（江苏专用）2017版高考数学 专题10 概率与统计习题 文（打包5套）.zip

1【步步高】 （江苏专用）2017 版高考数学 专题 10 概率与统计 75 抽样方法 文训练目标 掌握抽样方法的应用，会解决与抽样方法有关的问题.训练题型(1)抽样方法的选择；(2)利用系统抽样、分层抽样求样本数据；(3)抽样方法的应用.解题策略(1)熟记各类抽样方法的定义，弄清各类抽样方法的区别与联系，特别是系统抽样与分层抽样；(2)保持抽样的“等可能性”是解决问题的关键.1．(2015·海口调研)某校三个年级共有 24 个班，学校为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为 1 到 24，现用系统抽样方法，抽取 4 个班进行调查，若抽到的最小编号为3，则抽取的最大编号为________．2．要完成下列两项调查：①从某社区 125 户高收入家庭、280 户中等收入家庭、95 户低收入家庭中选出 100 户调查社会购买力的某项指标；②从某中学的 15 名艺术特长生中选出 3名调查学习负担情况，宜采用的抽样方法依次为____________________．3．用系统抽样法(按等距离的规则)要从 160 名学生中抽取容量为 20 的样本，将 160 名学生从 1～160 编号，按编号顺序平均分成 20 组(1～8 号，9～16 号，…，153～160 号)，若第16 组应抽出的号码为 125，则第一组中按此抽签方法确定的号码是________．4．(2015·安徽名校联考)某市电视台为调查节目收视率，想从全市 3 个区按人口数用分层抽样的方法抽取一个容量为 n 的样本，已知 3 个区人口数之比为 2∶3∶5，如果最多的一个区抽出的个体数是 60，那么这个样本的容量为________．5．为了了解参加运动会的 2 000 名运动员的年龄情况，从中抽取 20 名运动员的年龄进行统计分析．就这个问题，下列说法中正确的有________．(填序号)①2 000 名运动员是总体；②每个运动员是个体；③所抽取的 20 名运动员是样本；④样本容量为 20；⑤这个抽样方法可采用随机数法抽样；⑥每个运动员被抽到的机会相等．6．某地区共有 100 000 户居民，该地区城市住户与农村住户之比为 4∶6，现采用分层抽样的方法，调查该地区 1 000 户居民中冰箱的拥有情况，调查结果如下表所示，那么可以估计该地区农村住户中无冰箱的总户数约为______.城市 农村有冰箱 356(户) 440(户)2无冰箱 44(户) 160(户)7.(2015·包头学业水平测试二)从编号为 0,1,2，…，79 的 80 件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量为 5 的样本，若编号为 28 的产品在样本中，则该样本中产品的最大编号为________．8．交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查，假设四个社区驾驶员的总人数为 N，其中甲社区有驾驶员 96人，若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为 12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数 N 为________．9．某单位有 840 名职工，现采用系统抽样法抽取 42 人做问卷调查，将 840 人按1,2，…，840 随机编号，则抽取的 42 人中，编号落入区间[481,720]的人数为________．10．(2015·黄冈模拟)一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了 10 000 人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(如图)，为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这 10 000 人中再用分层抽样方法抽出 100 人进一步调查，则在[2 500,3 000)元/月收入段应抽出________人．11．