（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形习题 文（打包8套）.zip

1【步步高】 （江苏专用）2017 版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数 文1．角的概念(1)任意角：①定义：角可以看做平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．(2)所有与角 α 终边相同的角，连同角 α 在内，构成的角的集合是 S＝{ β |β ＝ k·360°＋ α ， k∈Z}．(3)象限角：使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与 x 轴的正半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．2．弧度制(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，用符号 rad 表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是 0.(2)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad,1°＝ rad，1 rad＝ °.π180 (180π )(3)扇形的弧长公式： l＝| α |·r，扇形的面积公式： S＝ lr＝ |α |·r2.12 123．任意角的三角函数任意角 α 的终边与单位圆交于点 P(x， y)时，sin α ＝ y，cos α ＝ x，tan α ＝ (x≠0)．yx三个三角函数的初步性质如下表：三角函数 定义域 第一象限符号第二象限符号第三象限符号第四象限符号2sin α R ＋ ＋ － －cos α R ＋ － － ＋tan α{α |α ≠ kπ＋， k∈Z}π 2 ＋ － ＋ －4.三角函数线如下图，设角 α 的终边与单位圆交于点 P，过 P 作 PM⊥ x 轴，垂足为 M，过 A(1,0)作单位圆的切线与 α 的终边或终边的反向延长线相交于点 T.三角函数线有向线段 MP 为正弦线；有向线段 OM 为余弦线；有向线段 AT 为正切线【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．( × )(2)角 α 的三角函数值与其终边上点 P 的位置无关．( √ )(3)角 α 终边上点 P 的坐标为(－ ， )，那么 sin α ＝ ，cos α ＝－ ；同理角 α 终边12 32 32 12上点 Q 的坐标为( x0， y0)，那么 sin α ＝ y0，cos α ＝ x0.( × )(4)α ∈(0， )，则 tan α α sin α .( √ )π 2(5)α 为第一象限角，则 sin α ＋cos α 1.( √ )1．已知角 θ 的顶点为坐标原点，始边为 x 轴的正半轴，若 P(4， y)是角 θ 终边上一点，且 sin θ ＝－ ，则 y＝ .255答案 －83解析 因为 sin θ ＝ ＝－ ，y42＋ y2 255所以 y0，∴ ＝ ，即 m＝ .4m264m2＋ 9 125 12(2)由三角函数定义可知 Q 点的坐标( x， y)满足x＝cos ＝－ ， y＝sin ＝ .2π3 12 2π3 32即 Q 点的坐标为 .(－12， 32)命题点 2 三角函数值的符号例 4 (1)若 sin α ＜0 且 tan α ＞0，则 α 是第 象限角．(2)设 θ 是第三象限角，且 ＝－cos ，则 是第 象限角．|cos θ 2| θ 2 θ 2答案 (1)三 (2)二解析 (1)∵sin α ＜0，∴ α 的终边落在第三、四象限或 y 轴的负半轴上；又 tan α ＞0，∴ α 在第一象限或第三象限，故 α 在第三象限．(2)由 θ 是第三象限角，知 为第二或第四象限角，θ 2∵ ＝－cos ，|cos θ 2| θ 2∴cos ≤0，θ 2综上知 为第二象限角．θ 2命题点 3 三角函数线例 5 满足 cos α ≤－ 的角 α 的集合为 ．12答案 Error!解析 作直线 x＝－ 交单位圆于 C、 D 两点，连结 OC、 OD，则 OC 与 OD 围成的区域(图中阴12影部分)即为角 α 终边的范围，故满足条件的角 α 的集合为Error!.8思维升华 (1)利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标 x，纵坐标 y，该点到原点的距离 r.(2)根据三角函数定义中 x、 y 的符号来确定各象限内三角函数的符号，理解并记忆：“一全正、二正弦、三正切、四余弦” ．(3)利用三角函数线解三角不等式时要注意边界角的取舍，结合三角函数的周期性正确写出角的范围．(1) 已知角 α 的余弦线是单位长度的有向线段，那么角 α 的终边在 ．① x 轴上； ② y 轴上；③直线 y＝ x 上； ④直线 y＝－ x 上．(2)已知角 α 的终边经过点(3 a－9， a＋2)，且 cos α ≤0，sin α ＞0，则实数 a 的取值范围是 ．答案 (1)① (2)(－2,3]解析 (1) ＝1，|cos α |∴角 α 的终边在 x 轴上．(2)∵cos α ≤0，sin α ＞0，∴角 α 的终边落在第二象限或 y 轴的正半轴上．∴Error! ∴－2＜ a≤3.6．数形结合思想在三角函数中的应用典例 (1)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点 P 的位置在(0,0)，圆在 x 轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于 C(2,1)时， 的坐标OP→ 为 ．