（江苏专用）2017版高考数学 滚动检测 文（打包6套）.zip

1【步步高】 （江苏专用）2017 版高考数学 滚动检测 1 文一、填空题1．已知集合 M＝{ x| x1”是“ x0，都有 f(x＋4)＝ f(x)，若 f(－2)＝2，则f(2 018)＝________.7．设 a＝log 32， b＝ln 2， c＝ ，则 a， b， c 的大小关系是________．1258．已知函数 f(x)＝Error!若 f(a)＝3，则 a＝________.9．已知函数 f(x)＝Error!( a0 且 a≠1)是 R 上的减函数，则 a 的取值范围是________．10．(2015·福建)若函数 f(x)＝2 |x－ a|(a∈R)满足 f(1＋ x)＝ f(1－ x)，且 f(x)在[ m，＋∞)上单调递增，则实数 m 的最小值等于________．11．设函数 f(x)＝Error!则不等式 f(x)2，不等式( x－ a) x≤ a＋2 都成立，则实数 a 的取值范围是________．二、解答题15．设命题 p：函数 f(x)＝lg( ax2－ x＋ )的定义域为 R；命题 q：3 x－9 x0)在区间[2,3]上有最小值 1 和最大值 4，设 f(x)＝ .g xx(1)求 a， b 的值；(2)若不等式 f(2x)－ k 2x≥0 在区间[－1,1]上有解，求实数 k 的取值范围．A19．为了净化空气，某科研单位根据实验得出：在一定范围内，每喷洒 1 个单位的净化剂，空气中释放的浓度 y(单位：毫克/立方米)随着时间 x(单位：天)变化的函数关系式近似为y＝Error! 若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于 4 毫克/立方米时，它才能起到净化空气的作用．(1)若一次喷洒 4 个单位的净化剂，则有效净化时间可达几天？(2)若先喷洒 2 个单位的净化剂，6 天后再喷洒 a(1≤ a≤4)个单位的净化剂，要使接下来的4 天能够持续有效净化空气，则 a 的最小值为多少？(精确到 0.1，参考数据： 取 1.4)220．已知函数 f(x)＝ x2＋| x－ a|＋1， a∈R.(1)试判断 f(x)的奇偶性；(2)若－ ≤ a≤ ，求 f(x)的最小值．12 12答案解析1．(1,2] 2.必要不充分 3.[2,3)4．(0,1)∪(1,2]解析 f(x)＝ ＋ 是复合函数，所以定义域要满足Error!1lg x 2－ x解得 0bc 13. 14.(－∞，7]3215．解 命题 p：对于任意的 x， ax2－ x＋ 0 恒成立，a16则需满足Error!⇒ a2，q： g(x)＝3 x－9 x＝－(3 x－ )2＋ ≤ ⇒a ，12 14 14 14因为“ p 且 q”为假命题，所以 p， q 至少一假．(1)若 p 真 q 假，则 a2 且 a≤ ， a 是空集．14(2)若 p 假 q 真，则 a≤2 且 a ，得 0,2x＋11，∴0－2 t2＋1，即 3t2－2 t－10，解不等式得{ t|t1 或 t3＋log 22＝4，4所以 f(1＋log 23)＝ f(3＋log 23)＝( )3＋log 23＝( )3×( )log23＝ ×2log2 ＝ × ＝ .12 12 12 18 13 18 13 124(2)由题设得当 x∈R 时，( m2－1) x2－(1－ m)x＋10(*)恒成立．若 m2－1＝0，则 m＝±1，当 m＝1 时，(*)为 10，恒成立；当 m＝－1 时，( m2－1)x2－(1－ m)x＋1＝－2 x＋1，其值不恒大于 0.故 m＝1.若 m2－1≠0，则Error!⇒Error!⇒ m1.53综上，实数 m 的取值范围是 m0，∴ g(x)在区间[2,3]上是增函数，故Error! 解得Error!(2)由(1)知 g(x)＝ x2－2 x＋1，∴ f(x)＝ x＋ －2，1x∴ f(2x)－ k·2x≥0 可化为 1＋( )2－2· ≥ k，12x 12x令 t＝ ，则 k≤ t2－2 t＋1.12x∵ x∈[－1,1]，∴ t∈[ ，2]．12记 h(t)＝ t2－2 t＋1，∵ t∈[ ，2]，12∴ h(t)max＝1，∴ k 的取值范围是(－∞，1]．19．解 (1)因为一次喷洒 4 个单位的净化剂，所以浓度为 4y＝Error!(毫克/立方米)，则当 0≤ x≤4 时，由 －4≥4，解得 x≥0，所以此时 0≤ x≤4；648－ x当 4x≤10 时，由 20－2 x≥4，解得 x≤8，所以此时 4x≤8.综上得，0≤ x≤8.故若一次喷洒 4 个单位的净化剂，则有效净化时间可达 8 天．