（江苏专用）2017版高考数学 专题9 平面解析几何习题 理（打包14套）.zip

1【步步高】 （江苏专用）2017 版高考数学 专题 9 平面解析几何 64 直线的斜率与倾斜角 理训练目标 理解斜率、倾斜角的几何意义，会求直线的斜率和倾斜角.训练题型 (1)求直线的斜率；(2)求直线的倾斜角；(3)求倾斜角、斜率的范围.解题策略(1)理解斜率和倾斜角的几何意义，熟练掌握计算公式；(2)利用正切函数单调性确定斜率和倾斜角的范围.1．直线 l： xsin 30°＋ ycos 150°＋1＝0 的斜率是________．2．(2015·绥化一模)直线 xsin α ＋ y＋2＝0 的倾斜角的取值范围是________．3．直线 x＋ y＋1＝0 的倾斜角是________．34．直线 l 经过点 A(1,2)，在 x 轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率 k 的取值范围是________________________________________________________________________．5．(2015·江西白鹭洲中学周考)已知两条直线 l1： y＝ x， l2： ax－ y＝0，其中 a 为实数，当这两条直线的夹角在(0， )内变动时， a 的取值范围是________．π126．(2015·西安长安区第一中学第三次质量检测)过点 P(2,0)的直线 l 被圆( x－2) 2＋( y－3)2＝9 截得的线段长为 2 时，直线 l 的斜率为________．7．已知过点(0,1)的直线 l： xtan α － y－3tan β ＝0 的斜率为 2，则 tan(α ＋ β )＝________.8．在平面直角坐标系中，正三角形 ABC 的边 BC 所在直线的斜率是 0，则 AC， AB 所在直线的斜率之和为________．9．斜率为 2 的直线经过 A(3,5)、 B(a,7)、 C(－1， b)三点，则 a， b 的值分别为________．10．(2015·上海六校第一次联考)过点(1,2)且倾斜角 α 满足 ＝－2 的直sin α ＋ cos αsin α － 2cos α线的方程为____________．11．若过 P(1－ a,1＋ a)和 Q(3,2a)的直线的倾斜角为 0°，则 a＝________.12．已知点 A(2,3)， B(－3，－2)，若直线 l 过点 P(1,1)与线段 AB 相交，则直线 l 的斜率k 的取值范围是________．13．已知点 A(2,1)， B(－2,2)，若直线 l 过点 P(－ ，－ )，且总与线段 AB 有交点，则直45 15线 l 的斜率 k 的取值范围是________________．14．(2015·黄山一模)已知点 A 在直线 x＋2 y－1＝0 上，点 B 在直线 x＋2 y＋3＝0 上，线段AB 的中点为 P(x0， y0)，且满足 y0＞ x0＋2，则 的取值范围为________．y0x02答案解析1.33解析 由题意得直线 l 的斜率 k＝－ ＝tan 30°＝ ，∴直线 l 的斜率为 .sin 30°cos 150° 33 332．[0， ]∪[ ，π)π 4 3π4解析 因为直线 xsin α ＋ y＋2＝0 的斜率 k＝－sin α ，又－1≤sin α ≤1，所以－1≤ k≤1.设直线 xsin α ＋ y＋2＝0 的倾斜角为 θ ，所以－1≤tan θ ≤1，而 θ ∈[0，π)，故[0， ]∪[ ，π)．π 4 3π43.5π6解析 由直线的方程得直线的斜率 k＝－ ，33设倾斜角为 α ，则 tan α ＝－ ，33因为 α ∈[0，π)，所以 α ＝ .5π64．(－∞，－1)∪( ，＋∞)12解析 设直线方程为 y－2＝ k(x－1)，直线在 x 轴上的截距为 1－ ，2k令－3＜1－ ＜3，2k解不等式得 k＞ 或 k＜－1.125．( ，1)∪(1， )33 3解析 直线 l1的倾斜角为 ，π 4依题意知， l2的倾斜角的取值范围为( － ， )∪( ， ＋ )，即( ， )∪( ， )，π 4 π12 π 4 π 4 π 4 π12 π 6 π 4 π 4 π 33从而 l2的斜率 a 的取值范围为( ，1)∪(1， )．33 36．±24解析 设直线 l： y＝ k(x－2)，圆心 M(2,3)到直线 l： y＝ k(x－2)的距离 d＝ ，由3k2＋ 1d2＋1 2＝3 2，得( )2＋1 2＝3 2，3k2＋ 1解得 k＝± .247．1解析 依题意得，tan α ＝2，－3tan β ＝1，即 tan β ＝－ ，13故 tan(α ＋ β )＝ ＝ ＝1.tan α ＋ tan β1－ tan α tan β2－ 131＋ 238．