（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 第1-6讲课件 理（打包6套）新人教A版.zip

第 1讲 任意角、弧度制及任意角的三角函数考 试 要求 1.任意角的概念 ， 弧度制的概念 ， 弧度与角度的互化 ， A级 要求； 2.任意角的三角函数 (正弦、余弦、正切 )的定 义， B级 要求 .知 识 梳 理1.角的概念的推广(1)定 义 ：角可以看成平面内的一条射 线绕 着 从一个位置旋 转 到另一个位置所成的 图 形 .端点正角 负角 零角象限角2.弧度制的定 义 和公式(1)定 义 ：把 长 度等于 的弧所 对 的 圆 心角叫做 1弧度的角，弧度 记 作 rad.半径 长|α|r3.任意角的三角函数y xMP OM AT诊 断 自 测1.判断正 误 (在括号内打 “√” 或 “×” )×××√×答案 ③3.(苏 教版必修 4P15T6改 编 )若 tan α＞ 0， sin α＜ 0， 则 α在第________象限 .解析 由 tan α＞ 0， 得 α在第一或第三象限 ， 又 sin α＜ 0， 得α在第三或第四象限或 终边 在 y轴 的 负 半 轴 上 ， 故 α在第三象限 .答案 三答案 105.一条弦的 长 等于半径， 这 条弦所 对 的 圆 心角大小 为 ______弧度 .考点一 象限角与三角函数 值 的符号答案 (1)一或三 (2)三(2)sin 2·cos 3·tan 4的 值 ________0(填 “ 大于、小于” ).答案 (1)二 (2)小于考点二 三角函数的定 义规 律方法 利用三角函数的定 义 ，求一个角的三角函数 值，需确定三个量：角的 终边 上任意一个异于原点的点的横坐 标 x， 纵 坐 标 y， 该 点到原点的距离 r.若 题 目中已知角的终边 在一条直 线 上，此 时 注意在 终边 上任取一点有两种情况 (点所在象限不同 ).【 训练 2】 已知角 α的 终边 在直 线 3x＋ 4y＝ 0上，求 sin α， cos α， tan α的 值 .考点三 扇形弧 长 、面 积 公式的 应 用【例 3】 已知一扇形的 圆 心角 为 α (α0)，所在 圆 的半径 为R. (1)若 α＝ 60°， R＝ 10 cm，求扇形的弧 长 及 该 弧所在的弓形的面 积 ；(2)若扇形的周 长 是一定 值 C (C0)，当 α为 多少弧度 时 ， 该扇形有最大面 积 ？【 训练 3】 已知扇形的周 长为 4 cm，当它的半径 为 ______ cm和 圆 心角 为 ________弧度 时 ，扇形面 积 最大， 这 个最大面积 是 ________ cm2.答案 1 2 1[思想方法 ]1.任意角的三角函数 值仅 与角 α的 终边 位置有关，而与角 α终边上点 P的位置无关 .若角 α已 经给 出， 则 无 论 点 P选择 在 α终边上的什么位置，角 α的三角函数 值 都是确定的 .如有可能 则 取 终边 与 单 位 圆 的交点 .其中 |OP|＝ r一定是正 值 .2.三角函数 值 的符号是重点，也是 难 点， 在理解的基 础 上可借助口 诀 ：一全正，二正弦，三正切，四余弦 .3.在解 简单 的三角不等式 时 ，利用 单 位 圆 及三角函数 线 是一个小技巧 .[易 错 防范 ]1.注意易混概念的区 别 ：象限角、 锐 角、小于 90°的角是概念不同的三 类 角 .第一 类 是象限角，第二、第三 类 是区 间 角 .2.角度制与弧度制可利用 180°＝ π rad进 行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必 须 一致，不可混用 .3.已知三角函数 值 的符号确定角的 终边 位置不要 遗 漏 终边 在坐标轴 上的情况 .第 2讲 同角三角函数基本关系式与 诱导 公式知 识 梳 理1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系： .(2)商数关系： .sin2α＋ cos2α＝ 1-sin α -sin α sin α cos α cos α-cos α cos α -cos α sin α -sin αtan α -tan α -tan α2.三角函数的 诱导 公式诊 断 自 测1.判断正 误 (在括号内打 “√” 或 “×” )××√√×2.sin 570°的 值为 ________.