(2)设从第一次喷洒起，经 x(6≤ x≤10)天，浓度为 g(x)毫克/立方米，则 g(x)＝2(5－ x)＋ a[ －1]12 168－  x－ 6＝10－ x＋ － a16a14－ x5＝(14－ x)＋ － a－4.16a14－ x因为 x∈[6,10]，所以 14－ x∈[4,8]，而 1≤ a≤4，所以 4 ∈[4,8]，当且仅当 14－ x＝4 时， g(x)取最小值，最小值为 8 － a－4.a a a令 8 － a－4≥4，解得 24－16 ≤ a≤4，所以 a 的最小值为 24－16 ≈1.6.a 2 220．解 (1)当 a＝0 时，函数 f(－ x)＝(－ x)2＋|－ x|＋1＝ f(x)，此时， f(x)为偶函数．当 a≠0 时，f(a)＝ a2＋1， f(－ a)＝ a2＋2| a|＋1，f(a)≠ f(－ a)， f(a)≠－ f(－ a)，此时， f(x)为非奇非偶函数．综上，当 a＝0 时， f(x)为偶函数；当 a≠0 时， f(x)为非奇非偶函数．(2)当 x≤ a 时， f(x)＝ x2－ x＋ a＋1＝ 2＋ a＋ ；(x－12) 34∵ a≤ ，故函数 f(x)在(－∞， a]上单调递减，12从而函数 f(x)在(－∞， a]上的最小值为 f(a)＝ a2＋1.当 x≥ a 时，函数 f(x)＝ x2＋ x－ a＋1＝ 2－ a＋ ，(x＋12) 34∵ a≥－ ，故函数 f(x)在[ a，＋∞)上单调递增，12从而函数 f(x)在[ a，＋∞)上的最小值为 f(a)＝ a2＋1.综上得，当－ ≤ a≤ 时，函数 f(x)的最小值为 a2＋1.12 121【步步高】 （江苏专用）2017 版高考数学 滚动检测 2 文一、填空题1．(2015·青海西宁第四高级中学第一次月考)设全集为 R，集合 M＝{ x|x24}，N＝{ x|log2x≥1}，则 M∩ N＝________.2．(2015·浙江桐乡四校期中联考)设 a， b为实数，命题甲： abb2，命题乙： 0，且 f(0)＝0， f(－ )＝0，则不等12式 f(x)0，判断函数 f(x)的单调性；(2)若 ab f(x)时的 x的取值范围．16．已知函数 f(x)＝ k·a－ x(k， a为常数， a0且 a≠1)的图象过点 A(0,1)， B(3,8)．(1)求实数 k， a的值；(2)若函数 g(x)＝ ，试判断函数 g(x)的奇偶性，并说明理由．f x － 1f x ＋ 117．已知函数 f(x)＝1－2 a－2 ax＋2 x2(－1≤ x≤1)的最小值为 f(a)．(1)求 f(a)的表达式；(2)若 a∈[－2,0]，求 f(a)的值域．18．旅行社为某旅行团包飞机去旅游，其中旅行社的包机费为 16 000元．旅行团中的每个人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅行团的人数不超过 35人，则飞机票每张收费800元；若旅行团的人数多于 35人，则予以优惠，每多 1人，每个人的机票费减少 10元，但旅行团的人数最多不超过 60人．设旅行团的人数为 x人，每个人的机票费为 y元，旅行社的利润为 Q元．(1)写出 y与 x之间的函数关系式3(2)当旅行团的人数为多少时，旅行社可获得最大利润？并求出最大利润．19．(2015·辽宁朝阳三校下学期开学联考)已知函数 f(x)＝ ax3＋ bx2的图象经过点 M(1,4)，曲线在点 M处的切线恰好与直线 x＋9 y＝0 垂直．(1)求实数 a， b的值；(2)若函数 f(x)在区间[ m， m＋1]上单调递增，求 m的取值范围．20．已知函数 f(x)＝ ax3＋( a－1) x2＋48( a－2) x＋ b的图象关于原点成中心对称．(1)求 a， b的值；(2)求 f(x)的单调区间及极值；(3)当 x∈[1,5]时，求函数的最值．4答案解析1．(2，＋∞) 2.必要不充分 3.14．(0，＋∞) 5.1 6.0，－ 7.[0,2) 8. x＋ y－1＝0129．{ x|xac 14.①②15．解 (1)当 a0， b0时，任意 x1， x2∈R， x10⇒a(2x1－2 x2)0⇒b(3x1－3 x2)0， b0时， f(x)是 R上的增函数；当 a0，当 a0时， x－ ，(32) a2b则 x ；32log(－a2b)当 a0， b0时， x的取值范围是{ x|x (－ )}；32loga2b当 a0， b12 000，所以当旅行团的人数为 57或 58时，旅行社可获得最大利润，最大利润为 17 060元．619．解 (1)∵ f(x)＝ ax3＋ bx2的图象经过点 M(1,4)，∴ a＋ b＝4.①f′( x)＝3 ax2＋2 bx，则 f′(1)＝3 a＋2 b.由题设条件知 f′(1)·(－ )＝－1，即 3a＋2 b＝9.②19由①②式解得 a＝1， b＝3.(2)由(1)得， f(x)＝ x3＋3 x2， f′( x)＝3 x2＋6 x.令 f′( x)＝3 x2＋6 x≥0，得 x≥0 或 x≤－2.∵函数 f(x)在区间[ m， m＋1]上单调递增，∴[ m， m＋1]⊆(－∞，－2]∪[0，＋∞)．