（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 理（课件+习题）（打包24套）.zip

1【步步高】 （江苏专用）2017 版高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.1 直线的方程 理1.直线的倾斜角(1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与 x 轴相交的直线，把 x 轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角.当直线 l 与 x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 0°.(2)范围：直线 l 倾斜角的范围是[0°，180°).2.斜率公式(1)若直线 l 的倾斜角 α ≠90°，则斜率 k＝tan α .(2)P1(x1， y1)， P2(x2， y2)在直线 l 上，且 x1≠ x2，则 l 的斜率 k＝ .y2－ y1x2－ x13.直线方程的五种形式名称 方程 适用范围点斜式 y－ y1＝ k(x－ x1) 不含直线 x＝ x1斜截式 y＝ kx＋ b 不含垂直于 x 轴的直线两点式 ＝y－ y1y2－ y1 x－ x1x2－ x1 不含直线 x＝ x1 (x1≠ x2)和直线y＝ y1 (y1≠ y2)截距式 ＋ ＝1xa yb 不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式 Ax＋ By＋ C＝0( A， B 不全为 0) 平面直角坐标系内的直线都适用【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置.( √ )(2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率.( × )(3)直线的倾斜角越大，其斜率就越大.( × )(4)直线的斜率为 tan α ，则其倾斜角为 α .( × )2(5)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.( × )(6)经过定点 A(0， b)的直线都可以用方程 y＝ kx＋ b 表示.( × )(7)不经过原点的直线都可以用 ＋ ＝1 表示.( × )xa yb(8)经过任意两个不同的点 P1(x1， y1)， P2(x2， y2)的直线都可以用方程( y－ y1)(x2－ x1)＝( x－ x1)(y2－ y1)表示.( √ )1.直线 x－ y＋ a＝0 的倾斜角为 .3答案 60°解析 化直线方程为 y＝ x＋ a，∴ k＝tan α ＝ .3 3∵0°≤ α 0，在 y 轴上的截距－ 0，故直线CA CB经过一、二、四象限，不经过第三象限.3.过点 P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 .答案 3 x－2 y＝0 或 x＋ y－5＝0解析 当截距为 0 时，直线方程为 3x－2 y＝0；当截距不为 0 时，设直线方程为 ＋ ＝1，xa ya则 ＋ ＝1，解得 a＝5，2a 3a所以直线方程为 x＋ y－5＝0.综上，直线方程为 3x－2 y＝0 或 x＋ y－5＝0.4.(教材改编)若过点 A(m,4)与点 B(1， m)的直线与直线 x－2 y＋4＝0 平行，则 m 的值为 .答案 3解析 ∵ ＝ ，∴ m＝3.4－ mm－ 1 125.直线 l 经过 A(2,1)， B(1， m2)(m∈R)两点，则直线 l 的倾斜角的取值范围为 .答案 ∪[0，π 4] (π 2， π )解析 直线 l 的斜率 k＝ ＝1－ m2≤1.m2－ 11－ 2若 l 的倾斜角为 α ，则 tan α ≤1.3又∵ α ∈[0，π)，∴ α ∈ ∪ .[0，π 4] (π 2， π )题型一 直线的倾斜角与斜率例 1 (1)直线 2xcos α － y－3＝0 的倾斜角的取值范围是 .(α ∈ [π 6， π 3])(2)直线 l 过点 P(1,0)，且与以 A(2,1)， B(0， )为端点的线段有公共点，则直线 l 斜率3的取值范围为 .答案 (1) (2)(－∞，－ ]∪[1，＋∞)[π 4， π 3] 3解析 (1)直线 2xcos α － y－3＝0 的斜率 k＝2cos α ，因为 α ∈ ，所以 ≤cos α ≤ ，[π 6， π 3] 12 32因此 k＝2·cos α ∈[1， ].3设直线的倾斜角为 θ ，则有 tan θ ∈[1， ].又 θ ∈[0，π)，所以 θ ∈ ，3 [π 4， π 3]即倾斜角的取值范围是 .[π 4， π 3](2)如图，∵ kAP＝ ＝1，1－ 02－ 1kBP＝ ＝－ ，3－ 00－ 1 3∴ k∈(－∞，－ ]∪[1，＋∞).3引申探究1.若将题(2)中 P(1,0)改为 P(－1,0)，其他条件不变，求直线 l 斜率的取值范围.解 4∵ P(－1,0)， A(2,1)， B(0， )，3∴ kAP＝ ＝ ，1－ 02－  － 1 13kBP＝ ＝ .3－ 00－  － 1 3如图可知，直线 l 斜率的取值范围为 .