答案 3考点一 同角三角函数基本关系式的 应 用考点二 诱导 公式的 应 用【例 2】 (1)sin(－ 1 200°)cos 1 290°＋ cos(－ 1 020°)·sin(－ 1 050°)＝ ________.解析 (1)原式＝－ sin 1 200°cos 1 290°－ cos 1 020°sin 1 050°＝－ sin(3× 360°＋ 120°)cos(3× 360°＋ 210°)－ cos(2× 360°＋300°)sin(2× 360°＋ 330°)＝－ sin 120°cos 210°－ cos 300°sin 330°规 律方法 利用 诱导 公式化 简 三角函数的基本思路和化 简 要求： (1)基本思路： ① 分析 结 构特点 ， 选择 恰当公式； ② 利用公式化成 单 角三角函数； ③ 整理得最 简 形式 .(2)化 简 要求： ①化 简过 程是恒等 变 形； ② 结 果要求 项 数尽可能少 ， 次数尽可能低 ， 结 构尽可能 简单 ， 能求 值 的要求出 值 .答案 － 1考点三 两 类 公式的 综 合 应 用[思想方法 ]1.同角三角函数基本关系可用于 统 一函数； 诱导 公式主要用于 统一角，其主要作用是 进 行三角函数的求 值 、化 简 和 证 明，已知一个角的某一三角函数 值 ，求 这 个角的其它三角函数 值时 ，要特 别 注意平方关系的使用 .[易 错 防范 ]1.利用 诱导 公式 进 行化 简 求 值时 ，可利用公式化任意角的三角函数 为锐 角三角函数，其步 骤 ：去 负 — 脱周 — 化 锐 .特 别 注意函数名称和符号的确定 .2.在利用同角三角函数的平方关系 时 ，若开方，要特 别 注意判断符号 .3.注意求 值 与化 简 后的 结 果一般要尽可能有理化、整式化 .第 3讲 两角和与差的正弦、余弦、正切考 试 要求 1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式的推导及联系；二倍角的正弦、余弦、正切公式 ， B级 要求； 2.运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式 进 行 简单 的恒等 变换， C级 要求 .知 识 梳 理1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)＝ .cos(α∓β)＝ .tan(α±β)＝ .2.二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 2α＝ .cos 2α＝ .tan 2α＝ .sin αcos β±cos αsin βcos αcos β±sin αsin β2sin αcos αcos2α－ sin2α＝ 2cos2α－ 1＝ 1－2sin2α3.有关公式的逆用、 变 形等tan(α±β)(1∓tan αtan β)诊 断 自 测1.判断正 误 (在括号内打 “√” 或 “×” )√√√×答案 35.sin 347°cos 148°＋ sin 77°·cos 58°＝ ________.考点一 三角函数式的化简答案 cos α规律方法 三角函数式的化简要遵循 “ 三看 ” 原 则 ：① 一看角之 间 的差 别 与 联 系 ， 把角 进 行合理的拆分 ， 正确使用公式； ② 二看函数名称之 间 的差异 ， 确定使用的公式 ， 常见 的有 “ 切化弦 ” ； ③ 三看 结 构特征 ，找到 变 形的方向，常见 的有 “ 遇到分式要通分 ” ， “ 遇到根式一般要升 幂 ” 等 .考点二 三角函数式的求值[微题型 1] 给角求值规律方法 给角求值中一般所给出的角都是非特殊角 ， 应仔 细观 察非特殊角与特殊角之 间 的关系 ， 结 合公式将非特殊角的三角函数 转 化 为 特殊角的三角函数 ， 从而得解 .[微题型 2] 给值求值规律方法 已知三角函数值 ， 求其他三角函数式的 值 的一般思路： (1)观 察已知条件与所求式子之 间 的 联 系 (从三角函数名及角入手 )； (2)将已知条件代入所求 ， 化 简 求 值 .[微题型 3] 给值求角【训练 2】 (1)4cos 50°－ tan 40°＝ ________.考点三 三角变换的简单应用【例 3】 已知 △ ABC为锐 角三角形，若向量 p＝ (2－ 2sin A，cos A＋ sin A)与向量 q＝ (sin A－ cos A， 1＋ sin A)是共 线 向量 .