（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第十三章 推理与证明、算法、复数 理（打包5套）.zip

1【步步高】 （江苏专用）2017 版高考数学一轮复习 第十三章 推理与证明、算法、复数 13.1 合情推理与演绎推理 理1．合情推理(1)归纳推理①定义：从个别事实中推演出一般性的结论，称为归纳推理(简称归纳法)．②特点：归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．(2)类比推理①定义：根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类比推理(简称类比法)．②特点：类比推理是由特殊到特殊的推理．(3)合情推理合情推理是根据已有的事实、正确的结论、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程．归纳推理和类比推理都是数学活动中常用的合情推理．2．演绎推理(1)演绎推理一种由一般性的命题推演出特殊性命题的推理方法称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．(2)“三段论”是演绎推理的一般模式①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．( × )(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．( √ )(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．( × )(4)“所有 3 的倍数都是 9 的倍数，某数 m 是 3 的倍数，则 m 一定是 9 的倍数” ，这是三段论推理，但其结论是错误的．( √ )2(5)一个数列的前三项是 1,2,3，那么这个数列的通项公式是 an＝ n(n∈N *)．( × )(6)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．( × )1．观察下列各式： a＋ b＝1， a2＋ b2＝3， a3＋ b3＝4， a4＋ b4＝7， a5＋ b5＝11，…，则a10＋ b10＝________.答案 123解析 从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，依据此规律， a10＋ b10＝123.2．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是________．①使用了归纳推理；②使用了类比推理；③使用了“三段论” ，但推理形式错误；④使用了“三段论” ，但小前提错误．答案 ③解析 由“三段论”的推理方式可知，该推理的错误原因是推理形式错误．3．(2014·福建)已知集合{ a， b， c}＝{0,1,2}，且下列三个关系：① a≠2，② b＝2，③ c≠0 有且只有一个正确，则 100a＋10 b＋ c＝________.答案 201解析 因为三个关系中只有一个正确，分三种情况讨论：若①正确，则②③不正确，得到Error!由于集合{ a， b， c}＝{0,1,2}，所以解得 a＝ b＝1， c＝0，或 a＝1， b＝ c＝0，或b＝1， a＝ c＝0，与互异性矛盾；若②正确，则①③不正确，得到Error!与互异性矛盾；若③正确，则①②不正确，得到Error!则Error!符合题意，所以 100a＋10 b＋ c＝201.4．类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可得出空间内的下列结论：①垂直于同一个平面的两条直线互相平行；②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；③垂直于同一个平面的两个平面互相平行；④垂直于同一条直线的两个平面互相平行．则正确的结论是________．答案 ①④解析 显然①④正确；对于②，在空间中垂直于同一条直线的两条直线可以平行，也可以异3面或相交；对于③，在空间中垂直于同一个平面的两个平面可以平行，也可以相交．5．(教材改编)在等差数列{ an}中，若 a10＝0，则有 a1＋ a2＋…＋ an＝ a1＋ a2＋…＋ a19－ n (n0， n∈N *)，若bm＝ c， bn＝ d(n－ m≥2， m， n∈N *)，则可以得到 bm＋ n＝________.6答案 n－ mdncm解析 设数列{ an}的公差为 d，数列{ bn}的公比为 q.因为 an＝ a1＋( n－1) d， bn＝ b1qn－1 ， am＋ n＝ ，nb－ man－ m所以类比得 bm＋ n＝ .n－ mdncm思维升华 (1)进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行类比，提出猜想．