为了实现素质教育，某校开展“新课改”动员大会，参会的有 100 名教师，1 500 名学生，1 000 名家长，为了解大家对推行“新课改”的认可程度，现采用恰当的方法抽样调查，抽取了 n 个样本，其中教师与家长共抽取了 22 名，则 n＝________.12．(2015·潍坊模拟)某校对高三年级 1 600 名男女学生的视力状况进行调查，现用分层抽样的方法抽取一个容量是 200 的样本，已知样本中女生比男生少 10 人，则该校高三年级的女生人数是________．13．利用简单随机抽样的方法，从样本的 n(n13)个数据中抽取 13 个，依次抽取，若第二次抽取后，余下的每个数据被抽取的概率为 ，则在整个抽取过程中，每个数据被抽取的概136率为________．14．某单位 200 名职工的年龄分布情况如图，现要从中抽取 40 名职工作样本．用系统抽样法，将全体职工随机按 1～200 编号，并按编号顺序平均分为 40 组(1～5 号，6～10 号，…，196～200 号)．若第 5 组抽出的号码为 22，则第 8 组抽出的号码应是__________．若用分层抽样法，则 40 岁以下年龄段应抽取________人．3答案解析1．21 2.分层抽样，随机抽样 3.5 4.1205．④⑤⑥ 6.16 000 7.76 8.808 9.1210．2511．52解析 根据题意可知采用分层抽样的方法最为合适，参会人数为 100＋1 500＋1 000＝2 600，设抽取教师 x 名，家长 y 名，则 x＋ y＝22，又 ＝ ＝ ， ＝ ，x100 y1 000 n2 600 x＋ y1 100 n2 600故 n＝52.12．760解析 设样本中女生 x 人，则男生 x＋10 人，所以 x＋ x＋10＝200，得 x＝95，设该校高三年级的女生有 y 人，则根据分层抽样的定义可知 ＝ ，y1 600 95200解得 y＝760.13.13398解析 由题意知 ＝ ，解得 n＝398，11n－ 2 136所以在整个抽取过程中，每个数据被抽取的概率为 .1339814．37 20解析 方法一 由系统抽样法知，第 1 组抽出的号码为 2，则第 8 组抽出的号码为2＋5×7＝37；若用分层抽样法抽取，则 40 岁以下年龄段应抽取 ×40＝20(名)．12方法二 由系统抽样法知，第 5 组抽出的号码为 22，而分段间隔为 5，则第 6 组抽取的号码应为 27，第 7 组抽取的号码应为 32，第 8 组抽取的号码应为 37.由图知 40 岁以下的人数为100 人，抽取的比例为 ＝ ，所以 100× ＝20 为应抽取的人数．40200 15 151【步步高】 （江苏专用）2017 版高考数学 专题 10 概率与统计 76 用样本估计总体 文训练目标掌握用样本估计总体的常用方法，会求样本数据的数字特征，会利用样本的数字特征估计总体.训练题型(1)求样本数据的数字特征；(2)频率直方图、茎叶图的应用；(3)用样本数字特征估计总体数字特征.解题策略(1)熟记数字特征的计算公式；(2)掌握频率直方图、茎叶图的画法与应用方法；(3)掌握常用的一些关于数字特征的重要结论.1．(2015·济南重点中学期末联考)如图是 2014 年某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和众数依次为________．2．(2015·安庆模拟)某苗圃基地为了解基地内甲、乙两块地种植的同一种树苗的长势情况，从两块地中各随机抽取了 10 株树苗，用茎叶图表示上述两组数据，对两块地抽取的树苗的高度的平均数 甲 ， 乙 和中位数 y 甲 ， y 乙 进行比较，下面结论正确的是________．x① 甲 乙 ， y 甲 y 乙 ；② 甲 y 乙 ；④ 甲 乙 ， y 甲 s ，2甲 2乙∴乙稳定，③是假命题；④样本数据落在[114.5,124.5)内的有 120,122,116,120，共 4 个，故所求频率为 ＝0.4，④是真命题．410综上，真命题的个数为 2.9．3 － 5,3sx解析 ∵ x1， x2，…， xn的平均数为 ，x∴3 x1－5,3 x2－5，…，3 xn－5 的平均数为 3 －5，方差( s′) 2＝ [(3x1－5－3 ＋5) 2＋…＋(3 xn－5－3 ＋5) 2]1n＝ ×32×[(x1－ )2＋…＋( xn－ )2]1n＝3 2× ×[(x1－ )2＋…＋( xn－ )2]1n＝9 s2∴标准差 s′＝3 s.10． nmx解析 由图可知，30 名学生得分的中位数为第 15 个数和第 16 个数(分别为 5,6)的平均数，5即 m＝5.5；又 5 出现次数最多，故 n＝5；＝ ≈5.97，x2×3＋ 3×4＋ 10×5＋ 6×6＋ 3×7＋ 2×8＋ 2×9＋ 2×1030故 nm .11．