（江苏专用）2017版高考数学 专题7 不等式习题 文（打包7套）.zip

1【步步高】 （江苏专用）2017 版高考数学 专题 7 不等式 48 不等式的概念及性质 文训练目标 (1)了解不等式概念及应用方法；(2)掌握不等式的性质，提高综合应用能力.训练题型(1)利用比较法判断不等关系；(2)运用不等式的性质判断不等关系；(3)将不等式概念及性质与函数知识结合判断不等关系.解题策略(1)作差比较；(2)作商比较；(3)利用不等式的性质化简变形，合理放大或缩小；(4)借助基本函数单调性比较大小.1．(2015·金华十校联考)设 a， b 是实数，则“ ab1”是“ a＋ b＋ ”的________条件．1a 1b2．已知实数 x， y 满足 ax ；②ln( x2＋1)ln( y2＋1)；1x2＋ 1 1y2＋ 1③sin xsin y；④ x3y3.3．已知 00， T＝ ＋1a＋ ，则 T 与 0 的大小关系是________．1b 1c7．若存在 x 使不等式 成立，则实数 m 的取值范围为________．x－ mex x8．若 1≤ a≤5，－1≤ b≤2，则 a－ b 的取值范围是________．9．已知 ab0，且 ab＝1，设 c＝ ， P＝log ca， N＝log cb， M＝log c(ab)，则 P， N， M 的2a＋ b大小关系是________．10．已知 00；②2 a－ b0 且 a≠1，则 loga(a3＋1)与 loga(a2＋1)的大小关系为____________________．14．已知 a， b， c∈{正实数}，且 a2＋ b2＝ c2，当 n∈N， n2 时， cn与 an＋ bn的大小关系为________．3答案解析1．充分不必要解析 因为 a＋ －( b＋ )＝ ，1a 1b  a－ b  ab－ 1ab所以若 ab1，显然 a＋ －( b＋ )＝ 0，则充分性成立；1a 1b  a－ b  ab－ 1ab当 a＝ ， b＝ 时，12 23显然不等式 a＋ b＋ 成立，但 ab1 不成立，1a 1b所以必要性不成立．2．④ 3. MN 4. d≤ AB5． MN解析 M－ N＝ a1a2－ a1－ a2＋1＝ a1(a2－1)－( a2－1)＝( a1－1)( a2－1)．又 a1， a2∈(0,1)，故( a1－1)( a2－1)0，故 MN.6.T0，知三数中一正两负，不妨设 a0， b0，∴ T 得：－ mex× － x(x0)，x－ mex x x令 f(x)＝e x× － x(x0)，则－ mf(x)min.xf′( x)＝e x× ＋e x× －1≥ ×ex－10( x0)，x12x 24所以 f(x)为(0，＋∞)上的增函数，所以 f(x)≥ f(0)＝0，－ m0， mb0，且 ab＝1，所以 a1,02 ＝2,00，45 45 4512M＝log 1＝0，所以 P2 ＝2,2 ＋ 22＝4，④错误；ab ba ab·ba ab ba由 a＋ b＝12 ，即 abab(a≠ b)1213．log a(a3＋1)log a(a2＋1)解析 ( a3＋1)－( a2＋1)＝ a2(a－1)，①当 0log a(a2＋1)；②当 a1 时， a3＋1 a2＋1，∴log a(a3＋1)log a(a2＋1)，∴总有 loga(a3＋1)log a(a2＋1)．14． cnan＋ bn5解析 ∵ a， b， c∈{正实数}，∴ an， bn， cn0.而 ＝( )n＋( )n.an＋ bncn ac bc∵ a2＋ b2＝ c2，则( )2＋( )2＝1，∴02，∴( )n( )2，( )n( )2.ac ac bc bc∴ ＝( )n＋( )n ＝1.∴ an＋ bncn.an＋ bncn ac bc a2＋ b2c21【步步高】 （江苏专用）2017 版高考数学 专题 7 不等式 49 不等式的解法 文训练目标(1)掌握一元二次不等式解法；(2)会用“三个二次关系”解决有关不等式的问题.