(2)函数 y＝lg(3－4sin 2x)的定义域为 ．思维点拨 (1)点 P 转动的弧长是本题的关键，可在图中作三角形，寻找 P 点坐标和三角形9边长的关系．(2)求函数的定义域可转化为解不等式－ ＜sin x＜ ，利用三角函32 32数线可直观清晰得出 x 的范围．解析 (1)如图所示，过圆心 C 作 x 轴的垂线，垂足为 A，过 P 作 x 轴的垂线与过 C 作 y 轴的垂线交于点 B.因为圆心移动的距离为 2，所以劣弧 ＝2，即圆心角∠ PCA＝2，PA则∠ PCB＝2－ ，所以 PB＝sin(2－ )＝－cos 2，π 2 π 2CB＝cos(2－ )＝sin 2，π 2所以 xP＝2－ CB＝2－sin 2， yP＝1＋ PB＝1－cos 2，所以 ＝(2－sin 2,1－cos 2)．OP→ (2)∵3－4sin 2x＞0，∴sin 2x＜ ，34∴－ ＜sin x＜ .32 32利用三角函数线画出 x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)，∴ x∈ (k∈Z)．(kπ －π 3， kπ ＋ π 3)答案 (1)(2－sin 2,1－cos 2)(2) (k∈Z)(kπ －π 3， kπ ＋ π 3)温馨提醒 (1)解决和旋转有关的问题要抓住旋转过程中角的变化，结合弧长公式、三角函数定义寻找关系．(2)利用三角函数线解三角不等式要在单位圆中先作出临界情况，然后观察适合条件的角的位置．[方法与技巧]1．在利用三角函数定义时，点 P 可取终边上任一点，如有可能取终边与单位圆的交点，则OP＝ r 一定是正值．2．三角函数符号是重点，也是难点，在理解的基础上可借助口诀：一全正，二正弦，三正10切，四余弦．3．在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧．[失误与防范]1．注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于 90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．2．角度制与弧度制可利用 180°＝π rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．3．已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况．A 组 专项基础训练(时间：40 分钟)1．给出下列四个命题：( )①－ 是第二象限角； ② 是第三象限角；3π4 4π3③－400°是第四象限角； ④－315°是第一象限角．其中正确的命题有 个．答案 3解析 － 是第三象限角，故①错误. ＝π＋ ，从而 是第三象限角，②正3π4 4π3 π 3 4π3确．－400°＝－360°－40°，从而③正确．－315°＝－360°＋45°，从而④正确．2．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角 α ∈(0，π)的弧度数为 ．答案 3解析 设圆半径为 r，则其内接正三角形的边长为 r，3所以 r＝| α |·r，所以 α ＝ .3 33．设 α 是第二象限角， P(x,4)为其终边上的一点，且 cos α ＝ x，则 tan α ＝ .15答案 －43解析 因为 α 是第二象限角，所以 cos α ＝ x0 时， r＝5 a，此时 sin α ＝－ ，cos α ＝ ，35 45则 2sin α ＋cos α ＝－ ＋ ＝－ .65 45 25当 a0，tan θ 0；与－2 200°终边相同的角是－40°，所以－2 200°是第四象限角，则 cos(－2 200°)0；－ 0，∴②正确．171814．已知角 θ 的终边经过点 P(－ ， m) (m≠0)且 sin θ ＝ m，试判断角 θ 所在的象限，32414并求 cos θ 和 tan θ 的值．解 由题意，得 r＝ ，3＋ m2所以 sin θ ＝ ＝ m.m3＋ m2 24因为 m≠0，所以 m＝± ，故角 θ 是第二或第三象限角．5当 m＝ 时， r＝2 ，点 P 的坐标为(－ ， )，角 θ 是第二象限角，5 2 3 5所以 cos θ ＝ ＝ ＝－ ，xr － 322 64tan θ ＝ ＝ ＝－ ；yx 5－ 3 153当 m＝－ 时， r＝2 ，点 P 的坐标为(－ ，－ )，角 θ 是第三象限角，所以 cos θ ＝5 2 3 5＝ ＝－ ，xr － 322 64tan θ ＝ ＝ ＝ .yx － 5－ 3 15315．如图所示，动点 P， Q 从点 A(4,0)出发沿圆周运动，点 P 按逆时针方向每秒钟转 弧度，π 3点 Q 按顺时针方向每秒钟转 弧度，求点 P，点 Q 第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标π 6及 P， Q 点各自走过的弧长．解 设 P， Q 第一次相遇时所用的时间是 t，则 t· ＋ t·|－ |＝2π.π 3 π 6所以 t＝4(秒)，即第一次相遇的时间为 4 秒．设第一次相遇点为 C，第一次相遇时 P 点和 Q 点已运动到终边在 ·4＝ 的位置，π 3 4π3则 xC＝－cos ·4＝－2， yC＝－sin ·4＝－2 .π 3 π 3 3所以 C 点的坐标为(－2，－2 )．3P 点走过的弧长为 π·4＝ π，43 163Q 点走过的弧长为 π·4＝ π.23 831【步步高】 （江苏专用）2017 版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式 文1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin 2α ＋cos 2α ＝1.