乙解析 从图中可知乙的四次测试成绩波动较小，故方差较小，则乙的成绩较稳定．12．0.005解析 由题意知组距为 10，根据频率分布直方图得(0.04＋0.03＋0.02＋2 a)×10＝1，解得 a＝0.005.13．0.3解析 因为 a1， a2，…， a10这 10 个数据的样本平均数为 ，方差为 0.33，x所以 10 ＝ a1＋ a2＋…＋ a10，x(a1－ )2＋( a2－ )2＋…＋ (a10－ )2＝10×0.33＝3.3，x所以 a1， a2，…， a10， 这 11 个数据的平均数为 ，x方差为 ＝ ＝0.3， a1－ x 2＋  a2－ x 2＋ …＋  a10－ x 2＋  x－ x 211 3.311故答案为 0.3.14．1,1,3,3解析 假设这组数据按从小到大的顺序排列为 x1， x2， x3， x4，则Error! ∴Error!又 s＝ 14[ x1－ 2 2＋  x2－ 2 2＋  x3－ 2 2＋  x4－ 2 2]＝12 x1－ 2 2＋  x2－ 2 2＋  4－ x2－ 2 2＋  4－ x1－ 2 2＝ ＝1，122[ x1－ 2 2＋  x2－ 2 2]∴( x1－2) 2＋( x2－2) 2＝2.同理可求得( x3－2) 2＋( x4－2) 2＝2.由 x1， x2， x3， x4均为正整数，且( x1， x2)，( x3， x4)均为方程( x－2) 2＋( y－2) 2＝2 的解，分析知 x1， x2， x3， x4应为 1,1,3,3.1【步步高】 （江苏专用）2017 版高考数学 专题 10 概率与统计 77 古典概型 文训练目标 理解古典概型的概念、会求古典概型的概率.训练题型(1)求简单古典概型的概率；(2)与其他知识交汇求古典概型的概率；(3)古典概型的应用.解题策略读懂题目，抓住解决问题的实质，即：确定基本事件个数及所求事件包含基本事件的个数.1．某位同学进行投球练习，连投了 10 次，恰好投进了 8 次，若用 A 表示投进球这一事件，则 A 的频率为________．2．(2015·江西临川二中一模)同时投掷两个骰子，则向上的点数之差的绝对值为 4 的概率是________．3．若有 2 位老师，2 位学生站成一排合影，则每位老师都不站在两端的概率是________．4．(2015·广州二模)有两张卡片，一张的正反面分别写着数字 0 与 1，另一张的正反面分别写着数字 2 与 3，将两张卡片排在一起组成两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是________．5．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为 a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为 b，其中 a， b∈{1,2,3,4,5,6}，若| a－ b|≤1，就称甲、乙“心相近”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心相近”的概率为________．6．(2015·辽宁师范大学附中模拟)一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为a， b， c，当且仅当 ab， b 的概率是________．x2a2 y2b2 3214．如图所示，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是 1,2,3,4 中的任何一个，允许重复，则填入 A 方格的数字大于 B 方格的数字的概率为________．