其中找到合适的类比对象是解题的关键．(2)类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等比数列类比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等．在平面上，设 ha， hb， hc是三角形 ABC 三条边上的高， P 为三角形内任一点，P 到相应三边的距离分别为 Pa， Pb， Pc，我们可以得到结论： ＋ ＋ ＝1.把它类比到空Paha Pbhb Pchc间，则三棱锥中的类似结论为______________________．答案 ＋ ＋ ＋ ＝1Paha Pbhb Pchc Pdhd解析 设 ha， hb， hc， hd分别是三棱锥 A－ BCD 四个面上的高， P 为三棱锥 A－ BCD 内任一点，P 到相应四个面的距离分别为 Pa， Pb， Pc， Pd，于是可以得出结论： ＋ ＋ ＋ ＝1.Paha Pbhb Pchc Pdhd题型三 演绎推理例 6 数列{ an}的前 n 项和记为 Sn，已知 a1＝1， an＋1 ＝ Sn (n∈N *)．证明：n＋ 2n(1)数列 是等比数列；{Snn}(2)Sn＋1 ＝4 an.证明 (1)∵ an＋1 ＝ Sn＋1 － Sn， an＋1 ＝ Sn，n＋ 2n∴( n＋2) Sn＝ n(Sn＋1 － Sn)，即 nSn＋1 ＝2( n＋1) Sn.∴ ＝2· ，又 ＝1≠0，(小前提)Sn＋ 1n＋ 1 Snn S11故 是以 1 为首项，2 为公比的等比数列．(结论){Snn}(大前提是等比数列的定义，这里省略了)(2)由(1)可知 ＝4· (n≥2)，Sn＋ 1n＋ 1 Sn－ 1n－ 1∴ Sn＋1 ＝4( n＋1)· ＝4· ·Sn－1Sn－ 1n－ 1 n－ 1＋ 2n－ 17＝4 an(n≥2)，(小前提)又 a2＝3 S1＝3， S2＝ a1＋ a2＝1＋3＝4＝4 a1，(小前提)∴对于任意正整数 n，都有 Sn＋1 ＝4 an.(结论)(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)思维升华 演绎推理是由一般到特殊的推理，常用的一般模式为三段论，演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提，一般地，若大前提不明确时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．某国家流传这样的一个政治笑话：“鹅吃白菜，参议员先生也吃白菜，所以参议员先生是鹅． ”结论显然是错误的，是因为________．①大前提错误； ②小前提错误；③推理形式错误； ④非以上错误．答案 ③解析 因为大前提的形式“鹅吃白菜” ，不是全称命题，大前提本身正确，小前提“参议员先生也吃白菜”本身也正确，但不是大前提下的特殊情况，鹅与人不能类比，所以不符合三段论推理形式，所以推理形式错误．10．高考中的合情推理问题典例 1 (1)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数 1,3,6,10，…记为数列{ an}，将可被 5 整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{ bn}，可以推测：① b2 014是数列{ an}的第________项；② b2k－1 ＝________.(用 k 表示)解析 ① an＝1＋2＋…＋ n＝ ，n n＋ 12b1＝ ＝ a4，4×52b2＝ ＝ a5，5×628b3＝ ＝ a9，9 2×52b4＝ ＝ a10， 2×5 ×112b5＝ ＝ a14，14× 3×52b6＝ ＝ a15， 3×5 ×162…b2 014＝ ＝ a5 035.(2 0142 ×5)(2 0142 ×5＋ 1)2②由①知 b2k－1 ＝ ＝ .(2k－ 1＋ 12 ×5－ 1)(2k－ 1＋ 12 ×5)2 5k 5k－ 12答案 ①5 035 ②5k 5k－ 12(2)设 S， T 是 R 的两个非空子集，如果存在一个从 S 到 T 的函数 y＝ f(x)满足：(1) T＝{ f(x)|x∈ S}；(2)对任意 x1， x2∈ S，当 x1AB，则 P 点的轨迹为椭圆；②由 a1＝1， an＝3 n－1，求出 S1， S2， S3，猜想出数列的前 n 项和 Sn的表达式；③由圆 x2＋ y2＝ r2的面积 π r2，猜想出椭圆 ＋ ＝1 的面积 S＝π ab；x2a2 y2b2④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇．答案 ②解析 从 S1， S2， S3猜想出数列的前 n 项和 Sn，是从特殊到一般的推理，所以②是归纳推理．2．正弦函数是奇函数， f(x)＝sin( x2＋1)是正弦函数，因此 f(x)＝sin( x2＋1)是奇函数，以上推理________．①结论正确； ②大前提不正确；③小前提不正确； ④全不正确．答案 ③解析 f(x)＝sin( x2＋1)不是正弦函数，所以小前提错误．3．平面内有 n 条直线，最多可将平面分成 f(n)个区域，则 f(n)的表达式为 f(n)＝__________.答案 n2＋ n＋ 22解析 1 条直线将平面分成 1＋1 个区域；2 条直线最多可将平面分成 1＋(1＋2)＝4 个区域；103 条直线最多可将平面分成 1＋(1＋2＋3)＝7 个区域；……； n 条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋ n)＝1＋ ＝ 个区域．n n＋ 12 n2＋ n＋ 224．给出下列三个类比结论：①( ab)n＝ anbn与( a＋ b)n类比，则有( a＋ b)n＝ an＋ bn；②log a(xy)＝log ax＋log ay 与 sin(α ＋ β )类比，则有 sin(α ＋ β )＝sin α sin β ；③( a＋ b)2＝ a2＋2 ab＋ b2与( a＋ b)2类比，则有( a＋ b)2＝ a2＋2 a·b＋ b2.其中正确结论的个数是________．答案 1解析 ( a＋ b)n≠ an＋ bn(n≠1， a·b≠0)，故①错误．sin(α ＋ β )＝sin α sin β 不恒成立．如 α ＝30°， β ＝60°，sin 90°＝1，sin 30°·sin 60°＝ ，34故②错误．由向量的运算公式知③正确．5．若数列{ an}是等差数列，则数列{ bn}(bn＝ )也为等差数列．类比这一性质a1＋ a2＋ …＋ ann可知，若正项数列{ cn}是等比数列，且{ dn}也是等比数列，则 dn的表达式应为__________．① dn＝ ② dn＝c1＋ c2＋ …＋ cnn c1·c2·…·cnn③ dn＝ ④ dn＝ncn1＋ cn2＋ …＋ cnn nc1·c2·…·cn答案 ④解析 若{ an}是等差数列，则 a1＋ a2＋…＋ an＝ na1＋ d，n n－ 12∴ bn＝ a1＋ d＝ n＋ a1－ ，即{ bn}为等差数列； n－ 12 d2 d2若{ cn}是等比数列，则 c1·c2·…·cn＝ c ·q1＋2＋…＋( n－1) n1(1)2·cq＝ ，∴ dn＝ 即{ dn}为等比数列．nc1·c2·…·cn)＝ ，6．观察下列不等式：1＋ b0)外，过 P0作椭圆的两条切线的切点为 P1， P2，则x2a2 y2b2切点弦 P1P2所在的直线方程是 ＋ ＝1，那么对于双曲线则有如下命题：若 P0(x0， y0)x0xa2 y0yb2在双曲线 － ＝1( a0， b0)外，过 P0作双曲线的两条切线，切点为 P1， P2，则切点弦x2a2 y2b2P1P2所在直线的方程是________________．答案 － ＝1x0xa2 y0yb2解析 设 P1(x1， y1)， P2(x2， y2)，则 P1， P2的切线方程分别是－ ＝1， － ＝1.x1xa2 y1yb2 x2xa2 y2yb2因为 P0(x0， y0)在这两条切线上，故有 － ＝1，x1x0a2 y1y0b2－ ＝1，x2x0a2 y2y0b2这说明 P1(x1， y1)， P2(x2， y2)在直线 － ＝1 上，x0xa2 y0yb2故切点弦 P1P2所在的直线方程是 － ＝1.x0xa2 y0yb28．已知等差数列{ an}中，有 ＝ ，则在等比数列{ bn}中，a11＋ a12＋ …＋ a2010 a1＋ a2＋ …＋ a3030会有类似的结论：______________________.答案 ＝10b11b12…b20 30b1b2…b30解析 由等比数列的性质可知b1b30＝ b2b29＝…＝ b11b20，12∴ ＝ .10b11b12…b20 30b1b2…b309．设 f(x)＝ ，先分别求 f(0)＋ f(1)， f(－1)＋ f(2)， f(－2)＋ f(3)，然后归纳猜13x＋ 3想一般性结论，并给出证明．解 f(0)＋ f(1)＝ ＋130＋ 3 131＋ 3＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ，11＋ 3 13＋ 3 3－ 12 3－ 36 33同理可得： f(－1)＋ f(2)＝ ，33f(－2)＋ f(3)＝ ，并注意到在这三个特殊式子中，自变量之和均等于 1.33归纳猜想得：当 x1＋ x2＝1 时，均有 f(x1)＋ f(x2)＝ .33证明：设 x1＋ x2＝1， 12() 3xxff12122123()()()3x xxx121233.