(2)商数关系： ＝tan α .sin αcos α2．下列各角的终边与角 α 的终边的关系角 2kπ＋ α (k∈Z) π＋ α － α图示与角 α 终边的关系相同 关于原点对称 关于 x 轴对称角 π－ α － απ 2 ＋ απ 2图示与角 α 终边的关系关于 y 轴对称 关于直线 y＝ x 对称3.六组诱导公式组数 一 二 三 四 五 六角2kπ＋ α (k∈Z)π＋ α － α π－ α － απ 2＋ απ 2正弦 sin α －sin α－sin αsin α cos α cos α余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin 2α正切 tan α tan α－tan α－tan α口诀函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若 α ， β 为锐角，则 sin2α ＋cos 2β ＝1.( × )(2)若 α ∈R，则 tan α ＝ 恒成立．( × )sin αcos α(3)sin(π＋ α )＝－sin α 成立的条件是 α 为锐角．( × )(4)六组诱导公式中的角 α 可以是定义域内的任意角．( √ )(5)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限” ，其中的奇、偶是指 的奇数倍和偶π 2数倍，变与不变指函数名称的变化．( √ )1．(教材改编)已知 α 是第二象限角，sin α ＝ ，则 cos α ＝ .513答案 －1213解析 ∵sin α ＝ ， α 是第二象限角，513∴cos α ＝－ ＝－ .1－ sin2α12132．已知 sin θ ＋cos θ ＝ ， θ ∈ ，则 sin θ －cos θ 的值为 ．43 (0， π 4)答案 －23解析 ∵sin θ ＋cos θ ＝ ，∴2sin θ cos θ ＝ .43 79又∵(sin θ －cos θ )2＝1－2sin θ cos θ ＝ ，29∴sin θ －cos θ ＝ 或－ .23 233又∵ θ ∈ ，∴sin θ －cos θ ＝－ .(0，π 4) 233．已知 sin(π－ α )＝log 8 ，且 α ∈(－ ，0)，则 tan(2π－ α )的值为 ．14 π 2答案 255解析 sin(π－ α )＝sin α ＝log 8 ＝－ ，14 23又 α ∈(－ ，0)，得 cos α ＝ ＝ ，π 2 1－ sin2α 53tan(2π－ α )＝tan(－ α )＝－tan α ＝－ ＝ .sin αcos α 2554．已知 cos ＝ ，则 sin ＝ .(π 6－ α ) 23 (α － 2π3)答案 －23解析 ∵ ＋ ＝－ ，(π 6－ α ) (α － 2π3) π 2∴ α － ＝－ － ，2π3 π 2 (π 6－ α )∴sin ＝sin(α －2π3) [－ π 2－ (π 6－ α )]＝－sin ＝－cos ＝－ .[π 2＋ (π 6－ α )] (π 6－ α ) 235．已知函数 f(x)＝Error!则 f(f(2 016))＝ .答案 －1解析 ∵ f(f(2 016))＝ f(2 016－16)＝ f(2 000)，∴ f(2 000)＝2cos ＝2cos π＝－1.2 000π3 23题型一 同角三角函数关系式的应用例 1 (1)已知 tan θ ＝2，则 sin2θ ＋sin θ cos θ －2cos 2θ ＝ .(2)已知 sin α cos α ＝ ，且 ＜ α ＜ ，则 cos α －sin α 的值为 ．18 5π4 3π2答案 (1) (2)45 324解析 (1)由于 tan θ ＝2，则 sin2θ ＋sin θ cos θ －2cos 2θ＝sin2θ ＋ sin θ cos θ － 2cos2θsin2θ ＋ cos2θ＝sin2θcos2θ ＋ sin θ cos θcos2θ － 2sin2θcos2θ ＋ 1＝ ＝ ＝ .tan2θ ＋ tan θ － 2tan2θ ＋ 1 22＋ 2－ 222＋ 1 45(2)∵ ＜ α ＜ ，5π4 3π2∴cos α ＜0，sin α ＜0 且 cos α sin α ，∴cos α －sin α ＞0.又(cos α －sin α )2＝1－2sin α cos α ＝1－2× ＝ ，18 34∴cos α －sin α ＝ .32思维升华 (1)利用 sin2α ＋cos 2α ＝1 可以实现角 α 的正弦、余弦的互化，利用＝tan α 可以实现角 α 的弦切互化．(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于 sin sin αcos αα ＋cos α ，sin α cos α ，sin α －cos α 这三个式子，利用(sin α ±cos α )2＝1±2sin α cos α ，可以知一求二．(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α ＋cos 2α ，sin 2α ＝1－cos 2α ，cos 2α ＝1－sin 2α .已知 sin α －cos α ＝ ， α ∈(0，π)，则 tan α ＝ .2答案 －1解析 由Error!消去 sin α 得：2cos 2α ＋2 cos α ＋1＝0，2即( cos α ＋1) 2＝0，∴cos α ＝－ .222又 α ∈(0，π)，∴ α ＝ ，3π4∴tan α ＝tan ＝－1.3π4题型二 诱导公式的应用例 2 (1)已知 sin ＝ ，则 cos 的值为 ．