（新课标）2017高考数学一轮复习 第七章 立体几何习题（打包7套）.zip

12017 高考数学一轮复习 第七章 立体几何 第 1 讲 空间几何体的结构及其三视图和直观图习题A 组 基础巩固一、选择题1．下列结论中正确的是 ( )A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线[答案] D[解析] 当一个几何体由具有相同的底面且顶点在底面两侧的两个三棱锥构成时，尽管各面都是三角形，但它不是三棱锥，故 A 错误；若三角形不是直角三角形或是直角三角形但旋转轴不是直角边所在直线，所得几何体就不是圆锥，B 错误；若六棱锥的所有棱都相等，则底面多边形是正六边形，由几何图形知，若以正六边形为底面，则棱长必须要大于底面边长，故 C 错误．2．一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是 ( )A．球 B．三棱锥C．正方体 D．圆柱[答案] D[解析] 球的三视图是三个全等的圆；含有互相垂直且相等的三条棱的三棱锥的三视图可以是三个全等的三角形；正方体的三视图可以是三个全等的正方形；圆柱不管如何放置，其三视图的形状都不可能全部相同．故选 D.3．如图所示，已知在正方体 ABCD－ A1B1C1D1中， E 为棱 BB1的中点，用过点 A， E， C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的侧视图为 ( )导 学 号 254015992[答案] C[解析] 如图，取 DD1的中点为 F，连接 AF， FC1，则容易得到平面 AEC1F 即截面．设AA1的中点为 G，连接 D1G，则 C1E 在平面 ADD1A1上的投影是 D1G，故剩余几何体的侧视图如选项 C 所示．4．(2015·山西四校联考)如图所示，△ A′ B′ C′是△ ABC 的直观图，那么△ ABC 是( )导 学 号 25401600A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．钝角三角形[答案] B5．(2015·江西景德镇第一次质检)如图所示，正方体 ABCD－ A1B1C1D1上、下底面中心分别为 O1， O2，将正方体绕直线 O1O2旋转一周，其中曲线段 BC1旋转所得图形是( )导 学 号 254016013[答案] D[解析] 由图形的形成过程可知，在图形的面上能够找到直线，在 B，D 中选，显然 B不对，因为 BC1中点绕 O1O2旋转得到的圆比 B 点和 C1点的小，故选 D.6．如图所示，在正方体 ABCD－ A′ B′ C′ D′中， M， E 是 AB 的三等分点， G， N 是 CD的三等分点， F， H 分别是 BC， MN 的中点，则四棱锥 A′－ EFGH 的侧视图为( )导 学 号 25401602[答案] C[解析] 注意分清三等分点可以看出，侧视图中 A′ E， A′ G 重合， A′ H 成为A′ M， A′ F， A′ B 重合，侧视图为向左倾斜的三角形，故选 C.二、填空题7．已知一个正三棱柱的所有棱长均相等，其侧(左)视图如图所示，那么此三棱柱正(主)视图的面积为____________________. 导 学 号 25401603[答案] 2 3[解析] 由正三棱柱三视图还原直观图可得正(主)视图是一个矩形，其中一边的长是侧(左)视图中三角形的高，另一边是棱长．因为侧(左)视图中三角形的边长为 2，所以高为 ，34所以正视图的面积为 2 .38．(原创题)正三角形 ABC 的边长为 4，建立如图所示的直角坐标系，则它的直观图的面积是____________________. 导 学 号 25401604[答案] 6[解析] 画出坐标系 x′ O′ y′，作出△ ABC 的直观图△ A′ B′ C′(如图所示)．易知 O′ A′＝ OA.12所以 S△ A′ B′ C′ ＝ × S△ ABC＝ × ×42＝ .12 22 24 34 69．如图，一个底面半径为 R 的圆柱形量杯中装有适量的水．若放入一个半径为 r 的实心铁球，水面高度恰好升高 r，则 ＝____________________.Rr 导 学 号 25401605[答案] 233[解析] 由水面高度升高 r，得圆柱体积增加 π R2r，恰好是半径为 r 的实心铁球的体积，因此有 π r3＝π R2r.故 ＝ .43 Rr 23310．(2015·江西白鹭洲中学期末)若某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为2，则俯视图中的 x＝____________________. 