规律方法 解三角函数问题的基本思想是 “ 变换 ” ， 通过 适当的 变换 达到由此及彼的目的 ， 变换 的基本方向有两个 ， 一个是 变换 函数的名称 ， 一个是 变换 角的形式 .变换 函数名称可以使用 诱导 公式、同角三角函数关系、二倍角的余弦公式等； 变换 角的形式 ， 可以使用两角和与差的三角函数公式、倍角公式等 .[思想方法 ]重 视 三角函数的 “ 三 变 ” ： “ 三 变 ” 是指 “ 变 角、 变 名、 变式 ” ； 变 角： 对 角的分拆要尽可能化成同角、特殊角； 变 名：尽可能减少函数名称； 变 式： 对 式子 变 形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等 .在解决求 值 、化 简 、 证 明 问题时，一般是 观 察角、函数名、所求 (或所 证 明 )问题 的整体形式中的差异，再 选择 适当的三角公式恒等 变 形 .[易 错 防范 ]1.运用公式 时 要注意 审查 公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相 对 性，要注意升 幂 、降 幂 的灵活运用，要注意 “1”的各种变 通 .3.在三角求 值时 ，往往要借助角的范 围 求 值 .第 4讲 三角函数的 图 象与性 质知 识 梳 理1.用五点法作正弦函数和余弦函数的 简图(π，－ 1)2.正弦、余弦、正切函数的 图 象与性 质 (下表中 k∈ Z)2π π奇函数 偶 函数 奇函数[2kπ－ π， 2kπ][2kπ， 2kπ＋ π](kπ， 0)x＝ kπ诊 断 自 测1.判断正 误 (在括号内打 “√” 或 “×” )(1)由 sin(30°＋ 120°)＝ sin 30°知， 120°是正弦函数 y＝ sin x(x∈ R)的一个周期 .( )(3)y＝ cos x在第一、二象限上是减函数 .( )(4)y＝ tan x在整个定 义 域上是增函数 .( )×√××答案 6考点一 三角函数的定 义 域、 值 域规 律方法 (1)求三角函数的定 义 域 实际 上是解 简单 的三角不等式 ， 常借助三角函数 线 或三角函数 图 象来求解 .(2)求解三角函数的 值 域 (最 值 )常 见 到以下几种 类 型：① 形如 y＝ asin x＋ bcos x＋ c的三角函数化 为 y＝ Asin(ωx＋φ)＋ c的形式 ， 再求最 值 (值 域 )； ② 形如 y＝ asin2x＋ bsin x＋ c的三角函数 ， 可先 设 sin x＝ t， 化 为 关于 t的二次函数求值 域 (最 值 )； ③ 形如 y＝ asin xcos x＋ b(sin x±cos x)＋ c的三角函数 ， 可先 设 t＝ sin x±cos x， 化 为 关于 t的二次函数求值 域 (最 值 ).(2)函数 y＝ sin x－ cos x＋ sin xcos x的 值 域 为 ________.考点二 三角函数的 单调 性规 律方法 (1)求 较为 复 杂 的三角函数的 单调 区 间时 ， 首先化 简 成 y＝ Asin(ωx＋ φ)形式 ， 再求 y＝ Asin(ωx＋ φ)的 单调 区 间 ， 只需把 ωx＋ φ看作一个整体代入 y＝ sin x的相 应单调 区 间 内即可 ， 注意要先把 ω化 为 正数 .(2)对 于已知函数的单调 区 间 的某一部分确定参数 ω的范 围 的 问题 ， 首先 ， 明确已知的 单调 区 间应为 函数的 单调 区 间 的子集 ， 其次 ， 要确定已知函数的 单调 区 间 ， 从而利用它 们 之 间 的关系可求解 .考点三 三角函数的 对 称性与奇偶性[微 题 型 1] 求三角函数的 对 称 轴 或 对 称中心答案 (1)④ (2)③[微 题 型 2] 由三角函数的 对 称性求参数规 律方法 已知函数 f(x)＝ Asin(ωx＋ φ)的 对 称 轴 或 对 称中心 ， 一般是将 ωx＋ φ看成整体 ， 写出 对 称 轴 或 对 称中心 ，再 结 合条件得出参数或参数范 围 .[微 题 型 3] 三角函数 对 称性的 应 用规 律方法 由 对 称性可知 ， 若 f(x)＝ Asin(ωx＋ φ)为 偶函数 ， 则当 x＝ 0时 ， f(x)取得最大 值 或最小 值 ， 若 f(x)＝ Asin(ωx＋ φ)为奇函数 ， 则 当 x＝ 0时 ， f(x)＝ 0.