0解析 设 AC， AB 所在直线的斜率分别为 k1， k2，由题意知， AB， AC 所在直线的倾斜角分别为 60°，120°，所以 k1＋ k2＝tan 60°＋tan 120°＝ ＋(－ )＝0.3 39．4，－3解析 由题意，得Error!即Error!解得 a＝4， b＝－3.10． x－ y＋1＝0解析 由 ＝－2，得 tan α ＝1，sin α ＋ cos αsin α － 2cos α直线的方程为 y－2＝ x－1，即 x－ y＋1＝0.11．1解析 由题意得 1＋ a＝2 a，∴ a＝1.12． k≥2 或 k≤34解析 直线 PA 的斜率 kPA＝2，直线 PB 的斜率 kPB＝ ，结合图象，如图所示，可知直线 l 的34斜率 k 的取值范围是 k≥2 或 k≤ .34413．(－∞，－ ]∪[ ，＋∞)116 37解析 当直线 l 由位置 PA 绕点 P 转动到位置 PB 时，直线 l 的斜率逐渐变大直至 l 垂直于 x 轴，当直线 l 垂直于 x 轴时， l 无斜率，再转时斜率为负值，逐渐变大直到 PB 的位置，所以直线 l 的斜率 k≥ kPA或 k≤ kPB，根据题意可得 kPA＝ ， kPB＝－ ，37 116所以 k≥ 或 k≤－ .37 11614．(－ ，－ )12 15解析 因为直线 x＋2 y－1＝0 与直线 x＋2 y＋3＝0 平行，所以 ＝ ，|x0＋ 2y0－ 1|5 |x0＋ 2y0＋ 3|5可得 x0＋2 y0＋1＝0.因为 y0＞ x0＋2，所以－ (1＋ x0)＞ x0＋2，12解得 x0＜－ .53设 ＝ k，y0x0所以 k＝ ＝－ － ，－ 12 x0＋ 1x0 12 12x0因为 x0＜－ ，所以 0＜－ ＜ ，53 12x0 310所以－ ＜ ＜－ .12 y0x0 151【步步高】 （江苏专用）2017 版高考数学 专题 9 平面解析几何 65 直线的方程 理训练目标 熟练掌握直线方程的五种形式，会求各种条件的直线方程.训练题型(1)由点斜式求直线方程；(2)利用截距式求直线方程；(3)与距离、面积有关的直线方程问题；(4)与对称有关的直线方程问题.解题策略(1)根据已知条件确定所求直线方程的形式，用待定系数法求方程；(2)利用直线系方程求解.1．过点(1,0)且与直线 x－2 y－2＝0 平行的直线方程是________．2．若点 A(3，－4)与点 B(5,8)关于直线 l 对称，则直线 l 的方程为________________．3．直线 l 过点(－1,2)，且与直线 2x－3 y＋4＝0 垂直，则直线 l 的方程是________．4．已知直线 l 过点(1,0)，且倾斜角为直线 l0： x－2 y－2＝0 的倾斜角的 2 倍，则直线 l 的方程为________．5．过点 A(5,2)，且在坐标轴上截距互为相反数的直线 l 的方程为________________．6．直线 l 的方程为 y－ m＝( m－1)( x＋1)，若 l 在 y 轴上的截距为 7，则 m＝________.7．若两条平行直线 l1：3 x－2 y－6＝0， l2：3 x－2 y＋8＝0，则与 l2的距离等于 l1与 l2间距离的直线方程为________．8．(2015·海淀一模)对于圆 A： x2＋ y2－2 x＝0，以点( ， )为中点的弦所在的直线方程是12 12________．9．过点 P(6，－2)，且在 x 轴上的截距比在 y 轴上的截距大 1 的直线方程是________________________．10．斜率为 ，且与两坐标轴围成的三角形的面积为 6 的直线方程为________________．3411．经过直线 7x＋7 y－24＝0 和 x－ y＝0 的交点，且与原点距离为 的直线方程为125________________________________________________________________________．12．设直线 l 经过点(－1,1)，则当点(2，－1)与直线 l 的距离最远时，直线 l 的方程为________________．13．已知直线 kx＋ y＋2＝0 和以 M(－2,1)， N(3,2)为端点的线段相交，则实数 k 的取值范围为________________________________________________________________________．14．设直线 l 的方程为( a＋1) x＋ y－2－ a＝0( a∈R)．(1)若直线 l 在两坐标轴上的截距相等，则直线 l 的方程为__________________________．