训练题型(1)解一元二次不等式；(2)与不等式有关的集合问题；(3)参数个数、范围问题；(4)不等式恒成立问题.解题策略(1)利用“三个二次关系”给出不等式解集；(2)利用转化思想将参数问题、恒成立问题转化为不等式求解问题；(3)利用根与系数的关系解决有关二次方根的问题.1．(2015·深圳期末)设 f(x)＝Error!则不等式 f(x)0 时， f(x)＝( x－1) 2，若当 x∈[－2，－ ]时， n≤ f(x)12≤ m 恒成立，则 m－ n 的最小值为________．8．设 0b 的解集为(－∞， )，则关于 x 的不等式15ax2＋ bx－ a0 的解集为________．4511．已知集合 A＝{ x||2x－3|≤1， x∈R}，集合 B＝{ x|ax2－2 x≤0， x∈R}， A∩(∁ UB)＝∅ ，则实数 a 的取值范围是________．212．已知集合 M＝Error!， N＝{ x|x≤－3}，则∁ R(M∪ N)＝ ________.13．已知 a∈[－1,1]时，不等式 x2＋( a－4) x＋4－2 a0 恒成立，则 x 的取值范围为________．14．设关于 x 的不等式| x2－2 x＋3 m－1|≤2 x＋3 的解集为 A，且－1 D∈/ A,1∈ A，则实数 m的取值范围是____________________．3答案解析1．(2，＋∞)∪(－∞，0] 2.(－1，－ ]123．[－3，－2)∪(4,5]4．(2,3)解析 依题意知，－ 与－ 是方程 ax2－ bx－1＝0 的两个根，且 a0，1a ba∴－ x2＋ x－10，解得 20.当 m＝2 时，40， x∈R，满足题意；当 m1，即( ax)2－2 ax＋14⇔( ax－1) 24⇔ax－12 或 ax－13 或 axb 的解集为(－∞， )，15可知 a0 两边同除以 a，45得 x2＋ x－ 0 时， B＝{ x(x－ )≤0， x∈R}＝[0， ]，2a 2a若 A⊆B，则 ≥2，即 00 对于任意的 a∈[－1,1]恒成立，易知只需 f(－1)＝ x2－5 x＋60，且 f(1)＝ x2－3 x＋20 即可，联立方程解得 x3.514．{ m|－ 2×(－1)＋3，即|3 m＋2|1，解得 m－ .①13由 1∈ A，得|1 2－2×1＋3 m－1|≤2×1＋3，即|3 m－2|≤5，解得－1≤ m≤ .②73故由①②得实数 m 的取值范围是{ m|－ m≤ }．13 731【步步高】 （江苏专用）2017 版高考数学 专题 7 不等式 50 简单的线性规划问题 文训练目标(1)掌握不等式(组)表示的平面区域的确定方法；(2)会求目标函数的最值；(3)了解目标函数的简单应用.训练题型(1)求平面区域面积；(2)求目标函数最值；(3)求参数值或参数范围；(4)求最优解；(5)实际应用问题.解题策略(1)根据不等式(组)画出可行域；(2)准确理解目标函数的变量及相关参数的几何意义；(3)用好数形结合思想，将要解决的问题恰当的与图形相联系；(4)注意目标函数的变形应用.1．(2015·济南二模)不等式组Error!所表示的平面区域的面积为________．2．不等式组Error!表示的平面区域的形状是________．3．若不等式组Error!表示的平面区域是一个三角形，则实数 a 的取值范围是________．4．(2015·昆明一模)已知 x， y 满足约束条件Error!(k 为常数且 k0 表示的平面区域内，则 b 的取值范围是____________．8．(2015·安徽屯溪一中第四次月考)若目标函数 z＝ ax＋ by(a0， b0)满足约束条件Error!且最大值为 40，则 ＋ 的最小值为________．5a 1b9．(2015·课标全国Ⅰ)若 x， y 满足约束条件Error!则 的最大值为________．yx10．