（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数I习题 文（打包9套）.zip

1【步步高】 （江苏专用）2017 版高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数 I 2.1 函数及其表示 文1．函数与映射函数 映射两集合A、 B设 A， B 是两个非空数集 设 A， B 是两个非空集合对应法则f： A→ B如果按某种对应法则 f，对于集合 A中的每一个元素 x，在集合 B 中都有唯一的元素 y 和它对应如果按某种对应法则 f，对于 A 中的每一个元素，在 B 中都有唯一的元素与之对应名称这样的对应叫做从集合 A 到集合 B的一个函数称对应 f： A→ B 为从集合 A 到集合B 的映射记法 y＝ f(x)(x∈ A) f： A→ B2.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域在函数 y＝ f(x)， x∈ A 中，其中所有 x 组成的集合 A 称为函数 y＝ f(x)的定义域；将所有 y组成的集合叫做函数 y＝ f(x)的值域．(2)函数的三要素：定义域、对应法则和值域．(3)函数的表示法表示函数的常用方法有列表法、解析法和图象法．3．分段函数在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式，这样的函数，通常叫做分段函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．4．常见函数定义域的求法类型 x 满足的条件， n∈N *2nf x f(x)≥0与[ f(x)]01f xf(x)≠02logaf(x)(a0， a≠1) f(x)0logf(x)g(x) f(x)0，且 f(x)≠1，g(x)0tan f(x) f(x)≠ kπ＋ ， k∈Zπ 2【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)对于函数 f： A→ B，其值域是集合 B.( × )(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．( × )(3)映射是特殊的函数．( × )(4)若 A＝R， B＝{ x|x0}， f： x→ y＝| x|，其对应是从 A 到 B 的映射．( × )(5)分段函数是由两个或几个函数组成的．( × )(6)若函数 f(x)的定义域为{ x|1≤ x2 或 00 时，每一个 x 的值对应两个不同的 y 值，因此不是函数图象，②中当 x＝ x0时， y 的值有两个，因此不是函数图象，③④中每一个 x 的值对应唯一的 y 值，因此是函数图象．题型二 函数的定义域命题点 1 求给定函数解析式的定义域例 2 (1)函数 f(x)＝ ＋ 的定义域为__________．1－ 2x1x＋ 3(2)函数 f(x)＝ 的定义域是______________．lg x＋ 1x－ 1答案 (1)(－3,0] (2)(－1,1)∪(1，＋∞)解析 (1)由题意知Error!解得－30 且 x－1≠0，得 x－1，且 x≠1.lg x＋ 1x－ 1命题点 2 求抽象函数的定义域例 3 (1)若函数 y＝ f(x)的定义域是[1,2 016]，则函数 g(x)＝ 的定义域是f x＋ 1x－ 15____________．(2)若函数 f(x)的定义域为(0,1]，则函数 f 的定义域为(lg x2＋ x2 )________________________________________________________________________．答案 (1)[0,1)∪(1,2 015] (2)[－5，－2)或(1,4]解析 (1)令 t＝ x＋1，则由已知函数的定义域为[1，2 016]，可知 1≤ t≤2 016.要使函数f(x＋1)有意义，则有 1≤ x＋1≤2 016，解得 0≤ x≤2 015，故函数 f(x＋1)的定义域为[0，2 015]．所以使函数 g(x)有意义的条件是Error!解得 0≤ x1) (2)2 x＋7 (3) ＋2x－ 1 23x 13解析 (1)(换元法)令 t＝ ＋1( t1)，则 x＝ ，2x 2t－ 1∴ f(t)＝lg ，即 f(x)＝lg (x1)．2t－ 1 2x－ 1(2)(待定系数法)设 f(x)＝ ax＋ b(a≠0)，则 3f(x＋1)－2 f(x－1)＝3 ax＋3 a＋3 b－2 ax＋2 a－2 b＝ ax＋5 a＋ b，即 ax＋5 a＋ b＝2 x＋17 不论 x 为何值都成立，∴Error! 解得Error!∴ f(x)＝2 x＋7.