第 5讲 函数 y＝ Asin(ωx＋ φ)的 图 象及 应用考 试 要求 1.函数 y＝ Asin(ωx＋ φ)的物理意 义 ， 图 象的画法， 参数 A， ω， φ对 函数 图 象 变 化的影响 ， A级 要求； 2.利用三角函数解决一些 简单实际问题 ， A级 要求 .知 识 梳 理1.“ 五点法 ” 作函数 y＝ Asin(ωx＋ φ)(A0， ω0)的 简图“ 五点法 ” 作 图 的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与 x轴 相交的三个点，作 图时 的一般步 骤为 ：(1)定点：如下表所示 .0 π 2π(2)作 图 ：在坐 标 系中描出 这 五个关 键 点，用平滑的曲 线顺 次 连 接得到 y＝ Asin(ωx＋ φ)在一个周期内的 图 象 .(3)扩 展：将所得 图 象，按周期向两 侧扩 展可得 y＝ Asin(ωx＋ φ)在 R上的 图 象 .2.函数 y＝ Asin(ωx＋ φ)中各量的物理意 义当函数 y＝ Asin(ωx＋ φ)(A＞ 0， ω＞ 0)， x∈ [0，＋ ∞ )表示简谐 振 动时 ，几个相关的概念如下表：φ3.函数 y＝ sin x的 图 象 经变换 得到 y＝ Asin(ωx＋ φ)的 图 象的两种途径|φ|诊 断 自 测1.判断正 误 (在括号内打 “√” 或 “×” )×××√√3.如 图 ，某地一天，从 6～ 14时 的温度 变 化曲 线 近似 满 足函数 y＝ Asin(ωx＋ φ)＋ b(A＞ 0， ω＞ 0， 0＜ φ＜ π)， 则这 段曲 线 的函数解析式 为________.答案 2考点一 函数 y＝ Asin(ωx＋ φ)的 图 象及 变换(1)用五点法作出它在 长 度 为 一个周期的 闭 区 间 上的 图 象；(2)说 明函数 f(x)的 图 象可由 y＝ sin x的 图 象 经过 怎 样 的 变换而得到 .(1)求 ω和 φ的 值 ；(2)在 给 定坐 标 系中作出函数 f(x)在 [0， π]上的 图 象 .描点画出 图 象 (如 图 ).考点二 由 图 象求函数 y＝ Asin(ωx＋ φ)的解析式【例 2】 (1)(2015·全国 Ⅰ 卷改 编 ) 函数 f(x)＝cos(ωx＋ φ)的部分 图 象如 图 所示， 则 f(x)的单调递 减区 间为 ________.(2)(2015·南通 质检 )如 图 是函数 y＝ f(x)＝ Asin(ωx＋ φ)＋ 2(A0， ω0， |φ|π)的 图 象的一部分， 则 函数 f(x)的解析式 为________.考点三 y＝ Asin(ωx＋ φ)图 象与性 质 的 综 合 问题规 律方法 函数 y＝ Asin(ωx＋ φ)(A＞ 0， ω＞ 0)的 单调 区 间和 对 称性的确定 ， 基本思想是把 ωx＋ φ看做一个整体 .在 单调性 应 用方面 ， 比 较 大小是一 类 常 见 的 题 目 ， 依据是同一区 间内函数的 单调 性 .对 称性是三角函数 图 象的一个重要性 质 ，因此要抓住其 轴对 称、中心 对 称的本 质 ， 同 时还 要会 综 合利用 这 些性 质 解决 问题 ， 解 题时 可利用数形 结 合思想 .[思想方法 ]1.五点法作 图 及 图 象 变换问题(1)五点法作 简图 要取好五个关 键 点，注意曲 线 凸凹方向；(2)图 象 变换时 的伸 缩 、平移 总 是 针对 自 变 量 x而言，而不是看角 ωx＋ φ的 变 化 .2.由 图 象确定函数解析式由函数 y＝ Asin(ωx＋ φ)的 图 象确定 A、 ω、 φ的 题 型，常常以“ 五点法 ” 中的五个点作 为 突破口，要从 图 象的升降情况找准第一个 “ 零点 ” 和第二个 “ 零点 ” 的位置 .要善于抓住特殊量和特殊点 .第 6讲 正弦定理、余弦定理及解三角形考 试 要求 1.正弦定理、余弦定理 ， 简单 的三角形度量 问题， B级 要求； 2.运用定理等知 识 解决一些与 测 量和几何 计 算有关的 实际问题 ， B级 要求 .知 识 梳 理1.正、余弦定理在 △ ABC中，若角 A， B， C所 对 的 边 分 别 是 a， b， c， R为△ ABC外接 圆 半径， 则b2＋ c2－ 2bccos Ac2＋ a2－ 2cacos Bc2＋ a2－ 2cacos B2Rsin B 2Rsin Csin A∶ sin B∶ sin C3.