（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第七章 不等式 理（课件+习题）（打包8套）.zip

1【步步高】 （江苏专用）2017 版高考数学一轮复习 第七章 不等式 7.1不等关系与不等式 理1．两个实数比较大小的方法(1)作差法Error! ( a， b∈R)；(2)作商法Error! ( a∈R， b0)．2．不等式的基本性质性质 性质内容 特别提醒对称性 ab⇔bb， bc⇒ac ⇒可加性 ab⇔a＋ cb＋ c ⇔Error!⇒acbc可乘性Error!⇒acb＋ d ⇒同向同正可乘性 Error!⇒acbd ⇒可乘方性 ab0⇒anbn(n∈N， n≥1)可开方性 ab0⇒ (n∈N， n≥2nanb)a， b 同为正数3.不等式的一些常用性质(1)倒数的性质① ab， ab0⇒ b0,0 .acbd④0b0， m0，则2① (b－ m0)．bab＋ ma＋ m bab－ ma－ m② ； 0)．aba＋ mb＋ m aba－ mb－ m【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)ab⇔ac2bc2.( × )(2) ⇔ab， cd⇒acbd.( × )(4)若 |b|.( × )1a1b(5)若 a3b3且 ab .( √ )1a1b1 若 xy， ab，则在① a－ xb－ y，② a＋ xb＋ y，③ axby，④ x－ by－ a，⑤ 这五个式aybx子中，恒成立的所有不等式的序号是________．答案 ②④解析 令 x＝－2， y＝－3， a＝3， b＝2，符合题设条件 xy， ab.∵ a－ x＝3－(－2)＝5， b－ y＝2－(－3)＝5，∴ a－ x＝ b－ y.因此①不恒成立．又∵ ax＝－6， by＝－6，∴ ax＝ by.因此③也不恒成立．又∵ ＝ ＝－1， ＝ ＝－1，ay 3－ 3 bx 2－ 2∴ ＝ .因此⑤不恒成立．ay bx由不等式的性质可推出②④恒成立．2．下列四个结论，正确的是________．① ab， cb－ d；② ab0， cbd；③ ab0⇒ ；3a3b④ ab0⇒ .1a21b2答案 ①③33．若 a， b∈R，若 a＋| b|0 ② a3＋ b30③ a2－ b2|b|，当 b≥0 时， a＋ b1 时， x3x2－ x＋1；④ x2＋ y2＋12( x＋ y－1)．答案 ①③④解析 ①2 x2＋5 x＋9－( x2＋5 x＋6)＝ x2＋30，即 x2＋5 x＋61 时， x3－ x2＋ x－1＝ x2(x－1)＋( x－1)＝( x－1)( x2＋1)0，即 x3x2－ x＋1.④ x2＋ y2＋1－2( x＋ y－1)＝( x2－2 x＋1)＋( y2－2 y＋1)＋1＝( x－1) 2＋( y－1) 2＋10，即 x2＋ y2＋12( x＋ y－1)．5．若 01 且 2a1－ ＝ ，12 124即 a2＋ b2 ，12a2＋ b2－ b＝(1－ b)2＋ b2－ b＝(2 b－1)( b－1)，又 2b－10， b－1a (2) c0，12 34∴ ba，∴ c≥ ba.(2)方法一 易知 a， b， c 都是正数， ＝ba 3ln 44ln 3＝log 8164b；＝ ＝log 6251 0241，bc 5ln 44ln 5所以 bc.即 ce 时，函数 f(x)单调递减．因为 ef(4)f(5)，即 cn (2) a0.12则有 x∈R 时， mn 恒成立．(2) ＝ ＝( )16ab 18161618 1816 1162＝( )16( )16＝( )16，98 12 982∵ ∈(0,1)，∴( )160,16180，∴18 16ac ② c(b－ a)0答案 ①解析 由 c0.由 bc 得 abac 一定成立．思维升华 解决此类问题常用两种方法：一是直接使用不等式的性质逐个验证；二是利用特殊值法排除．利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件．若 a0b－ a， cbc；② ＋ b－ d；④ a(d－ c)b(d－ c)中成立的个数是________．ad bc答案 3解析 方法一 ∵ a0b， c0，∴ ad0b－ a，∴ a－ b0，∵ c－ d0，∴ a(－ c)(－ b)(－ d)，∴ ac＋ bd－ d，∵ ab，∴ a＋(－ c)b＋(－ d)，a－ cb－ d，故③正确．∵ ab， d－ c0，∴ a(d－ c)b(d－ c)，故④正确．方法二 取特殊值．题型三 不等式性质的应用例 3 已知 ab0，给出下列四个不等式：① a2b2；②2 a2b－1 ；③ － ；④ a3＋ b32a2b.a－ b a b其中一定成立的不等式为__________．答案 ①②③解析 方法一 由 ab0 可得 a2b2，①成立；由 ab0 可得 ab－1，而函数 f(x)＝2 x在 R 上是增函数，7∴ f(a)f(b－1)，即 2a2b－1 ，②成立；∵ ab0，∴ ，a b∴( )2－( － )2a－ b a b＝2 －2 b＝2 ( － )0，ab b a b∴ － ，③成立；a－ b a b若 a＝3， b＝2，则 a3＋ b3＝35,2 a2b＝36，a3＋ b3b2，②2 a2b－1 ，③ － 均成立，而④ a3＋ b32a2b 不成立．a－ b a b思维升华 (1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式的性质．(2)在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质等．(1)若 a ② a2bn|b||a||b|＋ 1|a|＋ 1(2)设 ab1， c ；② acloga(b－ c)．cacb其中所有正确结论的序号是________．答案 (1)③ (2)①②③解析 (1)(特值法)取 a＝－2， b＝－1，逐个检验，可知①，②，④均不正确；③中， b1 知 ，知①正确；cacb构造函数 y＝ xc，∵ cb1，∴ acb1， cb－ c1，∴log b(a－ c)loga(a－ c)loga(b－ c)，知③正确．7．不等式变形中扩大变量范围致误典例 设 f(x)＝ ax2＋ bx，若 1≤ f(－1)≤2,2≤ f(1)≤4，则 f(－2)的取值范围是________．易错分析 解题中多次使用同向不等式的可加性，先求出 a， b 的范围，再求 f(－2)＝4 a－2 b 的范围，导致变量范围扩大．