(3)(消去法)在 f(x)＝2 f( ) －1 中，用 代替 x，1x x 1x得 f( )＝2 f(x) －1，1x 1x将 f( )＝ －1 代入 f(x)＝2 f( ) －1 中，1x 2f xx 1x x可求得 f(x)＝ ＋ .23x 13思维升华 函数解析式的求法(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法；(2)换元法：已知复合函数 f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(3)配凑法：由已知条件 f(g(x))＝ F(x)，可将 F(x)改写成关于 g(x)的表达式，然后以 x 替代 g(x)，便得 f(x)的解析式；(4)消去法：已知 f(x)与 f 或 f(－ x)之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个(1x)7等式组成方程组，通过解方程组求出 f(x)．(1)已知 f( ＋1)＝ x＋2 ，则 f(x)＝________.x x(2)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x＋1)＝2 f(x)．若当 0≤ x≤1 时， f(x)＝ x(1－ x)，则当－1≤ x≤0 时， f(x)＝________.(3)定义在(－1,1)内的函数 f(x)满足 2f(x)－ f(－ x)＝lg( x＋1)，则 f(x)＝__________________.答案 (1) x2－1( x≥1) (2)－ x(x＋1)12(3) lg(x＋1)＋ lg(1－ x) (－10，所以 f( )＝log 2x，则 f(x)＝log 2 ＝－log 2x.1x 1x6．已知函数 f(x)＝log 2 ， f(a)＝3，则 a＝________.1x＋ 1答案 －78解析 由题意可得 log2 ＝3，所以 ＝2 3，1a＋ 1 1a＋ 1解得 a＝－ .787．设函数 f(x)＝Error!则使 f(x)＝ 的 x 的集合为__________．12答案 {－ 1， 2，22}10解析 由题意知，若 x≤0，则 2x＝ ，解得 x＝－1；若 x0，则|log 2x|＝ ，解得 x＝212 12或 x＝ 2 .故 x 的集合为 .11{－ 1， 2， 22}8．(2015·浙江)已知函数 f(x)＝Error!则f(f(－3))＝________， f(x)的最小值是________．答案 0 2 －32解析 ∵ f(－3)＝lg[(－3) 2＋1]＝lg 10＝1，∴ f(f(－3))＝ f(1)＝0，当 x≥1 时， f(x)＝ x＋ －3≥2 －3，当且仅当 x＝ 时，取等号，此时 f(x)2x 2 2min＝2 －30；2当 x＜1 时， f(x)＝lg( x2＋1)≥lg 1＝0，当且仅当 x＝0 时，取等号，此时 f(x)min＝0.∴ f(x)的最小值为 2 －3.29．已知 f(x)是二次函数，若 f(0)＝0，且 f(x＋1)＝ f(x)＋ x＋1，求函数 f(x)的解析式．解 设 f(x)＝ ax2＋ bx＋ c (a≠0)，又 f(0)＝0，∴ c＝0，即 f(x)＝ ax2＋ bx.又∵ f(x＋1)＝ f(x)＋ x＋1.∴ a(x＋1) 2＋ b(x＋1)＝ ax2＋ bx＋ x＋1.∴(2 a＋ b)x＋ a＋ b＝( b＋1) x＋1，∴Error! 解得Error!∴ f(x)＝ x2＋ x.12 1210．根据如图所示的函数 y＝ f(x)的图象，写出函数的解析式．解 当－3≤ x－1 时，函数 y＝ f(x)的图象是一条线段(右端点除外)，设 f(x)＝ ax＋ b(a≠0)，将点(－3,1)，(－1，－2)代入，可得 f(x)＝－ x－ ；32 72当－1≤ x1 时，同理可设 f(x)＝ cx＋ d(c≠0)，将点(－1，－2)，(1,1)代入，可得 f(x)＝ x－ ；32 12当 1≤ x2 时， f(x)＝1.所以 f(x)＝Error!B 组 专项能力提升(时间：20 分钟)1111．若函数 y＝ 的定义域为 R，则实数 a 的取值范围是________．ax＋ 1ax2＋ 2ax＋ 3答案 [0,3)解析 因为函数 y＝ 的定义域为 R，ax＋ 1ax2＋ 2ax＋ 3所以 ax2＋2 ax＋3＝0 无实数解，即函数 y＝ ax2＋2 ax＋3 的图象与 x 轴无交点．当 a＝0 时，函数 y＝ 的图象与 x 轴无交点；13当 a≠0 时，则 Δ ＝(2 a)2－4·3 a0，解得 0a3.综上所述， a 的取值范围是[0,3)．12．已知函数 f(x)＝ ，则 f ＋ ＋…＋ f ＋ f ＝________.4x－ 12x－ 1 ( 12 015) ( 22 015) (2 0132 015) (2 0142 015)答案 4 028解析 ∵ f(x)＝ ＝ ＝2＋ ，4x－ 12x－ 1 2 2x－ 1 ＋ 12x－ 1 12x－ 1f(1－ x)＝2＋ ＝2－ ，12 1－ x － 1 12x－ 1∴ f(x)＋ f(1－ x)＝4.f ＋ f ＝4，…， f ＋ f ＝4，(12 015) (2 0142 015) (1 0072 015) (1 0082 015)∴ f ＋ f ＋…＋ f ＋ f(12 015) ( 22 015) (2 0132 015) (2 0142 015)＝4×1 007＝4 028.13．