[13， 3]2.将题(2)中的 B 点坐标改为 B(2，－1)，其他条件不变，求直线 l 倾斜角的范围.解 如图：直线 PA 的倾斜角为 45°，直线 PB 的倾斜角为 135°，由图象知 l 的倾斜角的范围为[0°，45°]∪[135°，180°).思维升华 直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分 与 两种情况讨论.由正切函数图象可以看出，[0，π 2) (π 2， π )当 α ∈ 时，斜率 k∈[0，＋∞)；当 α ＝ 时，斜率不存在；当 α ∈ 时，斜[0，π 2) π 2 (π 2， π )率 k∈(－∞，0).(1)直线 xcos α ＋ y＋2＝0 的倾斜角的范围是 .3(2)已知实数 x， y 满足 2x＋ y＝8，当 2≤ x≤3 时，则 的最大值为 ；最小值为 .yx答案 (1) ∪ (2)2 [0，π 6] [5π6， π ) 23解析 (1)由 xcos α ＋ y＋2＝0 得直线斜率 k＝－ cos α .333∵－1≤cos α ≤1，∴－ ≤ k≤ .33 33设直线的倾斜角为 θ ，则－ ≤tan θ ≤ .33 335结合正切函数在 ∪ 上的图象可知，[0，π 2) (π 2， π )0≤ θ ≤ 或 ≤ θ 0， b0)，xa yb点 P(3,2)代入得 ＋ ＝1≥2 ，得 ab≥24，3a 2b 6ab从而 S△ AOB＝ ab≥12，当且仅当 ＝ 时等号成立，这时 k＝－ ＝－ ，从而所求直线方程为12 3a 2b ba 232x＋3 y－12＝0.所以△ ABO 的面积的最小值为 12，此时直线 l 的方程为 2x＋3 y－12＝0.方法二 依题意知，直线 l 的斜率 k 存在且 k0 不存在 k0)，∴ k≥ .3 3切线的倾斜角的取值范围是 .[π 3， π 2)3.如图中的直线 l1， l2， l3的斜率分别为 k1， k2， k3，则 k1， k2， k3的大小关系为 .答案 k1＜ k3＜ k2解析 直线 l1的倾斜角 α 1是钝角，故 k1＜0，直线 l2与 l3的倾斜角 α 2与 α 3均为锐角，且 α 2＞ α 3，所以 0＜ k3＜ k2，因此 k1＜ k3＜ k2.4.斜率为 2 的直线经过(3,5)，( a,7)，(－1， b)三点，则 a＋ b＝ .答案 1解析 根据题意，得Error!解得Error!故 a＋ b＝1.5.已知直线 PQ 的斜率为－ ，将直线绕点 P 顺时针旋转 60°所得的直线的斜率为 .3答案 3解析 直线 PQ 的斜率为－ ，则直线 PQ 的倾斜角为 120°，所求直线的倾斜角为 60°，3tan 60°＝ .36.若直线 l 的斜率为 k，倾斜角为 α ，而 α ∈ ∪ ，则 k 的取值范围是 .[π 6， π 4) [2π3， π )11答案 [－ ，0)∪3 [33， 1)解析 当 ≤ α 0，且 A(a,0)、 B(0， b)、 C(－2，－2)三点共线，则 ab 的最小值为 .答案 16解析 根据 A(a,0)、 B(0， b)确定直线的方程为 ＋ ＝1，又 C(－2，－2)在该直线上，故xa yb＋ ＝1，－ 2a － 2b所以－2( a＋ b)＝ ab.又 ab0，故 a0， b0)过点(1,1)，则该直线在 x 轴， y 轴上的截距之和的最小值为 .答案 4解析 ∵直线 ax＋ by＝ ab (a0， b0)过点(1,1)，∴ a＋ b＝ ab，即 ＋ ＝1，1a 1b∴ a＋ b＝( a＋ b) ＝2＋ ＋(1a＋ 1b) ba ab≥2＋2 ＝4，ba·ab当且仅当 a＝ b＝2 时上式等号成立.∴直线在 x 轴， y 轴上的截距之和的最小值为 4.12.已知 A(3,0)， B(0,4)，直线 AB 上一动点 P(x， y)，则 xy 的最大值是 .答案 3解析 直线 AB 的方程为 ＋ ＝1，x3 y4∵动点 P(x， y)在直线 AB 上，则 x＝3－ y，34∴ xy＝3 y－ y2＝ (－ y2＋4 y)34 34＝ [－( y－2) 2＋4]≤3.34即当 P 点坐标为 时， xy 取最大值 3.(32， 2)13.设点 A(－1,0)， B(1,0)，直线 2x＋ y－ b＝0 与线段 AB 相交，则 b 的取值范围是 .答案 [－2,2]解析 b 为直线 y＝－2 x＋ b 在 y 轴上的截距，如图，当直线 y＝－2 x＋ b 过点 A(－1,0)和点 B(1,0)时， b 分别取得最小值和最大值.14∴ b 的取值范围是[－2,2].14.如图，射线 OA、 OB 分别与 x 轴正半轴成 45°和 30°角，过点 P(1,0)作直线 AB 分别交OA、 OB 于 A、 B 两点，当 AB 的中点 C 恰好落在直线 y＝ x 上时，求直线 AB 的方程.12解 由题意可得 kOA＝tan 45°＝1， kOB＝tan(180°－30°)＝－ ，所以直线33lOA： y＝ x， lOB： y＝－ x.33设 A(m， m)， B(－ n， n)，3所以 AB 的中点 C ，(m－ 3n2 ， m＋ n2 )由点 C 在 y＝ x 上，且 A、 P、 B 三点共线得12Error!