3答案解析1.452.19解析 同时抛掷两个骰子，基本事件总数为 36，记“向上的点数之差的绝对值为 4”为事件 A，则事件 A 包含的基本事件有(1,5)，(2,6)，(5,1)，(6,2)，共 4 个，故 P(A)＝ ＝ .436 193.16解析 设两位老师分别为 A， B，两位学生分别为 C， D，则他们站成一排合影的所有基本事件为ABCD， ABDC， ACBD， ACDB， ADBC， ADCB， BACD， BADC， BCAD， BCDA， BDAC， BDCA， CABD， CADB， CBAD， CBDA， CDBA， CDAB， DABC， DACB， DBAC， DBCA， DCAB， DCBA，共有 24 个，每位老师都不站在两端的基本事件为 CABD， CBAD， DABC， DBAC，共有 4 个，故所求概率为P＝ ＝ .424 164.12解析 将两张卡片排在一起组成两位数，则所组成的两位数有 12,13,20,21,30,31，共 6 个，两位数为奇数的有 13,21,31，共 3 个，故所组成的两位数为奇数的概率为 ＝ .36 125.49解析 试验包含的所有事件共有 6×6＝36 种，其中满足题设条件的有如下情形：若 a＝1，则 b＝1,2；4若 a＝2，则 b＝1,2,3；若 a＝3，则 b＝2,3,4；若 a＝4，则 b＝3,4,5；若 a＝5，则 b＝4,5,6；若 a＝6，则 b＝5,6.即满足题设条件的情形共有 16 种，故他们“心相近”的概率为 P＝ ＝ .1636 496.13解析 由于 a， b， c∈{1,2,3,4}，且 a， b， c 互不相同，故可得 24 个三位数．若 b＝1，则“凹数”有 213,214,312,314,412,413，共 6 个；若 b＝2，则“凹数”有 324,423，共 2 个，所以这个三位数为“凹数”的概率为 ＝ .824 137.25解析 如图为正六边形 ABCDEF,6 个顶点中随机选择 4 个顶点，共有 15 种选法，其中构成的四边形是梯形的有 ABEF、 BCDE、 ABCF、 CDEF、 ABCD、 ADEF，共6 种情况，故构成的四边形是梯形的概率为 P＝ ＝ .615 258.19解析 分类讨论法求解．个位数与十位数之和为奇数，则个位数与十位数中必一个奇数一个偶数，所以可以分两类．(1)当个位为奇数时，有 5×4＝20(个)符合条件的两位数．(2)当个位为偶数时，有 5×5＝25(个)符合条件的两位数．因此共有 20＋25＝45(个)符合条件的两位数，其中个位数为 0 的两位数有 5 个，所以所求概率为 P＝ ＝ .545 1959.12解析 设“取出两件产品全是正品”为事件 A，三件正品的编号分别为 a， b， c，一件次品的编号为 d，则基本事件有 ab， ac， ad， bc， bd， cd 共 6 个，事件 A 包含的基本事件为ab， ac， bc 共 3 个．因此 P(A)＝ ＝ .36 1210.79解析 由题意可知本题是一个古典概型，因为试验发生包含的事件是从两个集合中各取一个数字，所以共有 9 种结果，满足条件的事件是函数 y＝log ＝－log x 是一个减函数，只要底数大于 1，列举出所有的ba1x ba情况有a＝1， b＝2； a＝1， b＝4； a＝1， b＝6；a＝2， b＝4； a＝2， b＝6； a＝3， b＝4；a＝3， b＝6，共 7 种结果，所以概率是 P＝ .7911.37解析 因为| A |＝ ≤4，所以 k2≤15，B→ k2＋ 1又因为 k∈Z，所以 k∈{－3，－2，－1,0,1,2,3}，在△ ABC 中， ＝ － ＝(2－ k,3)，BC→ AC→ AB→ 若△ ABC 为直角三角形，则 A ·A ＝0，C→ B→ 或 A ·B ＝0，B→ C→ 或 A ·B ＝0，C→ C→ 解得 k＝－2，或 k＝3，或 k＝－1，或 k＝8(舍去)，满足条件的有 3 个，所以所求概率为 .3712. 13 146解析 第二次能打开门说明第一次是从不能打开门的钥匙中取一，第二次是从能打开门的钥匙中取一，第二次打开门这个事件包含的基本事件数为 2×2＝4，基本事件总数为4×3＝12，所求概率为 P1＝ ＝ .