()()x x10．在 Rt△ ABC 中， AB⊥ AC， AD⊥ BC 于 D，求证： ＝ ＋ ，那么在四面体 A—BCD 中，1AD2 1AB2 1AC2类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．13解 如图所示，由射影定理得AD2＝ BD·DC， AB2＝ BD·BC，AC2＝ BC·DC，∴ ＝1AD2 1BD·DC＝ ＝ .BC2BD·BC·DC·BC BC2AB2·AC2又 BC2＝ AB2＋ AC2，∴ ＝ ＝ ＋ .1AD2 AB2＋ AC2AB2·AC2 1AB2 1AC2猜想，四面体 A—BCD 中， AB、 AC、 AD 两两垂直， AE⊥平面 BCD，则 ＝ ＋ ＋ .1AE2 1AB2 1AC2 1AD2证明：如图，连结 BE 并延长交 CD 于 F，连结 AF.∵ AB⊥ AC， AB⊥ AD， AC∩ AD＝ D，AC⊂平面 ACD， AD⊂平面 ACD，∴ AB⊥平面 ACD.∵ AF⊂平面 ACD，∴ AB⊥ AF.在 Rt△ ABF 中， AE⊥ BF，∴ ＝ ＋ .1AE2 1AB2 1AF2在 Rt△ ACD 中， AF⊥ CD，∴ ＝ ＋ ，1AF2 1AC2 1AD2∴ ＝ ＋ ＋ .1AE2 1AB2 1AC2 1AD2B 组 专项能力提升(时间：30 分钟)11．已知①正方形的对角线相等；②矩形的对角线相等；③正方形是矩形．根据“三段论”推理出一个结论．则这个结论是________．(填序号)答案 ①解析 根据演绎推理的特点，正方形与矩形是特殊与一般的关系，所以结论是正方形的对角线相等．12.如图，我们知道，圆环也可以看作线段 AB 绕圆心 O 旋转一周所形成的平面图形，又圆环的面积 S＝π( R2－ r2)＝( R－ r)×2π×.所以，圆环的面积等于以线段 AB＝ R－ r 为宽，以 AB 中点绕R＋ r2圆心 O 旋转一周所形成的圆的周长 2π× 为长的矩形面积．请R＋ r214你将上述想法拓展到空间，并解决下列问题：若将平面区域 M＝{( x， y)|(x－ d)2＋ y2≤ r2}(其中 0rd)绕 y 轴旋转一周，则所形成的旋转体的体积是________．答案 2π 2r2d解析 平面区域 M 的面积为 π r2，由类比知识可知：平面区域 M 绕 y 轴旋转一周得到的旋转体为实心的车轮内胎，旋转体的体积等于以圆(面积为 π r2)为底，以 O 为圆心、 d 为半径的圆的周长 2π d 为高的圆柱的体积，所以旋转体的体积 V＝π r2×2π d＝2π 2r2d.13．如图(1)若从点 O 所作的两条射线 OM、 ON 上分别有点 M1、 M2与点 N1、 N2，则三角形面积之比 ＝ · .如图(2)，若从点 O 所作的不在同一平面内的三条射线 OP、 OQ 和12OMNSOM1OM2 ON1ON2OR 上分别有点 P1、 P2，点 Q1、 Q2和点 R1、 R2，则类似的结论为__________________．答案 121122OPQRVOR解析 考查类比推理问题，由图看出三棱锥 P1－ OR1Q1及三棱锥 P2－ OR2Q2的底面面积之比为· ，又过顶点分别向底面作垂线，得到高的比为 ，故体积之比为OQ1OQ2 OR1OR2 OP1OP2121122.PVR14．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°；②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°；③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°；④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°；⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．解 (1)选择②式，计算如下：sin215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－ sin 30°12＝1－ ＝ .14 3415(2)三角恒等式为sin2α ＋cos 2(30°－ α )－sin α ·cos(30°－ α )＝ .34证明如下：sin2α ＋cos 2(30°－ α )－sin α ·cos(30°－ α )＝sin 2α ＋(cos 30°cos α ＋sin 30°sin α )2－sin α ·(cos 30°·cos α ＋sin 30°sin α )＝sin 2α ＋ cos2α ＋ sin α cos α ＋ sin2α － sin α cos α － sin2α34 32 14 32 12＝sin 2α ＋ cos2α － sin2α ＝ sin2α ＋ cos2α ＝ .34 14 34 34 3415．