解得 m＝ ，所以 A( ， ).3 3 3又 P(1,0)，所以 kAB＝ kAP＝ ＝ ，33－ 1 3＋ 32所以 lAB： y＝ (x－1)，3＋ 32即直线 AB 的方程为(3＋ )x－2 y－3－ ＝0.3 315.已知直线 l： kx－ y＋1＋2 k＝0( k∈R).(1)证明：直线 l 过定点；(2)若直线不经过第四象限，求 k 的取值范围；(3)若直线 l 交 x 轴负半轴于 A，交 y 轴正半轴于 B，△ AOB 的面积为 S(O 为坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线 l 的方程.(1)证明 直线 l 的方程是 k(x＋2)＋(1－ y)＝0，令Error! 解得Error!∴无论 k 取何值，直线总经过定点(－2,1).15(2)解 由方程知，当 k≠0 时直线在 x 轴上的截距为－ ，在 y 轴上的截距为 1＋2 k，1＋ 2kk要使直线不经过第四象限，则必须有Error!解得 k0；当 k＝0 时，直线为 y＝1，符合题意，故 k≥0.(3)解 由 l 的方程，得 A ， B(0,1＋2 k).(－1＋ 2kk ， 0)依题意得Error! 解得 k0.∵ S＝ ·OA·OB＝ · ·|1＋2 k|12 12 |1＋ 2kk |＝ · ＝ ≥ ×(2×2＋4)12  1＋ 2k 2k 12(4k＋ 1k＋ 4) 12＝4，“＝”成立的条件是 k0 且 4k＝ ，即 k＝ ，1k 12∴ Smin＝4，此时直线 l 的方程为 x－2 y＋4＝0.1【步步高】 （江苏专用）2017 版高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.2 两条直线的位置关系 理1.两条直线的位置关系(1)两条直线平行与垂直①两条直线平行：(ⅰ)对于两条不重合的直线 l1、 l2，若其斜率分别为 k1、 k2，则有 l1∥ l2⇔k1＝ k2 (k1， k2均存在).(ⅱ)当直线 l1、 l2不重合且斜率都不存在时， l1∥ l2.②两条直线垂直：(ⅰ)如果两条直线 l1、 l2的斜率存在，设为 k1、 k2，则有 l1⊥ l2⇔k1·k2＝－1 (k1， k2均存在).(ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为 0 时， l1⊥ l2.(2)两条直线的交点直线 l1： A1x＋ B1y＋ C1＝0， l2： A2x＋ B2y＋ C2＝0，则 l1与 l2的交点坐标就是方程组Error!的解.2.几种距离(1)两点 P1(x1， y1)， P2(x2， y2)之间的距离 P1P2＝ . x2－ x1 2＋  y2－ y1 2(2)点 P0(x0， y0)到直线 l： Ax＋ By＋ C＝0 的距离d＝ .|Ax0＋ By0＋ C|A2＋ B2(3)两条平行线 Ax＋ By＋ C1＝0 与 Ax＋ By＋ C2＝0(其中 C1≠ C2)间的距离 d＝ .|C1－ C2|A2＋ B2【知识拓展】1.一般地，与直线 Ax＋ By＋ C＝0 平行的直线方程可设为 Ax＋ By＋ m＝0；与之垂直的直线方程可设为 Bx－ Ay＋ n＝0.2.过直线 l1： A1x＋ B1y＋ C1＝0 与 l2： A2x＋ B2y＋ C2＝0 的交点的直线系方程为A1x＋ B1y＋ C1＋ λ (A2x＋ B2y＋ C2)＝0 ( λ ∈R)，但不包括 l2.23.点到直线与两平行线间的距离的使用条件：(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式.(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且 x， y 的系数对应相等.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)当直线 l1和 l2斜率都存在时，一定有 k1＝ k2⇒l1∥ l2.( × )(2)如果两条直线 l1与 l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.( × )(3)已知直线 l1： A1x＋ B1y＋ C1＝0， l2： A2x＋ B2y＋ C2＝0( A1、 B1、 C1、 A2、 B2、 C2为常数)，若直线 l1⊥ l2，则 A1A2＋ B1B2＝0.( √ )(4)点 P(x0， y0)到直线 y＝ kx＋ b 的距离为 .( × )|kx0＋ b|1＋ k2(5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.( √ )(6)若点 A， B 关于直线 l： y＝ kx＋ b(k≠0)对称，则直线 AB 的斜率等于－ ，且线段 AB 的1k中点在直线 l 上.( √ )1.设 a∈R，则“ a＝1”是“直线 l1： ax＋2 y－1＝0 与直线 l2： x＋( a＋1) y＋4＝0 平行”的________条件.答案 充分不必要解析 (1)充分性：当 a＝1 时，直线 l1： x＋2 y－1＝0 与直线 l2： x＋2 y＋4＝0 平行；(2)必要性：当直线 l1： ax＋2 y－1＝0 与直线 l2： x＋( a＋1) y＋4＝0 平行时有 a＝－2 或 1.