导 学 号 25401606[答案] 25[解析] 由三视图，可得该几何体为四棱锥， S 底 ＝ (x＋1)×2＝ x＋1，高 h＝2，则12V＝ S 底 h＝ (x＋1)×2＝2，解得 x＝2.13 13三、解答题11．已知：图①是截去一个角的长方体，试按图示的方向画出其三视图；图②是某几何体的三视图，试说明该几何体的构成. 导 学 号 25401607[解析] 图①几何体的三视图为：图②所示的几何体是上面为正六棱柱，下面为倒立的正六棱锥的组合体．12．已知正三棱锥 V－ ABC 的正视图、侧视图和俯视图如图所示. 导 学 号 25401608(1)画出该三棱锥的直观图；(2)求出左视图的面积．[答案] (1)略 (2)6[解析] (1)如图所示．6(2)根据三视图间的关系可得 BC＝2 ，3∴左视图中 VA＝ ＝2 .42－  23×32 ×23 2 3∴ S△ VBC＝ ×2 ×2 ＝6.12 3 3B 组 能力提升1．(2015·淄博一模)把边长为 1 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起，形成的三棱锥A－ BCD 的正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为 ( )导 学 号 25401609A. B．22 12C. D．24 14[答案] D[解析] 由正视图与侧视图可得三棱锥 A－ BCD 的一个侧面与底面垂直，其俯视图是直角三角形，且直角边长均为 ，所以侧视图的面积为 S＝ × × ＝ ，选 D.22 12 22 22 142．(2015·武昌调研)已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥，则不是该三棱锥的三视图是 ( )导 学 号 25401610[答案] D[解析] 易知该三棱锥的底面是直角边分别为 1 和 2 的直角三角形，注意到侧视图是从左往右看得到的图形，结合 B、D 选项知，D 选项中侧视图方向错误，故选 D.3．如图，矩形 O′ A′ B′ C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′ A′＝6， O′ C′＝2，则原图形 OABC 的面积为____________________. 导 学 号 254016117[答案] 24 2[解析] 由题意知原图形 OABC 是平行四边形，且 OA＝ BC＝6，设平行四边形 OABC 的高为 OE，则 OE× × ＝ O′ C′ ，12 22∵ O′ C′＝2，∴ OE＝4 ，2∴ S▱OABC＝6×4 ＝24 .2 24．如图，在四棱锥 P－ ABCD 中，底面为正方形， PC 与底面 ABCD 垂直，下图为该四棱锥的正视图和侧视图，它们是腰长为 6 cm 的全等的等腰直角三角形. 导 学 号 25401612(1)根据图所给的正视图、侧视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积；(2)求 PA.[答案] (1)36 cm 2 (2)6 cm3[解析] (1)该四棱锥的俯视图为(内含对角线)边长为 6 cm 的正方形，如图，其面积为36 cm2.(2)由侧视图可求得 PD＝ ＝ ＝6 .PC2＋ CD2 62＋ 62 2由正视图可知 AD＝6，且 AD⊥ PD，所以在 Rt△ PAD 中， PA＝ ＝PD2＋ AD2＝6 cm. 62 2＋ 62 35．(教材改编)已知一个上、下底面为正三角形且两底面中心连线垂直于底面的三棱台的两底面边长分别为 20 cm 和 30 cm，且其侧面积等于两底面面积之和，求棱台的高.导 学 号 25401613[答案] 4 cm3[解析] 如图所示，三棱台 ABC－ A1B1C1中， O、 O1分别为两底面中心， D、 D1分别为 BC和 B1C1的中点，则 DD1为棱台的斜高．8由题意知 A1B1＝20， AB＝30，则 OD＝5 ， O1D1＝ ，31033由 S 侧 ＝ S 上 ＋ S 下 ，得×(20＋30)×3 DD1＝ ×(202＋30 2)，12 34解得 DD1＝ ，在直角梯形 O1ODD1中，133 3O1O＝ ＝4 ，DD21－  OD－ O1D1 2 3所以棱台的高为 4 cm.312017 高考数学一轮复习 第七章 立体几何 第 2 讲 空间几何体的表面积与体积习题A 组 基础巩固一、选择题1．(2015·陕西)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ( )A．3π B．4πC．2π＋4 D．3π＋4[答案] D[解析] 由三视图可知该几何体的直观图是截去一半的圆柱，其表面积为 S＝2π×2×＋π×1 2＋2×2＝3π＋4.122．