解析 方法一 设 f(－2)＝ mf(－1)＋ nf(1) (m、 n 为待定系数)，则 4a－2 b＝ m(a－ b)＋ n(a＋ b)，即 4a－2 b＝( m＋ n)a＋( n－ m)b，于是得Error! 解得Error!∴ f(－2)＝3 f(－1)＋ f(1)．又∵1≤ f(－1)≤2,2≤ f(1)≤4，∴5≤3 f(－1)＋ f(1)≤10，即 5≤ f(－2)≤10.方法二 由Error!得Error!∴ f(－2)＝4 a－2 b＝3 f(－1)＋ f(1)．又∵1≤ f(－1)≤2,2≤ f(1)≤4，∴5≤3 f(－1)＋ f(1)≤10，故 5≤ f(－2)≤10.方法三 由Error!确定的平面区域如图阴影部分，当 f(－2)＝4 a－2 b 过点 A( ， )时，32 12取得最小值 4× －2× ＝5，32 12当 f(－2)＝4 a－2 b 过点 B(3,1)时，取得最大值 4×3－2×1＝10，∴5≤ f(－2)≤10.答案 [5,10]温馨提醒 (1)此类问题的一般解法：先建立待求整体与已知范围的整体的关系，最后通过“一次性”使用不等式的运算求得整体范围．9(2)求范围问题如果多次利用不等式有可能扩大变量取值范围．[方法与技巧]1．用同向不等式求差的范围．Error!⇒Error!⇒a－ d .1a1b 1a1b3．比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一．比差法的主要步骤：作差—变形—判断正负．在所给不等式完全是积、商、幂的形式时，可考虑比商．4．求某些代数式的范围可考虑采用整体代入的方法．[失误与防范]1． ab⇒acbc 或 ab⇒ ，当 ab≤0 时不成立．1a1b 1a1b3． ab⇒anbn对于正数 a、 b 才成立．4. 1⇔ab，对于正数 a、 b 才成立．ab5．注意不等式性质中“⇒”与“⇔”的区别，如：ab， bc⇒ac，其中 ac 不能推出Error!6．比商法比较大小时，要注意两式的符号．A 组 专项基础训练(时间：40 分钟)1．若 xyz1，则 ， ， ， 从大到小依次排列为______________．xyz xy yz zx答案 xyz xy zx yz解析 取特殊值法，由 xyz1，可取 x＝4， y＝3， z＝2，分别代入得＝2 ， ＝2 ， ＝ ， ＝2 .xyz 6 xy 3 yz 6 zx 2故 .xyz xy zx yz2．设 a2， A＝ ＋ ， B＝ ＋ ，则 A， B 的大小关系是________．a＋ 1 a a＋ 2 a－ 210答案 AB解析 A2＝2 a＋1＋2 ， B2＝2 a＋ ，显然 A2B2，即 AB.a2＋ a a2－ 43．若 |a＋ b|答案 ①②③解析 ∵ 0， ab 符号不确定，所以 ab2与 a2b 的大小不能确定，故②错．因为 － ＝ N解析 M－ N＝ a1a2－( a1＋ a2－1)11＝ a1a2－ a1－ a2＋1＝ a1(a2－1)－( a2－1)＝( a1－1)( a2－1)，又∵ a1∈(0,1)， a2∈(0,1)，∴ a1－10，即 M－ N0.∴ MN.7．设 abc0， x＝ ， y＝ ， z＝ ，则a2＋  b＋ c 2 b2＋  c＋ a 2 c2＋  a＋ b 2x， y， z 的大小关系是________．(用“”连接)答案 zyx解析 方法一 y2－ x2＝2 c(a－ b)0，∴ yx.同理， zy，∴ zyx.方法二 令 a＝3， b＝2， c＝1，则 x＝ ， y＝ ，18 20z＝ ，故 zyx.268．已知 a， b， c， d 均为实数，有下列命题①若 ab0， bc－ ad0，则 － 0；ca db②若 ab0， － 0，则 bc－ ad0；ca db③若 bc－ ad0， － 0，则 ab0.ca db其中正确的命题是________．答案 ①②③解析 ∵ ab0， bc－ ad0，∴ － ＝ 0，∴①正确；ca db bc－ adab∵ ab0，又 － 0，即 0，ca db bc－ adab∴ bc－ ad0，∴②正确；∵ bc－ ad0，又 － 0，即 0，ca db bc－ adab∴ ab0，∴③正确．故①②③都正确．9．设 x0， x－ y0，12∴( x2＋ y2)(x－ y)(x2－ y2)(x＋ y)．10．甲乙两人同时从宿舍到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步；乙一半时间步行，一半时间跑步；如果两人步行、跑步速度均相同，则谁先到教室？解 设路程为 s，跑步速度为 v1，步行速度为 v2，t 甲 ＝ ＋ ＝ ，s2v1 s2v2 s v1＋ v22v1v2s＝ ·v1＋ ·v2⇒t 乙 ＝ ，t乙2 t乙2 2sv1＋ v2∴ ＝ ≥ ＝1.t甲t乙  v1＋ v2 24v1v2  2v1v2 24v1v2∴ t 甲 ≥ t 乙 ，当且仅当 v1＝ v2时“＝”成立．由实际情况知 v1v2，∴ t 甲 t 乙． ∴乙先到教室．B 组 专项能力提升(时间：20 分钟)11．已知 a， b， c∈R，那么下列命题中正确的是________．①若 ab，则 ac2bc2；②若 ，则 ab；acbc③若 a3b3且 ab ；1a1b④若 a2b2且 ab0，则 b3且 ab0 且 b 成立，③正确；1a1b当 aa－1 不成立，则实数 a 的取值范围是__________．答案 (－∞，0)∪(0，＋∞)解析 不妨将命题否定，转化为：若对任意的 x，有 axa－1 恒成立，则 a(x－1)－1.当 x1时有 a ，则 a≥0；当 x ②( )a1lg a 1lg b答案 ④解析 因为 0( )b，(lg a)2(lg b)2，1b1a 12 12lg a ，1lg a 1lg b因此只有④正确．15．某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如果领队买一张全票，其余人可享受 7.5 折优惠” ．乙车队说：“你们属团体票，按原价的 8 折优惠” ．这两个车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠．解 设该单位职工有 n 人( n∈N *)，全票价为 x 元/人，坐甲车需花 y1元，坐乙车需花 y2元，则 y1＝ x＋ x·(n－1)34＝ x＋ nx，14 34y2＝ nx.45所以 y1－ y2＝ x＋ nx－ nx14 34 45＝ x－ nx14 120＝ x(1－ )．14 n514当 n＝5 时， y1＝ y2；当 n5 时， y1y2.