(2)若 a＞－1，直线 l 与 x、 y 轴分别交于 M、 N 两点， O 为坐标原点，则△ OMN 的面积取最小值时，直线 l 对应的方程为________________．2答案解析1． x－2 y－1＝0解析 直线 x－2 y－2＝0 可化为 y＝ x－1，12所以过点(1,0)且与直线 x－2 y－2＝0 平行的直线方程可设为 y＝ x＋ b，12将点(1,0)代入得 b＝－ .12所以所求直线方程为 x－2 y－1＝0.2． x＋6 y－16＝0解析 易求 kAB＝6，所以 kl＝－ ，16又 AB 的中点为( ， )，即(4,2)，3＋ 52 － 4＋ 82所以直线 l 的方程为 y－2＝－ (x－4)，16即 x＋6 y－16＝0.3．3 x＋2 y－1＝0解析 直线 2x－3 y＋4＝0 可化为 y＝ x＋ ，23 43因为直线 l 过点(－1,2)，且与直线 2x－3 y＋4＝0 垂直．所以直线 l 的斜率为 k＝－ .32故直线 l 的方程为 y－2＝－ (x＋1)，32即 3x＋2 y－1＝0.4．4 x－3 y－4＝0解析 由题意可设直线 l0， l 的倾斜角分别为 α ，2 α ，因为直线 l0： x－2 y－2＝0 的斜率为 ，则 tan α ＝ ，12 12所以直线 l 的斜率 k＝tan 2 α ＝ ＝ ＝ .2tan α1－ tan2α2×121－ 14 43所以直线 l 的方程为 y＝ (x－1)，43即 4x－3 y－4＝0.35．2 x－5 y＝0 或 x－ y－3＝0解析 设直线在 x 轴上的截距为 a，则在 y 轴上的截距为－ a，若 a＝0，则直线过原点，其方程为 2x－5 y＝0.若 a≠0，则设其方程为 ＋ ＝1，xa y－ a又点(5,2)在直线上，所以 ＋ ＝1，所以 a＝3.5a 2－ a所以直线方程为 x－ y－3＝0.综上，直线 l 的方程为 2x－5 y＝0 或 x－ y－3＝0.6．4解析 令 x＝0，则 y＝2 m－1，所以 2m－1＝7，故 m＝4.7．3 x－2 y＋22＝0解析 设所求直线方程为 3x－2 y＋ C＝0，则 ＝ ，|－ 6－ 8|32＋  － 2 2 |C－ 8|32＋  － 2 2解得 C＝－6(舍去)或 C＝22，所以所求直线的方程为 3x－2 y＋22＝0.8． y＝ x解析 方程 x2＋ y2－2 x＝0 可化为( x－1) 2＋ y2＝1，易知圆心坐标为(1,0)，以点( ， )为中点的弦所在的直线与过圆心(1,0)和点( ， )的直线12 12 12 12垂直，所以所求直线的斜率为 1，故所求直线方程为 y－ ＝ x－ ，即 y＝ x.12 129. ＋ ＝1 或 ＋ y＝1x3 y2 x2解析 设直线方程的截距式为 ＋ ＝1，xa＋ 1 ya则 ＋ ＝1，解得 a＝2 或 a＝1，6a＋ 1 － 2a则直线的方程是 ＋ ＝1 或 ＋ ＝1，x2＋ 1 y2 x1＋ 1 y1即 ＋ ＝1 或 ＋ y＝1.x3 y2 x2410．3 x－4 y－12＝0 或 3x－4 y＋12＝0解析 设直线方程为 y＝ x＋ b.34令 y＝0，得 x＝－ b；令 x＝0，得 y＝ b.43∴ |b|·|－ |＝6，12 4b3∴ b＝±3，故所求直线方程为 3x－4 y－12＝0 或 3x－4 y＋12＝0.11．4 x＋3 y－12＝0 或 3x＋4 y－12＝0解析 设经过两直线交点的直线方程为7x＋7 y－24＋ λ (x－ y)＝0，即(7＋ λ )x＋(7－ λ )y－24＝0，原点到它的距离 d＝ ＝ ，24 7＋ λ  2＋  7－ λ  2 125解得： λ ＝±1.当 λ ＝1 时，直线方程为 4x＋3 y－12＝0；当 λ ＝－1 时，直线方程为 3x＋4 y－12＝0.12．3 x－2 y＋5＝0解析 当 l 与过两点的直线垂直时，点(2，－1)与直线 l 的距离最远，因此所求直线的方程为 y－1＝－ ×(x＋1)，2－  － 1－ 1－ 1即 3x－2 y＋5＝0.13． k≤－ 或 k≥43 32解析 如图，直线 kx＋ y＋2＝0 过定点 P(0，－2)，由 kPM＝1＋ 2－ 2＝－ ， kPN＝ ＝ ，可得直线 kx＋ y＋2＝0 若与线段 MN 相交，则有－ k≥ 或－ k≤－ ，32 2＋ 23 43 43 32即 k≤－ 或 k≥ .43 3214．(1) x－ y＝0 或 x＋ y－2＝0 (2) x＋ y－2＝05解析 (1)当直线 l 经过坐标原点时，由该直线在两坐标轴上的截距相等可得 a＋2＝0，解得 a＝－2.