(α ＋π12) 13 (α ＋ 7π12)(2)已知 A＝ ＋ (k∈Z)，则 A 的值构成的集合是 sin kπ ＋ α sin α cos kπ ＋ α cos α5．答案 (1)－ (2){2，－2}13解析 (1)cos ＝cos(α ＋7π12) [(α ＋ π12)＋ π 2]＝－sin ＝－ .(α ＋π12) 13(2)∵当 k 为偶数时， A＝ ＋ ＝2；sin αsin α cos αcos α当 k 为奇数时， A＝ － ＝－2.－ sin αsin α cos αcos α∴ A 的值构成的集合是{2，－2}．思维升华 (1)诱导公式用法的一般思路①化大角为小角．②角中含有加减 的整数倍时，用公式去掉 的整数倍．π 2 π 2(2)常见的互余和互补的角①常见的互余的角： － α 与 ＋ α ； ＋ α 与 － α ； ＋ α 与 － α 等．π 3 π 6 π 3 π 6 π 4 π 4②常见的互补的角： ＋ θ 与 － θ ； ＋ θ 与 － θ 等．π 3 2π3 π 4 3π4(1) 已知 sin ＝ ，则 cos ＝ .(π 3－ α ) 12 (π 6＋ α )(2)sin(－1 200°)cos 1 290°＋cos(－1 020°)sin(－1 050°)＝ .答案 (1) (2)112解析 (1)∵ ＋ ＝ ，(π 3－ α ) (π 6＋ α ) π 2∴cos ＝cos(π 6＋ α ) [π 2－ (π 3－ α )]＝sin ＝ .(π 3－ α ) 12(2)原式＝－sin 1 200°cos 1 290°－cos 1 020°sin 1 050°＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)sin(2×360°＋330°)＝－sin 120°cos 210°－cos 300°sin 330°＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)×sin(360°－30°)＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°6＝ × ＋ × ＝1.32 32 12 12题型三 同角三角函数关系式、诱导公式的综合应用例 3 (1)已知 α 为锐角，且有 2tan(π－ α )－3cos( ＋ β )＋5＝0，tan(π＋ α )π 2＋6sin(π＋ β )－1＝0，则 sin α ＝ .(2)已知 sin α 是方程 5x2－7 x－6＝0 的根， α 是第三象限角，则·tan2(π－ α )＝ .sin － α － 32π  cos 32π － α cos π 2－ α  sin π 2＋ α 答案 (1) (2)－31010 916解析 (1)2tan(π－ α )－3cos( ＋ β )＋5＝0 化简为π 2－2tan α ＋3sin β ＋5＝0，①tan(π＋ α )＋6sin(π＋ β )－1＝0 化简为tan α －6sin β －1＝0.②由①②消去 sin β ，解得 tan α ＝3.又 α 为锐角，根据 sin2α ＋cos 2α ＝1，解得 sin α ＝ .31010(2)∵方程 5x2－7 x－6＝0 的根为－ 或 2，35又 α 是第三象限角，∴sin α ＝－ ，35∴cos α ＝－ ＝－ ，1－ sin2α45∴tan α ＝ ＝ ＝ ，sin αcos α－ 35－ 45 34∴原式＝ ·tan2α ＝－tan 2α ＝－ .cos α  － sin α sin α ·cos α 916思维升华 利用同角三角函数基本关系式和诱导公式化简三角函数的基本思路和化简要求：(1)基本思路：①分析结构特点，选择恰当公式；②利用公式化成单角三角函数；③整理得最简形式．(2)化简要求：①化简过程是恒等变形；②结果要求项数尽可能少，次数尽可能7低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．(1) 已知 sin(3π ＋ α )＝lg ，则 ＋1310 cos π ＋ α cos α [cos π － α  － 1]＝ .cos α － 2π cos α cos π － α  ＋ cos α － 2π (2)(2015·朝阳模拟)已知 sin(π－ α )－cos(π＋ a)＝ ，则 sin α －cos 23(π 2＜ α ＜ π )α ＝ .答案 (1)18 (2)43解析 (1)由于 sin(3π＋ α )＝－sin α ，lg ＝－ ，得 sin α ＝ .1310 13 13所以原式＝ ＋－ cos αcos α  － cos α － 1 cos α－ cos2α ＋ cos α＝ ＋11＋ cos α 11－ cos α＝ ＝18.2sin2α(2)由 sin(π－ α )－cos(π＋ α )＝ ，23得 sin α ＋cos α ＝ ①，23将①两边平方得 1＋2sin α cos α ＝ ，29故 2sin α cos α ＝－ ，79所以(sin α －cos α )2＝1－2sin α cos α ＝1－ ＝ .(－79) 169又 ＜ α ＜π，π 2所以 sin α ＞0，cos α ＜0，sin α －cos α 0，则 sin α －cos α ＝ .437．分类讨论思想在三角函数中的应用8典例 (1)已知 sin α ＝ ，则 tan(α ＋π)＋ ＝ .255sin(5π2＋ α )cos(5π2－ α )(2)在△ ABC 中，若 sin(2π－ A)＝－ sin(π－ B)， cos A＝－ cos(π－ B)，则 C＝ .2 3 2思维点拨 利用同角三角函数基本关系式中的平方关系时，要根据角的范围对开方结果进行讨论．