如果试过的钥匙不扔掉，基本事件总数为 4×4＝16，所412 13求概率为 P2＝ ＝ .416 1413.13解析 当 ab 时， e＝ ⇒ 2b，1－ b2a2 32 ba12符合 a2b 的情况：当 b＝1 时， a＝3,4,5,6；当 b＝2 时， a＝5,6，总共有 6 种情况，则概率为 ＝ .636 16同理，当 a 的概率也为 ，32 16综上可知， e 的概率为 .32 1314.38解析 只考虑 A， B 两个方格的排法，不考虑大小，A， B 两个方格有 16 种填法，要使填入 A 方格的数字大于 B 方格的数字，则从 1,2,3,4 中选 2 个数字，大的放入 A 方格，小的放入 B 方格，有(4,3)，(4,2)，(4,1)，(3,2)，(3,1)，(2,1)，共有 6 种填法，故填入 A 方格的数字大于 B 方格的数字的概率为 ＝ .616 381【步步高】 （江苏专用）2017 版高考数学 专题 10 概率与统计 78 几何概型 文训练目标 会利用几何概型的计算公式求几何概型的概率.训练题型 (1)长度型；(2)面积型；(3)体积型；(4)几何概型应用.解题策略(1)理解并会应用计算公式；(2)利用图形的几何性质求面积、体积，复杂图形可利用分割法、补形法.1．(2015·衡水一模)在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 C，现作一矩形，邻边长分别等于线段 AC， CB 的长，则该矩形的面积大于 20 cm2的概率为________．2．(2015·咸阳二模)已知一只蚂蚁在圆： x2＋ y2＝1 的内部任意随机爬行，若不考虑蚂蚁的大小，则某时刻该蚂蚁爬行在区域| x|＋| y|≤1 内的概率是________．3．(2015·烟台诊断)设点( a， b)是区域Error!内的随机点，函数 y＝ ax2－4 bx＋1 在区间[1，＋∞)上是增函数的概率为________．4．已知函数 f(x)＝ x2－ x－2， x∈[－5,5]，若从区间[－5,5]内随机选取一个实数 x0，则所取的实数 x0满足 f(x0)≤0 的概率为________．5.如图，边长为 2 的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为 ，则阴影区域的面积 S 为________．236．(2015·郑州模拟)如图所示，在圆心角为 90°的扇形中，以圆心 O 为起点作射线 OC，则使得∠ AOC 和∠ BOC 都不小于 15°的概率为________．7．在区间[0,1]上任取三个数 a， b， c，若点 M 在空间直角坐标系 O－ xyz 中的坐标为(a， b， c)，则| |≤1 的概率是________．OM→ 8．在区间[0，π]上随机取一个数 x，则 sin x≤ 的概率为________．329．在△ ABC 的边 AB 上随机取一点 P，记△ CAP 和△ CBP 的面积分别为 S1和 S2，则 S12S2的概率是________．210．一只小蜜蜂在一个棱长为 30 的正方体玻璃容器内随机飞行，若蜜蜂在飞行过程中与正方体玻璃容器 6 个表面中至少有一个的距离不大于 10，则就有可能撞到玻璃上而不安全；若始终保持与正方体玻璃容器 6 个表面的距离均大于 10，则飞行是安全的．假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到每一位置的可能性相同，那么蜜蜂飞行是安全的概率是________．11．(2015·株洲三校联考)假设在时间间隔 T 内的任何时刻，两条不相关的短信机会均等地进入同一部手机，若这两条短信进入手机的间隔时间不大于 t(00 的概率为________．14．有四个游戏盘，如下图所示，如果撒一粒黄豆落在阴影部分，则可中奖，小明希望中奖机会大，他应当选择的游戏盘为________．3答案解析1. 2.23 2π3.13解析 由题意可知， a0，且 b0.由函数 y＝ ax2－4 bx＋1 在区间[1，＋∞)上是增函数，得Error! 即Error!易知不等式组Error!表示的平面区域的面积为 8，解方程组Error!得Error!故不等式组Error!表示的平面区域的面积为 ×4× ＝ ，12 43 83所以所求概率为 ＝ .838 134．0.3 5.836.23解析 设事件“使得∠ AOC 和∠ BOC 都不小于 15°”为事件 A，依题意可知∠ AOC∈[15°，75°]，∠ BOC∈[15°，75°]，故 OC 活动区域为与 OA， OB 构成的角均为 15°的扇形区域，可求得该扇形的圆心角为 90°－30°＝60°.