所以“ a＝1”是“直线 l1： ax＋2 y－1＝0 与直线 l2： x＋( a＋1) y＋4＝0 平行”的充分不必要条件.2.(教材改编)已知点( a,2)(a0)到直线 l： x－ y＋3＝0 的距离为 1，则 a＝________.答案 －12解析 依题意得 ＝1.|a－ 2＋ 3|1＋ 1解得 a＝－1＋ 或 a＝－1－ .2 2∵ a0，∴ a＝－1＋ .23.已知直线 l1：(3＋ m)x＋4 y＝5－3 m， l2：2 x＋(5＋ m)y＝8 平行，则实数 m 的值为________.答案 －73解析 l1的斜率为－ ，在 y 轴上的截距为 ，3＋ m4 5－ 3m4l2的斜率为－ ，在 y 轴上的截距为 .25＋ m 85＋ m又∵ l1∥ l2，由－ ＝－ 得， m2＋8 m＋7＝0，3＋ m4 25＋ m得 m＝－1 或－7.m＝－1 时， ＝ ＝2， l1与 l2重合，故不符合题意；5－ 3m4 85＋ mm＝－7 时， ＝ ≠ ＝－4，符合题意.5－ 3m4 132 85＋ m4.(2014·福建改编)已知直线 l 过圆 x2＋( y－3) 2＝4 的圆心，且与直线 x＋ y＋1＝0 垂直，则 l 的方程是____________.答案 x－ y＋3＝0解析 圆 x2＋( y－3) 2＝4 的圆心为点(0,3)，又因为直线 l 与直线 x＋ y＋1＝0 垂直，所以直线 l 的斜率 k＝1.由点斜式得直线 l： y－3＝ x－0，化简得 x－ y＋3＝0.5.(教材改编)若直线(3 a＋2) x＋(1－4 a)y＋8＝0 与(5 a－2) x＋( a＋4) y－7＝0 垂直，则a＝________.答案 0 或 1解析 由两直线垂直的充要条件，得(3 a＋2)(5 a－2)＋(1－4 a)(a＋4)＝0，解得 a＝0 或a＝1.题型一 两条直线的平行与垂直例 1 (1)已知两条直线 l1：( a－1)· x＋2 y＋1＝0， l2： x＋ ay＋3＝0 平行，则a＝________.(2)已知两直线方程分别为 l1： x＋ y＝1， l2： ax＋2 y＝0，若 l1⊥ l2，则 a＝________.答案 (1)－1 或 2 (2)－2解析 (1)若 a＝0，两直线方程为－ x＋2 y＋1＝0 和 x＝－3，此时两直线相交，不平行，所以 a≠0.当 a≠0 时，若两直线平行，则有 ＝ ≠ ，解得 a＝－1 或 a＝2.a－ 11 2a 13(2)方法一 ∵ l1⊥ l2，∴ k1k2＝－1，4即 ＝－1，a2解得 a＝－2.方法二 ∵ l1⊥ l2，∴ a＋2＝0， a＝－2.思维升华 (1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况.同时还要注意 x、 y 的系数不能同时为零这一隐含条件.(2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.已知两直线 l1： x＋ ysin α －1＝0 和 l2：2 x·sin α ＋ y＋1＝0，求 α 的值，使得：(1)l1∥ l2；(2)l1⊥ l2.解 (1)方法一 当 sin α ＝0 时，直线 l1的斜率不存在， l2的斜率为 0，显然 l1不平行于l2.当 sin α ≠0 时， k1＝－ ， k2＝－2sin α .1sin α要使 l1∥ l2，需－ ＝－2sin α ，即 sin α ＝± .1sin α 22所以 α ＝ kπ± ， k∈Z，此时两直线的斜率相等.π 4故当 α ＝ kπ± ， k∈Z 时， l1∥ l2.π 4方法二 由 A1B2－ A2B1＝0，得 2sin2α －1＝0，所以 sin α ＝± .所以 α ＝ kπ± ， k∈Z.22 π 4又 B1C2－ B2C1≠0，所以 1＋sin α ≠0，即 sin α ≠－1.故当 α ＝ kπ± ， k∈Z 时， l1∥ l2.π 4(2)因为 A1A2＋ B1B2＝0 是 l1⊥ l2的充要条件，所以 2sin α ＋sin α ＝0，即 sin α ＝0，所以 α ＝ kπ， k∈Z.故当 α ＝ kπ， k∈Z 时， l1⊥ l2.题型二 两条直线的交点与距离问题例 2 (1)已知直线 y＝ kx＋2 k＋1 与直线 y＝－ x＋2 的交点位于第一象限，则实数 k 的取12值范围是________.(2)直线 l 过点 P(－1,2)且到点 A(2,3)和点 B(－4,5)的距离相等，则直线 l 的方程为5________________________________________________________________________.答案 (1) (2) x＋3 y－5＝0 或 x＝－1(－16， 12)解析 (1)方法一 由方程组Error!解得Error!(若 2k＋1＝0，即 k＝－ ，则两直线平行)12∴交点坐标为 .(2－ 4k2k＋ 1， 6k＋ 12k＋ 1)又∵交点位于第一象限，∴Error!解得－ ＜ k＜ .16 12方法二 如图，已知直线y＝－ x＋2 与 x 轴、 y 轴分别交于点 A(4,0)， B(0,2).12而直线方程 y＝ kx＋2 k＋1 可变形为 y－1＝ k(x＋2)，表示这是一条过定点 P(－2,1)，斜率为 k 的动直线.