（新课标）2017高考数学一轮复习 第六章 不等式、推理与证明习题（打包6套）.zip

12017 高考数学一轮复习 第六章 不等式、推理与证明 第 1 讲 不等关系与一元二次不等式习题A 组 基础巩固一、选择题1．(2015·黑龙江佳木斯第一中学第三次调研)若 a＞ b，则下列不等式中成立的是( )导 学 号 25401373A. ＜ B.a3＞ b31a 1bC． a2＞ b2 D． a＞| b|[答案] B[解析] 若 a＝1， b＝－3，则 ＞ ， a2＜ b2， a＜| b|，所以 A，C，D 错误；设函数 f(x)1a 1b＝ x3，则 f ′( x)＝3 x2≥0，所以函数 f(x)＝ x3为增函数，若 a＞ b，则 a3＞ b3.2．(2015·浙江)设 a， b 是实数，则“ a＋ b＞0”是“ ab＞0”的 ( )导 学 号 25401374A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[答案] D[解析] 若 a＋ b＞0，取 a＝3， b＝－2，则 ab＞0 不成立；反之，若a＝－2， b＝－3，则 a＋ b＞0 也不成立，因此“ a＋ b＞0”是“ ab＞0”的既不充分也不必要条件．3．不等式( a－2) x2＋2( a－2) x－4 － x，当 x＝5 时， － x 最小为－ ，∴ a－ .2x 2x 235 2353．已知 1≤lg xy≤4，－1≤lg ≤2，则 lg 的取值范围是________.xy x2y 导 学 号 25401387[答案] [－1,5][解析] 由 1≤lg xy≤4，－1≤lg ≤2 得 1≤lg x＋lg y≤4，－1≤lg x－lg y≤2，而 lgxy＝2lg x－lg y＝ (lgx＋lg y)＋ (lgx－lg y)，所以－1≤lg ≤5.x2y 12 32 x2y4．已知二次函数 f(x)＝ ax2－( a＋2) x＋1( a∈Z)，且函数 f(x)在(－2，－1)上恰有一个零点，求不等式 f(x)＞1 的解集. 导 学 号 25401388[答案] (－1,0)[解析] ∵ f(x)＝ ax2－( a＋2) x＋1， Δ ＝( a＋2) 2－4 a＝ a2＋4＞0，∴函数 f(x)＝ ax2－( a＋2) x＋1 必有两个不同的零点．因此 f(－2) f(－1)＜0，∴(6 a＋5)(2 a＋3)＜0.∴－ ＜ a＜－ .32 56又 a∈Z，∴ a＝－1.不等式 f(x)＞1 即为－ x2－ x＞0，解得－1＜ x＜0.5．设函数 f(x)＝ mx2－ mx－1. 导 学 号 25401389(1)若对于一切实数 x， f(x)＜0 恒成立，求 m 的取值范围；6(2)若对于 x∈[1,3]， f(x)＜－ m＋5 恒成立，求 m 的取值范围．[答案] (1)－4 m≤0 (2){ m|m }67[解析] (1)要使 mx2－ mx－1＜0 恒成立，若 m＝0，显然－1＜0；若 m≠0，则Error!⇒－4＜ m＜0.所以－4＜ m≤0.(2)要使 f(x)＜－ m＋5 在 x∈[1,3]上恒成立，即 m(x－ )2＋ m－6＜0 在 x∈[1,3]上恒12 34成立．有以下两种方法：方法一 令 g(x)＝ m(x－ )2＋ m－6， x∈[1,3]．12 34当 m＞0 时， g(x)在[1,3]上是增函数，所以 g(x)max＝ g(3)⇒7m－6＜0，所以 m＜ ，所以 0＜ m＜ ；67 67当 m＝0 时，－6＜0 恒成立；当 m＜0 时， g(x)在[1,3]上是减函数，所以 g(x)max＝ g(1)⇒m－6＜0，所以 m＜6，所以 m＜0.综上所述： m 的取值范围是{ m|m＜ }．67方法二 因为 x2－ x＋1＝( x－ )2＋ ＞0，12 34又因为 m(x2－ x＋1)－6＜0，所以 m＜ .6x2－ x＋ 1因为函数 y＝ ＝ 在[1,3]上的最小值为 ，所以只需 m＜ 即可．6x2－ x＋ 1 6 x－ 12 2＋ 34 67 67所以， m 的取值范围是{ m|m＜ }．67[点拨] (1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于 0 就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在 x 轴上方，恒小于 0 就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方．另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．712017 高考数学一轮复习 第六章 不等式、推理与证明 第 2 讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题习题A 组 基础巩固一、选择题1．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线 3x－2 y－ a＝0 的两侧，则 a 的取值范围为 ( )A．(－24,7) B．(－7,24)C．(－∞，－7)∪(24，＋∞) D．(－∞，－24)∪(7，＋∞)[答案] B[解析] 根据题意知(－9＋2－ a)·(12＋12－ a)＜0.即( a＋7)( a－24)＜0，解得－7＜ a＜24.2．在平面直角坐标系 xOy 中，满足不等式组Error!的点( x， y)的集合用阴影表示为下列图中的 ( )[答案] C[解析] | x|＝| y|把平面分成四部分，| x|≤| y|表示含 y 轴的两个区域；| x|＜1 表示x＝±1 所夹含 y 轴的带状区域．3．(2015·福建)若变量 x， y 满足约束条件Error!则 z＝2 x－ y 的最小值等于 ( )A．－ B.－2 52C．－ D．232[答案] A[解析] 作出可行域如图中阴影部分所示，当目标函数 z＝2 x－ y 过点 A(－1， )时，12z＝2 x－ y 取得最小值，且 zmin＝2×(－1)－ ＝－ .