(2015·湖北襄阳第五中学质检)某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过 50 亩，投入资金不超过 54 万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表所示：年产量/亩 年种植成本/亩 每吨售价黄瓜 4 吨 1.2 万元 0.55 万元韭菜 6 吨 0.9 万元 0.3 万元为使一年的种植总利润(总利润＝总销售收入－总种植成本)最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位：亩)分别为________．211．(2015·陕西大学附中月考)设 x， y 满足约束条件Error!若目标函数z＝ ax＋ by(a0， b0)的最大值为 6，则 log ( ＋ )的最小值为________．31a 2b12．现有下列 5 个命题：①原点在 x＋ y≥0 表示的区域内；②点(－1，－1)在 x＋ y＋12x 表示的区域内；④点(0,2)在 x－2 y＋50 表示的区域内；⑤点(1,1)在－ x＋5 y＋60， b0)过直线 x－ y＋2＝0 与直线 2x－ y－6＝0 的交点(8,10)时，目标函数 z＝ ax＋ by(a0， b0)取得最大值 40，即 4a＋5 b＝20，而 ＋ ＝( ＋ )×5a 1b 5a 1b 4a＋ 5b20＝ ＋( ＋ )≥ .54 5b4a a5b 94当且仅当 2a＝5 b 时，等号成立．9．3解析 画出可行域如图阴影所示，∵ 表示过点( x， y)与原点(0,0)的直线的斜率，yx∴点( x， y)在点 A 处时 最大．yx由Error! 得Error!∴ A(1,3)．∴ 的最大值为 3.yx10．30,2011．2解析 画出约束条件表示的可行域如图所示．由可行域可知 z＝ ax＋ by(a0， b0)在(2,4)点取得最大值，5故 2a＋4 b＝6，即 a＋2 b＝3，因为 a0， b0，所以 ＋ ＝ ( ＋ )1a 2b a＋ 2b3 1a 2b＝ (5＋ ＋ )13 2ab 2ba≥ (5＋2· )＝3(当且仅当 a＝ b＝1 时， “＝”成立)，13 2ab·2ba所以 ＋ ≥3，log ( ＋ )≥log 3＝2.1a 2b 31a 2b 312．①②④解析 将各点坐标代入各不等式中，看是否使不等式成立，若成立，则该点在不等式所表示的平面区域内．只有①②④中各点代入后使不等式成立，所以正确的命题为①②④.13．4解析 画出区域 D，如图阴影部分所示，而 z＝ · ＝ x＋ y，OM→ OA→ 2故 y＝－ x＋ z，令 l0： y＝－ x，2 2平移直线 l0，相应直线过点( ，2)时，截距 z 有最大值，2故 zmax＝ × ＋2＝4.2 214．2π解析 由 f(x)＋ f(y)＝ x2－2 x＋ y2－2 y≤2，得( x－1) 2＋( y－1) 2≤4，于是点集 M＝{( x， y)|f(x)＋ f(y)≤2}表示的平面区域是以(1,1)为圆心，半径 r＝2 的圆面．同理，由 f(x)－ f(y)＝ x2－2 x－ y2＋2 y≥0，可得( x－ y)(x＋ y－2)≥0，即Error! 或Error!于是点集 N＝{( x， y)|f(x)－ f(y)≥0}表示的平面区域就是不等式组所表示的平面区域．所以 M∩ N 所构成的平面区域如图所示，6于是 S＝ ·π· r2＝2π.121【步步高】 （江苏专用）2017 版高考数学 专题 7 不等式 51 基本不等式的“基本功” 文训练目标(1)熟练掌握基本不等式及应用方法；(2)会用基本不等式解决最值问题；(3)能将基本不等式与函数、数列、三角函数等知识结合，解决综合问题.训练题型(1)比较两数(式)的大小；(2)求最大(小)值；(3)求代数式、函数式值域；(4)求参数范围；(5)与其他知识交汇综合应用.解题策略(1)直接利用基本不等式(注意应用条件)；(2)将已知条件变形，以“和”或“积”为定值为目标，构造基本不等式“模型”(注意积累变形技巧，总结变形突破点).1．