此时直线 l 的方程为－ x＋ y＝0，即 x－ y＝0；当直线 l 不经过坐标原点，即 a≠－2 且 a≠－1 时，由直线在两坐标轴上的截距相等可得 ＝2＋ a，2＋ aa＋ 1解得 a＝0，此时直线 l 的方程为 x＋ y－2＝0.所以直线 l 的方程为 x－ y＝0 或 x＋ y－2＝0.(2)由直线方程可得 M( ，0)， N(0,2＋ a)，2＋ aa＋ 1因为 a＞－1，所以 S△ OMN＝ × ×(2＋ a)＝ ×12 2＋ aa＋ 1 12 [ a＋ 1 ＋ 1]2a＋ 1＝ [(a＋1)＋ ＋2]≥ [2 ＋2]＝2.12 1a＋ 1 12  a＋ 1 ·1a＋ 1当且仅当 a＋1＝ ，即 a＝0 时等号成立．1a＋ 1此时直线 l 的方程为 x＋ y－2＝0.1【步步高】 （江苏专用）2017 版高考数学 专题 9 平面解析几何 66 两直线的位置关系 理训练目标会判断两直线的位置关系，能利用直线的平行、垂直、相交关系求直线方程或求参数值.训练题型 (1)判断两直线的位置关系；(2)两直线位置关系的应用；(3)直线过定点问题.解题策略(1)判断两直线位置关系有两种方法：①斜率关系，②系数关系；(2)在平行、垂直关系的应用中，要注意结合几何性质，利用几何性质，数形结合寻求最简解法.1．(2015·福建福州八中第四次质量检测)直线 x＋2 ay－1＝0 与( a－1) x－ ay＋1＝0 平行，则 a＝________.2．(2015·黑龙江哈六中上学期期末)已知直线 l1： x＋( a－2) y－2＝0， l2：( a－2)x＋ ay－1＝0，则“ a＝－1”是“ l1⊥ l2”的________条件．3．(2015·绵阳一诊)若 P、 Q 分别为直线 3x＋4 y－12＝0 与 6x＋8 y＋5＝0 上任意一点，则PQ 的最小值为________．4．(2015·吉林实验中学第三次模拟)设 a， b， c 分别是△ ABC 中角 A， B， C 所对边的边长，则直线 sin A·x－ ay－ c＝0 与直线 bx＋sin B ·y＋sin C＝0 的位置关系是________．5．已知 A(2,0)， B(3,3)，直线 l∥ AB，则直线 l 的斜率 k＝________.6．不论 a 为何实数，直线( a＋1) x＋(2－ a)y＋3＝0 恒过第________象限．7．已知直线 l1：2 x＋( m＋1) y＋4＝0 与直线 l2： mx＋3 y－2＝0 平行，则 m＝________.8．直线 x＋ a2y＋6＝0 和( a－2) x＋3 ay＋2 a＝0 无公共点，则 a＝________.9．设集合 A＝{( x， y)| ＝2}， B＝{( x， y)|4x＋ ay－16＝0}，若 A∩ B＝∅，则 a 的值为y－ 3x－ 1__________．10．已知点 A(－3，－4)， B(6,3)到直线 l： ax＋ y＋1＝0 的距离相等，则实数 a 的值为________．11．(2015·苏北四市一模)已知 a， b 为正数，且直线 ax＋ by－6＝0 与直线 2x＋( b－3)y＋5＝0 互相平行，则 2a＋3 b 的最小值为________．12． P1(x1， y1)是直线 l： f(x， y)＝0 上一点， P2(x2， y2)是直线 l 外一点，则方程 f(x， y)＋ f(x1， y1)＋ f(x2， y2)＝0 所表示的直线与 l 的关系是__________．13．已知等差数列{ an}的首项 a1＝1，公差 d＝－ ，若直线 x＋ y－3 an＝0 和直线122x－ y＋2 an－1＝0 的交点 M 在第四象限，则 an＝________.14．已知有 n 条平行直线： l1： x－ y＋ C1＝0， l2： x－ y＋ C2＝0，…， ln： x－ y＋ Cn＝0(其中2C1＜ C2＜…＜ Cn)，若 C1＝ ，每相邻两条直线间的距离都为 1，则第 10 条直线 l10与两坐标2轴围成的三角形的面积为________．答案解析1.12解析 当 a＝0 时，两直线重合，当 a≠0 时，由－ ＝ ，得 a＝ .12a a－ 1a 122．充分不必要解析 当 a＝－1 时，直线 l1的斜率为 ，直线 l2的斜率为－3，13它们的斜率之积等于－1，故有 l1⊥ l2，故充分性成立．当 l1⊥ l2时，有( a－2)＋( a－2) a＝0 成立，即( a－2)( a＋1)＝0，解得 a＝－1 或 a＝2，故必要性不成立．3.2910解析 因为 ＝ ≠－ ，36 48 125所以两直线平行，由题意可知 PQ 的最小值为这两条平行直线间的距离，即 ＝ ，|－ 24－ 5|62＋ 82 2910所以 PQ 的最小值为 .29104．垂直解析 因为 bsin A－ asin B＝0，所以两条直线垂直．5．