∴ m≥0 或 m＋1≤－2，∴ m≥0 或 m≤－3.20．解 (1)∵函数 f(x)的图象关于原点成中心对称，则 f(x)是奇函数，∴ f(－ x)＝－ f(x)，得－ ax3＋( a－1) x2－48( a－2) x＋ b＝－ ax3－( a－1) x2－48( a－2) x－ b，于是 2(a－1) x2＋2 b＝0 恒成立，∴Error! 解得 a＝1， b＝0.(2)由(1)得 f(x)＝ x3－48 x，∴ f′( x)＝3 x2－48＝3( x＋4)( x－4)，令 f′( x)＝0，得 x1＝－4， x2＝4，令 f′( x)0，得 x4.∴ f(x)的递减区间为(－4,4)，递增区间为(－∞，－4)和(4，＋∞)，∴ f(x)极大值 ＝ f(－4)＝128， f(x)极小值 ＝ f(4)＝－128.(3)由(2)知，函数在[1,4]上单调递减，在[4,5]上单调递增，∵ f(4)＝－128， f(1)＝－47， f(5)＝－115，∴函数的最大值为－47，最小值为－128.1【步步高】 （江苏专用）2017 版高考数学 滚动检测 3 文一、填空题1． “φ ＝π”是“曲线 y＝sin(2 x＋ φ )过坐标原点”的________条件．2．(2015·云南昆明、玉溪统考)下列函数中，在其定义域内既是偶函数又在(－∞，0)上单调递增的函数是________．① f(x)＝ x2；② f(x)＝2 |x|；③ f(x)＝log 2 ；④ f(x)＝sin x.1|x|3．已知函数 y＝ f(x)的图象关于 x＝1 对称，且在(1，＋∞)上单调递增，设 a＝ f(－ )，12b＝ f(2)， c＝ f(3)，则 a， b， c 的大小关系为________．4．已知函数 f(x)＝ ，则 y＝ f(x)的图象大致为________．1ln x＋ 1 － x5．(2015·内江期末)已知 f(x)＝Error!的值域为 R，那么 a 的取值范围是________．6．函数 f(x)＝ ax＋1－2 a 的区间(－1,1)上存在一个零点，则实数 a 的取值范围是________．7．函数 f(x)＝log 2 (2x)的最小值为________ ．A2log8．已知 α 是第四象限角，sin( ＋ α )＝ ，那么 tan α ＝________.5π2 159．已知函数 f(x)＝ sin ωx ＋cos ωx (ω 0)， x∈R.在曲线 y＝ f(x)与直线 y＝1 的交点3中，若相邻交点距离的最小值为 ，则 f(x)的最小正周期为________．π 310.2函数 f(x)＝ Asin(ωx ＋ φ )(A0， ω 0，| φ |2 12.－3413．2解析 如图， ＝ ＋ ＝ ＋ ， ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ，AE→ AB→ BE→ AB→ 13BC→ AF→ AD→ DF→ AD→ 1λ DC→ BC→ 1λ AB→ 所以 ＝( ＋ ) ( ＋ )AE→ AF→ AB→ 13BC→ BC→ 1λ AB→ ＝(1＋ ) ＋ 2＋ 213λ AB→ BC→ 1λ AB→ 13BC→ ＝(1＋ )×2×2×cos 120°＋ ＋ ＝1，解得 λ ＝2.13λ 4λ 43514.6－ 24解析 由已知 sin A＋ sin B＝2sin C 及正弦定理可得 a＋ b＝2 c.2 2cos C＝a2＋ b2－ c22ab＝a2＋ b2－  a＋ 2b2  22ab＝ ≥3a2＋ 2b2－ 22ab8ab 26ab－ 22ab8ab＝ ，6－ 24当且仅当 3a2＝2 b2即 ＝ 时等号成立．ab 2315．解 (1)∵函数的值域为[0，＋∞)，∴ Δ ＝16 a2－4(2 a＋6)＝0，∴2 a2－ a－3＝0，∴ a＝－1 或 a＝ .32(2)∵对一切 x∈R 函数值均为非负．∴ Δ ＝16 a2－4(2 a＋6)＝8(2 a2－ a－3)≤0.∴－1≤ a≤ .32∴ a＋30，∴ g(a)＝2－ a|a＋3|＝－ a2－3 a＋2＝－( a＋ )2＋ (a∈[－1， ])．32 174 32∵二次函数 g(a)在[－1， ]上单调递减，32∴ g( )≤ g(a)≤ g(－1)，32即－ ≤ g(a)≤4.194∴ g(a)的值域为[－ ，4]．19416．解 函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′( x)＝1－ .ax(1)当 a＝2 时， f(x)＝ x－2ln x， f′( x)＝1－ (x0)，2x因而 f(1)＝1， f′(1)＝－1，6所以曲线 y＝ f(x)在点 A(1， f(1))处的切线方程为y－1＝－( x－1)，即 x＋ y－2＝0.