∵两直线的交点在第一象限，∴两直线的交点必在线段 AB 上(不包括端点)，∴动直线的斜率 k 需满足 kPA＜ k＜ kPB.∵ kPA＝－ ， kPB＝ .16 12∴－ ＜ k＜ .16 12(2)方法一 当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为y－2＝ k(x＋1)，即 kx－ y＋ k＋2＝0.由题意知 ＝ ，|2k－ 3＋ k＋ 2|k2＋ 1 |－ 4k－ 5＋ k＋ 2|k2＋ 1即|3 k－1|＝|－3 k－3|，∴ k＝－ .136∴直线 l 的方程为 y－2＝－ (x＋1)，13即 x＋3 y－5＝0.当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x＝－1，也符合题意.方法二 当 AB∥ l 时，有 k＝ kAB＝－ ，13直线 l 的方程为 y－2＝－ (x＋1)，13即 x＋3 y－5＝0.当 l 过 AB 中点时， AB 的中点为(－1,4).∴直线 l 的方程为 x＝－1.故所求直线 l 的方程为 x＋3 y－5＝0 或 x＝－1.思维升华 (1)求过两直线交点的直线方程的方法：求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.(2)利用距离公式应注意：①点 P(x0， y0)到直线 x＝ a 的距离 d＝| x0－ a|，到直线y＝ b 的距离 d＝| y0－ b|；②两平行线间的距离公式要把两直线方程中 x， y 的系数化为相等.(1)如图，设一直线过点(－1,1)，它被两平行直线 l1： x＋2 y－1＝0， l2： x＋2 y－3＝0 所截的线段的中点在直线 l3： x－ y－1＝0 上，求其方程.解 与 l1、 l2平行且距离相等的直线方程为 x＋2 y－2＝0.设所求直线方程为( x＋2 y－2)＋ λ (x－ y－1)＝0，即(1＋ λ )x＋(2－ λ )y－2－ λ ＝0.又直线过(－1,1)，∴(1＋ λ )(－1)＋(2－ λ )·1－2－ λ ＝0.解得 λ ＝－ .∴所求直线方程为 2x＋7 y－5＝0.13(2)正方形的中心为点 C(－1,0)，一条边所在的直线方程是 x＋3 y－5＝0，求其他三边所在直线的方程.解 点 C 到直线 x＋3 y－5＝0 的距离d＝ ＝ .|－ 1－ 5|1＋ 9 3105设与 x＋3 y－5＝0 平行的一边所在直线的方程是 x＋3 y＋ m＝0( m≠－5)，则点 C 到直线 x＋3 y＋ m＝0 的距离7d＝ ＝ ，|－ 1＋ m|1＋ 9 3105解得 m＝－5(舍去)或 m＝7，所以与 x＋3 y－5＝0 平行的边所在直线的方程是 x＋3 y＋7＝0.设与 x＋3 y－5＝0 垂直的边所在直线的方程是 3x－ y＋ n＝0，则点 C 到直线 3x－ y＋ n＝0 的距离d＝ ＝ ，|－ 3＋ n|1＋ 9 3105解得 n＝－3 或 n＝9，所以与 x＋3 y－5＝0 垂直的两边所在直线的方程分别是 3x－ y－3＝0 和 3x－ y＋9＝0.题型三 对称问题命题点 1 点关于点中心对称例 3 过点 P(0,1)作直线 l，使它被直线 l1：2 x＋ y－8＝0 和 l2： x－3 y＋10＝0 截得的线段被点 P 平分，则直线 l 的方程为________________.答案 x＋4 y－4＝0解析 设 l1与 l 的交点为 A(a,8－2 a)，则由题意知，点 A 关于点 P 的对称点 B(－ a,2a－6)在 l2上，代入 l2的方程得－ a－3(2 a－6)＋10＝0，解得 a＝4，即点 A(4,0)在直线 l 上，所以直线 l 的方程为 x＋4 y－4＝0.命题点 2 点关于直线对称例 4 已知直线 l：2 x－3 y＋1＝0，点 A(－1，－2)，则点 A 关于直线 l 的对称点 A′的坐标为____________.答案 (－3313， 413)解析 设 A′( x， y)，由已知得Error!解得Error!故 A′ .(－3313， 413)命题点 3 直线关于直线的对称问题例 5 已知直线 l：2 x－3 y＋1＝0，求直线 m：3 x－2 y－6＝0 关于直线 l 的对称直线 m′的方程.解 在直线 m 上任取一点，如 M(2,0)，则 M(2,0)关于直线 l 的对称点 M′必在直线 m′上.设对称点 M′( a， b)，则Error!解得Error!8∴ M′ .(613， 3013)设直线 m 与直线 l 的交点为 N，则由Error!得 N(4,3).又∵ m′经过点 N(4,3).∴由两点式得直线 m′的方程为 9x－46 y＋102＝0.思维升华 解决对称问题的方法(1)中心对称①点 P(x， y)关于 Q(a， b)的对称点 P′( x′， y′)满足Error!②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决.(2)轴对称①点 A(a， b)关于直线 Ax＋ By＋ C＝0( B≠0)的对称点 A′( m， n)，则有Error!②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.