对于三次函数 f(x)＝ ax3＋ bx2＋ cx＋ d(a≠0)，给出定义：设 f′( x)是函数 y＝ f(x)的导数， f″( x)是 f′( x)的导数，若方程 f″( x)＝0 有实数解 x0，则称点( x0， f(x0))为函数y＝ f(x)的“拐点” ．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点” ；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若 f(x)＝ x3－ x2＋3 x－ ，请你根据这一13 12 512发现，(1)求函数 f(x)的对称中心；(2)计算 f( )＋ f( )＋ f( )＋ f( )＋…＋ f( )．12 013 22 013 32 013 42 013 2 0122 013解 (1) f′( x)＝ x2－ x＋3， f″( x)＝2 x－1，由 f″( x)＝0，即 2x－1＝0，解得 x＝ .12f( )＝ ×( )3－ ×( )2＋3× － ＝1.12 13 12 12 12 12 512由题中给出的结论，可知函数 f(x)＝ x3－ x2＋3 x－ 的对称中心为( ，1)．13 12 512 12(2)由(1)，知函数 f(x)＝ x3－ x2＋3 x－ 的对称中心为( ，1)，13 12 512 12所以 f( ＋ x)＋ f( － x)＝2，12 12即 f(x)＋ f(1－ x)＝2.故 f( )＋ f( )＝2，12 013 2 0122 013f( )＋ f( )＝2，22 013 2 0112 013f( )＋ f( )＝2，32 013 2 0102 01316…f( )＋ f( )＝2.2 0122 013 12 013所以 f( )＋ f( )＋ f( )＋ f( )＋…＋ f( )＝ ×2×2 012＝2 012.12 013 22 013 32 013 42 013 2 0122 013 121【步步高】 （江苏专用）2017 版高考数学一轮复习 第十三章 推理与证明、算法、复数 13.2 直接证明与间接证明 理1．直接证明(1)综合法①定义：从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方法常称为综合法．②框图表示： ⇒…⇒…⇒已 知 条 件 结 论③思维过程：由因导果．(2)分析法①定义：从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止．这种证明方法常称为分析法．②框图表示： ⇐…⇐…⇐结 论 已 知 条 件③思维过程：执果索因．2．间接证明(1)反证法：假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立的证明方法．(2)反证法的步骤：①反设——假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真；②归谬——从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果；③存真——由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)综合法是直接证明，分析法是间接证明．( × )(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．( × )(3)用反证法证明结论“ ab”时，应假设“ aa ＋ b ，则 a、 b 应满足的条件是__________________．a b b a答案 a≥0， b≥0 且 a≠ b解析 ∵ a ＋ b －( a ＋ b )a b b a＝ (a－ b)＋ (b－ a)a b＝( － )(a－ b)a b＝( － )2( ＋ )．a b a b∴当 a≥0， b≥0 且 a≠ b 时，( － )2( ＋ )0.a b a b∴ a ＋ b a ＋ b 成立的条件是 a≥0， b≥0 且 a≠ b.a b b a5．(教材改编)在△ ABC 中，三个内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且 A， B， C 成等差数3列， a， b， c 成等比数列，则△ ABC 的形状为________三角形．答案 等边解析 由题意 2B＝ A＋ C，又 A＋ B＋ C＝π，∴ B＝ ，又 b2＝ ac，π 3由余弦定理得 b2＝ a2＋ c2－2 accos B＝ a2＋ c2－ ac，∴ a2＋ c2－2 ac＝0，即( a－ c)2＝0，∴ a＝ c，∴ A＝ C，∴ A＝ B＝ C＝ ，π 3∴△ ABC 为等边三角形.