故 P(A)＝ ＝ ＝ .OC活 动 区 域 的 圆 心 角 度 数∠ AOB的 度 数 60°90°237.π 6解析 由题意知点 M 的活动区域构成了一个棱长为 1 的正方体，如图所示，其体积 V＝1，其中满4足| |≤1 的区域是以 O 为球心，1 为半径的球的 ，其体积为 V′＝ × ×π×1 3＝ ，所OM→ 18 18 43 π 6以满足条件的概率为 ＝ .V′V π 68.23解析 由 sin x≤ ， x∈[0，π]，得 x∈[0， ]∪[ ，π]，∴所求概率为 ＝ .32 π 3 2π3 π 3＋ π 3π 239.13解析 如图所示，点 D 在△ ABC 的边 AB 上，且满足 AD＝2 DB，那么当且仅当点 P 在线段 DB 上时，满足 S12S2，所以所求的概率为 .1310.127解析 记“蜜蜂能够安全飞行”为事件 A，根据题意知，它位于与正方体玻璃容器 6 个表面的距离均大于 10 的区域飞行时是安全的，故 P(A)＝ ＝ .103303 12711．1－(1－ )2tT解析 分别设两个互相独立的信号为 x， y，则所有事件集可表示为 0≤ x≤ T,0≤ y≤ T，由题目得，如果手机受到干扰的事件发生，必有| x－ y|≤ t，这时 x， y 满足Error!约束条件Error!的可行域为如图阴影部分，而所有事件的集合即为如图正方形部分，阴影区域面积为 T2－2× (T－ t)2＝ T2－( T－ t)2，125所以阴影区域面积和正方形面积的比值即为干扰发生的概率，即 1－(1－ )2.tT12．1－ π564解析 ∵ A(2,1)， B(1，－2)， C( ，－ )， P(a， b)，34 15∴ O ·O ＝2 a＋ b，且 O ·O ＝ a－2 b，P→ A→ P→ B→ ∵0≤ O ·O ≤2 且 0≤ O ·O ≤2，P→ A→ P→ B→ ∴0≤2 a＋ b≤2 且 0≤ a－2 b≤2.作出不等式组对应的平面区域如图．∵点 P 到点 C 的距离大于 ，14∴ CP ，14则对应的部分为阴影部分，由Error! 解得Error!即 E( ， )， OE＝ ＝ ，45 25  45 2＋  25 2 45∴正方形 OEFG 的面积为 × ＝ ，45 45 45则阴影部分的面积为 －π×( )2＝ － ，45 14 45 π16∴根据几何概型的概率公式可知所求的概率为 ＝1－ .45－ π1645 5π6413.2332解析 6建立如图所示的平面直角坐标系，a， b 满足的范围就是边长为 4 的正方形区域，又 f′( x)＝－3 x2＋ ax＋ b， f′(1)0，所以 a＋ b3，不等式表示直线 a＋ b＝3 的右上方区域，故所求的概率为 1－ ＝ .12×3×34×4 233214．①解析 ①中 P1＝ ，②中 P2＝ ＝ ，38 26 13③中设正方形边长为 2，则 P3＝ ＝ ，4－ π ×124 4－ π4④中设圆直径为 2，则 P4＝ ＝ .12×2×1π 1π在 P1， P2， P3， P4中， P1最大．1【步步高】 （江苏专用）2017 版高考数学 专题 10 概率与统计 79 概率的中档大题 文训练目标 对古典概型、几何概型及统计与概率结合的解答题进行规范训练.训练题型 (1)古典概型；(2)几何概型；(3)统计与概率综合问题.解题策略 分清概率模型，准确套用相应的公式进行计算.1．(2015·广东佛山一中等三校联考)高三某班有两个数学课外兴趣小组，第一组有 2 名男生，2 名女生，第二组有 3 名男生，2 名女生，现在班主任老师要从第一组选出 2 人，从第二组选出 1 人，请他们在班会上和全班同学分享学习心得．(1)求选出的 3 人均是男生的概率；(2)求选出的 3 人中有男生也有女生的概率．2．据《中国新闻网》报道，全国很多省市将英语考试作为高考改革的重点，一时间“英语考试该如何改”引起广泛关注．为了解某地区学生和包括老师、家长在内的社会人士对高考英语改革的看法，某媒体在该地区选择了 3 600 人调查(若所选择的在校学生的人数低于被调查人群总数的 80%，则认为本次调查“失效”)，就“是否取消英语听力”的问题，调查统计的结果如下表：态度调查人群 应该取消 应该保留 无所谓在校学生 2 100 人 120 人 y 人社会人士 600 人 x 人 z 人已知在全体样本中随机抽取 1 人，抽到持“应该保留”态度的人的概率为 0.05.