故选 A.12 5224．(2015·四川郫县一中第一学期第三次教学质量检测)在平面直角坐标系 xOy 中， M为不等式组Error!所表示的区域上一动点，则直线 OM 斜率的最小值为 ( )A．2 B.1 C．－ D．－13 12[答案] C[解析] 不等式组Error!表示的区域如图，由图可知，当 M 取得点 A(3，－1)时，直线OM 斜率取得最小值，最小值为 k＝ ＝－ ，故选 C.－ 13 135．(2015·北京朝阳第一学期期初联考)已知 a＞0， x， y 满足约束条件Error!若z＝2 x＋ y 的最小值为 1，则 a＝ ( )A. B. 14 12C．1 D．2[答案] B[解析] 如图所示，当直线 z＝2 x＋ y 通过 A 点时， z 取最小值，于是把(1，－2 a)代入，有 1＝2×1＋(－2 a)，所以 a＝ .1236．(2015·陕西)某企业生产甲、乙两种产品均需用 A， B 两种原料．已知生产 1 吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产 1 吨甲、乙产品可获利润分别为 3万元、4 万元，则该企业每天可获得最大利润为 ( )甲 乙 原料限额A(吨) 3 2 12B(吨) 1 2 8A.12 万元 B.16 万元C．17 万元 D．18 万元[答案] D[解析] 根据题意，设每天生产甲 x 吨，乙 y 吨，则Error!，目标函数为 z＝3 x＋4 y，作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线 3x＋4 y＝0 并平移，易知当直线经过点 A(2,3)时， z 取得最大值且 zmax＝3×2＋4×3＝18，故该企业每天可获得最大利润为 18 万元，选 D.二、填空题7．(2015·北京)如图，△ ABC 及其内部的点组成的集合记为 D， P(x， y)为 D 中任意一点，则 z＝2 x＋3 y 的最大值为________.[答案] 7[解析] 由题意，目标函数 z＝2 x＋3 y 的可行域为△ ABC 边界及其内部(如图所示)．令z＝0，即 2x＋3 y＝0，平移直线 2x＋3 y＝0 至目标函数的可行域内，可知当 2x＋3 y＝ z 过点A(2,1)时， z 取得最大值，即 zmax＝2×2＋3×1＝7.48．不等式组Error!表示的区域为 D， z＝ x＋ y 是定义在 D 上的目标函数，则区域 D 的面积为________， z 的最大值为________.[答案] ，5252[解析] 图像的三个顶点分别为(－3，－2)，(2，－2)，(2,3)，所以面积为 .252因为目标函数的最值在顶点处取得，把它们分别代入 z＝ x＋ y，得 x＝2， y＝3 时有zmax＝5.9．(2015·黑龙江哈师大附中期中)已知实数 x， y 满足Error!若 z＝ x2＋ y2，则 z 的最大值为________.[答案] 13[解析] 画出可行域如图， z＝ x2＋ y2＝( )2表示可行域内的点( x， y)和原点x2＋ y2(0,0)距离的平方，可知点 B(2,3)是最优解， zmax＝13.10．已知实数 x， y 满足不等式组Error!目标函数 z＝ y－ ax(a∈R)．若 z 取最大值时的唯一最优解是(1,3)，则实数 a 的取值范围是________.[答案] (1，＋∞)[解析] 作出可行域，可行域为三条直线所围成的区域，则它的最大值在三条直线的交点处取得，三个交点分别为(1,3)，(7,9)，(3,1)，所以Error!所以 a＞1.三、解答题11．变量 x， y 满足Error!(1)设 z＝ ，求 z 的最小值；yx(2)设 z＝ x2＋ y2，求 z 的取值范围；(3)设 z＝ x2＋ y2＋6 x－4 y＋13，求 z 的取值范围．[答案] (1) (2)[2,29] (3)[16,64]255[解析] 由约束条件Error!作出( x， y)的可行域如图所示．由Error! 解得 A(1， )．225由Error! 解得 C(1,1)．由Error! 解得 B(5,2)．(1)因为 z＝ ＝ ，yx y－ 0x－ 0故 z 的值即是可行域中的点与原点 O 连线的斜率．观察图形可知 zmin＝ kOB＝ .25(2)z＝ x2＋ y2的几何意义是可行域上的点到原点 O 的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，dmin＝| OC|＝ ， dmax＝| OB|＝ .2 29则 2≤ x≤29.(3)z＝ x2＋ y2＋6 x－4 y＋13＝( x＋3) 2＋( y－2) 2的几何意义是可行域上的点到点(－3,2)的距离的平方，结合图形可知，可行域上的点到(－3,2)的距离中，dmin＝1－(－3)＝4， dmax＝ ＝8， － 3－ 5 2＋  2－ 2 2则 16≤ z≤64.12．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共 100 个，生产一个卫兵需 5 分钟，生产一个骑兵需 7 分钟，生产一个伞兵需 4 分钟，已知总生产时间不超过 10小时．若生产一个卫兵可获利润 5 元，生产一个骑兵可获利润 6 元，生产一个伞兵可获利润3 元.(1)试用每天生产的卫兵个数 x 与骑兵个数 y 表示每天的利润 ω (元)；(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？[答案] (1) ω ＝2 x＋3 y＋300 (2)卫兵 50 个，骑兵 50 个，伞兵 0 个利润最大为 550元[解析] (1)依题意每天生产的伞兵个数为 100－ x－ y，所以利润 ω ＝5 x＋6 y＋3(100－ x－ y)＝2 x＋3 y＋300.(2)约束条件为Error!6整理得Error!