题型一 综合法的应用例 1 对于定义域为[0,1]的函数 f(x)，如果同时满足：①对任意的 x∈[0,1]，总有 f(x)≥0；② f(1)＝1；③若 x1≥0， x2≥0， x1＋ x2≤1，都有 f(x1＋ x2)≥ f(x1)＋ f(x2)成立，则称函数 f(x)为理想函数．(1)若函数 f(x)为理想函数，证明： f(0)＝0；(2)试判断函数 f(x)＝2 x(x∈[0,1])， f(x)＝ x2(x∈[0,1])， f(x)＝ (x∈[0,1])是不是理x想函数．(1)证明 取 x1＝ x2＝0，则 x1＋ x2＝0≤1，∴ f(0＋0)≥ f(0)＋ f(0)，∴ f(0)≤0.又对任意的 x∈[0,1]，总有 f(x)≥0，∴ f(0)≥0.于是 f(0)＝0.(2)解 对于 f(x)＝2 x， x∈[0,1]， f(1)＝2 不满足新定义中的条件②，∴ f(x)＝2 x，( x∈[0,1])不是理想函数．对于 f(x)＝ x2， x∈[0,1]，显然 f(x)≥0，且 f(1)＝1.任意的 x1， x2∈[0,1]， x1＋ x2≤1，f(x1＋ x2)－ f(x1)－ f(x2)＝( x1＋ x2)2－ x － x ＝2 x1x2≥0，21 2即 f(x1)＋ f(x2)≤ f(x1＋ x2)．∴ f(x)＝ x2(x∈[0,1])是理想函数．对于 f(x)＝ ， x∈[0,1]，显然满足条件①②.x4对任意的 x1， x2∈[0,1]， x1＋ x2≤1，有 f2(x1＋ x2)－[ f(x1)＋ f(x2)]2＝( x1＋ x2)－( x1＋2 ＋ x2)＝－2 ≤0，x1x2 x1x2即 f2(x1＋ x2)≤[ f(x1)＋ f(x2)]2.∴ f(x1＋ x2)≤ f(x1)＋ f(x2)，不满足条件③.∴ f(x)＝ (x∈[0,1])不是理想函数．x综上， f(x)＝ x2(x∈[0,1])是理想函数， f(x)＝2 x(x∈[0,1])与 f(x)＝ (x∈[0,1])不是x理想函数．思维升华 (1)综合法是“由因导果”的证明方法，它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发，经过一系列中间推理，最后导出所要求证结论的真实性．(2)综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理．设 a、 b、 c 均为正数，且 a＋ b＋ c＝1，证明：(1)ab＋ bc＋ ac≤ ；(2) ＋ ＋ ≥1.13 a2b b2c c2a证明 (1)由 a2＋ b2≥2 ab， b2＋ c2≥2 bc， c2＋ a2≥2 ac 得a2＋ b2＋ c2≥ ab＋ bc＋ ca.由题设知( a＋ b＋ c)2＝1，即 a2＋ b2＋ c2＋2 ab＋2 bc＋2 ca＝1.所以 3(ab＋ bc＋ ca)≤1，即 ab＋ bc＋ ca≤ .13(2)因为 ＋ b≥2 a， ＋ c≥2 b， ＋ a≥2 c，a2b b2c c2a故 ＋ ＋ ＋( a＋ b＋ c)≥2( a＋ b＋ c)，a2b b2c c2a即 ＋ ＋ ≥ a＋ b＋ c.所以 ＋ ＋ ≥1.a2b b2c c2a a2b b2c c2a题型二 分析法的应用例 2 已知函数 f(x)＝tan x， x∈ ，若 x1， x2∈ ，且 x1≠ x2，求证： [f(x1)(0，π 2) (0， π 2) 12＋ f(x2)]f .(x1＋ x22 )证明 要证 [f(x1)＋ f(x2)]f ，12 (x1＋ x22 )即证明 (tan x1＋tan x2)tan ，12 x1＋ x22只需证明 tan ，12(sin x1cos x1＋ sin x2cos x2) x1＋ x225只需证明 .sin x1＋ x22cos x1cos x2 sin x1＋ x21＋ cos x1＋ x2由于 x1， x2∈ ，故 x1＋ x2∈(0，π)．(0，π 2)所以 cos x1cos x20，sin( x1＋ x2)0,1＋cos( x1＋ x2)0，故只需证明 1＋cos( x1＋ x2)2cos x1cos x2，即证 1＋cos x1cos x2－sin x1sin x22cos x1cos x2，即证 cos(x1－ x2)f .12 (x1＋ x22 )引申探究若本例中 f(x)变为 f(x)＝3 x－2 x，试证：对于任意的 x1， x2∈R，均有≥ f .f x1 ＋ f x22 (x1＋ x22 )证明 要证明 ≥ f ，f x1 ＋ f x22 (x1＋ x22 )即证明 ≥ －2· ，1(3)()xx13xx1＋ x22因此只要证明 －( x1＋ x2)≥ －( x1＋ x2)，12x 12即证明 ≥ ，123x12因此只要证明 ≥ ，12x123x由于 x1， x2∈R 时， 120,，由基本不等式知 ≥ 显然成立，故原结论成立．