因此当单位去的人数为 5 人时，两车队收费同等优惠；当单位去的人数多于 5 人时，甲车队收费更优惠；当单位去的人数少于 5 人时，乙车队收费更优惠．1【步步高】 （江苏专用）2017 版高考数学一轮复习 第七章 不等式 7.2一元二次不等式及其解法 理 1． “三个二次”的关系判别式 Δ ＝ b2－4 ac Δ 0 Δ ＝0 Δ 0)的图象一元二次方程ax2＋ bx＋ c＝0(a0)的根有两个相异实根x1， x2(x10 (a0)的解集(－∞， x1)∪( x2，＋∞)(－∞，－ )∪b2a(－ b2a， ＋ ∞ )Rax2＋ bx＋ c0)的解集(x1， x2) ∅ ∅2.常用结论(x－ a)(x－ b)0 或( x－ a)(x－ b)b(x－ a)·(x－ b)0{x|xb}{x|x≠ a}{x|xa}(x－ a)·(x－ b)0.( √ )(2)不等式 ≤0 的解集是[－1,2]．( × )x－ 2x＋ 1(3)若不等式 ax2＋ bx＋ c0 的解集是(－∞， x1)∪( x2，＋∞)，则方程 ax2＋ bx＋ c＝0 的两个根是 x1和 x2.( √ )(4)若方程 ax2＋ bx＋ c＝0( a≠0)没有实数根，则不等式 ax2＋ bx＋ c0 的解集为 R.( × )(5)不等式 ax2＋ bx＋ c≤0 在 R 上恒成立的条件是 a0 的解集是________．答案 (－∞，－2)∪(5，＋∞)解析 解方程 x2－3 x－10＝0 得 x1＝－2， x2＝5，由 y＝ x2－3 x－10 的开口向上，所以 x2－3 x－100 的解集为(－∞，－2)∪(5，＋∞)．2．设集合 M＝{ x|x2－3 x－4 x2－ x 的解集为{ x|1 x2－ x 的解集为{ x|10 且 x1x2＝ a2－10，解方程 2x2－ x－3＝0 得 x1＝－1， x2＝ ，32∴不等式 2x2－ x－30 的解集为(－∞，－1)∪( ，＋∞)，32即原不等式的解集为(－∞，－1)∪( ，＋∞)．32命题点 2 含参不等式例 2 解关于 x 的不等式： x2－( a＋1) x＋ a1 时， x2－( a＋1) x＋ a1.若 a0，解得 x1.1a 1a若 a0，原不等式等价于( x－ )(x－1)1 时， 1，解( x－ )(x－1)1}；1a4当 a＝0 时，解集为{ x|x1}；当 01 时，解集为{ x| 0，则 a 的取值范围是 ________．答案 (1)(－3,0) (2)[0,4)解析 (1)2 kx2＋ kx－ 0，则必有 Error!或 a＝0，∴0≤ a0 时， g(x)在[1,3]上是增函数，所以 g(x)max＝ g(3)⇒7m－60，(x－12) 34又因为 m(x2－ x＋1)－63}解析 x2＋( k－4) x＋4－2 k0 恒成立，即 g(k)＝( x－2) k＋( x2－4 x＋4)0，在 k∈[－1,1]时恒成立．只需 g(－1)0 且 g(1)0，即Error!解之得 x3.思维升华 (1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于 0 就是相应的二次函数的图象在给6定的区间上全部在 x 轴上方，恒小于 0 就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在 x轴下方．另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．(1) 若不等式 x2－2 x＋5≥ a2－3 a 对任意实数 x 恒成立，则实数 a 的取值范围为__________．(2)已知函数 f(x)＝ x2＋ mx－1，若对于任意 x∈[ m， m＋1]，都有 f(x)0，即－6 000 x2＋2 000 x0，∴00 恒成立，则实数 a 的取值x2＋ 2x＋ ax范围是________．思维点拨 (1)考虑“三个二次”间的关系；(2)将恒成立问题转化为最值问题求解．解析 (1)由题意知 f(x)＝ x2＋ ax＋ b＝ 2＋ b－ .(x＋a2) a24∵ f(x)的值域为[0，＋∞)，∴ b－ ＝0，即 b＝ .a24 a24∴ f(x)＝ 2.(x＋a2)8又∵ f(x)0 恒成立，即 x2＋2 x＋ a0 恒成立．x2＋ 2x＋ ax即当 x≥1 时， a－( x2＋2 x)＝ g(x)恒成立．而 g(x)＝－( x2＋2 x)＝－( x＋1) 2＋1 在[1，＋∞)上单调递减，∴ g(x)max＝ g(1)＝－3，故 a－3.∴实数 a 的取值范围是{ a|a－3}．答案 (1)9 (2){ a|a－3}温馨提醒 (1)本题的解法充分体现了转化与化归思想：函数的值域和不等式的解集转化为a， b 满足的条件；不等式恒成立可以分离常数，转化为函数值域问题．(2)注意函数 f(x)的值域为[0，＋∞)与 f(x)≥0 的区别．[方法与技巧]1． “三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础，一般可把 a0时的情形．2． f(x)0 的解集即为函数 y＝ f(x)的图象在 x 轴上方的点的横坐标的集合，充分利用数形结合思想．3．简单的分式不等式可以等价转化，利用一元二次不等式解法进行求解．[失误与防范]1．对于不等式 ax2＋ bx＋ c0，求解时不要忘记讨论 a＝0 时的情形．2．当 Δ 0 (a≠0)的解集为 R 还是∅，要注意区别．3．含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论.A 组 专项基础训练(时间：30 分钟)1．不等式( x－1)(2－ x)≥0 的解集为____________．答案 { x|1≤ x≤2}9解析 由( x－1)(2－ x)≥0 可知( x－2)( x－1)≤0，所以不等式的解集为{ x|1≤ x≤2}．2．已知函数 f(x)＝Error!则不等式 f(x)≥ x2的解集为________．答案 [－1,1]解析 方法一 当 x≤0 时， x＋2≥ x2，∴－1≤ x≤0；①当 x0 时，－ x＋2≥ x2，∴00，不等式－ c0，∴－ 0 的解集是________________．1a答案 { x|a0 的解集为{ x|－ 1， f(2)＝ ，则实数 a 的取2a－ 3a＋ 1值范围是________．答案 (－1， )23解析 ∵ f(x＋3)＝ f(x)，∴ f(2)＝ f(－1＋3)＝ f(－1)＝－ f(1)0 的解集；11(2)若 a0，且 00，即 a(x＋1)( x－2)0.当 a0 时，不等式 F(x)0 的解集为{ x|x2}；当 a0 的解集为{ x|－10，且 00.