已知函数 f(x)＝ －1 的定义域是[ a， b]，( a， b∈Z)，值域是[0,1]，则满足条件4|x|＋ 2的整数数对( a， b)共有________个．答案 5解析 由 0≤ －1≤1，即 1≤ ≤2，得 0≤| x|≤2，满足条件的整数数对有4|x|＋ 2 4|x|＋ 2(－2,0)，(－2,1)，(－2,2)，(0,2)，(－1,2)，共 5 个．14．已知 x∈R，定义： A(x)表示不小于 x 的最小整数．如 A( )＝2， A(－0.4)3＝0， A(－1.1)＝－1.若 A(2x＋1)＝3，则实数 x 的取值范围是__________．答案 (12， 1]解析 由题中定义可知 A(2x＋1)＝3 等价于 22x＋1≤3，解得 x≤1.1215．如图 1 是某公共汽车线路收支差额 y 元与乘客量 x 的图象．12(1)试说明图 1 上点 A、点 B 以及射线 AB 上的点的实际意义；(2)由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议，如图 2、3 所示．你能根据图象，说明这两种建议的意义吗？(3)此问题中直线斜率的实际意义是什么？(4)图 1、图 2、图 3 中的票价分别是多少元？解 (1)点 A 表示无人乘车时收支差额为－20 元，点 B 表示有 10 人乘车时收支差额为 0 元，线段 AB 上的点表示亏损， AB 延长线上的点表示赢利．(2)图 2 的建议是降低成本，票价不变，图 3 的建议是提高票价．(3)斜率表示票价．(4)图 1、2 中的票价是 2 元．图 3 中的票价是 4 元．1【步步高】 （江苏专用）2017 版高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数 I 2.2 函数的单调性与最值 文1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数 减函数一般地，设函数 y＝ f(x)的定义域为 A，区间 I⊆A，如果对于区间I 内的任意两个值 x1， x2定义当 x1f(x2)，那么就说函数 f(x)在区间 I 上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数 y＝ f(x)在区间 I 上是单调增函数或单调减函数，那么就说函数 y＝ f(x)在区间 I上具有单调性，区间 I 叫做 y＝ f(x)的单调区间．2．函数的最值前提 设函数 y＝ f(x)的定义域为 A，如果存在 x0∈ A，使得条件 对于任意的 x∈ A，都有 f(x)≤ f(x0) 对于任意的 x∈ A，都有 f(x)≥ f(x0)结论 f(x0)为最大值 f(x0)为最小值【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)在增函数与减函数的定义中，可以把“任意两个值 x1， x2”改为“存在两个值x1， x2”．( × )(2)对于函数 f(x)， x∈ D，若 x1， x2∈ D 且( x1－ x2)·[f(x1)－ f(x2)]0，则函数 f(x)在 D 上是增函数．( √ )(3)函数 y＝ f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．( × )2(4)函数 y＝ 的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( × )1x(5)所有的单调函数都有最值．( × )(6)对于函数 y＝ f(x)，若 f(1)0， x1－10 时， f(x1)－ f(x2)0，即 f(x1)f(x2)，函数 f(x)在(－1,1)上递减；当 a0 时， f(x)在(－1,1)上单调递减；当 a0)，则 f(x)在(－1,1)上的单调性如何？axx2－ 1解 设－10， x1x2＋10，( x －1)( x －1)0.21 2又∵ a0，∴ f(x1)－ f(x2)0，∴函数在(－1,1)上为减函数．思维升华 确定函数单调性的方法：(1)定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法和导数法；(2)复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减” ；(3)图象法，图象不连续的单调区间不能用“∪”连结．已知 a0，函数 f(x)＝ x＋ (x0)，证明：函数 f(x)在(0， ]上是减函数，ax a在[ ，＋∞)上是增函数．a证明 方法一 任意取 x1x20，则f(x1)－ f(x2)＝ －(x1＋ax1) (x2＋ ax2)5＝( x1－ x2)＋ ＝( x1－ x2)＋(ax1－ ax2) a x2－ x1x1x2＝( x1－ x2) .