目标函数为 ω ＝2 x＋3 y＋300，作出可行域，如图所示，作初始直线 l0：2 x＋3 y＝0，平移 l0，当 l0经过点 A 时， ω 有最大值，由Error! 得Error!∴最优解为 A(50,50)，此时 ω max＝550 元．故每天生产卫兵 50 个，骑兵 50 个，伞兵 0 个时利润最大，且最大利润为 550 元．B 组 能力提升1．(2015·安徽六安中学调研)已知双曲线 x2－ y2＝4 的两条渐近线与直线 x＝3 围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是 ( )A.Error! B.Error!C.Error! D．Error![答案] A[解析] 双曲线 x2－ y2＝4 的两条渐近线方程为 y＝± x，与直线 x＝3 围成一个三角形区域时，有Error!故选 A.2．(改编题)设变量 x， y 满足约束条件：Error!则 z＝ 的取值范围为2x4y( )导 学 号 25401418A．[ ，4] B.[ ，8]132 116C．[4,32] D．[8,16][答案] A[分析] → →作 出 不 等 式 组 所表 示 的 平 面 区 域 对 所 求 目 标 函 数 进 行 转化 ， 确 定 最 大 、 最 小 值 点 列 出 方 程 组 求 得 相 应 的 坐标 ， 代 入 所 求 即 可 求 得 结 论[解析] 如图所示，作出约束条件Error!确定的可行域，因为 z＝ ＝2 x－2 y，设2x4yt＝ x－2 y，则当直线 x－2 y－ t＝0 过点 C 时，取得最小值，当直线 x－2 y－ t＝0 过点 B 时，取得最大值．由Error! 解得 C(－1,2)；由Error!解得 B(－2，－2)．7所以 t 的最小值为－1－2×2＝－5，最大值为－2－2×(－2)＝2.故 t∈[－5,2]．所以 z＝ ＝2 x－2 y的取值范围为[ ，4]．2x4y 1323．(2015·辽宁葫芦岛统考)设变量 x， y 满足约束条件Error!则 lg(y＋1)－lg x 的取值范围是 ( )A．[0,1－2lg2] B.[1， ]52C．[ ，lg2] D．[－lg2,1－2lg2]12[答案] A[解析] 如图，作出不等式组Error!表示的可行域．lg(y＋1)－lg x＝lg ，设 t＝ ，显然， t 的几何意义是可行域内的点 P(x， y)与y＋ 1x y＋ 1x定点 E(0，－1)连线的斜率．由图可知，点 P 与点 B 重合时， t 取得最小值，点 P 与点 C 重合时， t 取得最大值．由Error! 解得Error!即 B(3,2)．由Error! 解得Error!即 C(2,4)．故 t 的最小值为 kBE＝ ＝1， t 的最大值为 kCE＝ ＝ ，所以2－  － 13 4－  － 12 52t∈[1， ]．52又函数 y＝lg x 为(0，＋∞)上的增函数，所以 lgt∈[0，lg ]，52即 lg(y＋1)－lg x 的取值范围为[0，lg ]．52而 lg ＝1－2lg2，52所以 lg(y＋1)－lg x 的取值范围为[0,1－2lg2]．故选 A.4．已知变量 x， y 满足约束条件Error!且有无穷多个点( x， y)使目标函数 z＝ x＋ my 取得最小值，求 m 的值.[答案] 18[分析] → →作 出 可 行 域对 参 数 m进行 分 类 讨 论 数 形 结 合 得 到 满足 题 意 的 m的 值[解析] 作出线性约束条件表示的平面区域，如图中阴影部分所示．若 m＝0，则 z＝ x，目标函数 z＝ x＋ my 取得最小值的最优解只有一个，不符合题意．若 m≠0，则目标函数 z＝ x＋ my 可看作斜率为－ 的动直线 y＝－ x＋ ，1m 1m zm若 m＜0，则－ ＞0，数形结合知使目标函数 z＝ x＋ my 取得最小值的最优解不可能有无1m穷多个；若 m＞0，则－ ＜0，数形结合可知，当动直线与直线 AB 重合时，有无穷多个点( x， y)1m在线段 AB 上，使目标函数 z＝ x＋ my 取得最小值，即－ ＝－1，则 m＝1.1m综上可知， m＝1.[点拨] 最优解有无穷多个，往往是指目标函数取得最值时所表示的直线与可行域中的一条直线重合．据此，本题也可以让目标函数所表示的直线与可行域中的每条边界直线重合，从而求解，利用这种方法求解时，切记要检验．5．(2015·湖北武汉汉水中学模拟)某公司计划 2015 年在甲、乙两个电视台做总时间不超过 300 分钟的广告，广告总费用不超过 9 万元．甲、乙电视台的广告收费标准分别为 500元/分钟和 200 元/分钟．假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告能给公司带来的收益分别为 0.3 万元和 0.2 万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？[答案] 甲台 100 分钟，乙台 200 分钟，最大收益 70 万元[解析] 设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为 x 分钟和 y 分钟，总收益为x 元．由题意，得Error!目标函数为 z＝3 000 x＋2 000 y.二元一次不等式组等价于Error!9作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域如图所示．作直线 l：3 000 x＋2 000 y＝0，即 3x＋2 y＝0.平移直线 l，从图中可知当直线 l 过 M 点时，目标函数取得最大值．联立Error!解得Error! ∴点 M 的坐标为(100,200)，∴ zmax＝3 000x＋2 000y＝700 000(元)＝70(万元)．故该公司在甲电视台做 100 分钟广告，在乙电视台做 200 分钟广告，公司的收益最大，最大收益是 70 万元．12017 高考数学一轮复习 第六章 不等式、推理与证明 第 3 讲 均值不等式及其应用习题A 组 基础巩固一、选择题1．