2x123x思维升华 (1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件．正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键．(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证．已知 a0，求证 － ≥ a＋ －2.a2＋ 1a2 2 1a6证明 要证 － ≥ a＋ －2，a2＋ 1a2 2 1a只需要证 ＋2≥ a＋ ＋ .a2＋ 1a2 1a 2因为 a0，故只需要证( ＋2) 2≥( a＋ ＋ )2，a2＋ 1a2 1a 2即 a2＋ ＋4 ＋4≥ a2＋2＋ ＋2 (a＋ )＋2，1a2 a2＋ 1a2 1a2 2 1a从而只需要证 2 ≥ (a＋ )，a2＋ 1a2 2 1a只需要证 4(a2＋ )≥2( a2＋2＋ )，1a2 1a2即 a2＋ ≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立．1a2题型三 反证法的应用命题点 1 证明否定性命题例 3 已知数列{ an}的前 n 项和为 Sn，且满足 an＋ Sn＝2.(1)求数列{ an}的通项公式；(2)求证：数列{ an}中不存在三项按原来顺序成等差数列．(1)解 当 n＝1 时， a1＋ S1＝2 a1＝2，则 a1＝1.又 an＋ Sn＝2，所以 an＋1 ＋ Sn＋1 ＝2，两式相减得 an＋1 ＝ an，12所以{ an}是首项为 1，公比为 的等比数列，12所以 an＝ .12n－ 1(2)证明 反证法：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为 ap＋1 ， aq＋1 ， ar＋1 (p－2)，使函数 h(x)＝ 是区间[ a， b]上的“四维光军”函数？1x＋ 2若存在，求出 a， b 的值；若不存在，请说明理由．解 (1)由题设得 g(x)＝ (x－1) 2＋1，其图象的对称轴为 x＝1，区间[1， b]在对称轴的右12边，所以函数在区间[1， b]上单调递增．由“四维光军”函数的定义可知， g(1)＝1， g(b)＝ b，即 b2－ b＋ ＝ b，解得 b＝1 或 b＝3.12 32因为 b1，所以 b＝3.(2)假设函数 h(x)＝ 在区间[ a， b] (a－2)上是“四维光军”函数，1x＋ 2因为 h(x)＝ 在区间(－2，＋∞)上单调递减，1x＋ 2所以有Error! 即Error!解得 a＝ b，这与已知矛盾．故不存在．命题点 3 证明唯一性命题例 5 已知 M 是由满足下述条件的函数构成的集合：对任意 f(x)∈ M，(ⅰ)方程 f(x)－ x＝0有实数根；(ⅱ)函数 f(x)的导数 f′( x)满足 00 ② a2＋ b2≥2( a－ b－1)③ a2＋3 ab2b2 ④ 2，所以①不正确；对于②，其假设正确．113．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设 abc，且 a＋ b＋ c＝0，求证 0 ② a－ c0③( a－ b)(a－ c)0 ④( a－ b)(a－ c)0⇐(a－ c)(2a＋ c)0⇐(a－ c)(a－ b)0.4．若 P＝ ＋ ， Q＝ ＋ (a≥0)，则 P， Q 的大小关系是____________．a a＋ 7 a＋ 3 a＋ 4答案 P1；② a＋ b＝2；③ a＋ b2；④ a2＋ b22；⑤ ab1.其中能推出：“ a， b 中至少有一个大于 1”的条件是_____________________________．答案 ③解析 若 a＝ ， b＝ ，则 a＋ b1，12 23但 a2，故④推不出；若 a＝－2， b＝－3，则 ab1，故⑤推不出；对于③，即 a＋ b2，则 a， b 中至少有一个大于 1，反证法：假设 a≤1 且 b≤1，则 a＋ b≤2 与 a＋ b2 矛盾，因此假设不成立， a， b 中至少有一个大于 1.6．用反证法证明命题“ a， b∈R， ab 可以被 5 整除，那么 a， b 中至少有一个能被 5 整除” ，12那么假设的内容是____________________________．答案 a， b 中没有一个能被 5 整除解析 “至少有 n 个”的否定是“最多有 n－1 个” ，故应假设 a， b 中没有一个能被 5 整除．7．下列条件：① ab0，② ab0， b0，④ a0 且 0 成立，即 a， b 不为 0 且同号即可，故①③④能使ba ab ba ab＋ ≥2 成立．ba ab8．若二次函数 f(x)＝4 x2－2( p－2) x－2 p2－ p＋1，在区间[－1,1]内至少存在一点 c，使f(c)0，则实数 p 的取值范围是____________．