(2)由 f′( x)＝1－ ＝ ， x0 知：ax x－ ax①当 a≤0 时， f′( x)0，函数 f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数 f(x)无极值；②当 a0 时，由 f′( x)＝0，解得 x＝ a.又当 x∈(0， a)时， f′( x)0，从而函数 f(x)在 x＝ a 处取得极小值，且极小值为 f(a)＝ a－ aln a，无极大值．综上，当 a≤0 时，函数 f(x)无极值；当 a0 时，函数 f(x)在 x＝ a 处取得极小值 a－ aln a，无极大值．17．解 (1)当 010 时， W＝ xR(x)－(10＋2.7 x)＝98－ －2.7 x.1 0003x∴ W＝Error!(2)①当 00，当 x∈(9,10]时， W′10 时， W＝98－( ＋2.7 x)≤98－2 ＝38，1 0003x 1 0003x·2.7x当且仅当 ＝2.7 x，即 x＝ 时， W＝38，1 0003x 1009故当 x＝ 时， W 取最大值 38(当 1 000x 取整数时， W 一定小于 38)．1009综合①②知，当 x＝9 时， W 取最大值，故当年产量为 9 千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大．18．解 (1) f(x)＝ cos(2x＋ )＋sin 2x＝ (cos 2xcos －sin 2xsin )＋ ＝22 π 4 22 π 4 π 4 1－ cos 2x2－ sin 2x.12 127故 f(x)的最小正周期为 π.(2)当 x∈[0， ]时， g(x)＝ － f(x)＝ sin 2x，π 2 12 12故①当 x∈[－ ，0]时， x＋ ∈[0， ]，π 2 π 2 π 2由于对任意 x∈R， g(x＋ )＝ g(x)，π 2从而 g(x)＝ g(x＋ )π 2＝ sin[2(x＋ )]12 π 2＝ sin(π＋2 x)＝－ sin 2x.12 12②当 x∈(－π，－ )时， x＋π∈(0， )，从而π 2 π 2g(x)＝ g(x＋π)＝ sin[2(x＋π)]＝ sin 2x.12 12综合①②得 g(x)在(－π，0]上的解析式为 g(x)＝Error!19．解 (1)由题意得－1＋ cos 2A2 1＋ cos 2B2＝ sin 2A－ sin 2B，32 32即 sin 2A－ cos 2A＝ sin 2B－ cos 2B，32 12 32 12sin(2A－ )＝sin(2 B－ )．π 6 π 6由 a≠ b，得 A≠ B.又 A＋ B∈(0，π)，得 2A－ ＋2 B－ ＝π，π 6 π 6即 A＋ B＝ ，所以 C＝ .2π3 π 3(2)由 c＝ ，sin A＝ ， ＝ ，得 a＝ .345 asin A csin C 85由 a0， f(x)单调递增．当－ ≤ a1，12 1＋ aa此时在(0,1)或(－ ，＋∞)上，1＋ aaf′( x)0， f(x)单调递增．1＋ aa综上，当 a＝0 时， f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增；当－ a0 时， f(x)在(0,1)或(－ ，＋∞)上单调递减，在(1，－ )上单调递增；12 1＋ aa 1＋ aa当 a＝－ 时， f(x)在(0，＋∞)上单调递减．1291【步步高】 （江苏专用）2017 版高考数学 滚动检测 4 文一、填空题1．集合 A＝{( x， y)|y＝lg( x＋1)－1}， B＝{( x， y)|x＝ m}，若 A∩ B＝ ，则实数 m 的取值范围是________．2．(2015·厦门质检)若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数” ，则函数解析式为 y＝ x2＋1，值域为{1,3}的同族函数有________个．3．将函数 f(x)＝sin 的图象向左平移 φ 个单位，得到偶函数 g(x)的图象，则 φ(2x＋π 3)的最小正值为________．4．在平面直角坐标系中，若不等式组Error!( a 为常数)所表示的平面区域的面积等于 4，则a＝________.5.(2015·杭州二检)设平行于 y 轴的直线分别与函数 y1＝log 2x 及 y2＝log 2x＋2 的图象交于B， C 两点，点 A(m， n)位于函数 y2＝log 2x＋2 的图象上，若△ ABC 为正三角形，则m 2n＝________.6．已知一次函数 f(x)＝ kx＋ b 的图象经过点 P(1,2)和 Q(－2，－4)，令 an＝ f(n)f(n＋1)，n∈N *，记数列 的前 n 项和为 Sn，当 Sn＝ 时， n＝________.{1an} 6257．若正数 x， y 满足 x＋3 y＝5 xy，则 3x＋4 y 的最小值是________．8．