下列命题中正确的是 ( )A．函数 y＝ x＋ 的最小值为 21xB．函数 y＝ 的最小值为 2x2＋ 3x2＋ 2C．函数 y＝2－3 x－ (x＞0)的最小值为 2－44x 3D．函数 y＝2－3 x－ (x＞0)的最大值为 2－44x 3[答案] D[解析] y＝ x＋ 的定义域为{ x|x≠0}，当 x＞0 时，有最小值 2，当 x＜0 时，有最大1x值－2，故 A 项不正确；y＝ ＝ ＋ ≥2，x2＋ 3x2＋ 2 x2＋ 2 1x2＋ 2∵ ≥ ，∴取不到“＝” ，故 B 项不正确；x2＋ 2 2∵ x＞0 时，3 x＋ ≥2· ＝4 ，4x 3x·4x 3当且仅当 3x＝ ，即 x＝ 时取“＝” ，4x 233∴ y＝2－(3 x＋ )有最大值 2－4 ，故 C 项不正确，D 项正确．4x 32．若 a， b 均为大于 1 的正数，且 ab＝100，则 lga·lgb 的最大值是 ( )A．0 B.1C．2 D．52[答案] B[解析] ∵ a＞1， b＞1，∴lg a＞0，lg b＞0.lga·lgb≤ ＝ ＝1. lga＋ lgb 24  lgab 24当且仅当 a＝ b＝10 时取等号．3．若函数 f(x)＝ x＋ (x＞2)在 x＝ a 处取最小值，则 a 等于 ( )1x－ 22A．1＋ B.1＋2 3C．3 D．4[答案] C[解析] 因为 x＞2，所以 x－2＞0，则f(x)＝ x＋ ＝( x－2)＋ ＋2≥2 ＋2＝4，1x－ 2 1x－ 2  x－ 2 ·1x－ 2当且仅当 x－2＝ ，即 x＝3 时取等号．1x－ 2即当 f(x)取得最小值时， x＝3，即 a＝3.4．(2015·湖南)若实数 a， b 满足 ＋ ＝ ，则 ab 的最小值为 ( )1a 2b abA. B.22C．2 D．42[答案] C[解析] 解法一 由已知得 ＋ ＝ ＝ ，且 a＞0， b＞0，∴ ab ＝ b＋2 a≥21a 2b b＋ 2aab ab ab 2， ∴ ab≥2 .ab 2解法二 由题设易知 a＞0， b＞0，∴ ＝ ＋ ≥2 ，即 ab≥2 ，选 C.ab1a 2b 2ab 25．已知 x＞0， y＞0，且 4xy－ x－2 y＝4，则 xy 的最小值为 ( )A. B.222 2C. D．22[答案] D[解析] ∵ x＞0， y＞0， x＋2 y≥2 ，2xy∴4 xy－( x＋2 y)≤4 xy－2 ，2xy∴4≤4 xy－2 ，2xy即( －2)( ＋1)≥0，2xy 2xy∴ ≥2，∴ xy≥2.2xy6．已知 a＞0， b＞0，若不等式 － － ≤0 恒成立，则 m 的最大值为 ( )m3a＋ b 3a 1bA．4 B.16C．9 D．3[答案] B[解析] 因为 a＞0， b＞0，所以由 － － ≤0 恒成立得 m≤( ＋ )(3a＋ b)＝10＋m3a＋ b 3a 1b 3a 1b3＋ 恒成立．因为 ＋ ≥2 ＝6，当且仅当 a＝ b 时等号成立，所以3ba 3ab 3ba 3ab 3ba·3ab10＋ ＋ ≥16，所以 m≤16，即 m 的最大值为 16，故选 B.3ba 3ab二、填空题7．点 P(x， y)在直线 x＋3 y－2＝0 上移动，则 z＝3 x＋27 y＋3 的最小值是________.[答案] 9[解析] z＝3 x＋27 y＋3≥2 ＋3＝2 ＋3＝9.3x·27y 3x＋ 3y8．(2015·山东师范大学附属中学高三模拟)已知 x＞0， y＞0，若 ＋ ＞ m2＋2 m 恒成2yx 8xy立，则实数 m 的取值范围是________.[答案] －4＜ m＜2[解析] 根据题意， x＞0， y＞0，则 ＞0， ＞0，2yx 8xy所以 ＋ ≥2 ＝8 即 ＋ 的最小值为 8.2yx 8xy 2yx×8xy 2yx 8xy若 ＋ ＞ m2＋2 m 恒成立，必有 m2＋2 m＜8 恒成立，2yx 8xy所以 m2＋2 m＜8， m2＋2 m－8＜0，即－4＜ m＜2.9．(2015·重庆)设 a， b＞0， a＋ b＝5，则 ＋ 的最大值为________.a＋ 1 b＋ 3[答案] 3 2[解析] ( ＋ )2＝ a＋ b＋4＋2 · ≤9＋2·a＋ 1 b＋ 3 a＋ 1 b＋ 3＝9 ＋ a＋ b＋4＝18，所以 ＋ ≤3 ，当且仅当 a＋ 1 2＋  b＋ 3 22 a＋ 1 b＋ 3 2a＋1＝ b＋3 且 a＋ b＝5，即 a＝ ， b＝ 时等号成立．所以 ＋ 的最大值为 3 .72 32 a＋ 1 b＋ 3 210．已知 a＞ b＞0，则 a2＋ 的最小值为________.16b a－ b[答案] 16[分析] 由 b(a－ b)求出最大值，从而去掉 b，再由 a2＋ ，求出最小值．64a2[解析] ∵ a＞ b＞0，∴ a－ b＞0.∴ b(a－ b)≤[ ]2＝ .b＋  a－ b2 a24∴ a2＋ ≥ a2＋ ≥2 ＝16.16b a－ b 64a2 a2·64a2当 a2＝ 且 b＝ a－ b，即 a＝2 ， b＝ 时等号成立．64a2 2 24∴ a2＋ 的最小值为 16.16b a－ b三、解答题11．(1)已知 a， b， c∈R，求证： a4＋ b4＋ c4≥ a2b2＋ b2c2＋ c2a2≥ abc(a＋ b＋ c)．(2)已知 a， b， c∈(0，＋∞)，且 a＋ b＋ c＝1，求证： ＋ ＋ ≥9.1a 1b 1c[证明] (1)∵ a4＋ b4≥2 a2b2， b4＋ c4≥2 b2c2， c4＋ a4≥2 c2a2，∴2( a4＋ b4＋ c4)≥2( a2b2＋ b2c2＋ c2a2)．即 a4＋ b4＋ c4≥ a2b2＋ b2c2＋ c2a2.又 a2b2＋ b2c2≥2 ab2c， b2c2＋ c2a2≥2 abc2，c2a2＋ a2b2≥2 a2bc，∴2( a2b2＋ b2c2＋ c2a2)≥2( ab2c＋ abc2＋ a2bc)．