在等腰直角三角形 ABC 中， AB＝ AC＝4，点 P 是边 AB 上异于 A， B 的一点，光线从点 P 出发，经 BC， CA 发射后又回到原点 P(如图).若光线 QR 经过△ ABC 的重心，则 AP＝________.答案 43解析 建立如图所示的坐标系：可得 B(4,0)， C(0,4)，故直线 BC 的方程为 x＋ y＝4，△ ABC 的重心为，设 P(a,0)，其中 0a4，(0＋ 0＋ 43 ， 0＋ 4＋ 03 )则点 P 关于直线 BC 的对称点 P1(x， y)，满足Error!9解得Error! 即 P1(4,4－ a)，易得 P 关于 y 轴的对称点 P2(－ a,0)，由光的反射原理可知 P1， Q， R， P2四点共线，直线 QR 的斜率为 k＝ ＝ ，4－ a－ 04－  － a 4－ a4＋ a故直线 QR 的方程为 y＝ (x＋ a)，4－ a4＋ a由于直线 QR 过△ ABC 的重心( ， )，代入化简可得 3a2－4 a＝0，43 43解得 a＝ ，或 a＝0(舍去)，故 P ，故 AP＝ .43 (43， 0) 4318.妙用直线系求直线方程一、平行直线系由于两直线平行，它们的斜率相等或它们的斜率都不存在，因此两直线平行时，它们的一次项系数与常数项有必然的联系.典例 求与直线 3x＋4 y＋1＝0 平行且过点(1,2)的直线 l 的方程.思维点拨 因为所求直线与 3x＋4 y＋1＝0 平行，因此，可设该直线方程为3x＋4 y＋ c＝0( c≠1).规范解答解 依题意，设所求直线方程为 3x＋4 y＋ c＝0( c≠1)，又因为直线过点(1,2)，所以 3×1＋4×2＋ c＝0，解得 c＝－11.因此，所求直线方程为 3x＋4 y－11＝0.温馨提醒 与直线 Ax＋ By＋ C＝0 平行的直线系方程为 Ax＋ By＋ C1＝0 (C1≠ C)，再由其他条件求 C1.二、垂直直线系由于直线 A1x＋ B1y＋ C1＝0 与 A2x＋ B2y＋ C2＝0 垂直的充要条件为 A1A2＋ B1B2＝0.因此，当两直线垂直时，它们的一次项系数有必要的关系，可以考虑用直线系方程求解.典例 求经过 A(2,1)，且与直线 2x＋ y－10＝0 垂直的直线 l 的方程.思维点拨 依据两直线垂直的特征设出方程，再由待定系数法求解.规范解答解 因为所求直线与直线 2x＋ y－10＝0 垂直，所以设该直线方程为 x－2 y＋ C1＝0，又直线过点(2,1)，所以有 2－2×1＋ C1＝0，解得 C1＝0，即所求直线方程为 x－2 y＝0.10温馨提醒 与直线 Ax＋ By＋ C＝0 垂直的直线系方程为 Bx－ Ay＋ C1＝0，再由其他条件求出C1.三、过直线交点的直线系典例 求经过两直线 l1： x－2 y＋4＝0 和 l2： x＋ y－2＝0 的交点 P，且与直线l3：3 x－4 y＋5＝0 垂直的直线 l 的方程.思维点拨 可分别求出直线 l1与 l2的交点及直线 l 的斜率 k，直接写出方程；也可以利用过交点的直线系方程设直线方程，再用待定系数法求解.规范解答解 方法一 解方程组Error!得 P(0,2).因为 l3的斜率为 ，且 l⊥ l3，所以直线 l 的斜率为－ ，34 43由斜截式可知 l 的方程为 y＝－ x＋2，43即 4x＋3 y－6＝0.方法二 设直线 l 的方程为 x－2 y＋4＋ λ (x＋ y－2)＝0，即(1＋ λ )x＋( λ －2) y＋4－2 λ ＝0.又∵ l⊥ l3，∴3×(1＋ λ )＋(－4)×( λ －2)＝0，解得 λ ＝11.∴直线 l 的方程为 4x＋3 y－6＝0.温馨提醒 本题方法一采用常规方法，先通过方程组求出两直线交点，再根据垂直关系求出斜率，由于交点在 y 轴上，故采用斜截式求解；方法二则采用了过两直线 A1x＋ B1y＋ C1＝0与 A2x＋ B2y＋ C2＝0 的交点的直线系方程： A1x＋ B1y＋ C1＋ λ (A2x＋ B2y＋ C2)＝0，直接设出过两直线交点的方程，再根据垂直条件用待定系数法求解.[方法与技巧]1.两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合.对于斜率都存在且不重合的两条直线l1、 l2， l1∥ l2⇔k1＝ k2； l1⊥ l2⇔k1·k2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率一定要特别注意.2.对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称.利用坐标转移法.[失误与防范]1.在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在.若两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率，要单独考虑.2.在运用两平行直线间的距离公式 d＝ 时，一定要注意将两方程中 x， y 的系数化|C1－ C2|A2＋ B211为相同的形式.A 组 专项基础训练(时间：40 分钟)1.若曲线 f(x)＝ xsin x＋1 在 x＝ 处的切线与直线 ax＋3 y＋1＝0 互相垂直，则实数π 2a＝________.