∴ f(x)－ m0 的解集是(－1,3)，则不等式f(－2 x)3 或－2 x .32 1212．已知函数 f(x)＝ x(1＋ a|x|)，设关于 x 的不等式 f(x＋ a)0 时，画出函数 y＝ f(x)和 y＝ f(x＋ a)的图象大致如图(1)．12由图(1)可知，当 a0 时， y＝ f(x＋ a)的图象在 y＝ f(x)图象的上边，故 a0 不符合条件．(3)当 a0 恒成立，则 b 的取值范围是________．答案 b2解析 由 f(1－ x)＝ f(1＋ x)知 f(x)图象的对称轴为直线 x＝1，则有 ＝1，故 a＝2.a2由 f(x)的图象可知 f(x)在[－1,1]上为增函数．∴ x∈[－1,1]时， f(x)min＝ f(－1)＝－1－2＋ b2－ b＋1＝ b2－ b－2，令 b2－ b－20，解得 b2.14．已知 f(x)是定义域为 R 的偶函数，当 x≥0 时， f(x)＝ x2－4 x，那么，不等式 f(x＋2)0，∵ x≥0 时， f(x)＝ x2－4 x，∴ f(－ x)＝(－ x)2－4(－ x)＝ x2＋4 x，又 f(x)为偶函数，∴ f(－ x)＝ f(x)，∴ x0.(1)证明 ∵函数 f(x)＝ 为定义在 R 上的奇函数，∴ f(0)＝0，即 b＝0，∴ f(x)＝x＋ b1＋ x2(经检验满足题意)，xx2＋ 1∴ f′( x)＝ ＝ . x2＋ 1 － x·2x x2＋ 1 2 1－ x2 x2＋ 1 2当 x∈(1，＋∞)时， f′( x)0，得 f(1＋2 x2)－ f(－ x2＋2 x－4)．∵ f(x)是奇函数，∴ f(1＋2 x2)f(x2－2 x＋4)．又∵1＋2 x21， x2－2 x＋4＝( x－1) 2＋31，且 f(x)在(1，＋∞)上为减函数，∴1＋2 x20 的解集为{ x|－3 x1}．1【步步高】 （江苏专用）2017 版高考数学一轮复习 第七章 不等式 7.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 理 1．二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式 Ax＋ By＋ C0在平面直角坐标系中表示直线 Ax＋ By＋ C＝0 某一侧所有点组成的平面区域．我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线．当我们在坐标系中画不等式 Ax＋ By＋ C≥0 所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线．(2)由于对直线 Ax＋ By＋ C＝0 同一侧的所有点( x， y)，把它的坐标( x， y)代入 Ax＋ By＋ C，所得的符号都相同，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点( x0， y0)作为测试点，由Ax0＋ By0＋ C的符号即可判断 Ax＋ By＋ C0表示的直线是 Ax＋ By＋ C＝0 哪一侧的平面区域．2．线性规划相关概念名称 意义约束条件 由变量 x， y组成的一次不等式线性约束条件 由 x， y的一次不等式(或方程)组成的不等式组目标函数 欲求最大值或最小值的函数线性目标函数 关于 x， y的一次解析式可行解 满足线性约束条件的解可行域 所有可行解组成的集合最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题3.重要结论(1)画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域：①直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；②特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证．(2)利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域：对于 Ax＋ By＋ C0或 Ax＋ By＋ C0时，区域为直线 Ax＋ By＋ C＝0 的上方；2②当 B(Ax＋ By＋ C)0表示的平面区域一定在直线 Ax＋ By＋ C＝0 的上方．( × )(2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的．( √ )(3)目标函数 z＝ ax＋ by(b≠0)中， z的几何意义是直线 ax＋ by－ z＝0 在 y轴上的截距．( × )(4)不等式 x2－ y20， x， y满足约束条件Error!若 z＝2 x＋ y的最小值为 1，则 a＝________.答案 12解析 作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)．易知直线 z＝2 x＋ y过交点 A时， z取最小值，由Error! 得Error!∴ zmin＝2－2 a＝1，解得 a＝ .12思维升华 (1)先准确作出可行域，再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值．(2)当目标函数是非线性的函数时，常利用目标函数的几何意义来解题，常见代数式的几何意义有：① 表示点( x， y)与原点(0,0)的距离， 表示点( x， y)与点x2＋ y2  x－ a 2＋  y－ b 2(a， b)的距离；② 表示点( x， y)与原点(0,0)连线的斜率， 表示点( x， y)与点( a， b)连线的斜率．yx y－ bx－ a(3)当目标函数中含有参数时，要根据临界位置确定参数所满足条件．(1)在直角坐标平面内，不等式组Error!所表示的平面区域的面积为 ，则 t的32值为________．(2) x， y满足约束条件Error!若 z＝ y－ ax取得最大值的最优解不唯一，则实数 a的值为________．答案 (1)1 (2)2 或－1解析 (1)不等式组Error!所表示的平面区域如图中阴影部分所8示．由Error! 解得交点 B(t， t＋1)，在 y＝ x＋1 中，令 x＝0 得 y＝1，即直线 y＝ x＋1 与 y轴的交点为 C(0,1)，由平面区域的面积 S＝ ＝ ，得 t2＋2 t－3＝0，解得 1＋ t＋ 1 ×t2 32t＝1 或 t＝－3(不合题意，舍去)．(2)如图，由 y＝ ax＋ z知 z的几何意义是直线在 y轴上的截距，故当 a0时，要使 z＝ y－ ax取得最大值的最优解不唯一，则 a＝2；当 a2，此时不等式组Error!