3解析 因为直线 l∥ AB，所以 k＝ kAB＝ ＝3.3－ 03－ 26．三解析 ( a＋1) x＋(2－ a)y＋3＝0，可整理为 a(x－ y)＋( x＋2 y＋3)＝0，则Error! 解得Error!即原直线恒过定点(－1，－1)，故原直线恒过第三象限．7．－3 或 2解析 方法一 当 m＝0 时， l1与 l2不平行；3当 m≠0 时，若 l1∥ l2，只需 ＝ ≠ ，2m m＋ 13 4－ 2即 m2＋ m－6＝0，解得 m＝－3 或 2.方法二 若 l1∥ l2，只需 2×3－ m(m＋1)＝0，解得 m＝－3 或 2.当 m＝－3 或 2 时， A1C2－ A2C1＝2×(－2)－ m·4＝－4－4 m≠0，∴ m＝－3 或 2.8．0 或－1解析 两直线无公共点，即两直线平行．当 a＝0 时，这两条直线分别为 x＋6＝0 和 x＝0，无公共点；当 a≠0 时，由－ ＝－ ，解得 a＝－1 或 a＝3.1a2 a－ 23a若 a＝3，这两条直线分别为 x＋9 y＋6＝0， x＋9 y＋6＝0，两直线重合，有无数个公共点，不符合题意，舍去；若 a＝－1，这两条直线分别为 x＋ y＋6＝0 和 3x＋3 y＋2＝0，两直线平行，无公共点．综上， a＝0 或 a＝－1.9．4 或－2解析 A∩ B＝∅包含两种情况：①直线 4x＋ ay－16＝0 过点(1,3)；②直线 4x＋ ay－16＝0与直线 y－3＝2( x－1)平行．由①可得 a＝4；由②可得 a＝－2.10．－ 或－13 79解析 由题意及点到直线的距离公式得＝ ，|－ 3a－ 4＋ 1|a2＋ 1 |6a＋ 3＋ 1|a2＋ 1解得 a＝－ 或－ .13 7911．25解析 由两直线互相平行可得 a(b－3)＝2 b，即 2b＋3 a＝ ab， ＋ ＝1，2a 3b又 a， b 为正数，所以 2a＋3 b＝(2 a＋3 b)·( ＋ )2a 3b＝13＋ ＋ ≥13＋2 ＝25，6ab 6ba 6ab·6ba当且仅当 a＝ b＝5 时等号成立，故 2a＋3 b 的最小值为 25.12．平行解析 ∵ P1点在直线 l 上，∴ f(x1， y1)＝0，4又∵ P2点不在直线上，∴ f(x2， y2)≠0，∵ f(x， y)＋ f(x1， y1)＋ f(x2， y2)＝0，即 f(x， y)＋ f(x2， y2)＝0，∴直线 l 与方程表示的直线平行．13．0 或－12解析 联立方程Error!解得Error!即两直线交点为 M( ， )，an＋ 13 8an－ 13由于交点在第四象限，故Error! 解得－1＜ an＜ ，18由于 an＝ a1＋( n－1) d＝－ ＋ ，n2 32所以－1＜－ ＋ ＜ ，n2 32 18即 ＜ n＜5，114所以 n＝3,4，则 a3＝0， a4＝－ .1214．100解析 由已知，直线 l10与 l1的距离为 9，∴ ＝9，|C1－ C10|2解得 C10＝10 ，所以直线 l10： x－ y＋10 ＝0，2 2则直线 l10与两坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，腰长为 10 ，2故围成的三角形的面积为 S＝ ×(10 )2＝100.12 21【步步高】 （江苏专用）2017 版高考数学 专题 9 平面解析几何 67 直线与圆、圆与圆的位置关系 理训练目标(1)会求圆的方程；(2)会判断直线与圆的位置关系；(3)会判断两圆的位置关系；(4)能应用直线与圆、圆与圆的位置关系解决相关问题.训练题型(1)求圆的方程；(2)判断直线与圆、圆与圆的位置关系；(3)直线与圆的位置关系的应用.解题策略(1)代数法：联立直线与圆，圆与圆的方程，解方程组；(2)几何法：圆心到直线的距离与半径比较，两圆圆心距与半径之和、半径之差比较.1．(2015·贵州凯里一中 2 月阶段性检测)已知圆 C 与直线 x－ y＝0 及直线 x－ y－4＝0 都相切，圆心在直线 x＋ y＝0 上，则圆 C 的方程为________________．2．(2015·西安西北工业大学附中第一次适应性训练)直线( a＋1) x＋( a－1) y＋2 a＝0( a∈R)与圆 x2＋ y2－2 x＋2 y－7＝0 的位置关系是________．3．(2015·潍坊模拟)圆 C：( x－1) 2＋ y2＝25，过点 P(2，－1)作圆的所有弦中，以最长弦和最短弦为对角线的四边形的面积是________．4．(2015·南昌一模)圆 O1： x2＋ y2－2 x＝0 和圆 O2： x2＋ y2－4 y＝0 的位置关系是________．5．已知 P＝{( x， y)|x＋ y＝2}， Q＝{( x， y)|x2＋ y2＝2}，那么 P∩ Q＝________.6．