解析 (1)∵sin α ＝ ＞0，255∴ α 为第一或第二象限角．tan(α ＋π)＋ ＝tan α ＋sin(5π2＋ α )cos(5π2－ α ) cos αsin α＝ ＋ ＝ .sin αcos α cos αsin α 1sin α cos α①当 α 是第一象限角时，cos α ＝ ＝ ，1－ sin2 α55原式＝ ＝ .1sin α cos α 52②当 α 是第二象限角时，cos α ＝－ ＝－ ，1－ sin2α55原式＝ ＝－ .1sin α cos α 52综上①②，原式＝ 或－ .52 52(2)由已知得Error!① 2＋② 2得 2cos2A＝1，即 cos A＝± ，22当 cos A＝ 时，cos B＝ ，22 32又 A、 B 是三角形的内角，∴ A＝ ， B＝ ，∴ C＝π－( A＋ B)＝ π.π 4 π 6 712当 cos A＝－ 时，cos B＝－ .22 32又 A、 B 是三角形的内角，∴ A＝ π， B＝ π，不合题意．34 569综上， C＝ π.712答案 (1) 或－ (2) π52 52 712温馨提醒 (1)本题在三角函数的求值化简过程中，体现了分类讨论思想，即使讨论的某种情况不合题意，也不能省略讨论的步骤；(2)三角形中的三角函数问题，要注意隐含条件的挖掘及三角形内角和定理的应用．[方法与技巧]同角三角函数基本关系是三角恒等变形的基础，主要是变名、变式．1．同角关系及诱导公式要注意象限角对三角函数符号的影响，尤其是利用平方关系在求三角函数值时，进行开方时要根据角的象限或范围，判断符号后，正确取舍．2．三角函数求值、化简是三角函数的基础，在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式 tan x＝ 化成正弦、余弦函数；(2)和积转换法：如利用(sin θ ±cos sin xcos xθ )2＝1±2sin θ cos θ 的关系进行变形、转化；(3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ ＋cos 2θ ＝cos 2θ (1＋tan 2θ )＝sin 2θ ＝tan ＝…；(4)运用相关角(1＋1tan2θ ) π 4的互补、互余等特殊关系可简化解题步骤．[失误与防范]1．利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐．特别注意函数名称和符号的确定．2．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．A 组 专项基础训练(时间：30 分钟)1．(2015·福建)若 sin α ＝－ ，且 α 为第四象限角，则 tan α 的值等于 ．513答案 －51210解析 ∵sin α ＝－ ，且 α 为第四象限角，∴cos α ＝ ，513 1213∴tan α ＝ ＝－ .sin αcos α 5122．已知 ＝ ，则 sin x－cos x＝ .2sin2x＋ sin 2x1＋ tan x 12(π 4cos x，π 4 π 2所以 sin x－cos x0，故 sin x－cos x＝ ＝ ＝ .1－ 2sin xcos x1－ 12 223．若角 α 的终边落在第三象限，则 ＋ 的值为 ．cos α1－ sin2 α 2sin α1－ cos2 α答案 －3解析 由角 α 的终边落在第三象限，得 sin α ＜0，cos α ＜0，故原式＝ ＋ ＝ ＋ ＝－1－2＝－3.cos α|cos α | 2sin α|sin α | cos α－ cos α 2sin α－ sin α4．已知 2tan α ·sin α ＝3，－ α 0，则 sin α ＝ .π 2答案 －32解析 由 2tan α ·sin α ＝3，得 ＝3，2sin2αcos α即 2cos2α ＋3cos α －2＝0，又－ α 0，π 2解得 cos α ＝ (cos α ＝－2 舍去)，故 sin α ＝－ .12 325．已知函数 f(x)＝ asin(π x＋ α )＋ bcos(π x＋ β )，且 f(4)＝3，则 f(2 017)的值为 ．11答案 －3解析 ∵ f(4)＝ asin(4π＋ α )＋ bcos(4π＋ β )＝ asin α ＋ bcos β ＝3，∴ f(2 017)＝ asin(2 017π＋ α )＋ bcos(2 017π＋ β )＝ asin(π＋ α )＋ bcos(π＋ β )＝－ asin α － bcos β＝－3.6．已知 α 为钝角，sin( ＋ α )＝ ，则 sin( － α )＝ .π 4 34 π 4答案 －74解析 因为 α 为钝角，所以 cos( ＋ α )＝－ ，π 4 74所以 sin( － α )＝cos[ －( － α )]＝cos( ＋ α )＝－ .π 4 π 2 π 4 π 4 747．化简： ＝ .sin2 α ＋ π  ·cos π ＋ α  ·cos － α － 2π tan π ＋ α  ·sin3 π 2＋ α  ·sin － α － 2π 答案 1解析 原式＝ ＝ ＝1.sin2α · － cos α  ·cos αtan α ·cos3α · － sin α  sin2α cos2αsin2α cos2α8．已知 cos ＝ a，则 cos ＋sin 的值是 ．(π 6－ θ ) (5π6＋ θ ) (2π3－ θ )答案 0解析 ∵cos ＝cos(5π6＋ θ ) [π － (π 6－ θ )]＝－cos ＝－ a.