+2ax+b2=0可化为 x2+2ax+a2-c2=0，它的两个根分别为 x1=-(a+c)， x2=c-a.同理，方程 x2+2cx-b2=0的两根分别为 x3=-(a+c)， x4=a-c.因为 x1=x3，所以方程 x2+2ax+b2=0与 x2+2cx-b2=0有公共根 .综上所述，方程 x2+2ax+b2=0与 x2+2cx-b2=0有公共根的充要条件是 a2=b2+c2.11.由 q可得()-.mfx，因为¬ p是 q的充分条件，所以在π4≤ x≤ 2的条件下，()-2fx，14恒成立 .由已知得， f(x)=2π1cos2x-2 3cos 2x-1=2sin 2x-2 3cos 2x+1=4sinπ-+1.由 4≤ x≤ 2，知 6≤2 x-π3≤ ，所以3≤4sin-+1≤5 .故当 x=5π12时， f(x)max=5，当 x= 4时， f(x)min=3，所以只需-2m，成立，即 3m5.所以 m的取值范围是(3，5) .12.3-2，【解析】因为集合 A={x|x2+2x-3≤0} ={x|-3≤ x≤1}， B={x|2a≤ x≤ a2+1}.因为“x∈ A”是“ x∈ B”的充分不必要条件，所以 A B，所以21-3a，，且等号不能同时取得，解得 a≤ -32，故实数 a的取值范围是3-2，.13.①③ 【解析】已知两点 P(2，3)， Q(sin2α ，cos 2α )，则 d(P， Q)=|2-sin2α|+| 3-cos2α|= 2-sin2α+ 3-cos2α= 4，所以①正确；设直线上任意一点为( x， x+1)，则原点 O到直线x-y+1=0上任意一点 P的直角距离 d(O， P)=|x|+|x+1|≥ |x+1-x|=1，即其最小值为1，所以命题15②错误；由基本不等式 a2+b2≥1(a+b)2得 PQ=2211(-)(-)xy≥ (|x1-x2|+|y1-y2|)=2d(P， Q)，所以命题③成立，综上所述，正确的命题为①③ .1第 3 课 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词(本课时对应学生用书第 页)自主学习 回归教材1.(选修1-1P13习题3改编)若命题 p：2是质数； q：不等式 x2-2x-30”的否定是 .【答案】 x∈R， x2+x+1≤03.(选修1-1P16习题4改编)命题“ x∈N， x2≤0”的否定是 .【答案】 x∈ N， x204.(选修1-1P21本章测试6改编)命题“对于函数 f(x)=x2+a(a∈R)，存在 a∈R，使得 f(x)是偶函数”为 命题 .(填“真”或“假”)【答案】真【解析】当 a=0时，函数是偶函数，故为真命题 .5.(选修1-1P21本章测试10改编)已知命题 p： x∈R，sin x+cos xm是真命题，那么实数 m的取值范围是 .【答案】( -∞ ， - 2)【解析】 x∈ R，sin x+cos x= 2sinπ4x∈[ - 2， ]，所以 m0 (0，1)【解析】由存在性命题的否定是全称命题，知¬ p： x∈R， x2+2ax+a0.因为命题 p为假命题，所以¬ p是真命题，即关于 x的不等式 x2+2ax+a0恒成立，从而 Δ= 4a2-4a2或 a-ax-1恒成立，命题 q：关于 x的方程 x2-x+a=0有实数根 .若“ p∨ q”为真命题，“ p∧ q”为假命题，求实数 a的取值范围 .【思维引导】若 p为真命题，求出参数 a的取值范围；若 q为真命题，求出参数 a的取值范围 .由“ p∨ q”为真命题，“ p∧ q”为假命题，得 p， q中有且仅有一个为真命题，从而可列出关于 a的不等式组，即可得 a的取值范围 .【解答】若 p为真命题，则 a=0或2-4a， ，即0≤ ay，则 -xy，则 x2y2.在命题① p∧ q；② p∨ q；③ p∧(¬ q)；④(¬ p)∨ q中，真命题为 .(填序号)【答案】②③【解析】依题意可知，命题 p为真命题，命题 q为假命题 .由真值表可知 p∧ q为假， p∨ q为真，p∧(¬ q)为真，(¬ p)∨ q为假 .2.(2015·全国卷)设命题 p： n∈N， n22n，则¬ p为 .【答案】 n∈ N， n2≤2 n【解析】由存在性命题的否定知，命题 p的否定是“ n∈N， n2≤2 n”.3.