(2015·广东中山一中等七校第二次联考) M(x0， y0)为圆 x2＋ y2＝ a2(a0)内异于圆心的一点，则直线 x·x0＋ y·y0＝ a2与该圆的位置关系为________．7．(2015·天水秦安第二中学第四次检测)已知圆 C1： x2＋ y2＋4 ax＋4 a2－4＝0 和圆C2： x2＋ y2－2 by＋ b2－1＝0 只有一条公切线，若 a， b∈R，且 ab≠0，则 ＋ 的最小值为1a2 1b2________．8．圆 C1： x2＋ y2＝16 与 C2：( x－4) 2＋( y＋3) 2＝ r2(r0)在交点处的切线互相垂直，则r＝________.9．(2015·大庆二模)能够把圆 O： x2＋ y2＝9 的周长和面积同时分为相等的两部分的函数f(x)称为圆 O 的“亲和函数” ，下列函数不是圆 O 的“亲和函数”的是________．① f(x)＝4 x3＋ x2；② f(x)＝ln ；③ f(x)＝ ；④ f(x)＝tan .5－ x5＋ x ex＋ e－ x2 x510．已知圆 C 的方程为 x2＋ y2－2 y－3＝0，过点 P(－1,2)的直线 l 与圆 C 交于 A， B 两点，若使 AB 最小，则直线 l 的方程是________________．11．圆 x2＋ y2＋2 x＋4 y－3＝0 上到直线 l： x＋ y＋1＝0 的距离为 的点有________个．212．(2015·济南模拟)已知 P 是直线 3x＋4 y－10＝0 上的动点， PA， PB 是圆2x2＋ y2－2 x＋4 y＋4＝0 的两条切线， A， B 是切点， C 是圆心，那么四边形 PACB 面积的最小值为________．13．(2015·甘肃天水一中一模)在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(0,3)，直线 l： y＝2 x－4，设圆 C 的半径为 1，圆心在 l 上，若圆 C 上存在点 M，使 MA＝2 MO，则圆心 C 的横坐标 a 的取值范围为________．14．已知 P(2,0)为圆 C： x2＋ y2－2 x＋2 my＋ m2－7＝0( m0)内一点，过点 P 的直线 AB 交圆 C于 A， B 两点，若△ ABC 面积的最大值为 4，则正实数 m 的取值范围为________．3答案解析1．( x－1) 2＋( y＋1) 2＝2解析 设圆心坐标为( a，－ a)，由 r＝ ＝ 得 a＝1，∴ r＝ .|a＋ a|2 |a＋ a－ 4|2 2该圆的标准方程为( x－1) 2＋( y＋1) 2＝2.2．相交解析 圆 x2＋ y2－2 x＋2 y－7＝0，即( x－1) 2＋( y＋1) 2＝9，表示以 O(1，－1)为圆心、3 为半径的圆．圆心到直线的距离d＝ ＝ .| a＋ 1 －  a－ 1 ＋ 2a| a＋ 1 2＋  a－ 1 2 |2a＋ 2|2a2＋ 29－ d2＝9－ ＝ ，4a2＋ 8a＋ 42a2＋ 2 7a2－ 4a＋ 7a2＋ 1而方程 7a2－4 a＋7＝0 的判别式 Δ ＝16－196＝－180＜0，故有 9d2，即 d0)．20 20圆心到直线的距离 d＝ a，a2x20＋ y20即 dr，故直线与圆相离．7．9解析 ∵圆 C1：( x＋2 a)2＋ y2＝4 和圆 C2： x2＋( y－ b)2＝1 只有一条公切线，∴两圆内切，| C1C2|＝2－1＝1，即 4a2＋ b2＝1.＋ ＝(4 a2＋ b2)( ＋ )＝5＋ ＋ ≥9，1a2 1b2 1a2 1b2 b2a2 4a2b2当且仅当 b2＝2 a2，即 a2＝ ， b2＝ 时取等号．16 138．3解析 设其中一个交点为 P(x0， y0)，则Error!可得 r2＝41－8 x0＋6 y0，∵两切线互相垂直，∴过交点的两半径也互相垂直，即 · ＝－1，y0x0 y0＋ 3x0－ 4∴3 y0－4 x0＝－16，∴ r2＝41－8 x0＋6 y0＝41＋2(3 y0－4 x0)＝41－32＝9，∴ r＝3.9．③解析 若函数 f(x)是圆 O 的“亲和函数” ，则函数的图象经过圆心且关于圆心对称．圆 O： x2＋ y2＝9 的圆心为坐标原点，①中 f(x)＝4 x3＋ x2，②中 f(x)＝ln ，5－ x5＋ x④中 f(x)＝tan 的图象均过圆心 O(0,0)，x55在③中， f(x)＝ 的图象不过圆心，不满足要求．ex＋ e－ x210． x－ y＋3＝0解析 易知点 P 在圆的内部，根据圆的性质，若使 AB 最小，则 AB⊥ CP，因为圆心 C(0,1)，所以 kCP＝ ＝－1， kl＝1，2－ 1－ 1－ 0因此直线 l 的方程为 y－2＝ x＋1，即 x－ y＋3＝0.11．