(1－ax1x2)当 ≥ x1x20 时， x1－ x20,1－ 0)在(0， ]上为减函数；ax a当 x1x2≥ 时， x1－ x20,1－ 0，aax1x2有 f(x1)－ f(x2)0，即 f(x1)f(x2)，此时，函数 f(x)＝ x＋ (a0)在[ ，＋∞)上为增函数；ax a综上可知，函数 f(x)＝ x＋ (a0)在(0， ]上为减函数，在[ ，＋∞)上为增函数．ax a a方法二 f′( x)＝1－ ，令 f′( x)0，则 1－ 0，ax2 ax2解得 x 或 x0，∴00 恒成立，试求实数 a 的取值范围．解 (1)当 a＝ 时， f(x)＝ x＋ ＋2 在[1，＋∞)上为增函数， f(x)min＝ f(1)＝ .12 12x 72(2)f(x)＝ x＋ ＋2， x∈[1，＋∞)．ax①当 a≤0 时， f(x)在[1，＋∞)内为增函数．最小值为 f(1)＝ a＋3.要使 f(x)0 在 x∈[1，＋∞)上恒成立，只需 a＋30，即 a－3，所以－30， a－3，所以 00， x0)，若 f(x)在 上的值域为[ ，2]，则 a＝________.1a 1x [12， 2] 12答案 (1)2 (2)25解析 (1)当 x≥1 时，函数 f(x)＝ 为减函数，所以 f(x)在 x＝1 处取得最大值，为 f(1)1x＝1；当 x0， x0)在 上单调递增，1a 1x [12， 2]所以Error! 即Error!解得 a＝ .25题型三 函数单调性的应用命题点 1 比较大小例 4 已知函数 f(x)＝log 2x＋ ，若 x1∈(1,2)， x2∈(2，＋∞)，则 f(x1)11－ x________0， f(x2)________0.(判断大小关系)答案 解析 ∵函数 f(x)＝log 2x＋ 在(1，＋∞)上为增函数，且 f(2)＝0，11－ x∴当 x1∈(1,2)时， f(x1)f(2)＝0，即 f(x1)0.命题点 2 解不等式例 5 已知函数 f(x)为 R 上的减函数，则满足 f 0 成立，那么 a 的取值范f x1 － f x2x1－ x2围是________．答案 (1) (2)[ ，2)[－14， 0] 32解析 (1)当 a＝0 时， f(x)＝2 x－3，在定义域 R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当 a≠0 时，二次函数 f(x)的对称轴为 x＝－ ，1a因为 f(x)在(－∞，4)上单调递增，所以 a0，ax＋ 1故 00 时，恒有 f(x)1.(1)求证： f(x)在 R 上是增函数；(2)若 f(3)＝4，解不等式 f(a2＋ a－5)0，∵当 x0 时， f(x)1，∴ f(x2－ x1)1.[2 分]f(x2)＝ f[(x2－ x1)＋ x1]＝ f(x2－ x1)＋ f(x1)－1，[4 分]∴ f(x2)－ f(x1)＝ f(x2－ x1)－10⇒ f(x1)0 时， f(x)1，构造不出 f(x2)－ f(x1)＝ f(x2－ x1)－1 的形式，便找不到问题的突破口．第二个关键应该是将不等式化为 f(M)f(x2)”的是________．(填序号)答案 ①10解析 由题意知 f(x)在(0，＋∞)上是减函数．①中， f(x)＝ 满足要求；1x②中， f(x)＝( x－1) 2在[0,1]上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数；③中， f(x)＝e x是增函数；④中， f(x)＝ln( x＋1)在(0，＋∞)上是增函数．2．已知函数 y＝log 2(ax－1)在(1,2)上单调递增，则实数 a 的取值范围是__________．答案 [1，＋∞)解析 要使 y＝log 2(ax－1)在(1,2)上单调递增，则 a0 且 a－1≥0，∴ a≥1.3．已知函数 y＝ f(x)的图象关于 x＝1 对称，且在(1，＋∞)上单调递增，设a＝ f ， b＝ f(2)， c＝ f(3)，则 a， b， c 的大小关系为______________．(－12)答案 b1)是增函数，故 a1，所以 a12的取值范围为 10 且 f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求 a 的取值范围．(1)证明 任设 x10， x1－ x20， x2－ x10，∴要使 f(x1)－ f(x2)0，只需( x1－ a)(x2－ a)0 在(1，＋∞)上恒成立，∴ a≤1.综上所述， a 的取值范围是(0,1]．10．设函数 y＝ f(x)是定义在(0，＋∞)上的函数，并且满足下面三个条件：①对任意正数x， y，都有 f(xy)＝ f(x)＋ f(y)；②当 x1 时， f(x)1， f f(a＋3)，则实数 a 的取值范围为13_________．答案 (－3，－1)∪(3，＋∞)解析 由已知可得Error!解得－33.所以实数 a 的取值范围为(－3，－1)∪(3，＋∞)．14．已知函数 f(x)＝lg( x＋ －2)，其中 a 是大于 0 的常数．