所表示的平面区域如图所示，平面区域为一个三角形区域，其顶点为 A(1,1)， B(m－1,1)， C( ， )．m＋ 13 2m－ 13由图可知，当直线 y＝ x－ z经过点 C时， z取得最小值，最小值为 － ＝ .m＋ 13 2m－ 13 2－ m3由题意，得 ＝－1，解得 m＝5.2－ m3答案 5温馨提醒 (1)当约束条件含有参数时，要注意根据题目条件，画出符合条件的可行域．本题因含有变化的参数，可能导致可行域画不出来．10(2)应注意直线 y＝ x－ z经过的特殊点．[方法与技巧]1．平面区域的画法：线定界、点定域(注意实虚线)．2．求最值：求二元一次函数 z＝ ax＋ by (ab≠0)的最值，将函数 z＝ ax＋ by转化为直线的斜截式： y＝－ x＋ ，通过求直线的截距 的最值间接求出 z的最值．最优解在顶点或边界ab zb zb取得．3．解线性规划应用题，可先找出各变量之间的关系，最好列成表格，然后用字母表示变量，列出线性约束条件；写出要研究的函数，转化成线性规划问题．4．利用线性规划的思想结合代数式的几何意义可以解决一些非线性规划问题．[失误与防范]1．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化．2．在通过求直线的截距 的最值间接求出 z的最值时，要注意：当 b0时，截距 取最大值zb zb时， z也取最大值；截距 取最小值时， z也取最小值；当 b0， b0)的最大值为 10，则a2＋ b2的最小值为________．答案 2513解析 因为 a0， b0，所以由可行域得，如图，当目标函数过点(4,6)时 z取最大值，∴4 a＋6 b＝10.a2＋ b2的几何意义是直线 4a＋6 b＝10 上任意一点到点(0,0)的距离的平方，那么其最小值是点(0,0)到直线 4a＋6 b＝10 距离的平方，则 a2＋ b2的最小值是 .2513B组 专项能力提升(时间：20 分钟)11．已知变量 x， y满足约束条件Error!若 z＝ x－2 y的最大值与最小值分别为 a， b，且方程x2－ kx＋1＝0 在区间( b， a)上有两个不同实数解，则实数 k的取值范围是__________．答案 (－ ，－2)103解析 作出可行域，如图所示，则目标函数 z＝ x－2 y在点(1,0)处取得最大值 1，在点(－1,1)处取得最小值－3，∴ a＝1， b＝－3，从而可知方程 x2－ kx＋1＝0 在区间(－3,1)上有两个不同实数解．令 f(x)＝ x2－ kx＋1，则Error! ⇒－ 0，y＋ 1x＋ 1 14 y＋ 1x＋ 1∴可行域如图中阴影部分所示，∴( )min＝ ＝ ＝ ，∴ a＝1.y＋ 1x＋ 1 0－  － 13a－  － 1 13a＋ 1 1416．(2015·浙江)若实数 x， y满足 x2＋ y2≤1，则|2 x＋ y－2|＋|6－ x－3 y|的最小值是________．答案 3解析 满足 x2＋ y2≤1 的实数 x， y表示的点( x， y)构成的区域是单位圆及其内部．f(x， y)＝|2 x＋ y－2|＋|6－ x－3 y|＝|2 x＋ y－2|＋6－ x－3 y17＝Error!直线 y＝－2 x＋2 与圆 x2＋ y2＝1 交于 A， B两点，如图所示，易得 B .(35， 45)设 z1＝4＋ x－2 y， z2＝8－3 x－4 y，分别作直线 y＝ x12和 y＝－ x并平移，则 z1＝4＋ x－2 y在点 B 取得最小值为 3， z2＝8－3 x－4 y在点 B34 (35， 45)取得最小值为 3，所以|2 x＋ y－2|＋|6－ x－3 y|的最小值是 3.(35， 45)1【步步高】 （江苏专用）2017 版高考数学一轮复习 第七章 不等式 7.4基本不等式及其应用 理 1．基本不等式 ≤aba＋ b2(1)基本不等式成立的条件： a≥0， b≥0.(2)等号成立的条件：当且仅当 a＝ b时取等号．2．几个重要的不等式(1)a2＋ b2≥2 ab(a， b∈R)．(2) ＋ ≥2( a， b同号)．ba ab(3)ab≤ 2 (a， b∈R)．(a＋ b2 )(4) ≥ 2 (a， b∈R)．a2＋ b22 (a＋ b2 )以上不等式等号成立的条件均为 a＝ b.3．算术平均数与几何平均数设 a0， b0，则 a， b的算术平均数为 ，几何平均数为 ，基本不等式可叙述为两个a＋ b2 ab正数的几何平均数不大于它们的算术平均数．4．利用基本不等式求最值问题已知 x0， y0，则(1)如果积 xy是定值 p，那么当且仅当 x＝ y时， x＋ y有最小值 2 .(简记：积定和最小)p(2)如果和 x＋ y是定值 p，那么当且仅当 x＝ y时， xy有最大值 .(简记：和定积最大)p24【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数 y＝ x＋ 的最小值是 2.( × )1x(2)函数 f(x)＝cos x＋ ， x∈(0， )的最小值等于 4.( × )4cos x π22(3)“x0且 y0”是“ ＋ ≥2”的充要条件．( × )xy yx(4)若 a0，则 a3＋ 的最小值为 2 .( × )1a2 a(5)不等式 a2＋ b2≥2 ab与 ≥ 有相同的成立条件．( × )a＋ b2 ab1．设 x0， y0，且 x＋ y＝18，则 xy的最大值为________．答案 81解析 ∵ x0， y0，∴ ≥ ，x＋ y2 xy即 xy≤( )2＝81，x＋ y2当且仅当 x＝ y＝9 时，( xy)max＝81.2．若实数 x， y满足 xy0，且 log2x＋log 2y＝1，则 的最小值为________．x2＋ y2x－ y答案 4解析 由 log2x＋log 2y＝1 得 xy＝2，又 xy0，所以x－ y0， ＝ ＝ x－ y＋ ≥2 ＝4，当且仅当x2＋ y2x－ y  x－ y 2＋ 2xyx－ y 4x－ y  x－ y ·4x－ yx－ y＝2，即 x＝1＋ ， y＝ －1 时取等号，所以 的最小值为 4.3 3x2＋ y2x－ y3．若函数 f(x)＝ x＋ (x2)在 x＝ a处取最小值，则 a＝________.1x－ 2答案 3解析 当 x2时， x－20， f(x)＝( x－2)＋ ＋2≥2 ＋2＝4，当且仅1x－ 2  x－ 2 ×1x－ 2当 x－2＝ (x2)，即 x＝3 时取等号，即当 f(x)取得最小值时， x＝3，即 a＝3.1x－ 24．