(2015·贵阳二检)如图，在△ ABC 中，∠ B＝45°， D 是 BC 边上一点， AD＝5， AC＝7， DC＝3，则 AB 的长为________．9．已知关于 x 的方程 x＝ 有正根，则实数 a 的取值范围是________．(12) 1＋ lg a1－ lg a10．已知定义在 R 上的函数 f(x)、 g(x)满足 ＝ ax，且 f′( x)g(x)y0，且 x＋ y≤2，则 ＋ 的最小2x＋ 3y 1x－ y值为________．二、解答题15．(2015·杭州一检)在△ ABC 中，内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c.已知 cos 2A＋ ＝2cos A.32(1)求角 A 的大小；(2)若 a＝1，求△ ABC 的周长 l 的取值范围．16．已知函数 f(x)＝ aln x－ x＋ .a－ 1x(1)若 a＝4，求 f(x)的极值；(2)若 f(x)在定义域内无极值，求实数 a 的取值范围．17．(2015·长春三模)已知数列{ an}中， a1＝1，其前 n 项的和为 Sn，且满足 an＝ 2S2n2Sn－ 1(n≥2)．(1)求证：数列 是等差数列；{1Sn}(2)证明：当 n≥2 时， S1＋ S2＋ S3＋…＋ Sn0，得－11.1＋ lg a1－ lg a 2lg a1－ lg a所以 00， (2x＋2 y)≤1，14所以 ＋ ≥ × [(x＋3 y)＋( x－ y)]2x＋ 3y 1x－ y ( 2x＋ 3y＋ 1x－ y) 14＝ ≥ 14[3＋ 2 x－ yx＋ 3y ＋ x＋ 3yx－ y] 14[3＋ 2 2 x－ yx＋ 3y ·x＋ 3yx－ y]＝ ，3＋ 224当且仅当Error!即Error! 时取等号，所以 ＋ 的最小值为 .2x＋ 3y 1x－ y 3＋ 22415．解 (1)根据二倍角公式：cos 2 x＝2cos 2x－1，得 2cos2A＋ ＝2cos A，12即 4cos2A－4cos A＋1＝0，所以(2cos A－1) 2＝0，所以 cos A＝ .12因为 00)，3xf′( x)＝ －1－ ＝ ，4x 3x2 － x2＋ 4x－ 3x2令 f′( x)＝0，解得 x＝1 或 x＝3.当 03 时， f′( x)0，f(1)＝2， f(3)＝4ln 3－2，所以 f(x)的极小值为 2，极大值为 4ln 3－2.(2)f(x)＝ aln x－ x＋ (x0)，a－ 1xf′( x)＝ －1－ ＝ ，ax a－ 1x2 － x2＋ ax－  a－ 1x2f(x)在定义域内无极值，即 f′( x)≥0 或 f′( x)≤0 在定义域上恒成立．即方程 f′( x)＝0 在(0，＋∞)上无变号零点．设 g(x)＝－ x2＋ ax－( a－1)，则 Δ ≤0 或Error!解得 a＝2，所以实数 a 的取值范围为{2}．17．证明 (1)当 n≥2 时， Sn－ Sn－1 ＝ ，2S2n2Sn－ 1Sn－1 － Sn＝2 SnSn－1 ， － ＝2，1Sn 1Sn－ 1从而 是以 1 为首项，2 为公差的等差数列．{1Sn}8(2)由(1)可知， ＝ ＋( n－1)×2＝2 n－1，1Sn 1S1∴ Sn＝ ，12n－ 1∴当 n≥2 时， Sn＝ 0，所以 ＝ an＋1 ＋2.an＋ 2因为 ＝ ＝ ＝ ，bn＋ 1bn log2 an＋ 1＋ 2log2 an＋ 2 log2an＋ 2log2 an＋ 2 12又 b1＝log 2(a1＋2)＝2，所以数列{ bn}是首项为 2，公比为 的等比数列．12(2)解 由(1)知， bn＝2× n－1 ，则 cn＝2 n n－1 .(12) (12)Sn＝2× 0＋4× 1＋…＋2( n－1) n－2 ＋2 n n－1 ，①(12) (12) (12) (12)Sn＝2× 1＋4× 2＋…＋2( n－1) n－1 ＋2 n n.②12 (12) (12) (12) (12)①－②得Sn＝2× 0＋2× 1＋2× 2＋…＋2× n－1 －2 n× n12 (12) (12) (12) (12) (12)9＝ －2 n× n＝4－ (4＋2 n) n.2[1－ (12)n]1－ 12 (12) (12)所以 Sn＝8－( n＋2) n－2 .(12)20．解 (1)由题意知存在 x0∈[－1，ln ]，43使 a0 时， f′( x)0， x0.(ln 43) 1e 43 43 1e 13 43∴ f(－1) f ，∴ f (x)在 上的最大值为 ，(ln 43) [－ 1， ln 43] 1e故 a 的取值范围是 a0，g(x)为增函数， g(0)＝0，从而当 x≥0 时， g(x)≥0，即 f(x)≥( t－1) x 恒成立．若 t1，则当 x∈(0，ln t)时， g′( x)1 不符合题意，综上可得 t 的取值范围为(－∞，1]．