ax(1)求函数 f(x)的定义域；(2)当 a∈(1,4)时，求函数 f(x)在[2，＋∞)上的最小值；(3)若对任意 x∈[2，＋∞)恒有 f(x)0，试确定 a 的取值范围．解 (1)由 x＋ －20，得 0，ax x2－ 2x＋ ax当 a1 时， x2－2 x＋ a0 恒成立，定义域为(0，＋∞)，当 a＝1 时，定义域为{ x|x0 且 x≠1}，当 01＋ }．1－ a 1－ a(2)设 g(x)＝ x＋ －2，当 a∈(1,4)， x∈[2，＋∞)时，axg′( x)＝1－ ＝ 0 恒成立，ax2 x2－ ax2所以 g(x)＝ x＋ －2 在[2，＋∞)上是增函数．ax所以 f(x)＝lg 在[2，＋∞)上是增函数．(x＋ax－ 2)所以 f(x)＝lg 在[2，＋∞)上的最小值为 f(2)＝lg .(x＋ax－ 2) a2(3)对任意 x∈[2，＋∞)恒有 f(x)0，即 x＋ －21 对 x∈[2，＋∞)恒成立．ax所以 a3x－ x2，令 h(x)＝3 x－ x2，而 h(x)＝3 x－ x2＝－ 2＋ 在 x∈[2，＋∞)上是减函数，(x－32) 94所以 h(x)max＝ h(2)＝2，所以 a2.1【步步高】 （江苏专用）2017 版高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数 I 2.3 函数的奇偶性与周期性 文1．函数的奇偶性奇偶性 定义 图象特点偶函数如果对于任意的 x∈ A，都有 f(－ x)＝ f(x)，那么称函数 y＝ f(x)是偶函数 .关于 y 轴对称奇函数一般地，设函数 y＝ f(x)的定义域为 A如果对于任意的 x∈ A，都有 f(－ x)＝－ f(x)，那么称函数 y＝ f(x)是奇函数.关于原点对称2.周期性(1)周期函数：对于函数 y＝ f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有 f(x＋ T)＝ f(x)，那么就称函数 y＝ f(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．( × )(2)若函数 y＝ f(x＋ a)是偶函数，则函数 y＝ f(x)关于直线 x＝ a 对称．( √ )(3)函数 f(x)在定义域上满足 f(x＋ a)＝－ f(x)，则 f(x)是周期为 2a(a0)的周期函数．( √ )(4)若函数 y＝ f(x＋ b)是奇函数，则函数 y＝ f(x)关于点( b,0)中心对称．( √ )(5)如果函数 f(x)， g(x)为定义域相同的偶函数，则 F(x)＝ f(x)＋ g(x)是偶函数．( √ )(6)若 T 是函数的一个周期，则 nT(n∈Z， n≠0)也是函数的周期．( √ )1．(2015·福建改编)下列函数中，① y＝ ；② y＝|sin x|；③ y＝cos x；④ y＝e x－e － xx为奇函数的是________．(填函数序号)2答案 ④解析 对于④， f(x)＝e x－e － x的定义域为 R， f(－ x)＝e － x－e x＝－ f(x)，故 y＝e x－e － x为奇函数．而 y＝ 的定义域为{ x|x≥0}，不具有对称性，故 y＝ 为非奇非偶函数． y＝|sin x|和x xy＝cos x 为偶函数．2．已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数， f(x＋1)是偶函数，则 f(1)＋ f(2)＋ f(3)＋ f(4)＝________.答案 0解析 由 f(x＋1)是偶函数得 f(－ x＋1)＝ f(x＋1)，又 f(x)是定义在 R 上的奇函数，所以f(－ x＋1)＝－ f(x－1)，即－ f(x－1)＝ f(x＋1)，所以 f(x＋2)＝－ f(x)，即 f(x)＋ f(x＋2)＝0，所以 f(1)＋ f(3)＝0， f(2)＋ f(4)＝0，因此 f(1)＋ f(2)＋ f(3)＋ f(4)＝0.3．(2015·天津)已知定义在 R 上的函数 f(x)＝2 |x－ m|－1( m 为实数)为偶函数，记a＝ f(log0.53)， b＝ f(log25)， c＝ f(2m)，则 a， b， c 的大小关系为______________．答案 c＜ a＜ b解析 由函数 f(x)＝2 |x－ m|－1 为偶函数，得 m＝0，所以 f(x)＝2 |x|－1，当 x＞0 时， f(x)为增函数，log0.53＝－log 23，所以 log25＞|－log 23|＞0，所以 b＝ f(log25)＞ a＝ f(log0.53)＞ c＝ f(2m)＝ f(0)．4．(2014·天津)设 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的函数，当 x∈[－1,1)时， f(x)＝Error!则 f( )＝________.32答案 1解析 函数的周期是 2，所以 f( )＝ f( －2)＝ f(－ )，32 32 12根据题意得 f(－ )＝－4×(－ )2＋2＝1.12 125．