即 a2b2＋ b2c2＋ c2a2≥ ab2c＋ abc2＋ a2bc＝ abc(a＋ b＋ c)．(2)∵ a＋ b＋ c＝1，∴ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋1a 1b 1c a＋ b＋ ca a＋ b＋ cb a＋ b＋ cc＝3＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ba ca ab cb ac bc＝3＋( ＋ )＋( ＋ )＋( ＋ )ba ab ca ac cb bc≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当 a＝ b＝ c＝ 时，取等号．1312．(2015·浙江嘉兴调研)围建一个面积为 360 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2 m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为 45 元/m，新墙的造价为 180 元/m，设利用的旧墙的长度为 x(x＞0)(单位：米).(1)将总费用 y 表示为 x 的函数；(2)试确定 x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求最小总费用．[答案] (1) y＝225 x＋ －360( x＞0) (2) x＝24 m 时最小费用为 10440 元3602x[解析] (1)设矩形的另一边长为 a m，则 y＝45 x＋180( x－2)＋180·2 a＝225 x＋360 a－360.5由已知 xa＝360，得 a＝ ，360x∴ y＝225 x＋ －360( x＞0)．3602x(2)∵ x＞0，∴225 x＋ ≥2 ＝10 800，3602x 225×3602∴ y＝225 x＋ －360≥10 440.3602x当且仅当 225x＝ 时，等号成立．3602x即当 x＝24 m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是 10 440 元．B 组 能力提升1．(2015·河北“五个一名校联盟”高三质量监测)函数 y＝log a(x＋3)－1( a＞0，且a≠1)的图像恒过定点 A，若点 A 在直线 mx＋ ny＋2＝0 上，其中 m＞0， n＞0，则 ＋ 的最小2m 1n值为 ( )A．2 B.42C. D．52 92[答案] D[解析] 由函数 y＝log a(x＋3)－1( a＞0，且 a≠1)的解析式知，当 x＝－2 时，y＝－1，所以 A 点的坐标为(－2，－1)，又点 A 在直线 mx＋ ny＋2＝0 上，所以－2 m－ n＋2＝0，即 2m＋ n＝2，所以 ＋ ＝ ＋ ＝2＋ ＋ ＋ ≥ ＋2＝ ，当且仅2m 1n 2m＋ nm 2m＋ n2n nm mn 12 52 92当 m＝ n＝ 时等号成立．所以 ＋ 的最小值为 ，故选 D.23 2m 1n 922．若不等式 ≤ a≤ 在 t∈(0,2]上恒成立，则 a 的取值范围是 ( )tt2＋ 9 t＋ 2t2A．[ ，1] B.[ ，2 ]16 16 2C．[ ， ] D．[ ，1]16 413 213[答案] D[解析] ＝ ，而 y＝ t＋ 在(0,2]上单调递减，故 t＋ ≥2＋ ＝ ， ＝tt2＋ 9 1t＋ 9t 9t 9t 92 132 tt2＋ 9≤ (当且仅当 t＝2 时等号成立)， ＝ ＋ ＝2( ＋ )2－ ，因为 ≥ ，所以1t＋ 9t 213 t＋ 2t2 1t 2t2 1t 14 18 1t 126＝ ＋ ＝2( ＋ )2－ ≥1(当且仅当 t＝2 时等号成立)，故 a 的取值范围为[ ，1]．t＋ 2t2 1t 2t2 1t 14 18 2133．(2015·江西南昌市高三调研)若正数 a， b 满足 ＋ ＝1，则 ＋ 的最小值为 1a 1b 4a－ 1 16b－ 1( )A．16 B.25C．36 D．49[答案] A[解析] 因为 a， b＞0， ＋ ＝1，所以 a＋ b＝ ab，1a 1b所以 ＋ ＝ ＝ ＝4 b＋16 a－20.4a－ 1 16b－ 1 4 b－ 1 ＋ 16 a－ 1 a－ 1  b－ 1 4b＋ 16a－ 20ab－  a＋ b ＋ 1又 4b＋16 a＝4( b＋4 a)＝4( b＋4 a)( ＋ )＝20＋4( ＋ )≥20＋4×2 ＝36，1a 1b ba 4ab ba·4ab当且仅当 ＝ 且 ＋ ＝1，即 a＝ ， b＝3 时取等号．ba 4ab 1a 1b 32所以 ＋ ≥36－20＝16.4a－ 1 16b－ 14．已知 x＞0， y＞0，且 2x＋8 y－ xy＝0，求(1)xy 的最小值；(2)x＋ y 的最小值．[答案] (1)64 (2)18[解析] (1)由 2x＋8 y－ xy＝0，得 ＋ ＝1，8x 2y又 x＞0， y＞0，则 1＝ ＋ ≥2 ＝ ，得 xy≥64，8x 2y 8x·2y 8xy当且仅当 x＝16， y＝4 时，等号成立．所以 xy 的最小值为 64.(2)由 2x＋8 y－ xy＝0，得 ＋ ＝1，8x 2y则 x＋ y＝( ＋ )·(x＋ y)＝10＋ ＋8x 2y 2xy 8yx≥10＋2 ＝18.2xy·8yx当且仅当 x＝12 且 y＝6 时等号成立，∴ x＋ y 的最小值为 18.75．(2015·江苏徐州质检)某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一个正八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形 ABCD 和 EFGH 构成的面积为 200 m2的十字形区域．现计划在正方形 MNPQ 上建一花坛，造价为 4 200 元/m 2，在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩，造价为 210 元/m 2，再在四个空角上铺草坪，造价为 80 元/m 2.