(2015·长沙一模)设 a0， b0.若 a＋ b＝1，则 ＋ 的最小值是________．1a 1b2．(2015·湖南改编)若实数 a， b 满足 ＋ ＝ ，则 ab 的最小值为________．1a 2b ab3．(2015·北京东城区一模)已知 b0 且 a≠0，直线( b2＋1) x＋ ay＋2＝0 与直线x－ b2y－1＝0 互相垂直，则 ab 的最小值为________．4．(2015·大连期末)设 x， y∈R， a1， b1，若 ax＝ by＝3， a＋ b＝2 ，则 ＋ 的最大值31x 1y为________．5．若 a0， b0)始终平分圆 x2＋ y2＋2 x－4 y＋1＝0 的周长，则 ＋ 的1a 1b最小值是________．8．若不等式 x2－ ax＋1≥0 对一切 x∈(0,1]恒成立，则 a 的取值范围是________．9．(2015·黄冈模拟)若实数 x， y， z 满足 x2＋ y2＋ z2＝2，则 xy＋ yz＋ xz 的取值范围是________．10．已知正项等比数列{ an}满足 a7＝ a6＋2 a5，若存在两项 am， an使得 ＝4 a1，则 ＋aman1m的最小值为________．4n11．(2015·济南一模)若实数 x， y 满足 4x＋4 y＝2 x＋1 ＋2 y＋1 ，则 t＝2 x＋2 y的取值范围是________．212．若对任意 x0， ≤ a 恒成立，则 a 的取值范围是________．xx2＋ 3x＋ 113．(2015·株洲教学质量检测一)已知 M 是△ ABC 内的一点，且 · ＝2 ，∠ BAC＝30°.若AB→ AC→ 3△ MBC，△ MCA 和△ MAB 的面积分别为 ， x， y，则 ＋ 的最小值是________．12 1x 4y14．已知正实数 x， y 满足等式 x＋ y＋8＝ xy，若对任意满足条件的 x， y，不等式( x＋ y)2－ a(x＋ y)＋1≥0 恒成立，则实数 a 的取值范围是________．答案解析1．4 2.2 23．2解析 由两条直线垂直的充要条件可得，(－ )· ＝－1，b2＋ 1a 1b2解得 a＝ ，b2＋ 1b2所以 ab＝ ·b＝ ＝ b＋ .b2＋ 1b2 b2＋ 1b 1b因为 b0，所以 b＋ ≥2 ＝2，1b b·1b当且仅当 b＝ ，即 b＝1 时取“＝” ．1b4．1解析 由 ax＝ by＝3，得 x＝log a3， y＝log b3，由 a1， b1，知 x0， y0，＋ ＝log 3a＋log 3b＝log 3ab≤log 3( )2＝1，1x 1y a＋ b2当且仅当 a＝ b＝ 时“＝”成立，3则 ＋ 的最大值为 1.1x 1y5．大 －1 6.2337．4解析 圆心为(－1,2)，依题意知，直线 2ax－ by＋2＝0 始终过圆心，则－2 a－2 b＋2＝0，即 a＋ b＝1，所以 ＋ ＝ ＋ ＝2＋ ＋ ≥4(当且仅当 a＝ b＝ 时， “＝”成立)．1a 1b a＋ ba a＋ bb ba ab 128． a≤2解析 x2－ ax＋1≥0， x∈(0,1]恒成立3⇔ax≤ x2＋1， x∈(0,1]恒成立，⇔a≤ x＋ ， x∈(0,1]恒成立．1x∵ x∈(0,1]， x＋ ≥2，∴ a≤2.1x9．[－1,2]解析 因为 x2＋ y2＋ z2＝2，所以 2x2＋2 y2＋2 z2＝4，所以 4≥2 xy＋2 yz＋2 xz，即 xy＋ yz＋ xz≤2.又因为( x＋ y＋ z)2＝ x2＋ y2＋ z2＋2 xy＋2 xz＋2 yz≥0，所以 xy＋ yz＋ xz≥－1，所以 xy＋ yz＋ xz 的取值范围是[－1,2]．10.32解析 ∵ a7＝ a6＋2 a5，∴ a5q2＝ a5q＋2 a5，又∵{ an}是正项等比数列， a5≠0，且 q0，∴ q2－ q－2＝0，∴ q＝2 或 q＝－1(舍去)．