答案 3解析 求导得 f′( x)＝sin x＋ xcos x，故 f′ ＝1，(π 2)所以直线的斜率 k＝－ ＝－1，得 a＝3.a32.设 a， b， c 分别是△ ABC 中角 A， B， C 所对边的边长，则直线 sin A·x－ ay－ c＝0 与bx＋sin B·y＋sin C＝0 的位置关系是________.答案 垂直解析 方法一 因为直线 sin A·x－ ay－ c＝0 的斜率 k1＝ ，在 y 轴上的截距sin Aab1＝－ ；直线 bx＋sin B·y＋sin C＝0 的斜率 k2＝－ ，在 y 轴上的截距ca bsin Bb2＝－ ，由正弦定理 ＝ ＝ ，得 k1·k2＝ · ＝－1，即直sin Csin B asin A bsin B csin C sin Aa (－ bsin B)线 sin A·x－ ay－ c＝0 与 bx＋sin B·y＋sin C＝0 垂直.方法二 由正弦定理有 a＝2 Rsin A， b＝2 Rsin B(其中 R 为△ ABC 外接圆的半径)，所以bsin A－ asin B＝2 Rsin Bsin A－2 Rsin Asin B＝0，所以直线 sin A·x－ ay－ c＝0 与bx＋sin B·y＋sin C＝0 垂直.3.当 0＜ k＜ 时，直线 l1： kx－ y＝ k－1 与直线 l2： ky－ x＝2 k 的交点在第________象限.12答案 二解析 解方程组Error!得两直线的交点坐标为 ，因为 0＜ k＜ ，所以(kk－ 1， 2k－ 1k－ 1) 12＜0， ＞0，故交点在第二象限.kk－ 1 2k－ 1k－ 14.若直线 l1： y＝ k(x－4)与直线 l2关于点(2,1)对称，则直线 l2经过定点________.答案 (0,2)解析 直线 l1： y＝ k(x－4)经过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又直线12l1： y＝ k(x－4)与直线 l2关于点(2,1)对称，故直线 l2经过定点(0,2).5.从点(2,3)射出的光线沿与向量 a＝(8,4)平行的直线射到 y 轴上，则反射光线所在的直线方程为__________.答案 x＋2 y－4＝0解析 由直线与向量 a＝(8,4)平行知：过点(2,3)的直线的斜率 k＝ ，所以直线的方程为12y－3＝ (x－2)，其与 y 轴的交点坐标为(0,2)，又点(2,3)关于 y 轴的对称点为(－2,3)，所12以反射光线过点(－2,3)与(0,2)，由两点式得直线方程为 x＋2 y－4＝0.6.已知 M＝ ， N＝{( x， y)|ax＋2 y＋ a＝0}且 M∩ N＝∅，则 a＝________.{ x， y |y－ 3x－ 2＝ 3}答案 －2 或－6解析 由题可知，集合 M 表示过点(2,3)且斜率为 3 的直线，但除去(2,3)点，而集合 N 表示一条直线，该直线的斜率为－ ，且过(－1,0)点，若 M∩ N＝∅，则有两种情况：①集合 M 表a2示的直线与集合 N 所表示的直线平行，即－ ＝3，解得 a＝－6；②集合 N 表示的直线过a2(2,3)点，即 2a＋2×3＋ a＝0，解得 a＝－2，综上， a＝－2 或－6.7.已知两直线 l1： ax－ by＋4＝0 和 l2：( a－1) x＋ y＋ b＝0，若 l1∥ l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等，则 a＋ b＝________.答案 0 或83解析 由题意得Error!解得Error! 或Error!经检验，两种情况均符合题意，∴ a＋ b 的值为 0 或 .838.已知直线 l1： ax＋ y－1＝0，直线 l2： x－ y－3＝0，若直线 l1的倾斜角为 ，则π 4a＝________；若 l1⊥ l2，则 a＝________；若 l1∥ l2，则两平行直线间的距离为________.答案 －1 1 2 2解析 若直线 l1的倾斜角为 ，则－ a＝ k＝tan 45°＝1，故 a＝－1；若 l1⊥ l2，则π 4a×1＋1×(－1)＝0，故 a＝1；若 l1∥ l2，则 a＝－1， l1： x－ y＋1＝0，两平行直线间的距离 d＝ ＝2 .|1－  － 3 |1＋ 1 29.已知△ ABC 的顶点 A(5,1)， AB 边上的中线 CM 所在直线方程为 2x－ y－5＝0， AC 边上的高BH 所在直线方程为 x－2 y－5＝0，求直线 BC 的方程.13解 依题意知： kAC＝－2， A(5,1)，∴ lAC为 2x＋ y－11＝0，联立 lAC、 lCM得Error!∴ C(4,3).设 B(x0， y0)， AB 的中点 M 为( ， )，x0＋ 52 y0＋ 12代入 2x－ y－5＝0，得 2x0－ y0－1＝0，∴Error! ∴ B(－1，－3)，∴ kBC＝ ，∴直线 BC 的方程为 y－3＝ (x－4)，65 65即 6x－5 y－9＝0.10.已知直线 l 经过直线 l1：2 x＋ y－5＝0 与 l2： x－2 y＝0 的交点.(1)若点 A(5,0)到 l 的距离为 3，求 l 的方程；(2)求点 A(5,0)到 l 的距离的最大值.