(1)设总造价为 S 元， AD 的长为 x m，试建立 S 关于 x 的函数关系式；(2)计划至少投入多少元，才能建造这个休闲小区？[答案] (1) S＝38 000＋4 000 x2＋ (0＜ x＜10 ) (2)至少投入 118000 元400 000x2 2[解析] (1)设 DQ＝ y，则 x2＋4 xy＝200，所以 y＝ .200－ x24xS＝4 200 x2＋210×4 xy＋80×4× y212＝38 000＋4 000 x2＋ (0＜ x＜10 )．400 000x2 2(2)S＝38 000＋4 000 x2＋ ≥38 000＋2 ＝118 000，400 000x2 16×108当且仅当 4 000x2＝ ，即 x＝ 时，400 000x2 10Smin＝118 000(元)．故计划至少要投入 11.8 万元才能建造这个休闲小区．12017 高考数学一轮复习 第六章 不等式、推理与证明 第 4 讲 合情推理与演绎推理习题A 组 基础巩固一、选择题1．(2015·合肥模拟)正弦函数是奇函数， f(x)＝sin( x2＋1)是正弦函数，因此 f(x)＝sin( x2＋1)是奇函数，以上推理 ( )A．结论正确 B.大前提不正确C．小前提不正确 D．全不正确[答案] C[解析] 因为 f(x)＝sin( x2＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确．2．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①“ mn＝ nm”类比得到“ a·b＝ b·a”；②“( m＋ n)t＝ mt＋ nt”类比得到“( a＋ b)·c＝ a·c＋ b·c”；③“( m·n)t＝ m(n·t)”类比得到“( a·b)·c＝ a·(b·c)”；④“ t≠0， mt＝ xt⇒m＝ x”类比得到“ p≠0， a·p＝ x·p⇒a＝ x”；⑤“| m·n|＝| m|·|n|”类比得到“| a·b|＝| a|·|b|”；⑥“ ＝ ”类比得到“ ＝ ”．acbc ab a·cb·c ab以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是 ( )A．1 B.2 C．3 D．4[答案] B[解析] ①②正确，③④⑤⑥错误．3．观察下列各式： a＋ b＝1， a2＋ b2＝3， a3＋ b3＝4， a4＋ b4＝7， a5＋ b5＝11，…，则a10＋ b10＝ ( )A．28 B.76C．123 D．199[答案] C[解析] 记 an＋ bn＝ f(n)，则 f(3)＝ f(1)＋ f(2)＝1＋3＝4； f(4)＝ f(2)＋ f(3)＝3＋4＝7； f(5)＝ f(3)＋ f(4)＝11.通过观察不难发现 f(n)＝ f(n－1)＋ f(n－2)(n∈N *， n≥3)，则 f(6)＝ f(4)＋ f(5)＝18； f(7)＝ f(5)＋ f(6)＝29； f(8)＝ f(6)＋ f(7)＝47； f(9)＝ f(7)＋ f(8)＝76； f(10)＝ f(8)＋ f(9)＝123.所以 a10＋ b10＝123.4．在平面几何中有如下结论：正三角形 ABC 的内切圆面积为 S1，外接圆面积为 S2，则2＝ ，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体 P－ ABC 的内切球体积为 V1，外接球S1S2 14体积为 V2，则 ＝ ( )V1V2A. B.18 19C. D．164 127[答案] D[解析] 正四面体的内切球与外接球的半径之比为 1︰3，故 ＝ .V1V2 1275．下列推理中属于归纳推理且结论正确的是 ( )A．设数列{ an}的前 n 项和为 Sn.由 an＝2 n－1，求出 S1＝1 2， S2＝2 2， S3＝3 2，…，推断：Sn＝ n2B．由 f(x)＝ xcosx 满足 f(－ x)＝－ f(x)对∀ x∈R 都成立，推断： f(x)＝ xcosx 为奇函数C．由圆 x2＋ y2＝ r2的面积 S＝π r2，推断：椭圆 ＋ ＝1( a＞ b＞0)的面积 S＝π abx2a2 y2b2D．由(1＋1) 2＞2 1，(2＋1) 2＞2 2，(3＋1) 2＞2 3，…，推断：对一切 n∈N *，( n＋1) 2＞2 n[答案] A[解析] 选项 A 由一些特殊事例得出一般性结论，且注意到数列{ an}是等差数列，其前n 项和等于 Sn＝ ＝ n2，选项 D 中的推理属于归纳推理，但结论不正确．n 1＋ 2n－ 126．如图所示，一个质点在第一象限和坐标轴上运动，在第一秒钟内它由原点运动到点(0,1)，然后按图中所示在与 x 轴、 y 轴平行的方向上运动，且每秒移动一个单位长度，那么 2 000 秒后，这个质点所处位置的坐标是 ( )A．(44,25) B.(45,25)C．(25,45) D．(24,44)[答案] D[分析] 归纳出质点到达点( n， n)处时，移动的单位长度及方向．[解析] 质点到达点(1,1)处，走过的单位长度是 2，接下来质点运动的方向与 y 轴方向相反；质点到达点(2,2)处，走过的单位长度是 6＝2＋4，接下来质点运动的方向与 x 轴方向3相反；质点到达点(3,3)处，走过的单位长度是 12＝2＋4＋6，接下来质点运动的方向与 y 轴方向相反；质点到达点(4,4)处，走过的单位长度是 20＝2＋4＋6＋8，接下来质点运动的方向与 x轴方向相反；……猜想：质点到达点( n， n)处，走过的单位长度是 2＋4＋6＋…＋2 n＝ n(n＋1)，且 n 为偶数时，接下来质点运动的方向与 x 轴方向相反； n 为奇数时，接下来质点运动的方向与 y 轴方向相反．所以 2 000 秒后是指该质点到达点(44,44)后，继续移动了 20 个单位，由图中规律可得该质点沿与 x 轴相反的方向前进了 20 个单位，即该质点所处位置的坐标是(24,44)．