(1)现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取 360 人进行深入访谈，问应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人？(2)已知 y≥657， z≥55，求本次调查“失效”的概率．3．一个袋中装有 5 个形状、大小完全相同的球，其中有 2 个红球，3 个白球，(1)从袋中随机取出两个球，求取出的两个球颜色不同的概率；(2)从袋中随机取一个球，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，求两次取出的球中至少有一个红球的概率．24．(2015·西安西北工业大学附中二模)甲、乙两人进行两种游戏，两种游戏规则如下：游戏Ⅰ：口袋中有质地、大小完全相同的 5 个球，编号分别为 1,2,3,4,5，甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢．游戏Ⅱ：口袋中有质地、大小完全相同的 6 个球，其中 4 个白球，2 个红球，由裁判有放回地摸两次球，即第一次摸出记下颜色后放回再摸第二次，摸出两球同色算甲赢，摸出两球不同色算乙赢．(1)求游戏Ⅰ中甲赢的概率．(2)求游戏Ⅱ中乙赢的概率，并比较这两种游戏哪种游戏更公平，试说明理由．5．有一枚正方体骰子，六个面分别写有数字 1,2,3,4,5,6，规定抛掷该枚骰子得到的数字是抛掷后面向上的那一个数字．已知 b 和 c 是先后抛掷该骰子得到的数字，函数 f(x)＝ x2＋ bx＋ c(x∈R)．(1)若先抛掷骰子得到的数字是 3，求再次抛掷骰子时，函数 y＝ f(x)有零点的概率；(2)求函数 y＝ f(x)在区间(－3，＋∞)上是增函数的概率．3答案解析1．解 (1)记第一组的 4 人分别为 A1， A2， a1， a2；第二组的 5 人分别为 B1， B2， B3， b1， b2.设“从第一组选出 2 人，从第二组选出 1 人”组成的基本事件空间为 Ω ，则 Ω ＝{( A1， A2， B1)，( A1， A2， B2)，( A1， A2， B3)，( A1， A2， b1)，( A1， A2， b2)，(A1， a1， B1)，( A1， a1， B2)，( A1， a1， B3)，( A1， a1， b1)，( A1， a1， b2)，( A1， a2， B1)，(A1， a2， B2)，( A1， a2， B3)，( A1， a2， b1)，( A1， a2， b2)，( A2， a1， B1)，( A2， a1， B2)，(A2， a1， B3)，( A2， a1， b1)，( A2， a1， b2)，( A2， a2， B1)，( A2， a2， B2)，( A2， a2， B3)，(A2， a2， b1)，( A2， a2， b2)，( a1， a2， B1)，( a1， a2， B2)，( a1， a2， B3)，( a1， a2， b1)，(a1， a2， b2)}，共有 30 个．设“选出的 3 人均是男生”为事件 A，则事件 A 含有 3 个基本事件．∴ P(A)＝ ＝ ，330 110∴选出的 3 人均是男生的概率为 .110(2)设“选出的 3 个人有男生也有女生”为事件 B，则事件 B 含有 25 个基本事件，∴ P(B)＝ ＝ ，2530 56∴选出的 3 人中有男生也有女生的概率为 .562．解 (1)∵抽到持“应该保留”态度的人的概率为 0.05，∴ ＝0.05，120＋ x3 600解得 x＝60.∴持“无所谓”态度的人数共有 3 600－2 100－120－600 －60＝720.∴应在持“无所谓”态度的人中抽取 720× ＝72 人．3603 600(2)∵ y＋ z＝720， y≥657， z≥55，∴满足条件的( y， z)有(657,63)，(658,62)，(659,61)，(660,60)，(661,59)，(662,58)，4(663,57)，(664,56)，(665,55)，共 9 种，记本次调查“失效”为事件 A，若调查失效，则 2 100＋120＋ y3 600×0.8，解得 y660.