(π 6－ θ )sin ＝sin ＝cos ＝ a，(2π3－ θ ) [π 2＋ (π 6－ θ )] (π 6－ θ )∴cos ＋sin ＝0.(5π6＋ θ ) (2π3－ θ )9．已知 α 为第二象限角，则 cos α ＋sin α · ＝ .1＋ tan2α1＋ 1tan2α答案 0解析 原式＝cos α ＋sin α 1＋ sin2αcos2α 1＋ cos2αsin2α12＝cos α ＋sin α 1cos2 α 1sin2α＝cos α ＋sin α1－ cos α 1sin α＝0.10．已知 sin(3π＋ α )＝2sin ，求下列各式的值：(3π2＋ α )(1) ；sin α － 4cos α5sin α ＋ 2cos α(2)sin2α ＋sin 2 α .解 由已知得 sin α ＝2cos α .(1)原式＝ ＝－ .2cos α － 4cos α5×2cos α ＋ 2cos α 16(2)原式＝sin2α ＋ 2sin α cos αsin2α ＋ cos2α＝ ＝ .sin2α ＋ sin2αsin2α ＋ 14sin2α 85B 组 专项能力提升(时间：20 分钟)11．已知 sin(π＋ θ )＝－ cos(2π－ θ )，| θ |＜ ，则 θ ＝ .3π 2答案 π 3解析 ∵sin(π＋ θ )＝－ cos(2π－ θ )，3∴－sin θ ＝－ cos θ ，3∴tan θ ＝ .3∵| θ |＜ ，∴ θ ＝ .π 2 π 312．若 A， B 是锐角△ ABC 的两个内角，则点 P(cos B－sin A，sin B－cos A)在第 象限．答案 二解析 ∵△ ABC 是锐角三角形，则 A＋ B＞ ，π 2∴ A＞ － B＞0， B＞ － A＞0，π 2 π 2∴sin A＞sin ＝cos B，(π 2－ B)13sin B＞sin ＝cos A，(π 2－ A)∴cos B－sin A＜0，sin B－cos A＞0，∴点 P 在第二象限．13．设函数 f(x)(x∈R)满足 f(x＋π)＝ f(x)＋sin x． 当 0≤ x＜π 时， f(x)＝0，则 f＝ .(23π6 )答案 12解析 由已知，得 f ＝ f ＋sin π(23π6 ) (176π ) 176＝ f ＋sin π＋sin π(116π ) 116 176＝ f ＋sin π＋sin π＋sin π(56π ) 56 116 176＝0＋ ＋ ＋ ＝ .12 (－ 12) 12 1214．已知角 θ 的顶点在坐标原点，始边与 x 轴正半轴重合，终边在直线 2x－ y＝0 上，则＝ .sin 3π2＋ θ  ＋ cos π － θ sin π 2－ θ  － sin π － θ 答案 2解析 由题意可得 tan θ ＝2，原式＝ ＝ ＝2.－ cos θ － cos θcos θ － sin θ － 21－ tan θ15．已知 f(x)＝(n∈Z)．cos2 nπ ＋ x ·sin2 nπ － xcos2[ 2n＋ 1 π － x](1)化简 f(x)的表达式；(2)求 f( )＋ f( )的值．π2 014 503π1 007解 (1)当 n 为偶数，即 n＝2 k(k∈Z)时，f(x)＝cos2 2kπ ＋ x ·sin2 2kπ － xcos2[ 2×2k＋ 1 π － x]＝cos2x·sin2 － xcos2 π － x＝cos2x· － sin x 2 － cos x 214＝sin 2x；当 n 为奇数，即 n＝2 k＋1( k∈Z)时，f(x)＝cos2[ 2k＋ 1 π ＋ x]·sin2[ 2k＋ 1 π － x]cos2{[2× 2k＋ 1 ＋ 1]π － x}＝cos2[2kπ ＋  π ＋ x ]·sin2[2kπ ＋  π － x ]cos2[2× 2k＋ 1 π ＋  π － x ]＝cos2 π ＋ x ·sin2 π － xcos2 π － x＝ ＝sin 2x， － cos x 2sin2x － cos x 2综上得 f(x)＝sin 2x.(2)由(1)得 f( )＋ f( )π2 014 503π1 007＝sin 2 ＋sin 2π 014 1 006π2 014＝sin 2 ＋sin 2( － )π 014 π 2 π2 014＝sin 2 ＋cos 2 ＝1.π 014 π 0141【步步高】 （江苏专用）2017 版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.3 三角函数的图象与性质 文1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数 y＝sin x， x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，( ，1)，(π，0)，(π 2，－1)，(2π，0)．3π2余弦函数 y＝cos x， x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，( ，0)，(π，－1)，π 2( ，0)，(2π，1)．3π22．