已知命题 p： x∈[0，1]， a≥e x，命题 q：“ x∈R， x2+4x+a=0”，若命题“ p∧ q”是真命题，则实数 a的取值范围是 .【答案】[e，4]【解析】因为命题“ p∧ q”是真命题，所以 p， q同为真 .因为对任意 x∈[0，1]， a≥e x，所以a≥e .由“ x∈ R， x2+4x+a=0”，可得判别式 Δ= 16-4a≥0，即 a≤4 .综上，e≤ a≤4 .4.(2015·山东卷)若“ x∈π0，，tan x≤ m”是真命题，则实数 m的最小值为 .【答案】18【解析】若“ x∈π04，， tan x≤ m”是真命题，则 m大于或等于函数 y=tan x在π04，上的最大值 .因为函数 y=tan x 在，上为增函数，所以函数 y=tan x在，上的最大值为1，所以 m≥1，即实数 m的最小值为1 .【融会贯通】融会贯通 能力提升已知命题 p： x∈(0， +∞ )，12x+m-10恒成立 m-10恒成立 .………………………………………………………………………………………………2分当 x0时，0 0，由 mx2+4x-1=0，得 m= 2x-4=21-4∈[ -4， +∞ ).因为“ p且 q”为真命题，所以 p和 q都是真命题 .所以 m的取值范围是[ -4，0] .……………………………………14分【精要点评】与不等式有关的全称命题或存在性命题常与函数的最值有关 .如“对任意的x∈R， f(x)a恒成立”通常的处理方法为：(1)构造函数 g(x)=f(x)-a， x∈R， f(x)ag(x)min0； (2)分离参数法， x∈R， f(x)at0，则命题 p的否定是 .2.若条件 p：| x+1|≤4，条件 q：20，那么¬ p是 q的 条件.105.(2015·苏州模考)已知命题 p：关于 x的函数 y=x2-3ax+4在[1，+∞)上是增函数，命题 q：关于 x的函数 y=(2a-1)x在R上为减函数，若 p且 q为真命题，则实数 a的取值范围是 .6.若对任意的 x00，则实数 a的最大值为 .7.已知命题 p：“ x∈R，2 ax2+ax-380”，若命题 p是假命题，则实数 a的取值范围为 . 8.已知下列结论：①若命题 p： x∈R，tan x=3，命题 q： x∈R， x2-x+10，则命题“ p∧¬ q”是假命题；②已知直线 l1： ax+3y-1=0， l2： x+by+1=0，那么 l1⊥ l2的充要条件是ab=-3；③命题“若 x2-3x+2=0，则 x=1”的逆否命题为“若 x≠1，则 x2-3x+2≠0”.其中正确的结论为 .(填序号)二、 解答题9.已知命题 p：关于 x的方程 x2+mx+1=0有两个不相等的负实数根；命题 q：关于 x的不等式4x2+4(m-2)x+10的解集为R.若“ p∨ q”为真命题，“ p∧ q”为假命题，求实数 m的取值范围.10.已知命题 p：函数 f(x)=x3+ax+5在区间(-2，1)上不单调，若命题 p的否定是一个真命题，求实数 a的取值范围.11.已知命题 p：( x+1)(x-5)≤0， q：1- m≤ x≤1+ m(m0).(1)若 p是 q的充分条件，求实数 m的取值范围；(2)若 m=5，“ p或 q”为真命题，“ p且 q”为假命题，求实数 x的取值范围.11三、 选做题(不要求解题过程，直接给出最终结果)12.(2015·宜宾一诊)给出下列三个命题：①命题 p： x∈R，使得 x2+x-15或 x0”的充要条件；③若“ p∨ q”为真命题，则“ p∧ q”为真命题.其中正确命题的个数为 .13.设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意的 a， b∈P，都有 a+b， a-b， ab， ∈P(除数 b≠0)，则称P是一个数域.例如有理数集Q是数域，数集F={ a+b 2|a， b∈Q}也是数域.有下列命题：①整数集是数域；②若有理数集Q M，则数集M必为数域；③数域必为无限集；④存在无穷多个数域.其中正确的命题是 .(填序号)【检测与评估答案】第3课 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1.x∈R，2 x2-1≤02.