3解析 圆的方程化为标准方程为：( x＋1) 2＋( y＋2) 2＝8.圆心为(－1，－2)，圆的半径为 2，圆心到直线 l 的距离为 ＝ ＝ .因此和 l 平行的圆的直径的两端点及与2|－ 1－ 2＋ 1|12＋ 12 22 2l 平行的圆的切线的切点到 l 的距离都为 .212．2 2解析 圆的标准方程为：( x－1) 2＋( y＋2) 2＝1，其圆心 C(1，－2)，半径为 1，且直线与圆相离，如图所示，四边形 PACB 的面积等于 2S△ PAC，而 S△ PAC＝ PA·AC＝ PA＝ ，12 12 12PC2－ 1又 PCmin＝ ＝3，|3－ 8－ 10|5所以( S△ PAC)min＝ ＝ ，129－ 1 2故四边形 PACB 面积的最小值为 2 .213．[0， ]125解析 设点 M(x， y)，由 MA＝2 MO，知 ＝2 .x2＋  y－ 3 2 x2＋ y2化简，得 x2＋( y＋1) 2＝4，∴点 M 的轨迹为以 D(0，－1)为圆心，2 为半径的圆，可记为圆 D.6又∵点 M 在圆 C 上，∴圆 C 与圆 D 的关系为相交或相切，∴1≤ CD≤3.∵圆 C 的圆心在直线 y＝2 x－4 上，∴设 C(a,2a－4)，∴ CD＝ ，a2＋  2a－ 3 2∴1≤ ≤3，a2＋  2a－ 3 2解得 0≤ a≤ .12514．[ ， )3 7解析 圆的标准方程为( x－1) 2＋( y＋ m)2＝8，则圆心坐标为(1，－ m)，半径 r＝2 ，2S△ ABC＝ r2sin∠ ACB＝4sin∠ ACB，12当∠ ACB＝90°时，△ ABC 的面积取得最大值 4，此时△ ABC 为等腰直角三角形，AB＝ r＝4，2则点 C 到直线 AB 的距离等于 2，故 2≤ PC＜2 ，即 2≤ ＜2 ，2 1＋ m2 2所以 4≤1＋ m2＜8，即 3≤ m2＜7，因为 m＞0，所以 ≤ m＜ .3 71【步步高】 （江苏专用）2017 版高考数学 专题 9 平面解析几何 68 对称问题 理训练目标会利用点关于直线对称，直线关于点对称，直线关于直线对称的性质求对称“元素”.训练题型 (1)求对称点、对称直线，圆关于直线对称的圆；(2)利用对称求最值.解题策略(1)根据对称的几何性质列方程求解；(2)关于特殊“元素”的对称，可按相应公式代入即得(如关于原点、坐标轴、直线 x＝ a， y＝ x， y＝－ x 等)；(3)数形结合，利用几何性质解决最值问题.1．直线 x－2 y＋1＝0 关于直线 x＝1 对称的直线方程是________．2．直线 ax＋3 y－9＝0 与直线 x－3 y＋ b＝0 关于直线 x＋ y＝0 对称，则 a 与 b 的值分别为________．3．设△ ABC 的一个顶点是 A(3，－1)，∠ B，∠ C 的平分线方程分别为 x＝0， y＝ x，则直线BC 的方程为________．4．已知圆 C： x2＋ y2＋2 x＋ ay－3＝0 (a 为实数)上任意一点关于直线 l： x－ y＋2＝0 的对称点都在圆 C 上，则 a＝________.5．直线 2x＋3 y－6＝0 分别交 x， y 轴于 A， B 两点， P 是直线 y＝－ x 上的一点，要使PA＋ PB 最小，则点 P 的坐标是________．6．已知点 P(a， b)， Q(b， a)(a， b∈R)关于直线 l 对称，则直线 l 的方程为________________．7．已知圆 C： x2＋ y2＋2 x－4 y＋ m＝0 与直线 l： y＝ x＋2 相切，且圆 D 与圆 C 关于直线 l 对称，则圆 D 的方程是________________．8．若直线 ax－ y＋2＝0 与直线 3x－ y－ b＝0 关于直线 y＝ x 对称，则a＝________， b＝________.9．若圆 C： x2＋ y2－ ax＋2 y＋1＝0 和圆 x2＋ y2＝1 关于直线 l1： x－ y－1＝0 对称，动圆 P与圆 C 相外切且与直线 l2： x＝－1 相切，则动圆 P 的圆心的轨迹方程是________________．10．如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，平行于 x 轴且过点 A(3 ，2)的入射光线 l1被3直线 l： y＝ x 反射，反射光线 l2交 y 轴于 B 点，圆 C 过点 A 且与 l1， l2都相切．332(1)求 l2所在直线的方程和圆 C 的方程；(2)设 P， Q 分别是直线 l 和圆 C 上的动点，求 PB＋ PQ 的最小值及此时点 P 的坐标．