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x图象定义域 R R{x|x∈R 且x≠ ＋ kπ， k∈Z}π 2值域 [－1,1] [－1,1] R2单调性在[－ ＋2 kπ， ＋2π 2 π 2kπ]( k∈Z)上递增；在[ ＋2 kπ， ＋2 kπ 2 3π2π]( k∈Z)上递减在[2 kπ，π＋2 kπ](k∈Z)上递减在[－π＋2 kπ，2 kπ](k∈Z)上递增；在(－ ＋ kπ， ＋ kπ 2 π 2π)( k∈Z)上递增最值当x＝ ＋2 kπ( k∈Z)π 2时， ymax＝1；当x＝－ ＋2 kπ( k∈Zπ 2)时， ymin＝－1当 x＝2 kπ( k∈Z)时，ymax＝1；当x＝π＋2 kπ( k∈Z)时， ymin＝－1奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数对称中心 (kπ，0)( k∈Z) ( ＋ kπ，0) π 2(k∈Z)( ，0)( k∈Z)kπ2对称轴方程 x＝ ＋ kπ( k∈Z)π 2x＝ kπ( k∈Z)周期 2π 2π π【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)y＝sin x 在第一、第四象限是增函数．( × )(2)常数函数 f(x)＝ a 是周期函数，它没有最小正周期．( √ )(3)正切函数 y＝tan x 在定义域内是增函数．( × )(4)已知 y＝ ksin x＋1， x∈R，则 y 的最大值为 k＋1.( × )(5)y＝sin | x|是偶函数．( √ )(6)若 sin x ，则 x .( × )22 π 41．(教材改编)函数 f(x)＝4－2cos x 的最小值是 ，取得最小值时， x 的取值集合为 133．答案 2 { x|x＝6 kπ， k∈Z}解析 ∵－1≤cos x≤1，∴ f(x)min＝4－2×1＝2，13此时的 cos x＝1， x＝2 kπ，∴ x＝6 kπ， k∈Z.13 132．(2015·扬州模拟)函数 y＝lg(sin x－cos x)的定义域为 ．答案 {x|2kπ ＋π 40，即 sin xcos x.画出 y＝sin x 及 y＝cos x 在[0,2π]上的图象如图．由图象知原函数的定义域为.{x|2kπ ＋π 40)的最小正周期为 π，则该函数的图象 (ω x＋π 4)(填正确的序号)．①关于直线 x＝ 对称；π 8②关于点 对称；(π 4， 0)③关于直线 x＝ 对称；π 4④关于点 对称．(π 8， 0)(2)已知函数 y＝2sin 的图象关于点 P(x0,0)对称，若 x0∈ ，则 x0＝ .(2x＋π 3) [－ π 2， 0]答案 (1)① (2)－π 6解析 (1)依题意得 T＝ ＝π， ω ＝2，故 f(x)＝sin ，所以 f ＝sin2πω (2x＋ π 4) (π 8)＝sin ＝1≠0 ， f ＝sin ＝sin ＝ ≠0，且 f ≠1，(2×π 8＋ π 4) π 2 (π 4) (2×π 4＋ π 4) 3π4 22 (π 4)因此该函数的图象关于直线 x＝ 对称．π 8(2)由题意可知 2x0＋ ＝ kπ， k∈Z，π 3故 x0＝ － ， k∈Z，kπ2 π 6又 x0∈ ，[－π 2， 0]∴ k＝0 时， x0＝－ .π 6命题点 3 由对称性求参数例 5 (2015·西安八校联考)若函数 y＝cos (ω ∈N *)图象的一个对称中心是(ω x＋π 6)，则 ω 的最小值为 ．(π 6， 0)答案 2解析 由题意知 ＋ ＝ kπ＋ (k∈Z)⇒ ω ＝6 k＋2( k∈Z)，又 ω ∈N *，∴ ω min＝2.π ω6 π 6 π 2思维升华 (1)对于函数 y＝ Asin(ωx ＋ φ )，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对9称中心一定是函数的零点，因此在判断直线 x＝ x0或点( x0,0)是不是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验 f(x0)的值进行判断．(2)求三角函数周期的方法：①利用周期函数的定义．②利用公式： y＝ Asin(ωx ＋ φ )和 y＝ Acos(ωx ＋ φ )的最小正周期为 ，2π|ω |y＝tan( ωx ＋ φ )的最小正周期为 .π|ω |(1) 已知函数 f(x)＝2sin( ωx ＋ φ )，对于任意 x 都有 f ＝ f ，则(π 6＋ x) (π 6－ x)f 的值为 ．(π 6)(2)已知函数 f(x)＝sin x＋ acos x 的图象关于直线 x＝ 对称，则实数 a 的值为 5π3．答案 (1)2 或－2 (2)－33解析 (1)∵ f ＝ f ，(π 6＋ x) (π 6－ x)∴ x＝ 是函数 f(x)＝2sin( ωx ＋ φ )的一条对称轴．π 6∴ f ＝±2.(π 6)(2)由 x＝ 是 f(x)图象的对称轴，5π3可得 f(0)＝ f ，解得 a＝－ .(10π3 ) 334．三角函数的对称性、周期性、单调性典例 (1)(2015·四川改编)下列函数中，最小正周期为 π 且图象关于原点对称的函数是 (填正确的序号)．① y＝cos (2x＋π 2)② y＝sin (2x＋π 2)③ y＝sin 2 x＋cos 2 x10④ y＝sin x＋cos x(2)(2015·课标全国Ⅰ改编)函数 f(x)＝cos( ωx ＋ φ )的部分图象如图所示，且| φ |0)的形式．2．对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t＝ ωx ＋ φ ，将其转化为研究 y＝sin t 的性质．3．对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数 ω 的范围的问题：首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集；其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解．[失误与防范]1．闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响．