解 (1)易知 l 不可能为 l2，可设经过两已知直线交点的直线系方程为(2 x＋ y－5)＋ λ (x－2 y)＝0，即(2＋ λ )x＋(1－2 λ )y－5＝0，∵点 A(5,0)到 l 的距离为 3，∴ ＝3，|10＋ 5λ － 5| 2＋ λ  2＋  1－ 2λ  2即 2λ 2－5 λ ＋2＝0，∴ λ ＝2，或 λ ＝ ，12∴ l 的方程为 x＝2 或 4x－3 y－5＝0.(2)由Error!解得交点 P(2,1)，如图，过 P 作任一直线 l，设 d 为点 A 到 l 的距离，则 d≤ PA(当 l⊥ PA时等号成立).∴ dmax＝ PA＝ ＝ . 5－ 2 2＋  0－ 1 2 10B 组 专项能力提升(时间：30 分钟)11.若点( m， n)在直线 4x＋3 y－10＝0 上，则 m2＋ n2的最小值是________.答案 414解析 因为点( m， n)在直线 4x＋3 y－10＝0 上，所以 4m＋3 n－10＝0.欲求 m2＋ n2的最小值可先求 的最小值， m－ 0 2＋  n－ 0 2而  m－ 0 2＋  n－ 0 2表示 4m＋3 n－10＝0 上的点( m， n)到原点的距离，如图.当过原点的直线与直线4m＋3 n－10＝0 垂直时，原点到点( m， n)的距离最小为 2.所以 m2＋ n2的最小值为 4.12.如图，已知直线 l1∥ l2，点 A 是 l1， l2之间的定点，点 A 到 l1， l2之间的距离分别为 3 和2，点 B 是 l2上的一动点，作 AC⊥ AB，且 AC 与 l1交于点 C，则△ ABC 的面积的最小值为________.答案 6解析 以 A 为坐标原点，平行于 l1的直线为 x 轴，建立如图所示的直角坐标系，设 B(a，－2)，C(b,3)，且 a0， b0.∵ AC⊥ AB，∴ ab－6＝0， ab＝6， b＝ .6aRt△ ABC 的面积 S＝ ·12a2＋ 4 b2＋ 9＝ · ＝ 12a2＋ 4 36a2＋ 9 12 72＋ 9a2＋ 144a215≥ ＝6.1272＋ 72当且仅当 9a2＝ ，即 a＝－2 时，等号成立.144a2即△ ABC 面积的最小值为 6.13.在平面直角坐标系内，到点 A(1,2)， B(1,5)， C(3,6)， D(7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________.答案 (2,4)解析 如图，设平面直角坐标系中任一点 P， P 到点 A(1,2)， B(1,5)， C(3,6)， D(7，－1)的距离之和为 PA＋ PB＋ PC＋ PD＝ PB＋ PD＋ PA＋ PC≥ BD＋ AC＝ QA＋ QB＋ QC＋ QD，故四边形 ABCD 对角线的交点 Q 即为所求距离之和最小的点.∵ A(1,2)， B(1,5)， C(3,6)， D(7，－1)，∴直线 AC 的方程为 y－2＝2( x－1)，直线 BD 的方程为 y－5＝－( x－1).由Error! 得 Q(2,4).14.已知直线 l： y＝ x－1，12(1)求点 P(3,4)关于 l 对称的点 Q；(2)求 l 关于点(2,3)对称的直线方程.解 (1)设 Q(x0， y0)，由于 PQ⊥ l，且 PQ 中点在 l 上，有Error!解得Error!∴ Q .(295， － 85)(2)在 l 上任取一点，如 M(0，－1)，则 M 关于点(2,3)对称的点为 N(4,7).∵当对称点不在直线上时，关于点对称的两直线必平行，∴所求直线过点 N 且与 l 平行，∴所求方程为 y－7＝ (x－4)，即为 x－2 y＋10＝0.1215.已知三条直线： l1：2 x－ y＋ a＝0( a＞0)； l2：－4 x＋2 y＋1＝0； l3： x＋ y－1＝0，且 l1与 l2间的距离是 .7510(1)求 a 的值；16(2)能否找到一点 P，使 P 同时满足下列三个条件：①点 P 在第一象限；②点 P 到 l1的距离是点 P 到 l2的距离的 ；12③点 P 到 l1的距离与点 P 到 l3的距离之比是 ∶ .2 5若能，求点 P 的坐标；若不能，说明理由.解 (1)直线 l2：2 x－ y－ ＝0，所以两条平行线 l1与 l2间的距离为 d＝ ＝12 |a－ (－ 12)|22＋  － 1 2，7510所以 ＝ ，即 ＝ ，|a＋ 12|5 7510 |a＋ 12| 72又 a＞0，解得 a＝3.(2)假设存在点 P，设点 P(x0， y0).若 P 点满足条件②，则 P 点在与 l1， l2平行的直线 l′：2 x－ y＋ c＝0 上，且 ＝|c－ 3|5 12，|c＋ 12|5即 c＝ 或 ，132 116所以 2x0－ y0＋ ＝0 或 2x0－ y0＋ ＝0；132 116若 P 点满足条件③，由点到直线的距离公式，有 ＝ ，|2x0－ y0＋ 3|5 25|x0＋ y0－ 1|2即|2 x0－ y0＋3|＝| x0＋ y0－1|，所以 x0－2 y0＋4＝0 或 3x0＋2＝0；由于点 P 在第一象限，所以 3x0＋2＝0 不可能.联立方程 2x0－ y0＋ ＝0 和 x0－2 y0＋4＝0，132解得Error! (舍去)联立方程 2x0－ y0＋ ＝0 和 x0－2 y0＋4＝0，116解得Error!所以存在点 P 同时满足三个条件.(19， 3718)