又 ＝4 a1，am·an∴ am·an＝16 a ， a qm＋ n－2 ＝16 a ，21 21 21又 a ≠0，∴ m＋ n－2＝4，∴ m＋ n＝6，21＋ ＝ ( ＋ )(m＋ n)＝ (5＋ ＋ )≥ (5＋2 )＝ .1m 4n 161m 4n 16 4mn nm 16 4mn·nm 32当且仅当 ＝ ，即 m＝1， n＝2 时取等号．4mn nm11．(2,4]解析 设 a＝2 x， b＝2 y，则 a0， b0，由条件得 a2＋ b2＝2( a＋ b)，∵( a＋ b)2＝ a2＋ b2＋2 ab≤2( a2＋ b2)，当且仅当 a＝ b 时取等号，∴( a＋ b)2≤4( a＋ b)，∴ a＋ b≤4，又( a＋ b)2－2( a＋ b)＝2 ab0，∴ a＋ b2，∴20 恒成立，设 u＝ x＋ ＋3，xx2＋ 3x＋ 1 1x＋ 1x＋ 3 1x4∴只需 a≥ 恒成立即可．1u∵ x0，∴ u≥5(当且仅当 x＝1 时取等号)．由 u≥5 知 0 ≤ ，∴ a≥ .1u 15 1513．18解析 由已知得 · ＝| || |·cos∠ BAC＝2 ，AB→ AC→ AB→ AC→ 3∴| || |＝4，AB→ AC→ ∴ S△ ABC＝ x＋ y＋ ＝ | || |·sin∠ BAC＝1，12 12AB→ AC→ 即 x＋ y＝ ，12而 ＋ ＝2( ＋ )·(x＋ y)＝2(5＋ ＋ )≥2(5＋2 )＝18，1x 4y 1x 4y yx 4xy yx·4xy当且仅当 y＝2 x 时，等号成立．14．(－∞， ]658解析 因为 x＋ y＋8＝ xy≤( )2，x＋ y2即 4(x＋ y)＋32≤( x＋ y)2，解得 x＋ y≥8 或 x＋ y≤－4(舍去)．不等式( x＋ y)2－ a(x＋ y)＋1≥0 恒成立可等价转化为 a≤ 恒成立， x＋ y 2＋ 1x＋ y令 x＋ y＝ t(t≥8)，且 f(t)＝ ＝ t＋ .t2＋ 1t 1t函数 f(t)在[8，＋∞)上单调递增，所以 f(t)min＝ f(8)＝8＋ ＝ .18 658所以实数 a 的取值范围为(－∞， ]．6581【步步高】 （江苏专用）2017 版高考数学 专题 7 不等式 52 不等式的综合应用 文训练目标巩固不等式的基础知识，提高不等式在解决函数、三角函数、数列、向量、几何等方面的应用能力，训练解题步骤的规范性.训练题型(1)求函数值域、最值；(2)解决与数列有关的不等式问题、最值问题；(3)解决恒成立问题、求参数范围问题；(4)不等式证明.解题策略将问题中的条件进行综合分析、变形转化，形成不等式“模型” ，从而利用不等式性质或基本不等式解决.1．(1)求函数 y＝ 的值域；x－ 1x＋ 3＋ x－ 1(2)求函数 f(x)＝ x＋ (x1)的最小值．x2＋ 1x－ 12．(2015·江苏南通学情检测)已知 a， b， c 均为正数，求证： ＋ ＋ ≥ ＋ ＋ .abc bca cab 1a 1b 1c3．(2015·福建长乐二中等五校期中联考)某厂生产某种产品的年固定成本为 250 万元，每生产 x 千件，需另投入成本为 C(x)万元，当年产量不足 80 千件时， C(x)＝ x2＋10 x(万元)；13当年产量不少于 80 千件时， C(x)＝51 x＋ －1 450(万元)．通过市场分析，若每件售10 000x价为 500 元时，该厂一年内生产的商品能全部销售完．(1)写出年利润 L(万元)关于年产量 x(千件)的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？4．已知 n∈N *且 an＝ ＋ ＋…＋ ，求证： 0，即 x1 时， y＝ ，1t＋ 4t＋ 1因为 t＋ ≥2 ＝4(当且仅当 t＝2 时取等号)，4t 4所以 y＝ ≤ ，1t＋ 4t＋ 1 15即 y 的最大值为 (当 t＝2，即 x＝5 时取得最大值)．