(教材改编)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x≥0 时， f(x)＝ x(1＋ x)，则 x0，∴ f(－ x)＝(－ x)(1－ x)．又 f(x)为奇函数，∴ f(－ x)＝－ f(x)＝(－ x)(1－ x)，∴ f(x)＝ x(1－ x)．3题型一 判断函数的奇偶性例 1 判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝ x3－ x；(2)f(x)＝( x＋1) ；1－ x1＋ x(3)f(x)＝Error!解 (1)定义域为 R，关于原点对称，又 f(－ x)＝(－ x)3－(－ x)＝－ x3＋ x＝－( x3－ x)＝－ f(x)，∴函数为奇函数．(2)由 ≥0 可得函数的定义域为(－1,1]．1－ x1＋ x∵函数定义域不关于原点对称，∴函数为非奇非偶函数．(3)当 x0 时，－ x0， f(x)＝ x2＋ x，∴ f(－ x)＝－(－ x)2－ x＝－ x2－ x＝－( x2＋ x)＝－ f(x)．∴对于 x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，均有 f(－ x)＝－ f(x)．∴函数为奇函数．思维升华 (1)利用定义判断函数奇偶性的步骤：(2)分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内 x 取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x 的范围取相应的解析式化简，判断 f(x)与 f(－ x)的关系，得出结论，也可以利用图象作4判断．(1) 下列四个函数： ① f(x)＝－ x|x|；② f(x)＝ x3；③ f(x)＝sin x；④ f(x)＝，同时满足以下两个条件：①定义域内是减函数；②定义域内是奇函数的是________．ln xx(2)函数 f(x)＝log a(2＋ x)， g(x)＝log a(2－ x)(a0 且 a≠1)，则函数 F(x)＝ f(x)＋ g(x)，G(x)＝ f(x)－ g(x)分别是______________(填奇偶性)．答案 (1)① (2)偶函数，奇函数解析 (1)①中， f(x)＝Error!由函数性质可知符合题中条件，故①正确；②中，对于比较熟悉的函数 f(x)＝ x3可知不符合题意，故②不正确；③中， f(x)＝sin x 在定义域内不具有单调性，故②不正确；④中，定义域关于原点不对称，故④不正确．(2)F(x)， G(x)定义域均为(－2,2)，由已知 F(－ x)＝ f(－ x)＋ g(－ x)＝log a(2－ x)＋log a(2＋ x)＝ F(x)，G(－ x)＝ f(－ x)－ g(－ x)＝log a(2－ x)－log a(2＋ x)＝－ G(x)，∴ F(x)是偶函数， G(x)是奇函数．题型二 函数的周期性例 2 (1)设 f(x)是定义在 R 上的周期为 3 的函数，当 x∈[－2，1)时， f(x)＝Error!则f ＝________.(52)(2)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，并且 f(x＋2)＝－ ，当 2≤ x≤3 时， f(x)＝ x，1f x则 f(105.5)＝______.答案 (1)－1 (2)2.5解析 (1)因为 f(x)是周期为 3 的周期函数，所以 f ＝ f ＝ f(52) (－ 12＋ 3) (－ 12)＝4× 2－2＝－1.(－12)(2)由已知，可得 f(x＋4)＝ f[(x＋2)＋2]＝－ ＝－ ＝ f(x)．1f x＋ 2 1－ 1f x故函数的周期为 4.∴ f(105.5)＝ f(4×27－2.5)＝ f(－2.5)＝ f(2.5)．∵2≤2.5≤3，由题意，得 f(2.5)＝2.5.∴ f(105.5)＝2.5.思维升华 (1)函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质．对函数周期性的考查，主5要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值．(2)函数周期性的三个常用结论：①若 f(x＋ a)＝－ f(x)，则 T＝2 a，②若 f(x＋ a)＝ ，则 T＝2 a，1f x③若 f(x＋ a)＝－ ，则 T＝2 a (a0)．1f x设函数 f(x)(x∈ R)满足 f(x＋π)＝ f(x)＋sin x．当 0≤ x0 时， f(x)＝ x2－4 x，则不等式 f(x)x 的解集用区间表示为________．答案 (1)－ (2)(－5,0)∪(5，＋∞)32解析 (1)函数 f(x)＝ln(e 3x＋1)＋ ax 是偶函数，故 f(－ x)＝ f(x)，即 ln(e－3 x＋1)－ ax＝ln(e 3x＋1)＋ ax，化简得 ln ＝2 ax＝ln e2ax，即 ＝e 2ax，整理得1＋ e3xe3x＋ e6x 1＋ e3xe3x＋ e6xe3x＋1＝e 2ax＋3 x(e3x＋1)，所以 2ax＋3 x＝0，解得 a＝－ .32(2)∵ f(x)是定义在 R 上的奇函数，∴ f(0)＝0.