若把总长为 20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m 2.答案 25解析 设矩形的一边为 x m，则另一边为 ×(20－2 x)＝(10－ x)m，12∴ y＝ x(10－ x)≤[ ]2＝25，x＋  10－ x2当且仅当 x＝10－ x，即 x＝5 时， ymax＝25.5．已知 x， y∈R ＋ ，且 x＋4 y＝1，则 xy的最大值为________．3答案 116解析 1＝ x＋4 y≥2 ＝4 ，4xy xy∴ xy≤( )2＝ ，14 116当且仅当 x＝4 y＝ ，即Error!时，( xy)max＝ .12 116题型一 利用基本不等式求最值命题点 1 配凑法求最值例 1 (1)已知 x1)的最小值为________．x2＋ 2x－ 1(3)函数 y＝ 的最大值为________．x－ 1x＋ 3＋ x－ 1答案 (1)1 (2)2 ＋2 (3)315解析 (1)因为 x0，54则 f(x)＝4 x－2＋ ＝－(5－4 x＋ )＋3≤－2＋3＝1.14x－ 5 15－ 4x当且仅当 5－4 x＝ ，即 x＝1 时，等号成立．15－ 4x故 f(x)＝4 x－2＋ 的最大值为 1.14x－ 5(2)y＝ ＝x2＋ 2x－ 1  x2－ 2x＋ 1 ＋  2x－ 2 ＋ 3x－ 1＝ x－ 1 2＋ 2 x－ 1 ＋ 3x－ 1＝( x－1)＋ ＋2≥2 ＋2.3x－ 1 3当且仅当( x－1)＝ ，即 x＝ ＋1 时，等号成立．3 x－ 1 3(3)令 t＝ ≥0，则 x＝ t2＋1，x－ 1所以 y＝ ＝ .tt2＋ 1＋ 3＋ t tt2＋ t＋ 44当 t＝0，即 x＝1 时， y＝0；当 t0，即 x1时， y＝ ，1t＋ 4t＋ 1因为 t＋ ≥2 ＝4(当且仅当 t＝2 时取等号)，4t 4所以 y＝ ≤ ，1t＋ 4t＋ 1 15即 y的最大值为 (当 t＝2，即 x＝5 时 y取得最大值)．15思维升华 (1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正” “二定” “三相等” ．所谓“一正”是指正数， “二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值， “三相等”是指满足等号成立的条件．(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．命题点 2 常数代换或消元法求最值例 2 (1)若正数 x， y满足 x＋3 y＝5 xy，则 3x＋4 y的最小值是________．(2)(高考改编题)设 a＋ b＝2， b0，则 ＋ 取最小值时， a的值为________．12|a| |a|b答案 (1)5 (2)－2解析 (1)方法一 由 x＋3 y＝5 xy可得 ＋ ＝1，15y 35x∴3 x＋4 y＝(3 x＋4 y)( ＋ )15y 35x＝ ＋ ＋ ＋ ≥ ＋ ＝5.95 45 3x5y 12y5x 135 125(当且仅当 ＝ ，即 x＝1， y＝ 时，等号成立)，3x5y 12y5x 12∴3 x＋4 y的最小值是 5.方法二 由 x＋3 y＝5 xy得 x＝ ，3y5y－ 1∵ x0， y0，∴ y ，15∴3 x＋4 y＝ ＋4 y＝ ＋4 y9y5y－ 1 13 y－ 15 ＋ 95＋ 45－ 4y5y－ 15＝ ＋ · ＋4( y－ )135 9515y－ 15 15≥ ＋2 ＝5，135 3625当且仅当 y＝ 时等号成立，∴(3 x＋4 y)min＝5.12(2)∵ a＋ b＝2，∴ ＋ ＝ ＋12|a| |a|b 24|a| |a|b＝ ＋a＋ b4|a| |a|b＝ ＋ ＋ ≥ ＋2 ＝ ＋1，a4|a| b4|a| |a|b a4|a| b4|a|×|a|b a4|a|当且仅当 ＝ 时等号成立．b4|a| |a|b又 a＋ b＝2， b0，∴当 b＝－2 a， a＝－2 时， ＋ 取得最小值．12|a| |a|b思维升华 条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．(1) 已知 x， y∈(0 ，＋∞)，2 x－3 ＝( )y，若 ＋ (m0)的最小值为 3，则12 1x mym＝________.(2)(2015·南昌模拟)已知 x0， y0， x＋3 y＋ xy＝9，则 x＋3 y的最小值为________．答案 (1)4 (2)6解析 (1)由 2x－3 ＝( )y得 x＋ y＝3，12＋ ＝ (x＋ y)( ＋ )1x my 13 1x my＝ (1＋ m＋ ＋ )13 yx mxy≥ (1＋ m＋2 )，13 m(当且仅当 ＝ 时取等号)yx mxy6∴ (1＋ m＋2 )＝3，13 m解得 m＝4.(2)由已知得 x＝ .9－ 3y1＋ y方法一 (消元法)∵ x0， y0，∴ y0， y0，9－( x＋3 y)＝ xy＝ x·(3y)≤ ·( )2，13 13 x＋ 3y2当且仅当 x＝3 y时等号成立．设 x＋3 y＝ t0，则 t2＋12 t－108≥0，∴( t－6)( t＋18)≥0，又∵ t0，∴ t≥6.故当 x＝3， y＝1 时，( x＋3 y)min＝6.题型二 基本不等式与学科知识的综合命题点 1 用基本不等式求解与其他知识结合的最值问题例 3 (1)已知直线 ax＋ by＋ c－1＝0( b， c0)经过圆 x2＋ y2－2 y－5＝0 的圆心，则 ＋ 的4b 1c最小值是________．(2)已知 a＞0， b＞0， a， b的等比中项是 1，且 m＝ b＋ ， n＝ a＋ ，则 m＋ n的最小值是1a 1b________．答案 (1)9 (2)4解析 (1)圆 x2＋ y2－2 y－5＝0 化成标准方程，得 x2＋( y－1) 2＝6，所以圆心为 C(0,1)．因为直线 ax＋ by＋ c－1＝0 经过圆心 C，7所以 a×0＋ b×1＋ c－1＝0，即 b＋ c＝1.因此 ＋ ＝( b＋ c)( ＋ )＝ ＋ ＋5.4b 1c 4b 1c 4cb bc因为 b， c0，所以 ＋ ≥2 ＝4.4cb bc 4cb·bc当且仅当 ＝ 时等号成立．4cb bc由此可得 b＝2 c，且 b＋ c＝1，即 b＝ ， c＝ 时， ＋ 取得最小值 9.23 13 4b 1c(2)由题意知： ab＝1，∴ m＝ b＋ ＝2 b， n＝ a＋ ＝2 a，1a 1b∴ m＋ n＝2( a＋ b)≥4 ＝4，当且仅当 a＝ b＝1 时，等号成立．