15所以 t0 时， y∈(0， ]．15所以 y∈[0， ]．15(2)令 t＝ x－1，故 x＝ t＋1，因为 x1，所以 t0.则函数 f(x)可化为 y＝( t＋1)＋ ＝2 t＋ ＋3， t＋ 1 2＋ 1t 2t因为 t0，所以 2t＋ ≥2 ＝4，2t 2t×2t当且仅当 2t＝ ，即 t＝1， x＝2 时取等号．2t所以 2t＋ ＋3≥4＋3＝7，2t即函数 f(x)的最小值为 f(2)＝7.2．证明 因为 a， b， c 都是正数，所以 ＋ ＝ ( ＋ )≥ .abc bca 1cab ba 2c同理可得 ＋ ≥ ， ＋ ≥ ，bca cab 2a cab abc 2b将上述三个不等式两边分别相加，并除以 2，得 ＋ ＋ ≥ ＋ ＋ .abc bca cab 1a 1b 1c33．解 (1)当 0950.综上所述，当 x＝100 时， L(x)取得最大值 1 000，即年产量为 100 千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大．4．证明 因为 ＝ n，n n＋ 1 n2所以 an1＋2＋…＋ n＝ ，n n＋ 12又 ，n n＋ 1n n＋ 12所以 an ＋ ＋…＋1＋ 22 2＋ 32 n n＋ 12＝ ＋ ＋…＋ ＝ ，23 52 2n＋ 12  n＋ 1 22综合知结论成立．5．解 (1)当 t＝－1 时， f(x)≤ g(x)，即 lg(x＋1)≤2lg(2 x－1)，此不等式等价于Error!解得 x≥ .54所以原不等式的解集为{ x|x≥ }．54(2)因为当 x∈[0,1]时， f(x)≤ g(x)恒成立，所以 x∈[0,1]时，Error!恒成立，4所以 x∈[0,1]时，Error!恒成立，即 x∈[0,1]时， t≥－2 x＋ 恒成立，x＋ 1于是转化为求－2 x＋ (x∈[0,1])的最大值问题．x＋ 1令 u＝ ，则 x＝ u2－1，x＋ 1由 x∈[0,1]，知 u∈[1， ]．2所以－2 x＋ ＝－2( u2－1)＋ u＝－2( u－ )2＋ ，x＋ 114 178当 u＝1，即 x＝0 时，－2 x＋ 有最大值 1.x＋ 1所以 t 的取值范围是[1，＋∞)．1【步步高】 （江苏专用）2017 版高考数学 专题 7 不等式 53 不等式中的易错题型 文训练目标 对不等式部分的易错题型强化训练，降低出错率.训练题型(1)不等式性质应用中出错；(2)解不等式运算错误；(3)基本不等式应用中的错误；(4)不等式综合应用中的思路障碍.解题策略规范运算过程及解题步骤，养成思维缜密的良好习惯，总结出易错类型及易错点.1．(2015·金华十校联考)已知函数 f(x)＝Error!则不等式 x＋( x＋1) f(x＋1)≤1 的解集是________．2．若不等式 x2＋ ax＋1≥0 对一切 x∈ 恒成立，则 a 的最小值为________．(0，12]3．已知 a， b 都是正实数，且满足 log4(2a＋ b)＝log 2 ，则 2a＋ b 的最小值为________．ab4．若 a， b 是常数， a0， b0， a≠ b， x， y∈(0，＋∞)，则 ＋ ≥ ，当且仅当a2x b2y  a＋ b 2x＋ y＝ 时取等号．利用以上结论，可以得到函数 f(x)＝ ＋ (0－1)的最小值为________．x2＋ 7x＋ 10x＋ 19．若 a、 b、 c0 且 a(a＋ b＋ c)＋ bc＝4－2 ，则 2a＋ b＋ c 的最小值为________．310．已知 x0， y0，lg 2 x＋lg 8 y＝lg 2，则 ＋ 的最小值是________．1x 13y11．对于 0≤ m≤4 的任意 m，不等式 x2＋ mx4x＋ m－3 恒成立，则 x 的取值范围是________________．12．设正实数 x， y， z 满足 x2－3 xy＋4 y2－ z＝0，则当 取得最大值时， ＋ － 的最大值xyz 2x 1y 2z为________．