1【步步高】 （江苏专用）2017 版高考数学 滚动检测 5 文一、填空题1．(2015·日照一模)已知集合 A＝{( x， y)|y＝lg x}， B＝{( x， y)|x＝ a}，若 A∩ B＝ ，则实数 a 的取值范围是________．2．设函数 D(x)＝Error!则下列结论错误的是________．① D(x)的值域为{0,1}；② D(x)是偶函数；③ D(x)不是周期函数；④ D(x)不是单调函数．3．偶函数 f(x)满足 f(x－1)＝ f(x＋1)，且在 x∈[0,1]时， f(x)＝ x，则关于 x 的方程 f(x)＝ x在 x∈[0,4]上解的个数是________．(110)4．(2015·银川一中二模)定义在[ a， b](ba)上的函数 f(x)＝ sin x－ cos x 的值域是12 32，则 b－ a 的最大值 M 和最小值 m 分别是________．[－12， 1]5．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为________．6．(2015·海口调研)已知函数 f(x)＝ x2－2 x＋ aln x 有两个极值点 x1， x2，且 x1－ ；④ f(x1)－ .3＋ 2ln 24 1＋ 2ln 24 3＋ 2ln 24 1＋ 2ln 247．(2015·湖北八校联考)已知点 A 是抛物线 C1： y2＝2 px (p0)与双曲线 C2： － ＝1 x2a2 y2b2(a0， b0)的一条渐近线的交点(异于原点)，若点 A 到抛物线 C1的准线的距离为 p，则双曲线 C2的离心率等于________．8．(2015·广西二市联考)若数列{ an}满足 a1＝1， an－1 ＋ an＝ (n∈N *，anan－ 1 n2－ n · － 1 n且 n≥2)，则数列{ }的前 6 项和为________．an＋ 1 2n＋ 1  2n＋ 39．平面 α 外有两条直线 m 和 n，如果 m 和 n 在平面 α 内的射影分别是 m′和 n′，给出下列四个命题：① m′⊥ n′⇒ m⊥ n；② m⊥ n⇒m′⊥ n′；③ m′与 n′相交⇒ m 与 n 相交或重合；④ m′与 n′平行⇒ m 与 n 平行或重合．其中不正确的命题个数是________．10．设 F1， F2分别为椭圆 C1： ＋ ＝1 (ab0)与双曲线 C2： － ＝1 (a10， b10)的x2a2 y2b2 x2a21 y2b21公共左、右焦点，它们在第一象限内交于点 M，∠ F1MF2＝90°，若椭圆 C1的离心率 e∈2，则双曲线 C2的离心率 e1的取值范围是________．[34， 32]11．(2015·南京调研)如图，过椭圆 ＋ ＝1 ( ab0)的左顶点 A 作直线 l 交 y 轴于点 P，交椭圆于点 Q.若△ AOPx2a2 y2b2是等腰三角形，且 ＝2 ，则椭圆的离心率为________．PQ→ QA→ 12．设实数 x， y 满足约束条件Error!则目标函数 z＝ x＋ y 的最大值为________．13．对正整数 n，设曲线 y＝ xn(1－ x)在 x＝2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为 an，则数列的前 n 项和 Sn＝________.{ann＋ 1}14．从圆 C： x2＋ y2－6 x－8 y＋24＝0 外一点 P 向该圆引切线 PT， T 为切点，且 PT＝ PO(O 为坐标原点)，则 PT 的最小值为________．二、解答题15．(2015·湖北七市联考)已知向量 m＝ ， n＝ ，设函数 f(x)(cos x2， － 1) (3sin x2， cos2 x2)＝ m n＋1.A(1)求函数 f(x)的单调递增区间；(2)在△ ABC 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且满足 a2＋ b2＝6 abcos C，sin 2C＝2sin Asin B，求 f(C)的值．16.如图，在四棱柱 ABCD—A1B1C1D1中，已知平面 AA1C1C⊥平面 ABCD，且AB＝ BC＝ CA＝ ， AD＝ CD＝1.3(1)求证： BD⊥ AA1；3(2)若 E 为棱 BC 的中点，求证： AE∥平面 DCC1D1.17．已知数列{ an}满足 an0， a1＝2，且 a ＝2 a ＋ anan＋1 .2n＋ 1 2n(1)求数列{ an}的通项公式；(2)若 bn＝ an－1， cn＝ an·bn，求数列{ cn}的前 n 项和 Sn.2log18．已知椭圆 C： ＋ ＝1 ( ab0)的离心率为 ，短轴一个端点到右焦点的距离为 .x2a2 y2b2 63 3(1)求椭圆 C 的方程；(2)设直线 l 与椭圆 C 交于 A、 B 两点，坐标原点 O 到直线 l 的距离为 ，求△ AOB 面积的最32大值．