二、填空题7．观察下列等式： ＋ ＝1； ＋ ＋ ＋ ＝12； ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＝39；…，13 23 73 83 103 113 163 173 193 203 223 233则当 n＜ m 且 m， n∈N 时， ＋ ＋…＋ ＋ ＝________.(最后结果用3n＋ 13 3n＋ 23 3m－ 23 3m－ 13m， n 表示)[答案] m2－ n2[解析] 将 ＋ ＝1 变为 ＋ ＝1 2－0 2；将 ＋ ＋ ＋ ＝12 变为13 23 3×0＋ 13 3×1－ 13 73 83 103 113＋ ＋ ＋ ＝4 2－2 2；将 ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＝393×2＋ 13 3×2＋ 23 3×4－ 23 3×4－ 13 163 173 193 203 223 233变为 ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＝8 2－5 2，所3×5＋ 13 3×5＋ 23 3×7－ 23 3×7－ 13 3×8－ 23 3×8－ 13以 ＋ ＋…＋ ＋ ＝ m2－ n2.3n＋ 13 3n＋ 23 3m－ 23 3m－ 138．设等差数列{ an}的前 n 项和为 Sn，则 S4， S8－ S4， S12－ S8， S16－ S12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{ bn}的前 n 项积为 Tn，则 T4，________，________， 成等比T16T12数列.[答案] ，T8T4 T12T8[解析] 对于等比数列，通过类比，在等比数列{ bn}中前 n 项积为 Tn，则T4＝ b1b2b3b4， T8＝ b1b2…b8， T12＝ b1b2…b12， T16＝ b1b2…b16，因此＝ b5b6b7b8， ＝ b9b10b11b12， ＝ b13b14b15b16，而 T4， ， ， 的公比为 q16，因此T8T4 T12T8 T16T12 T8T4T12T8 T16T124T4， ， ， 成等比数列．T8T4T12T8 T16T129．观察下列的图形中小正方形的个数，则第 6 个图中有________个小正方形.[答案] 28[解析] 设第 n 个图中小正方形个数为 an，则a1＝3， a2＝ a1＋3＝6， a3＝ a2＋4＝10， a4＝ a3＋5＝15， a5＝ a4＋6＝21， a6＝ a5＋7＝28.10．如图所示，点 P 在已知三角形 ABC 的内部，定义有序实数对( μ ， υ ， ω )为点 P 关于△ ABC 的面积坐标，其中μ ＝ ， υ ＝ ， ω ＝ ；若点 Q 满足△ PBC的 面 积△ ABC的 面 积 △ APC的 面 积△ ABC的 面 积 △ ABP的 面 积△ ABC的 面 积＝ ＋ ，则点 Q 关于△ ABC 的面积坐标为________.BQ→ 13BC→ 12BA→ [答案] ( ，， )1216 13[解析] 由点 Q 满足 ＝ ＋ 可知 Q 到 BC， AC， AB 三边的距离分别是三边相应高BQ→ 13BC→ 12BA→ 的 ，，，所以 S△ QBC＝ s， S△ AQC＝ s， S△ AQB＝ s(s 为△ ABC 的面积)．故点 Q 关于△ ABC 的121613 12 16 13面积坐标为( ，， )．1216 13三、解答题11．在锐角三角形 ABC 中，求证：sin A＋sin B＋sin C＞cos A＋cos B＋cos C.[证明] ∵△ ABC 为锐角三角形，∴ A＋ B＞ ，∴ A＞ － B，π 2 π 2∵ y＝sin x 在(0， )上是增函数，π 2∴sin A＞sin( － B)＝cos B，π 2同理可得 sinB＞cos C，sin C＞cos A，∴sin A＋sin B＋sin C＞cos A＋cos B＋cos C.512．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin 213°＋cos 217°－sin13°cos17°；②sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°；③sin 218°＋cos 212°－sin18°cos12°；④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos48°；⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．[答案] (1) (2)sin 2α ＋cos 2(30°－ α )－sin α ·cos(30°－ α )＝34 34[解析] (1)选择②式，计算如下：sin215°＋cos 215°－sin15°cos15°＝1－ sin30°12＝1－ ＝ .14 34(2)法一：三角恒等式为sin2α ＋cos 2(30°－ α )－sin α ·cos(30°－ α )＝ .34证明如下：sin2α ＋cos 2(30°－ α )－sin α ·cos(30°－ α )＝sin 2α ＋(cos30°cos α ＋sin30°sin α )2－sin α ·(cos30°cosα ＋sin30°sin α )＝sin 2α ＋ cos2α ＋ sinα cosα ＋ sin2α － sinα cosα － sin2α34 32 14 32 12＝ sin2α ＋ cos2α34 34＝ .34法二：三角恒等式为sin2α ＋cos 2(30°－ α )－sin α ·cos(30°－ α )＝ .34证明如下：sin2α ＋cos 2(30°－ α )－sin α cos(30°－ α )＝ ＋ －sin α ·(cos30°cosα ＋sin30°sin α )1－ cos2α2 1＋ cos 60°－ 2α 2＝ － cos2α ＋ ＋ (cos60°cos2α ＋sin60°sin2 α )－ sinα cosα － sin2α12 12 12 12 32 126＝ － cos2α ＋ ＋ cos2α ＋ sin2α － sin2α － (1－cos2 α )12 12 12 14 34 34 14＝1－ cos2α － ＋ cos2α ＝ .14 14 14 34B 组 能力提升1．