13．设 x－1，则函数 y＝ 的最小值是________． x＋ 5  x＋ 2x＋ 1214．某运输公司接受了向一地区每天至少运送 180 t 物资的任务，该公司有 8 辆载重为 6 t的 A 型卡车和 4 辆载重为 10 t 的 B 型卡车，有 10 名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数为 A型卡车 4 次， B 型卡车 3 次，每辆卡车每天往返的费用为 A 型卡车 320 元， B 型卡车 504 元，则公司如何调配车辆，才能使公司所花的费用最低，最低费用为________元．3答案解析1．{ x|x≤ －1} 2.－2523．8 4.255．90解析 如图，作出可行域，由 z＝10 x＋10 y⇒y＝－ x＋ ，它表示斜率为－1，纵截距为 的平行直线系，z10 z10要使 z＝10 x＋10 y 取得最大值，当直线 z＝10 x＋10 y 通过 A( ， )时 z 取得最大值．112 92因为 x， y∈N *，故 A 点不是最优整数解．于是考虑可行域内 A 点附近的整点(5,4)，(4,4)，经检验直线经过点(5,4)时， zmax＝90.6．4解析 不等式( x＋ y) ≥9 对任意正实数 x， y 恒成立，则(1x＋ ay)1＋ a＋ ＋ ≥ a＋2 ＋1≥9，所以 ≥2 或 ≤－4(舍去)．所以正实数 a 的最小值为 4.yx axy a a a7．2－2 5解析 当 0－1，即 x＋10 时， y≥2 ＋5＝9(当且仅当 x＝1 时取“＝”)． x＋ 1 ×4x＋ 149．2 －23解析 由 a(a＋ b＋ c)＋ bc＝4－2 ，3得( a＋ c)·(a＋ b)＝4－2 .3∵ a、 b、 c0.∴( a＋ c)·(a＋ b)≤ 2(当且仅当 a＋ c＝ b＋ a，即 b＝ c 时取“＝”)，(2a＋ b＋ c2 )∴2 a＋ b＋ c≥2 ＝2( －1)＝2 －2.4－ 23 3 310．4解析 由 x0， y0，lg 2x＋lg 8 y＝lg 2，得 lg 2x8y＝lg 2，即 2x＋3 y＝2，所以 x＋3 y＝1，故 ＋ ＝( ＋ )(x＋3 y)＝2＋ ＋ ≥2＋2 ＝4，1x 13y 1x 13y 3yx x3y 3yx·x3y当且仅当 ＝ ，即 x＝ ， y＝ 时取等号，3yx x3y 12 16所以 ＋ 的最小值为 4.1x 13y11．(－∞，－1)∪(3，＋∞)解析 不等式可化为 m(x－1)＋ x2－4 x＋30 在 0≤ m≤4 时恒成立．令 f(m)＝ m(x－1)＋ x2－4 x＋3.则Error! ⇒Error!⇒Error!即 x3.12．1解析 由 x2－3 xy＋4 y2－ z＝0，得 z＝ x2－3 xy＋4 y2，∴ ＝ ＝ ≤ ＝1，xyz xyx2－ 3xy＋ 4y2 1xy＋ 4yx－ 3 124－ 3当且仅当 x＝2 y 时取等号．此时 z＝2 y2，∴ ＋ － ＝ ＋ － ＝－( )2＋ ＝－( －1) 2＋1≤1.2x 1y 2z 22y 1y 22y2 1y 2y 1y13．9解析 ∵ x－1，∴ x＋10，设 x＋1＝ t0，则 x＝ t－1，5于是有 y＝ ＝ ＝ t＋ ＋5≥2 ＋5＝9， t＋ 4  t＋ 1t t2＋ 5t＋ 4t 4t t·4t当且仅当 t＝ ，即 t＝2 时取等号，此时 x＝1.4t∴当 x＝1 时，函数 y＝ 取得最小值 9. x＋ 5  x＋ 2x＋ 114．2 560解析 设每天调出 A 型卡车 x 辆， B 型卡车 y 辆，公司所花的费用为 z 元，则目标函数 z＝320 x＋504 y(x， y∈N)．由题意可得，Error!作出上述不等式组所确定的平面区域即可行域，如图中阴影部分所示．结合图形可知， z＝320 x＋504 y 在可行域内经过的整数点中，点(8,0)使 z＝320 x＋504 y 取得最小值， zmin＝320×8＋504×0＝2 560.