ab命题点 2 求参数的值或取值范围例 4 (2015·滨州模拟)已知 a0， b0，若不等式 ＋ ≥ 恒成立，则 m的最大值为3a 1b ma＋ 3b________．答案 12解析 由 ＋ ≥3a 1b ma＋ 3b得 m≤( a＋3 b)( ＋ )＝ ＋ ＋6.3a 1b 9ba ab又 ＋ ＋6≥2 ＋6＝12，9ba ab 9∴ m≤12，∴ m的最大值为 12.思维升华 (1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围．(1) 已知各项均为正数的等比数列 {an}满足 a7＝ a6＋2 a5，若存在两项 am， an使得 ＝4 a1，则 ＋ 的最小值为________．aman1m 4n(2)已知函数 f(x)＝ (a∈R)，若对于任意 x∈N *， f(x)≥3 恒成立，则 a的取值x2＋ ax＋ 11x＋ 1范围是________________________________________________________________________．答案 (1) (2)[－ ，＋∞)32 838解析 (1)由各项均为正数的等比数列{ an}满足 a7＝ a6＋2 a5，可得 a1q6＝ a1q5＋2 a1q4，所以 q2－ q－2＝0，解得 q＝2 或 q＝－1(舍去)．因为 ＝4 a1，所以 qm＋ n－2 ＝16，aman所以 2m＋ n－2 ＝2 4，所以 m＋ n＝6.所以 ＋ ＝ (m＋ n)( ＋ )1m 4n 16 1m 4n＝ (5＋ ＋ )16 nm 4mn≥ (5＋2 )＝ .16 nm·4mn 32当且仅当 ＝ 时，等号成立，nm 4mn故 ＋ 的最小值等于 .1m 4n 32(2)对任意 x∈N *， f(x)≥3 恒成立，即 ≥3 恒成立，即知 a≥－( x＋ )＋3.x2＋ ax＋ 11x＋ 1 8x设 g(x)＝ x＋ ， x∈N *，则 g(2)＝6， g(3)＝ .8x 173∵ g(2)g(3)，∴ g(x)min＝ .∴－( x＋ )＋3≤－ ，173 8x 83∴ a≥－ ，故 a的取值范围是[－ ，＋∞)．83 83题型三 不等式的实际应用例 5 运货卡车以每小时 x千米的速度匀速行驶 130千米，按交通法规限制 50≤ x≤100(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升 2元，而汽车每小时耗油(2＋ )升，司机的工资是x2360每小时 14元．(1)求这次行车总费用 y关于 x的表达式；(2)当 x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．解 (1)设所用时间为 t＝ (h)，130xy＝ ×2×(2＋ )＋14× ， x∈[50,100]．130x x2360 130x所以，这次行车总费用 y关于 x的表达式是 y＝ ＋ x， x∈[50,100]．130×18x 2×130360(或 y＝ ＋ x， x∈[50,100])．2 340x 13189(2)y＝ ＋ x≥26 ，130×18x 2×130360 10当且仅当 ＝ x，130×18x 2×130360即 x＝18 ，等号成立．10故当 x＝18 千米/时时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为 26 元．10 10思维升华 (1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．某工厂某种产品的年固定成本为 250万元，每生产 x千件，需另投入成本为C(x)，当年产量不足 80千件时， C(x)＝ x2＋10 x(万元)．当年产量不小于 80千件时， C(x)13＝51 x＋ －1 450(万元)．每件商品售价为 0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商10 000x品能全部售完．(1)写出年利润 L(x)(万元)关于年产量 x(千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？解 (1)当 00， y0，且 ＋ ＝1，则 x＋ y的最小值是________．1x 2y(2)函数 y＝1－2 x－ (x0， y0，∴ x＋ y＝( x＋ y)( ＋ )1x 2y＝3＋ ＋ ≥3＋2 (当且仅当 y＝ x时取等号)，yx 2xy 2 2∴当 x＝ ＋1， y＝2＋ 时，( x＋ y)min＝3＋2 .2 2 2(2)∵ x0， b0)等，同时还要注意不等a＋ b2 a2＋ b22 ab a＋ b2 a2＋ b22式成立的条件和等号成立的条件．113．对使用基本不等式时等号取不到的情况，可考虑使用函数 y＝ x＋ (m0)的单调性．mx[失误与防范]1．使用基本不等式求最值， “一正” “二定” “三相等”三个条件缺一不可．2．连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致．A组 专项基础训练(时间：30 分钟)1．下列不等式一定成立的是________．①lg( x2＋ )lg x(x0)；14②sin x＋ ≥2( x≠ kπ， k∈Z)；1sin x③ x2＋1≥2| x|(x∈R)；④ 1(x∈R)．1x2＋ 1答案 ③解析 当 x0时， x2＋ ≥2· x· ＝ x，14 12所以 lg(x2＋ )≥lg x(x0)，14故①不正确；运用基本不等式时需保证“一正” “二定“三相等” ，而当 x≠ kπ， k∈Z 时，sin x的正负不定，故②不正确；由基本不等式可知，③正确；当 x＝0 时，有 ＝1，故④不正确．1x2＋ 12．设非零实数 a， b，则“ a2＋ b2≥2 ab”是“ ＋ ≥2 成立”的__________条件．ab ba答案 必要不充分解析 因为 a， b∈R 时，都有 a2＋ b2－2 ab＝( a－ b)2≥0，即 a2＋ b2≥2 ab，而 ＋ ≥2⇔ ab0，ab ba12所以“ a2＋ b2≥2 ab”是“ ＋ ≥2 成立”的必要不充分条件．ab ba3．已知 a0， b0， a＋ b＝2，则 y＝ ＋ 的最小值是________．1a 4b答案 92解析 依题意，得 ＋ ＝ ( ＋ )·(a＋ b)1a 4b 121a 4b＝ [5＋( ＋ )]≥ (5＋2 )＝ ，12 ba 4ab 12 ba·4ab 92当且仅当Error!即 a＝ ， b＝ 时取等号，23 43即 ＋ 的最小值是 .1a 4b 924若 log4(3a＋4 b)＝log 2 ，则 a＋ b的最小值是________．