答案 (－ 3，32)解析 令Error!解得 p≤－3 或 p≥ ， 32故满足条件的 p 的范围为 .(－ 3，32)9．已知 a≥ b0，求证：2 a3－ b3≥2 ab2－ a2b.证明 要证明 2a3－ b3≥2 ab2－ a2b 成立，只需证：2 a3－ b3－2 ab2＋ a2b≥0，即 2a(a2－ b2)＋ b(a2－ b2)≥0，即( a＋ b)(a－ b)(2a＋ b)≥0.∵ a≥ b0，∴ a－ b≥0， a＋ b0,2a＋ b0，从而( a＋ b)(a－ b)(2a＋ b)≥0 成立，∴2 a3－ b3≥2 ab2－ a2b.10．已知四棱锥 S－ ABCD 中，底面是边长为 1 的正方形，又 SB＝ SD＝ ， SA＝1.2(1)求证： SA⊥平面 ABCD；(2)在棱 SC 上是否存在异于 S， C 的点 F，使得 BF∥平面 SAD？若存在，确定 F 点的位置；若不存在，请说明理由．(1)证明 由已知得 SA2＋ AD2＝ SD2，∴ SA⊥ AD.同理 SA⊥ AB.又 AB∩ AD＝ A，13∴ SA⊥平面 ABCD.(2)解 假设在棱 SC 上存在异于 S， C 的点 F，使得 BF∥平面 SAD.∵ BC∥ AD， BC⊄平面 SAD.∴ BC∥平面 SAD.而 BC∩ BF＝ B，∴平面 FBC∥平面 SAD.这与平面 SBC 和平面 SAD 有公共点 S 矛盾，∴假设不成立．∴不存在这样的点 F，使得 BF∥平面 SAD.B 组 专项能力提升(时间：30 分钟)11．已知函数 f(x)＝( )x， a， b 是正实数， A＝ f( )， B＝ f( )， C＝ f( )，则12 a＋ b2 ab 2aba＋ bA、 B、 C 的大小关系为__________．答案 A≤ B≤ C解析 ∵ ≥ ≥ ，又 f(x)＝( )x在 R 上是减函数．a＋ b2 ab 2aba＋ b 12∴ f( )≤ f( )≤ f( )，即 A≤ B≤ C.a＋ b2 ab 2aba＋ b12．如果△ A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△ A2B2C2的三个内角的正弦值，则下列说法正确的是________．①△ A1B1C1和△ A2B2C2都是锐角三角形；②△ A1B1C1和△ A2B2C2都是钝角三角形；③△ A1B1C1是钝角三角形，△ A2B2C2是锐角三角形；④△ A1B1C1是锐角三角形，△ A2B2C2是钝角三角形．答案 ④解析 由条件知，△ A1B1C1的三个内角的余弦值均大于 0，则△ A1B1C1是锐角三角形，假设△ A2B2C2是锐角三角形．由Error!得Error!那么， A2＋ B2＋ C2＝ ，π 2这与三角形内角和为 180°相矛盾．所以假设不成立，又显然△ A2B2C2不是直角三角形．所以△ A2B2C2是钝角三角形．13．凸函数的性质定理：如果函数 f(x)在区间 D 上是凸函数，则对于区间 D 内的任意14x1， x2，…， xn，有 ≤ f( )，已知函数f x1 ＋ f x2 ＋ …＋ f xnn x1＋ x2＋ …＋ xnny＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，则在△ ABC 中，sin A＋sin B＋sin C 的最大值为________．答案 332解析 ∵ f(x)＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，且 A、 B、 C∈(0，π)．∴ ≤ f( )＝ f( )，f A ＋ f B ＋ f C3 A＋ B＋ C3 π 3即 sin A＋sin B＋sin C≤3sin ＝ ，π 3 332所以 sin A＋sin B＋sin C 的最大值为 .33214．已知二次函数 f(x)＝ ax2＋ bx＋ c (a0)的图象与 x 轴有两个不同的交点，若 f(c)＝0，且 00.(1)证明： 是 f(x)＝0 的一个根；1a(2)试比较 与 c 的大小；1a(3)证明：－20，1a 1a由 00，知 f 0 与 f ＝0 矛盾，(1a) (1a)∴ ≥ c，又∵ ≠ c，∴ c.1a 1a 1a(3)证明 由 f(c)＝0，得 ac＋ b＋1＝0，∴ b＝－1－ ac.又 a0， c0，∴ b0，∴ b－2，∴－20.anan＋1 bsbt，则只能有 2bs＝ br＋ bt成立．∴2· ( )s－1 ＝ ( )r－1 ＋ ( )t－1 ，1423 1423 1423两边同乘以 3t－1 21－ r，化简得 3t－ r＋2 t－ r＝2·2 s－ r3t－ s.16由于 rst，∴上式左边为奇数，右边为偶数，故上式不可能成立，导致矛盾．故数列{ bn}中任意三项不可能成等差数列．