又当 x0，∴ f(－ x)＝ x2＋4 x.又 f(x)为奇函数，∴ f(－ x)＝－ f(x)，7∴ f(x)＝－ x2－4 x (x0 时，由 f(x)x 得 x2－4 xx，解得 x5；②当 x＝0 时， f(x)x 无解；③当 xx 得－ x2－4 xx，解得－5x 的解集用区间表示为(－5,0)∪(5，＋∞)．2．忽视定义域致误典例 (1)若函数 f(x)＝ 在定义域上为奇函数，则实数 k＝________.k－ 2x1＋ k·2x(2)已知函数 f(x)＝Error!则满足不等式 f(1－ x2)f(2x)的 x 的取值范围是________．易错分析 (1)解题中忽视函数 f(x)的定义域，直接通过计算 f(0)＝0 得 k＝1.(2)本题易出现以下错误：由 f(1－ x2)f(2x)得 1－ x22x，忽视了 1－ x20 导致解答失误．解析 (1)∵ f(－ x)＝ ＝ ，k－ 2－ x1＋ k·2－ x k·2x－ 12x＋ k∴ f(－ x)＋ f(x)＝ k－ 2x  2x＋ k ＋  k·2x－ 1 · 1＋ k·2x 1＋ k·2x  2x＋ k＝ . k2－ 1  22x＋ 1 1＋ k·2x  2x＋ k由 f(－ x)＋ f(x)＝0 可得 k2＝1，∴ k＝±1.(2)画出 f(x)＝Error!的图象，由图象可知，若 f(1－ x2)f(2x)，则Error!即Error!得 x∈(－1， －1)．2答案 (1)±1 (2)(－1， －1)2温馨提醒 (1)已知函数的奇偶性，利用特殊值确定参数，要注意函数的定义域．(2)解决分段函数的单调性问题时，应高度关注：①对变量所在区间的讨论．②保证各段上同增(减)时，要注意左、右段端点值间的大小关系．③弄清最终结果取并集还是交集．8[方法与技巧]1．判断函数的奇偶性，首先应该判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．2．利用函数奇偶性可以解决以下问题①求函数值；②求解析式；③求函数解析式中参数的值；④画函数图象，确定函数单调性．3．在解决具体问题时，要注意结论“若 T 是函数的周期，则 kT(k∈Z 且 k≠0)也是函数的周期”的应用．[失误与防范]1． f(0)＝0 既不是 f(x)是奇函数的充分条件，也不是必要条件．应用时要注意函数的定义域并进行检验．2．判断分段函数的奇偶性时，要以整体的观点进行判断，不可以利用函数在定义域某一区间上不是奇、偶函数而否定函数在整个定义域的奇偶性．A 组 专项基础训练(时间：40 分钟)1．下列函数中，① y＝log 2|x|；② y＝cos 2x；③ y＝ ；④ y＝log 2 ，既是偶函2x－ 2－ x2 2－ x＋ x数又在区间(1,2)上单调递增的是________．答案 ①解析 对于①，函数 y＝log 2|x|是偶函数且在区间(1,2)上是增函数；对于②，函数 y＝cos 2x 在区间(1,2)上不是增函数；对于③，函数 y＝ 不是偶函数；对于④，函数2x－ 2－ x2y＝log 2 不是偶函数．2－ x2＋ x2．已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x≥0 时， f(x)＝3 x＋ m (m 为常数)，则 f(－log 35)的值为________．答案 －4解析 由 f(x)是定义在 R 上的奇函数，得 f(0)＝1＋ m＝0，解得 m＝－1，∴ f(x)＝3 x－1.∵log 35log31＝0，∴ f(－log 35)＝－ f(log35)＝ ＝－4.3log5()－ －3．已知 f(x)在 R 上是奇函数，且满足 f(x＋4)＝ f(x)，当 x∈(0,2)时， f(x)＝2 x2，则 f(2 019)＝________.9答案 －2解析 ∵ f(x＋4)＝ f(x)，∴ f(x)是以 4 为周期的周期函数，∴ f(2 019)＝ f(504×4＋3)＝ f(3)＝ f(－1)．又 f(x)为奇函数，∴ f(－1)＝－ f(1)＝－2×1 2＝－2，即 f(2 019)＝－2.4．若函数 f(x)＝( ax＋1)( x－ a)为偶函数，且函数 y＝ f(x)在 x∈(0，＋∞)上单调递增，则实数 a 的值为________．答案 1解析 ∵函数 f(x)＝( ax＋1)( x－ a)＝ ax2＋(1－ a2)x－ a 为偶函数，∴ f(－ x)＝ f(x)，即 f(－ x)＝ ax2－(1－ a2)x－ a＝ ax2＋(1－ a2)x－ a，∴1－ a2＝0，解得 a＝±1.当 a＝1 时， f(x)＝ x2－1，在 x∈(0，＋∞)上单调递增，满足条件．当 a＝－1 时， f(x)＝－ x2＋1，在 x∈(0，＋∞)上单调递减，不满足条件．故 a＝1.5．