∴事件 A 包含(657,63)，(658,62)，(659,61)，共 3 种，∴ P(A)＝ ＝ .39 133．解 (1)2 个红球记为 a1， a2,3 个白球记为 b1， b2， b3.从袋中随机取两个球，其中一切可能的结果组成的基本事件有( a1， a2)，( a1， b1)，( a1， b2)，(a1， b3)，( a2， b1)，( a2， b2)，( a2， b3)，( b1， b2)，( b1， b3)，( b2， b3)，共 10 个，设事件 A 为“取出的两个球颜色不同” ，A 中的基本事件有( a1， b1)，( a1， b2)，( a1， b3)，( a2， b1)，( a2， b2)，( a2， b3)，共 6 个，故 P(A)＝ ＝ .610 35(2)从袋中随机取一个球，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，其一切可能的结果组成的基本事件有：(a1， a1)，( a1， a2)，( a1， b1)，( a1， b2)，( a1， b3)，(a2， a1)，( a2， a2)，( a2， b1)，( a2， b2)，( a2， b3)，(b1， a1)，( b1， a2)，( b1， b1)，( b1， b2)，( b1， b3)，(b2， a1)，( b2， a2)，( b2， b1)，( b2， b2)，( b2， b3)，(b3， a1)，( b3， a2)，( b3， b1)，( b3， b2)，( b3， b3)，共 25 个．设事件 B 为“两次取出的球中至少有一个红球” ，B 中的基本事件有：(a1， a1)，( a1， a2)，( a1， b1)(a1， b2)，( a1， b3)，( a2， a1)，( a2， a2)，( a2， b1)，( a2， b2)，(a2， b3)，( b1， a1)，( b1， a2)，( b2， a1)，( b2， a2)，( b3， a1)，( b3， a2)，共 16 个，所以 P(B)＝ .16254．解 (1)∵游戏Ⅰ中有放回地依次摸出两球的基本事件有 5×5＝25 个，其中甲赢有(1,1)，(1,3)，(1,5)，(2,2)，(2,4)，(3,3)，(3,5)，(5,5)，(3,1)，(5,1)，(5,3)，(4,4)，(4,2)，共 13 个基本事件，∴游戏Ⅰ中甲赢的概率为 P＝ .1325(2)设 4 个白球为 a， b， c， d,2 个红球为 A， B，则游戏Ⅱ中有放回地依次摸出两球的基本事件有56×6＝36 个，其中乙赢有( a， A)，( b， A)，( c， A)，( d， A)，( a， B)，( b， B)，( c， B)，( d， B)，( A， a)，(A， b)，( A， c)，( A， d)，( B， a)，( B， b)，( B， c)，( B， d)，共 16 个基本事件，∴游戏Ⅱ中乙赢的概率为 P′＝ ＝ ，1636 49∵| － || － |，1325 12 49 12∴游戏Ⅰ更公平．5．解 (1)记“函数 f(x)＝ x2＋ bx＋ c(x∈R)有零点”为事件 A，由题意知， b＝3， c＝1,2,3,4,5,6，∴所有的基本事件为(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，共 6 个．当函数 f(x)＝ x2＋ bx＋ c(x∈R)有零点时，方程 x2＋ bx＋ c＝0 有实数根，即 Δ ＝ b2－4 c≥0，∴ c≤ ，∴ c＝1 或 2，94即事件 A 包含 2 个基本事件，∴函数 f(x)＝ x2＋ bx＋ c(x∈R)有零点的概率 P(A)＝ ＝ .26 13(2)由题意可知，所有的基本事件为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，…，(6,5)，(6,6)，共 36 个．记“函数 y＝ f(x)在区间(－3，＋∞)上是增函数”为事件 B.∵ y＝ f(x)的图象开口向上，∴要想使函数 y＝ f(x)在区间(－3，＋∞)上是增函数，只需令－ ≤－3 即可，b2解得 b≥6，∴ b＝6.∴事件 B 包含的基本事件有 6 个．∴函数 y＝ f(x)在区间(－3，＋∞)上是增函数的概率P(B)＝ ＝ .636 16