答案解析1． x＋2 y－3＝0解析 由题意得直线 x－2 y＋1＝0 与直线 x＝1 的交点坐标为(1,1)．又直线 x－2 y＋1＝0 上的点(－1,0)关于直线 x＝1 的对称点为(3,0)，所以由直线方程的两点式，得 ＝ ，y－ 01－ 0 x－ 31－ 3即 x＋2 y－3＝0.2．－9,3解析 在直线 ax＋3 y－9＝0 上取一点(0,3)，点(0,3)关于 x＋ y＝0 的对称点(－3,0)在直线x－3 y＋ b＝0 上，所以 b＝3，同理在直线 x－3 y＋ b＝0 上取一点(0,1)，它关于 x＋ y＝0 的对称点(－1,0)在直线 ax＋3 y－9＝0 上，∴ a＝－9.3． y＝2 x＋5解析 点 A(3，－1)关于直线 x＝0， y＝ x 的对称点分别为 A′(－3，－1)， A″(－1,3)，且都在直线 BC 上，故得直线 BC 的方程为： y＝2 x＋5.4．－2解析 由已知得，直线 x－ y＋2＝0 经过圆心 ，(－ 1， －a2)所以－1＋ ＋2＝0，从而有 a＝－2.a25．(0,0)解析 2 x＋3 y－6＝0 分别交 x、 y 轴于 A、 B 两点，则 A(3,0)、 B(0,2)．B 关于 y＝－ x 的对称点为 B′(－2,0)．AB′交直线 y＝－ x 于点(0,0)，则 P(0,0)即为所求．6． x－ y＝0解析 由题意知， kPQ＝－1，故直线 l 的斜率 k＝1，又直线 l 过线段 PQ 的中点 M( ， )，a＋ b2 a＋ b2故直线 l 的方程为 y－ ＝ x－ ，a＋ b2 a＋ b23即 x－ y＝0.7． x2＋( y－1) 2＝12解析 圆 C 的标准方程为( x＋1) 2＋( y－2) 2＝5－ m，由于圆 C 与直线 l 相切，故圆心 C(－1,2)到 l 的距离等于半径，即 ＝ ，|－ 1－ 2＋ 2|2 5－ m解得 m＝ .92故 5－ m＝ ，12又圆心 C(－1,2)关于直线 l： y＝ x＋2 的对称点为 D(0,1)，所以圆 D 的方程为 x2＋( y－1) 2＝ .128. 613解析 因为直线 ax－ y＋2＝0 关于直线 y＝ x 对称的直线是 ay－ x＋2＝0，即 x－ ay－2＝0，所以直线 x－ ay－2＝0 与直线 3x－ y－ b＝0 重合，所以 ＝ ＝ ，13 － a－ 1 － 2－ b即 a＝ ， b＝6.139． y2－6 x＋2 y－2＝0解析 由题意知，圆 C 的圆心为 C ，(a2， － 1)圆 x2＋ y2＝1 的圆心为 O(0,0)，由两圆关于直线 l1对称，易得点(0,0)关于直线 l1： x－ y－1＝0 对称的点(1，－1)即为点 C，故 a＝2，所以圆 C 的标准方程为( x－1) 2＋( y＋1) 2＝1，其半径为 1.设动圆 P 的圆心为 P(x0， y0)，半径为 r，由动圆 P 与圆 C 相外切可得： PC＝ r＋1，4由图可知，圆心 P 一定在直线 x＝－1 的右侧，所以由动圆 P 与直线 l2： x＝－1 相切可得 r＝ x0－(－1)＝ x0＋1.代入 PC＝ r＋1，得： ＝ x0＋1＋1＝ x0＋2， x0－ 1 2＋  y0＋ 1 2整理得： y －6 x0＋2 y0－2＝0.20即圆心 P 的轨迹方程为 y2－6 x＋2 y－2＝0.10．解 (1)易知直线 l1： y＝2，设 l1交 l 于点 D，则 D(2 ，2)，3因为直线 l 的斜率为 ，33所以 l 的倾斜角为 30°，所以 l2的倾斜角为 60°，所以 k2＝ ，3所以反射光线 l2所在的直线方程为y－2＝ (x－2 )，3 3即 x－ y－4＝0.3由题意，知圆 C 与 l1切于点 A，设圆心 C 的坐标为( a， b)，因为圆心 C 在过点 D 且与 l 垂直的直线上，所以 b＝－ a＋8，①3又圆心 C 在过点 A 且与 l1垂直的直线上，所以 a＝3 ，②3由①②得 a＝3 ， b＝－1，3故圆 C 的半径 r＝3，故所求圆 C 的方程为( x－3 )2＋( y＋1) 2＝9.3综上， l2所在直线的方程为 x－ y－4＝0，圆 C 的方程为( x－3 )2＋( y＋1) 2＝9.3 3(2)设点 B(0，－4)关于 l 对称的点为 B′( x0， y0)，即 ＝ · ，且 ＝－ ，y0－ 42 33 x02 y0＋ 4x0 3解得 x0＝－2 ， y0＝2，故 B′(－2 ，2)．3 3由题意易知，当 B′， P， Q 三点共线时，PB＋ PQ 最小，故 PB＋ PQ 的最小值为B′ C－3＝ －3＝2 －3， － 23－ 33 2＋  2＋ 1 2 21由Error! 得 P( ， )，32 12故 PB＋ PQ 的最小值为 2 －3，215此时点 P 的坐标为( ， )．32 12