已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x≥0 时， f(x)＝ x2＋2 x，若 f(2－ a2)f(a)，则实数 a 的取值范围是____________．答案 (－2,1)解析 ∵ f(x)是奇函数，∴当 xf(a)，得 2－ a2a，解得－20 时， f(x)＝ ＋1，则当 x0 时， f(x)＝ ＋1，x∴当 x0，f(－ x)＝ ＋1＝－ f(x)，－ x即 x0，所以 f(－ x)＝－(－ x)2＋2(－ x)＝－ x2－2 x.又 f(x)为奇函数，所以 f(－ x)＝－ f(x)．于是 x0，那么实数 m 的取值范围是____________．答案 (1，53)解析 ∵ f(x)是定义域为(－1,1)的奇函数，∴－10 可转化为f(m－2)－ f(2m－3)，∴ f(m－2) f(－2 m＋3)，∵ f(x)是减函数，∴ m－2－2 m＋3，∵Error!∴1 m .5312．设 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数，在区间[－1,1]上， f(x)＝Error!其中a， b∈R.若 f ＝ f ，则 a＋3 b 的值为________．(12) (32)答案 －10解析 因为 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数，所以 f ＝ f ，(32) (－ 12)且 f(－1)＝ f(1)，故 f ＝ f ，(12) (－ 12)从而 ＝－ a＋1，12b＋ 212＋ 1 12即 3a＋2 b＝－2.①由 f(－1)＝ f(1)，得－ a＋1＝ ，b＋ 2212即 b＝－2 a.②由①②得 a＝2， b＝－4，从而 a＋3 b＝－10.13．已知 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数，且当 0≤ x2 时， f(x)＝ x3－ x，则函数y＝ f(x)的图象在区间[0,6]上与 x 轴的交点个数为________．答案 7解析 因为当 0≤ x2 时， f(x)＝ x3－ x，又 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数，且 f(0)＝0，所以 f(6)＝ f(4)＝ f(2)＝ f(0)＝0.又 f(1)＝0，所以 f(3)＝ f(5)＝0.故函数 y＝ f(x)的图象在区间[0,6]上与 x 轴的交点个数为 7.14．设函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且对任意的 x∈R 恒有 f(x＋1)＝ f(x－1)，已知当x∈[0,1]时， f(x)＝2 x，则有①2 是函数 f(x)的周期；②函数 f(x)在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数；③函数 f(x)的最大值是 1，最小值是 0.其中所有正确命题的序号是________．答案 ①②解析 在 f(x＋1)＝ f(x－1)中，令 x－1＝ t，则有 f(t＋2)＝ f(t)，因此 2 是函数 f(x)的周期，故①正确；当 x∈[0,1]时， f(x)＝2 x是增函数，根据函数的奇偶性知， f(x)在[－1,0]上是减函数，根据函数的周期性知，函数 f(x)在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数，故②正确；由②知 f(x)在[0,2]上的最大值 f(x)max＝ f(1)＝2， f(x)的最小值 f(x)min＝ f(0)＝ f(2)＝2 0＝1，且 f(x)是周期为 2 的周期函数．∴ f(x)的最大值是 2，最小值是 1，故③错误．15．函数 f(x)的定义域为 D＝{ x|x≠0}，且满足对于任意 x1， x2∈ D，有 f(x1·x2)＝ f(x1)＋ f(x2)．(1)求 f(1)的值；(2)判断 f(x)的奇偶性并证明你的结论；(3)如果 f(4)＝1， f(x－1)2，且 f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求 x 的取值范围．解 (1)∵对于任意 x1， x2∈ D，有 f(x1·x2)＝ f(x1)＋ f(x2)，∴令 x1＝ x2＝1，得 f(1)＝2 f(1)，∴ f(1)＝0.(2)f(x)为偶函数．证明：令 x1＝ x2＝－1，有 f(1)＝ f(－1)＋ f(－1)，13∴ f(－1)＝ f(1)＝0.12令 x1＝－1， x2＝ x 有 f(－ x)＝ f(－1)＋ f(x)，∴ f(－ x)＝ f(x)，∴ f(x)为偶函数．(3)依题设有 f(4×4)＝ f(4)＋ f(4)＝2，由(2)知， f(x)是偶函数，∴ f(x－1)2⇔ f(|x－1|) f(16)．又 f(x)在(0，＋∞)上是增函数．∴0| x－1|16，解之得－15 x17 且 x≠1.∴ x 的取值范围是{ x|－15 x17 且 x≠1}．