实际问题 中的常用角(1)仰角和俯角在同一 铅 垂平面内的水平 视线 和目 标视线 的 夹 角，目 标视线 在水平 视线 叫仰角，目 标视线 在水平 视线 叫俯角 (如 图 1).上方 下方(2)方位角从正北方向起按 顺时针转 到目 标 方向 线 之 间 的水平 夹 角叫做方位角 .如 B点的方位角 为 α(如 图2).(3)方向角：正北或正南方向 线 与目 标 方向 线 所成的 锐 角，如南偏 东 30°，北偏西 45°等 .(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切 值 .诊 断 自 测1.判断正 误 (在括号内打 “√” 或 “×” )×√√×√解析 由余弦定理 b2＋ c2－ 2bccos A＝ a2，得 b2－ 6b＋ 8＝ 0，解得 b＝ 2或 b＝ 4， ∵ b＜ c＝ 2 ， ∴ b＝ 2.答案 23.一艘海 轮 从 A处 出 发 ，以每小 时 40海里的速度沿南偏 东 40°的方向直 线 航行， 30分 钟 后到达 B处 ，在 C处 有一座灯塔，海 轮在 A处观 察灯塔，其方向是南偏 东 70°，在 B处观 察灯塔，其方向是北偏 东 65°，那么 B， C两点 间 的距离是 ________海里 .5.(苏 教版必修 5P10T4(2)改 编 )在 △ ABC中， acos A＝ bcos B，则这 个三角形的形状 为 ________.答案 等腰三角形或直角三角形考点一 利用正、余弦定理解三角形【例 1】 在 △ ABC中，角 A， B， C的 对边 分 别为 a， b， c.规 律方法 (1)解三角形 时 ， 如果式子中含有角的余弦或 边的二次式 ， 要考 虑 用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或 边 的一次式 时 ， 则 考 虑 用正弦定理；以上特征都不明 显时 ， 则 要考 虑 两个定理都有可能用到 .(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一 边 ， 该 三角形是确定的 ， 其解是唯一的；已知两 边 和一 边 的 对 角 ， 该 三角形具有不唯一性 ， 通常根据三角函数 值 的有界性和大 边对 大角定理 进 行判断 .考点二 利用正、余弦定理判定三角形的形状【例 2】 在 △ ABC中， a， b， c分 别为 内角 A， B， C的 对边 ，且 2asin A＝ (2b－ c)sin B＋ (2c－ b)sin C.规 律方法 (1)三角形的形状按 边 分 类 主要有：等腰三角形， 等 边 三角形等；按角分 类 主要有：直角三角形 ， 锐 角三角形， 钝 角三角形等 .判断三角形的形状 ， 应围绕 三角形的边 角关系 进 行思考 ， 主要看其是不是正三角形、等腰三角形、直角三角形、 钝 角三角形或 锐 角三角形 .(2)边 角 转 化的工具主要是正弦定理和余弦定理 .【 训练 2】 (2015·扬 州一模 )在 △ ABC中， a， b， c分 别为 内角 A， B， C的 对边 ，且 2asin A＝ (2b＋ c)sin B＋ (2c＋ b)sin C.(1)求 A的大小；(2)若 sin B＋ sin C＝ 1， 试 判断 △ ABC的形状 .考点三 和三角形面 积 有关的 问题【例 3】 (2015·全国 Ⅰ 卷 )已知 a， b， c分 别为 △ ABC内角 A，B， C的 对边 ， sin2B＝ 2sin Asin C.考点四 正、余弦定理在 实际问题 中的 应 用规 律方法 解三角形 应 用 题 的两种情形： (1)实际问题经抽象概括后 ， 已知量与未知量全部集中在一个三角形中 ，可用正弦定理或余弦定理求解； (2)实际问题经 抽象概括后， 已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形 ， 这时需作出 这 些三角形 ， 先解 够 条件的三角形 ， 然后逐步求解其他三角形 ， 有 时 需 设 出未知量 ，从几个三角形中列出方程 (组 )，解方程 (组 )得出所要求的解 .【 训练 4】 (2015·湖北卷 ) 如 图 ，一 辆 汽 车 在一条水平的公路上向正西行 驶 ，到 A处时测 得公路北 侧 一山 顶 D在西偏北 30°的方向上，行 驶 600 m后到达 B处 ， 测 得此山 顶 在西偏北 75°的方向上，仰角 为 30°， 则 此山的高度 CD＝ ________m.