故每天调出 A 型卡车 8 辆，公司所花费用最低．1【步步高】 （江苏专用）2017 版高考数学 专题 7 不等式 54 与不等式有关的创新题型 文训练目标 与不等式有关的创新题型，突破创新问题的解决方法.训练题型(1)不等式解法中的条件创新；(2)基本不等式应用形式的创新；(3)与其他知识结合的创新.解题策略对不同条件进行综合分析、变形、转化，找出问题实质，使之化归为常见“模型” ，再应用相应的不等式知识使问题解决.1．已知点 An(n， an)(n∈N *)都在函数 y＝ ax(a0， a≠1)的图象上，则 a3＋ a7与 2a5的大小关系是________．2．(2015·北京西城区一模)在 R 上定义运算： x y＝ x(1－ y)．若不等式( x－ y) (x＋ y)f(2)的解集为________．5．(2015·重庆一诊)已知函数 f(x)＝ x－4＋ ， x∈(0,4)，当 x＝ a 时， f(x)取得最小9x＋ 1值 b，则函数 g(x)＝( )|x＋ b|的图象为________．1a26．在算式“4×△＋1×○＝30”中的△，○中，分别填入两个正整数，使它们的倒数和最小，则这两个数构成的数对(△，○)应为__________．7．用 C(A)表示非空集合 A 中的元素个数，定义| A－ B|＝Error!若 A＝{1,2}，B＝{ x||x2＋2 x－3|＝ a}，且| A－ B|＝1，由 a 的所有可能值构成的集合为 S，那么 C(S)＝________.8．如果关于 x 的不等式 f(x)0)的图象经过点 P(1,3)，如图所示，则 ＋ 的最小值为4a－ 1 1b________．10．(2015·长沙二模)设不等式Error!所表示的平面区域为 Dn，记 Dn内的格点( x， y)(x， y∈Z)的个数为 f(n)(n∈N *)．(注：格点是指横坐标、纵坐标均为整数的点)(1)求 f(1)， f(2)的值及 f(n)的表达式；(2)记 Tn＝ ，若对于任意 n∈N *，总有 Tn≤ m 成立，求实数 m 的取值范围；f n f n＋ 12n(3)设 Sn为数列{ bn}的前 n 项和，其中 bn＝2 f(n)，问是否存在正整数 n， t，使2a5 2.(－ ， )12 323．[－25，－24)∪(0,1]4．(－∞，－2)∪(3.5,5]解析 由流程图知f(x)＝Error! 所以 f(2)＝4，所以由 f(x)f(2)，得Error! 或Error!或Error!解得 x1， b0)．＋ ＝ [(a－1)＋ b]( ＋ )＝ ×(5＋ ＋ )≥ ×(5＋4)＝ .4a－ 1 1b 12 4a－ 1 1b 12 4ba－ 1 a－ 1b 12 92当且仅当 a－1＝2 b＝ 时取等号．4310．解 (1) f(1)＝3， f(2)＝6.由 x0,0y≤－ nx＋3 n，得 0x3.又 x∈N *，所以 x＝1 或 x＝2.当 x＝1,0 y≤2 n 时，共有 2n 个格点；当 x＝2,0 y≤ n 时，共有 n 个格点．故 f(n)＝ n＋2 n＝3 n.(2)由(1)知 Tn＝ ，9n n＋ 12n则 Tn＋1 ＝ ，9 n＋ 1  n＋ 22n＋ 1则 Tn＋1 － Tn＝ .9 n＋ 1  2－ n2n＋ 1所以当 n≥3 时， Tn＋1 Tn.5又 T1＝9 T2＝ T3＝ ，所以 Tn≤ ，故 m≥ .272 272 272(3)假设存在满足题意的 n 和 t，由(1)知 bn＝2 3n＝8 n，故 Sn＝ .8 8n－ 17则 ＝ .Sn－ tbnSn＋ 1－ tbn＋ 1 8 8n－ 1 － 7t·8n8 8n＋ 1－ 1 － 7t·8n＋ 1116变形得 ，8n 8－ 7t － 88n＋ 1 8－ 7t － 8116即 0.8n 8－ 7t － 152[8n 8－ 7t － 1]所以 18n(8－7 t)15.由于 n， t 均为正整数，所以 n＝ t＝1.