2．要注意求函数 y＝ Asin(ωx ＋ φ )的单调区间时 ω 的符号，若 ω 0)的图象向右平移 个单位长度，所得图象经过点π 4，则 ω 的最小值是 ．(3π4， 0)答案 2解析 根据题意平移后函数的解析式为y＝sin ，(ω x－π 4ω )将 代入得 sin ＝0，则 ω ＝2 k， k∈Z，且 ω 0，(3π4， 0) ω π2故 ω 的最小值为 2.4．关于函数 y＝tan ，下列说法正确的是 ．(2x－π 3)①是奇函数；②在区间 上单调递减；(0，π 3)③ 为其图象的一个对称中心；(π 6， 0)④最小正周期为 π.答案 ③解析 函数 y＝tan 是非奇非偶函数，①错误；(2x－π 3)在区间 上单调递增，②错误；(0，π 3)最小正周期为 ，④错误．π 2∵当 x＝ 时，tan ＝0，π 6 (2×π 6－ π 3)∴ 为其图象的一个对称中心，③正确．(π 6， 0)5．函数 y＝cos 2 x＋sin 2x， x∈R 的值域是 ．答案 [0,1]解析 y＝cos 2 x＋sin 2x＝cos 2 x＋1－ cos 2x213＝ .1＋ cos 2x2∵cos 2 x∈[－1,1]，∴ y∈[0,1]．6．函数 f(x)＝sin(－2 x)的单调增区间是 ．答案 (k∈Z)[kπ ＋π 4， kπ ＋ 3π4]解析 由 f(x)＝sin(－2 x)＝－sin 2 x，2kπ＋ ≤2 x≤2 kπ＋ (k∈Z)得π 2 3π2kπ＋ ≤ x≤ kπ＋ (k∈Z)．π 4 3π47．函数 y＝tan 的图象与 x 轴交点的坐标是 ．(2x＋π 4)答案 (k∈Z)(kπ2－ π 8， 0)解析 由 2x＋ ＝ kπ( k∈Z)得，π 4x＝ － (k∈Z)．kπ2 π 8∴函数 y＝tan 的图象与 x 轴交点的坐标是 (k∈Z)．(2x＋π 4) (kπ2－ π 8， 0)8．设函数 f(x)＝3sin( x＋ )，若存在这样的实数 x1， x2，对任意的 x∈R，都有 f(x1)π 2 π 4≤ f(x)≤ f(x2)成立，则| x1－ x2|的最小值为 ．答案 2解析 f(x)＝3sin( x＋ )的周期 T＝2π× ＝4，π 2 π 4 2πf(x1)， f(x2)应分别为函数 f(x)的最小值和最大值，故| x1－ x2|的最小值为 ＝2.T29．已知函数 f(x)＝cos x(sin x＋cos x)－ .12(1)若 0＜ α ＜ ，且 sin α ＝ ，求 f(α )的值；π 2 22(2)求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间．解 (1)因为 0＜ α ＜ ，sin α ＝ ，π 2 22所以 cos α ＝ .2214所以 f(α )＝ × － ＝ .22 (22＋ 22) 12 12(2)因为 f(x)＝sin xcos x＋cos 2 x－12＝ sin 2x＋ －12 1＋ cos 2x2 12＝ sin 2x＋ cos 2x12 12＝ sin ，22 (2x＋ π 4)所以最小正周期 T＝ ＝π.2π2由 2kπ－ ≤2 x＋ ≤2 kπ＋ ， k∈Z，π 2 π 4 π 2得 kπ－ ≤ x≤ kπ＋ ， k∈Z.3π8 π 8所以 f(x)的单调递增区间为 ， k∈Z.[kπ －3π8， kπ ＋ π 8]10．已知函数 f(x)＝ Asin(ωx ＋ φ ) (其中 A0， ω 0,00， ω 0)．若 f(x)在区间 上具有单调性，且 f ＝ f ＝－ f ，则 f(x)的最小正周期为 [π 6， π 2] (π 2) (2π3) (π 6)．答案 π解析 ∵ f(x)在 上具有单调性，[π 6， π 2]∴ ≥ － ，∴ T ≥ .T2 π 2 π 6 2π3∵ f ＝ f ，(π 2) (2π3)∴ f(x)的一条对称轴为 x＝ ＝ .π 2＋ 2π32 7π12又∵ f ＝－ f ，(π 2) (π 6)∴ f(x)的一个对称中心的横坐标为 ＝ .π 2＋ π 62 π 3∴ T＝ － ＝ ，14 7π12 π 3 π 4∴ T＝π.14.已知函数 f(x)＝ Atan(ωx ＋ φ )(ω 0，| φ |0，函数 f(x)＝－2 asin ＋2 a＋ b，当 x∈ 时，－5≤ f(x)≤1.(2x＋π 6) [0， π 2](1)求常数 a， b 的值；(2)设 g(x)＝ f 且 lg g(x)0，求 g(x)的单调区间．(x＋π 2)解 (1)∵ x∈ ，∴2 x＋ ∈ .[0，π 2] π 6 [π 6， 7π6]∴sin ∈ ，(2x＋π 6) [－ 12， 1]∴－2 asin ∈[－2 a， a]．(2x＋π 6)∴ f(x)∈[ b,3a＋ b]，又∵－5≤ f(x)≤1，∴ b＝－5,3 a＋ b＝1，因此 a＝2， b＝－5.(2)由(1)得， f(x)＝－4sin －1，(2x＋π 6)g(x)＝ f ＝－4sin －1(x＋π 2) (2x＋ 7π6)＝4sin －1，(2x＋π 6)又由 lg g(x)0，得 g(x)1，∴4sin －11，∴sin ，(2x＋π 6) (2x＋ π 6)12∴2 kπ＋ 2x＋ 2kπ＋ ， k∈Z，π 6 π 6 5π6其中当 2kπ＋ 2x＋ ≤2 kπ＋ ， k∈Z 时，π 6 π 6 π 2g(x)单调递增，即 kπ x≤ kπ＋ ， k∈Z，π 6∴ g(x)的单调增区间为 ， k∈Z.(kπ ， kπ ＋π 6]又∵当 2kπ＋ 2x＋ 2kπ＋ ， k∈Z 时，π 2 π 6 5π6g(x)单调递减，即 kπ＋ xkπ＋ ， k∈Z.π 6 π 3∴ g(x)的单调减区间为 ， k∈Z.(kπ ＋π 6， kπ ＋ π 3)