ab答案 7＋4 3解析 由题意得Error!所以Error!又 log4(3a＋4 b)＝log 2 ，ab所以 log4(3a＋4 b)＝log 4ab，所以 3a＋4 b＝ ab，故 ＋ ＝1.4a 3b所以 a＋ b＝( a＋ b)( ＋ )＝7＋ ＋4a 3b 3ab 4ba≥7＋2 ＝7＋4 ，3ab·4ba 3当且仅当 ＝ 时取等号．3ab 4ba5．已知正数 x， y满足 x＋2 y－ xy＝0，则 x＋2 y的最小值为________．答案 8解析 由 x＋2 y－ xy＝0，得 ＋ ＝1，且 x0， y0.2x 1y∴ x＋2 y＝( x＋2 y)×( ＋ )＝ ＋ ＋4≥4＋4＝8.2x 1y 4yx xy6．规定记号“⊗”表示一种运算，即 a⊗b＝ ＋ a＋ b(a、 b为正实数)．若 1⊗k＝3，则abk的值为________，此时函数 f(x)＝ 的最小值为________．k⊗xx答案 1 3解析 1⊗ k＝ ＋1＋ k＝3，即 k＋ －2＝0，k k13∴ ＝1 或 ＝－2(舍去)．k k∴ k＝1.f(x)＝ ＝ ＝1＋ ＋ ≥1＋2＝3，1⊗xx x＋ x＋ 1x x 1x当且仅当 ＝ ，即 x＝1 时等号成立．x1x7．已知 x0， y0，且 4xy－ x－2 y＝4，则 xy的最小值为________．答案 2解析 ∵ x0， y0， x＋2 y≥2 ，2xy∴4 xy－( x＋2 y)≤4 xy－2 ，2xy∴4≤4 xy－2 ，2xy即( －2)( ＋1)≥0，2xy 2xy∴ ≥2，∴ xy≥2.2xy8．设正实数 x， y， z满足 x2－3 xy＋4 y2－ z＝0.则当 取得最小值时， x＋2 y－ z的最大值zxy为________．答案 2解析 由题意知： z＝ x2－3 xy＋4 y2，则 ＝ ＝ ＋ －3≥1，当且仅当 x＝2 y时取等号，此时 z＝ xy＝2 y2.zxy x2－ 3xy＋ 4y2xy xy 4yx所以 x＋2 y－ z＝2 y＋2 y－2 y2＝－2 y2＋4 y＝－2( y－1) 2＋2≤2.9．若当 x－3 时，不等式 a≤ x＋ 恒成立，则 a的取值范围是________．2x＋ 3答案 (－∞，2 －3]2解析 设 f(x)＝ x＋ ＝( x＋3)＋ －3，2x＋ 3 2x＋ 3因为 x－3，所以 x＋30，故 f(x)≥2 －3＝2 －3， x＋ 3 ×2x＋ 3 2当且仅当 x＝ －3 时等号成立，2所以 a的取值范围是(－∞，2 －3]．210．若关于 x的方程 9x＋(4＋ a)3x＋4＝0 有解，则实数 a的取值范围是________．答案 (－∞，－8]解析 分离变量得－(4＋ a)＝3 x＋ ≥4，得 a≤－8.43x11．已知 x0， y0，且 2x＋5 y＝20.14(1)求 u＝lg x＋lg y的最大值；(2)求 ＋ 的最小值．1x 1y解 (1)∵ x0， y0，∴由基本不等式，得 2x＋5 y≥2 .10xy∵2 x＋5 y＝20，∴2 ≤20， xy≤10，10xy当且仅当 2x＝5 y时，等号成立．因此有Error! 解得Error!此时 xy有最大值 10.∴ u＝lg x＋lg y＝lg( xy)≤lg 10＝1.∴当 x＝5， y＝2 时， u＝lg x＋lg y有最大值 1.(2)∵ x0， y0，∴ ＋ ＝ ·1x 1y (1x＋ 1y) 2x＋ 5y20＝ ≥120(7＋ 5yx＋ 2xy) 120(7＋ 2 5yx·2xy)＝ ，7＋ 21020当且仅当 ＝ 时，等号成立．5yx 2xy由Error! 解得Error!∴ ＋ 的最小值为 .1x 1y 7＋ 21020B组 专项能力提升(时间：20 分钟)12．一个篮球运动员投篮一次得 3分的概率为 a，得 2分的概率为 b，不得分的概率为c(a、 b、 c∈(0,1))，已知他投篮一次得分的均值为 2，则 ＋ 的最小值为________．2a 13b答案 163解析 由已知得，3 a＋2 b＋0× c＝2，即 3a＋2 b＝2，其中 0bc0，则 2a2＋ ＋ －10 ac＋25 c2的最小值是________．1ab 1a a－ b答案 4解析 2 a2＋ ＋ －10 ac＋25 c21ab 1a a－ b＝( a－5 c)2＋ a2－ ab＋ ab＋ ＋1ab 1a a－ b＝( a－5 c)2＋ ab＋ ＋ a(a－ b)＋1ab 1a a－ b≥0＋2＋2＝4，当且仅当 a－5 c＝0， ab＝1， a(a－ b)＝1 时，等号成立，如取 a＝ ， b＝ ， c＝ 时满足条件．222 2514．已知 x， y∈R 且满足 x2＋2 xy＋4 y2＝6，则 z＝ x2＋4 y2的取值范围为________．答案 [4,12]解析 ∵2 xy＝6－( x2＋4 y2)，而 2xy≤ ，x2＋ 4y22∴6－( x2＋4 y2)≤ ，x2＋ 4y22∴ x2＋4 y2≥4(当且仅当 x＝2 y时取等号)．又∵( x＋2 y)2＝6＋2 xy≥0，即 2xy≥－6，∴ z＝ x2＋4 y2＝6－2 xy≤12(当且仅当 x＝－2 y时取等号)．综上可知 4≤ x2＋4 y2≤12.15．设 a0， b0，若 是 3a与 3b的等比中项，则 ＋ 的最小值为________．31a 1b答案 4解析 由题意知 3a·3b＝3，即 3a＋ b＝3，∴ a＋ b＝1，∵ a0， b0，∴ ＋ ＝ (a＋ b)1a 1b (1a＋ 1b)＝2＋ ＋ ≥2＋2 ＝4，ba ab ba·ab16当且仅当 a＝ b＝ 时，等号成立．1216．经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以 30天计)，第 t天(1≤ t≤30， t∈N *)的旅游人数 f(t)(万人)近似地满足 f(t)＝4＋ ，而人均消费 g(t)(元)近似地满足 g(t)1t＝120－| t－20|.(1)求该城市的旅游日收益 W(t)(万元)与时间 t(1≤ t≤30， t∈N *)的函数关系式；(2)求该城市旅游日收益的最小值．解 (1) W(t)＝ f(t)g(t)＝(4＋ )(120－| t－20|)1t＝Error!(2)当 t∈[1,20]时，401＋4 t＋ ≥401＋2 ＝441( t＝5 时取最小值)．100t 4t·100t当 t∈(20,30]时，因为 W(t)＝559＋ －4 t递减，140t所以 t＝30 时， W(t)有最小值 W(30)＝443 ，23所以 t∈[1,30]时， W(t)的最小值为 441万元．