(2015·西安八校联考)观察一列算式：1⊗1,1⊗2,2⊗1,1⊗3,2⊗2,3⊗1,1⊗4,2⊗3,3⊗2,4⊗1，…，则式子 3⊗5 是第 ( )A．22 项 B.23 项C．24 项 D．25 项[答案] C[解析] 两数和为 2 的有 1 个，和为 3 的有 2 个，和为 4 的有 3 个，和为 5 的有 4 个，和为 6 的有 5 个，和为 7 的有 6 个，前面共有 21 个，3⊗5 为和为 8 的第 3 项，所以为第 24项．故选 C.2．(2015·福建漳州八校联考)设△ ABC 的三边长分别为 a， b， c，△ ABC 的面积为 S，则△ ABC 的内切圆半径为 r＝ .将此结论类比到空间四面体：设四面体 S－ ABC 的四个2Sa＋ b＋ c面的面积分别为 S1， S2， S3， S4，体积为 V，则四面体的内切球半径为 r＝ ( )A. B.VS1＋ S2＋ S3＋ S4 2VS1＋ S2＋ S3＋ S4C. D．3VS1＋ S2＋ S3＋ S4 4VS1＋ S2＋ S3＋ S4[答案] C[解析] 本题主要考查类比推理，球的体积与表面积．设四面体的内切球的球心为 O，则球心 O 到四个面的距离都是 r，所以四面体的体积等于以 O 为顶点，分别以四个面为底面的 4 个三棱锥体积的和．则四面体的体积为： V＝ (S1＋ S2＋ S3＋ S4)r，∴ r＝13.3VS1＋ S2＋ S3＋ S43．如图，将边长分别为 1,2,3 的正八边形叠放在一起，同一边上相邻珠子之间的距离为 1，若以此方式再放置边长为 4,5,6，…，10 的正八边形，则这 10 个正八边形镶嵌的珠子总数是________.[答案] 3417[解析] 边长为 1,2,3，…，10 的正八边形叠放在一起，则各个正八边形上的珠子数分别为 8,2×8,3×8，…，10×8，其中，有 3 个珠子被重复计算了 10 次，有 2 个珠子被重复计算了 9 次，有 2 个珠子被重复计算了 8 次，有 2 个珠子被重复计算了 7 次，有 2 个珠子被重复计算了 6 次，…，有 2 个珠子被重复计算了 1 次，故不同的珠子总数为(8＋2×8＋3×8＋…＋10×8)－(3×9＋2×8＋2×7＋2×6＋…＋2×1)＝440－(27＋2×)＝341，故所求总数为 341.8×924．设 f(x)＝3 ax2＋2 bx＋ c.若 a＋ b＋ c＝0， f(0)＞0， f(1)＞0，求证：(1)a＞0 且－2＜ ＜－1；ba(2)方程 f(x)＝0 在(0,1)内有两个实根．[证明] (1)∵ f(0)＞0， f(1)＞0，∴ c＞0,3 a＋2 b＋ c＞0.由 a＋ b＋ c＝0，消去 b 得 a＞ c＞0；再由条件 a＋ b＋ c＝0，消去 c 得 a＋ b＜0 且 2a＋ b＞0，∴－2＜ ＜－1.ba(2)方法一：∵抛物线 f(x)＝3 ax2＋2 bx＋ c 的顶点坐标为(－ ， )，b3a 3ac－ b23a－2＜ ＜－1，∴ ＜－ ＜ .ba 13 b3a 23又∵ f(0)＞0， f(1)＞0，而 f(－ )＝－ ＜0，b3a a2＋ c2－ ac3a∴方程 f(x)＝0 在区间(0，－ )与(－ ，1)内分别有一个实根，故方程 f(x)＝0 在b3a b3a(0,1)内有两个实根．方法二：∵ f(0)＞0， f(1)＞0，而 f( )＝ a＋ b＋ c＝－ a＜0，12 34 14∴抛物线与 x 轴的两个交点落在区间(0,1)内，即方程 f(x)＝0 在(0,1)内有两个实根．方法三：∵ Δ ＝4 b2－12 ac＝4( a2＋ c2－ ac)＞0，∴方程 f(x)＝0 有两个实根．设方程的两根为 x1， x2，由根与系数的关系得 x1＋ x2＝－2b3a8＞0， x1x2＝ ＞0，故两根为正．c3a又∵( x1－1)＋( x2－1)＝－ －2＜0，2b3a(x1－1)( x2－1)＝ ＞0，3a＋ 2b＋ c3a∴两根均小于 1，命题得证．5．如图所示，点 P 为斜三棱柱 ABC－ A1B1C1的侧棱 BB1上一点， PM⊥ BB1交 AA1于点M， PN⊥ BB1交 CC1于点 N.(1)求证： CC1⊥ MN；(2)在任意三角形 DEF 中有余弦定理： DE2＝ DF2＋ EF2－2 DF·EFcos∠ DFE.拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明．[解析] (1)因为 PM⊥ BB1， PN⊥ BB1，所以 BB1⊥平面 PMN，所以 BB1⊥ MN.又 CC1∥ BB1，所以 CC1⊥ MN.(2)在斜三棱柱 ABC－ A1B1C1中，有S2ABB1A1＝ S2BCC1B1＋ S2ACC1A1－2 SBCC1B1SACC1A1cosα ，其中 α 为平面 CC1B1B 与平面 CC1A1A所成的二面角．证明如下：因为 CC1⊥平面 PMN，所以上述的二面角的平面角为∠ MNP.在△ PMN 中，因为 PM2＝ PN2＋ MN2－2 PN·MNcos∠ MNP，所以 PM2·CC ＝ PN2·CC ＋ MN2·CC －2( PN·CC1)·(MN·CC1)cos∠ MNP，21 21 21因为 SBCC1B1＝ PN·CC1， SACC1A1＝ MN·CC1， SABB1A1＝ PM·BB1＝ PM·CC1，所以 S2ABB1A1＝ S2BCC1B1＋ S2ACC1A1－2 SBCC1B1·SACC1A1cosα .