充分不必要 【解析】¬ p： |x+1|4x3，¬ q： x≤2或 x≥3，所以¬ p¬q，但¬ q¬p，故¬ p是¬ q的充分不必要条件 .3.(-∞ ， -12)∪( -4，4) 【解析】若 p真，则 Δ=a 2-16≥0，即 a≤ -4或 a≥4；若 q真，则 -4a≤3，即 a≥ -12.由“ p∨ q”是真命题，“ p∧ q”是假命题，知命题 p和 q一真一假 .若 p真 q假，则 a32， q： x32，所以¬ p是 q的必要不充分条件 .5.123，【解析】命题 p：关于 x的函数 y=x2-3ax+4在[1， +∞ )上是增函数，即32a≤1， a≤.命题 q：关于 x的函数 y=(2a-1)x在R上为减函数，即 0 0，得 x03或 x00恒成立，故实数 a的最大值为 -1.7.[-3，0] 【解析】因为命题 p：“ x∈R，2 ax2+ax-380”为假命题，所以对于任意的 x，都有2 ax2+ax-8≤0，所以 a=0显然成立 .当 a2.若 q为真命题，则有 Δ= [4(m-2)]2-4×4×10”“x5或 x5或 x0”的充要条件，故②正确；若“ p∨ q”为真命题，则 p， q中至少存在一个真命题，若此时两个命题一真一假，则“p∧ q”为假命题，故③错误 .故正确命题的个数为2 .13.③④ 【解析】要满足对四种运算的封闭，只有一个个来检验，如①对除法如12Z不满足，所以排除；对②，当有理数集Q中多一个元素i(i是虚数单位)，则会出现1 +i不属于该集合，所以它也不是一个数域；③④成立 .1第一章 集合与常用逻辑用语【知识网络】2【考情分析】年份 试题 知识点 备注2013 第4题 子集的概念 子集的个数2014 第1题 交集的运算 简单有限集2015 第1题 并集的运算 简单有限集【备考策略】1.体会逻辑用语在表述和论证中的作用，学会利用命题的逆否命题的真假来判断原命题的真假，能对一些逻辑推理中的错误进行判断和纠正 .要特别注意命题的否定与否命题不是同一个概念，否命题是对原命题的条件和结论同时进行否定，命题的否定只是对原命题的结论进行否定 .对含有量词的命题进行否定时，除了把命题的结论否定外，还要注意量词的改变，即全称命题的否定为存在性命题，存在性命题的否定为全称命题 .2.集合的教学要有弹性，要体现不同学生不同层次的要求 .比如我们不必在集合间的关系上过于深究，也不要在集合的概念等内容上做文字游戏 .1单元小练 1 集合与常用逻辑用语一、 填空题1．设全集U={1，2，3，4，5，6}，集合M={2，3，4}，N={4，5}，则∁ U(M∪N)= .2．若集合A={ x|x2-1=0}，B=[0，2]，则A∩B= .3．设集合M={1，2}，N={ a2}，则“ a=1”是“N M”的 条件.4．已知集合A={1，cos θ}，B=1，，若A=B，则锐角θ= .5．命题“ x∈R，2 x0”的否定是 .6．若命题“ x∈R，2 x2-3ax+90，若 p(1)是假命题， p(2)是真命题，则实数 m的取值范围为 ．8．记不等式 x2+x-61的解集是{ x|x0，命题 q：实数 x满足2-608.x，(1)若 a=1，且“ p且 q”为真，求实数 x的取值范围；(2)若¬ p是¬ q的充分不必要条件，求实数 a的取值范围.【单元小练答案】单元小练1 集合与常用逻辑用语1. {1，6} 【解析】由题意得M∪N={2，3，4，5}，则∁ U(M∪N)={1，6}.2. {1} 【解析】由题意知A={1，-1}，所以A∩B={1}.3. 充分不必要 【解析】当 a=1时，N={1}，显然满足N M，所以充分性成立；因为N M，所以 a2=1或 a2=2，即 a=±1 或 a=± 2，故必要性不成立.4. π3【解析 】由题意知cos θ=1，又因为θ为锐角，所以 θ=π3.5. x∈R，2 x≤036. [-2 2，2 ] 【解析】因为题中的命题为假命题，则它的否定“ x∈R，2 x2-3ax+9≥0”为真命题，因此只需Δ=9 a2-4×2×9≤0，解得-2 2≤ a≤2 .7. [3，8) 【解析】因为 p(1)是假命题，所以1+2- m≤0，解得 m≥3.又 p(2)是真命题，所以4+4-m0，解得 m0，所以 a3，由¬ p是¬ q的充分不必要条件，知03，解得1 a≤2，所以实数 a的取值范围是(1，2].