19.(2015·四川成都七中模拟)如图，矩形 ABCD 中， AD⊥平面 ABE， AE＝ EB＝ BC＝2， F 为 CE 上的点，且 BF⊥平面 ACE， AC 与 BD 交于点 G.(1)求证： AE⊥平面 BCE；(2)求证： AE∥平面 BFD；(3)求三棱锥 C—BGF 的体积．20．已知椭圆 C： ＋ ＝1 ( ab0)的右焦点为 F(1，0)，且点 在椭圆 C 上．x2a2 y2b2 (－ 1， 22)(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)已知点 Q ，动直线 l 过点 F，且直线 l 与椭圆 C 交于 A， B 两点，证明： 为定(54， 0) QA→ QB→ 值．答案解析41． a≤0 2.③ 3.4 4. ， 5.3∶164π3 2π36．③解析 f(x)的定义域为(0，＋∞)，求导得 f′( x)＝ .因为 f(x)有两个极值点2x2－ 2x＋ axx1， x2，所以 x1， x2是方程 2x2－2 x＋ a＝0 的两根，又 x1g ＝－12 (0， 12) (12)，3＋ 2ln 24所以 f(x1)－ ，故③正确．3＋ 2ln 247. 5解析 ∵点 A 到抛物线 C1的准线的距离为 p，∴ A 在直线 y＝ x 上，(p2， p) ba∴ ＝ ＝4，又∵ e1，∴ e＝ .b2a2 c2－ a2a2 58．－115解析 由题意可得 ＋ ＝ ，1an 1an－ 1 1n n－ 1  － 1 n则 － ＝ － ， － 1 nan  － 1 n－ 1an－ 1 1n－ 1 1n累加得 ＝－ ， an＝(－1) n－1 n， － 1 nan 1n所以 ＝ ，an＋ 1 2n＋ 1  2n＋ 3  － 1 n n＋ 1 2n＋ 1  2n＋ 3则前 6 项的和为＋ ＋ ＋ ＋ ＋－ 23×5 35×7 － 47×9 59×11 － 611×13 713×15＝－ (13×7＋ 17×11＋ 111×15)＝－ ×14 (13－ 17＋ 17－ 111＋ 111－ 115)＝－ .1159．45解析 借助长方体举反例即可知四个命题都不正确．10.[62， 322]解析 由已知得 MF1＋ MF2＝2 a， MF1－ MF2＝2 a1，所以 MF1＝ a＋ a1， MF2＝ a－ a1，又因为∠ F1MF2＝90°，所以 MF ＋ MF ＝4 c2，即( a＋ a1)2＋( a－ a1)2＝4 c2，即 a2＋ a ＝2 c2，所以21 2 21＋ ＝2，所以 e ＝ ，因为 e∈ ，所以 ≤ e2≤ ，即 ≤ ≤ ， ≤2－ ≤1e2 1e21 21 12－ 1e2 [34， 32] 916 34 43 1e2 169 29 1e2，所以 ≤ e ≤ ，所以 e1∈ .23 32 21 92 [62， 322]11.255解析 由题意可得 A(－ a,0)， P(0， a)，因为 ＝2 ，所以 Q ，所以PQ→ QA→ (－ 2a3， a3)＋ ＝1，化简得 a2＝5 b2＝5( a2－ c2)，即 2a＝ c，故椭圆的离心率 e＝ ＝ ＝ .4a29a2 a29b2 5 ca 25 25512．413．2 n＋1 －2解析 曲线 y＝ xn(1－ x)＝ xn－ xn＋1 ， y′＝ nxn－1 －( n＋1) xn，所以曲线在 x＝2 处的切线斜率为 k＝ n×2n－1 －( n＋1)2 n＝－( n＋2)2 n－1 ，切点为(2，－2 n)，所以切线方程为 y＋2 n＝－( n＋2)2 n－1 (x－2)，令 x＝0 得， y＋2 n＝( n＋2)2 n，即 y＝( n＋1)2n，所以 an＝( n＋1)2 n，所以 ＝2 n，数列 是以 2 为首项，2 为公比的等比数列，ann＋ 1 {ann＋ 1}所以 Sn＝ ＝2 n＋1 －2.2 1－ 2n1－ 214.125解析 圆 C 的标准方程为( x－3) 2＋( y－4) 2＝1，设 P(x， y)，由 PT＝ PO 得( x－3) 2＋( y－4)2－1＝ x2＋ y2，得 3x＋4 y－12＝0，所以 P 点的轨迹为直线 3x＋4 y－12＝0，当 PC 为圆心 C到直线的距离时， PT 取最小值，故 PT 的最小值为 PTmin＝ ＝ .(135)2－ 12 12515．解 (1) f(x)＝ sin cos －cos 2 ＋13x2 x2 x＝ sin x－ cos x＋32 12 12＝sin ＋ .(x－π 6) 126令 2kπ－ ≤ x－ ≤2 kπ＋ (k∈Z)，π 2 π 6 π 2则 2kπ－ ≤ x≤2 kπ＋ (k∈Z)，π 3 2π3∴所求增区间为 (k∈Z)．[2kπ －π 3， 2kπ ＋ 2π3](2)由 a2＋ b2＝6 abcos C，sin2C＝2sin Asin B⇒c2＝2 ab，∴cos C＝ ＝ ＝3cos C－1，a2＋ b2－ c22ab 6abcos C－ 2ab2ab即 cos C＝ ，又∵00，∴ an＋1 －2 an＝0，即 ＝2.an＋ 1an∴数列{ an}是公比为 2 的等比数列．又∵ a1＝2，∴ an＝2 n.7(2)依题意得 bn＝log an－1＝log 2n－1＝2 n－1，2 2cn＝ an bn＝(2 n－1) 2n，AASn＝1×2 1＋3×2 2＋5×2 3＋…＋(2 n－1)×2 n，那么，2 Sn＝1×2 2＋3×2 3＋…＋(2 n－3)×2 n＋(2 n－1)×2 n＋1 ，两式相减得－ Sn＝1×2 1＋2×2 2＋2×2 3＋…＋2×2 n－(2 n－1)×2 n＋1＝2＋2(2 2＋2 3＋…＋2 n)－(2 n－1)×2 n＋1＝2＋2× －(2 n－1)×2 n＋14 1－ 2n－ 11－ 2＝2＋8(2 n－1 －1)－(2 n－1)×2 n＋1＝2＋2×2 n＋1 －8－(2 n－1)×2 n＋1＝(3－2 n)×2n＋1 －6，故 Sn＝(2 n－3)×2 n＋1 ＋6.18．解 (1)设椭圆的半焦距长为 c，依题意有Error!∴ b＝1，∴所求椭圆方程为 ＋ y2＝1.x23(2)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)．①当 AB⊥ x 轴时， AB＝ .3②当 AB 与 x 轴不垂直时，设直线 AB 的方程为 y＝ kx＋ m.由已知 ＝ ，得 m2＝ (k2＋1)．|m|1＋ k2 32 34把 y＝ kx＋ m 代入椭圆方程，整理得(3 k2＋1) x2＋6 kmx＋3 m2－3＝0，∴ x1＋ x2＝ ， x1x2＝ .－ 6km3k2＋ 1 3 m2－ 13k2＋ 1∴ AB2＝(1＋ k2)(x2－ x1)2＝(1＋ k2)[36k2m2 3k2＋ 1 2－ 12 m2－ 13k2＋ 1 ]＝ ＝12 k2＋ 1  3k2＋ 1－ m2 3k2＋ 1 2 3 k2＋ 1  9k2＋ 1 3k2＋ 1 2＝3＋ ＝3＋ (k≠0)≤3＋ ＝4.12k29k4＋ 6k2＋ 1 129k2＋ 1k2＋ 6 122×3＋ 6当且仅当 9k2＝ ，即 k＝± 时等号成立．1k2 33此时 Δ ＝12(3 k2＋1－ m2)0，当 k＝0 时， AB＝ ，38综上所述， ABmax＝2.∴当 AB 最大时，△ AOB 面积取得最大值，且最大值为 S＝ ×ABmax× ＝ .12 32 3219．(1)证明 ∵ AD⊥平面 ABE， AD∥ BC，∴ BC⊥平面 ABE，∵ AE⊂平面 ABE，∴ AE⊥ BC.∵ BF⊥平面 ACE，∵ AE⊂平面 ACE，∴ AE⊥ BF.又 BC∩ BF＝ B， BC⊂平面 BCE， BF⊂平面 BCE，∴ AE⊥平面 BCE.(2)证明 依题意可知 G 是 AC 的中点，∵ BF⊥平面 ACE， CE⊂平面 ACE，∴ CE⊥ BF，又∵ BC＝ BE，∴ F 为 EC 的中点．在△ AEC 中， FG∥ AE，又 FG⊂平面 BFD， AE⊄平面 BFD，∴ AE∥平面 BFD.(3)解 由(2)知 AE∥ FG，且 AE⊥平面 BCE，∴ FG⊥平面 BCE，∴ FG⊥平面 BCF.∵ G 是 AC 的中点， F 是 CE 的中点，∴ FG＝ AE＝1.12∵ BF⊥平面 ACE， CE⊂平面 ACE，∴ BF⊥ CE.∴Rt△ BCE 中， BF＝ CF＝ CE＝ .12 2∴ S△ CFB＝ × × ＝1，12 2 2∴ V 三棱锥 C—BFG＝ V 三棱锥 G—BCF＝ S△ CFB FG＝ .13A1320．(1)解 由题意知 c＝1.根据椭圆的定义得，2 a＝ ＋ ， － 1－ 1 2＋ (22)2 22即 a＝ .2所以 b2＝2－1＝1.所以椭圆 C 的标准方程为 ＋ y2＝1.x22(2)证明 当直线 l 的斜率为 0 时，不妨设 A( ，0)， B(－ ，0)，2 29则 ＝ ＝－ .QA→ QB→ (2－ 54， 0)A(－ 2－ 54， 0) 716当直线 l 的斜率不为 0 时，设直线 l 的方程为 x＝ ty＋1，A(x1， y1)， B(x2， y2)．由Error! 可得( t2＋2) y2＋2 ty－1＝0.显然 Δ 0.y1＋ y2＝－ ， y1y2＝－ .2tt2＋ 2 1t2＋ 2因为 x1＝ ty1＋1， x2＝ ty2＋1，所以 ＝QA→ QB→ (x1－ 54， y1)A(x2－ 54， y2)＝ ＋ y1y2(ty1－14) (ty2－ 14)＝( t2＋1) y1y2－ t(y1＋ y2)＋14 116＝－( t2＋1) ＋ t ＋1t2＋ 2 14 2tt2＋ 2 116＝ ＋－ 2t2－ 2＋ t22 t2＋ 2 116＝－ .716综上， · 为定值－ .QA→ QB→ 716