(2015·重庆)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ( )A. ＋2π B.13 13π6C. D.7π3 5π2[答案] B[解析] 由三视图知，该几何体为一个底面半径为 1、高为 2 的圆柱与一个底面半径为1、高为 1 的半圆锥的组合体，其体积为 π×1 2×2＋ × π×1 2×1＝ ，故选 B.12 13 13π623．(2015·江西六校 3 月联考)一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的外接球的体积为 ( )导 学 号 25401636A. B. π2π3 2C．2π D.22π3[答案] A[解析] 由三视图可知，该几何体是正八面体，棱长为 1，其外接球半径为 ，所以其22外接球的体积为 π R3＝ π·( )3＝ ，选 A.43 43 22 2π34．(2015·山东)已知等腰直角三角形的直角边的长为 2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为 ( )导 学 号 25401637A. B．22π3 42π3C．2 π D．4 π2 2[答案] B[解析] 由题意，该几何体可以看作是两个底面半径为 、高为 的圆锥的组合体，2 2其体积为 2× ×π×( )2× ＝ π.13 2 2 4235．在正六棱锥 P－ ABCDEF 中，若 G 为 PB 的中点，则三棱锥 D－ GAC 与三棱锥 P－ GAC 体积之比为 ( )导 学 号 25401638A．11 B．12C．21 D．32[答案] C[解析] 设棱锥的高为 h，3VD－ GAC＝ VG－ DAC＝ S△ ADC· h，13 12VP－ GAC＝ VP－ ABC＝ VG－ ABC＝ S△ ABC· .12 13 h2又 S△ ADC S△ ABC＝21 ，故 VD－ GAC VP－ GAC＝21.6．长方体的三个相邻面的面积分别为 2,3,6，若这个长方体的顶点都在同一球面上，则这个球的表面积为 ( )导 学 号 25401639A. π B．56π72C．14π D．64π[答案] C[解析] 设长方体长、宽、高分别为 a， b， c，不妨取 ab＝2， bc＝3， ac＝6，长方体的体对角线长为 .a2＋ b2＋ c2而由Error! 得Error!∴球的直径 d＝ ＝ .∴ r＝ ＝ .22＋ 12＋ 32 14d2 142∴ S 球 ＝4π r2＝4π× ＝14π.144二、填空题7．(2015·上海黄浦区期末调研)已知某圆锥体的底面半径 r＝3，沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心角为 π 的扇形，则该圆锥体的表面积是____________________.23导 学 号 25401640[答案] 36π[解析] 由已知沿圆锥体的母线把侧面展开后得到的扇形的弧长为 2π r＝6π，从而其母线长为 l＝ ＝9，从而圆锥体的表面积为 S 侧 ＋ S 底 ＝ ×9×6π＋9π＝36π.故答案为6π2π3 1236π.8．(2015·上海杨浦区上学期学业质量调研)在底面直径为 6 的圆柱形容器中，放入一个半径为 2 的冰球，当冰球全部溶化后，容器中液面的高度为____________________．(相同质量的冰与水的体积比为 109) 导 学 号 25401641[答案] 1615[解析] 设容器中液面的高度为 h，则冰的体积 V1＝ ×π×2 3＝ ，则水的体积为43 32π34× ＝ ，则 9π h＝ ，解得 h＝ .32π3 910 48π5 48π5 16159．(2015·浙江绍兴上学期期末统考)已知四棱锥的底面是边长为 2 的正方形，其俯视图如图所示，侧视图为直角三角形，则该四棱锥的侧面中直角三角形的个数为____________________，该四棱锥的体积为____________________. 导 学 号 25401642[答案] 3 43[解析] 根据题意还原出四棱锥模型如图所示， O 为 BC 的中点，且 PO⊥底面 ABCD.由俯视图知， BC＝2， BO＝ OC＝1，显然 BA⊥平面 PBC， DC⊥平面 PBC，所以 BA⊥ BP， DC⊥ PC，所以△ ABP，△ PCD 为直角三角形．又侧视图为直角三角形，故△ PBC 为直角三角形，所以PO＝ BC＝1，所以 V＝ ×22×1＝ .12 13 4310．(2015·云南一模)一个圆锥过轴的截面为等边三角形，它的顶点和底面圆周在球 O的球面上，则该圆锥的体积与球 O 的体积的比值为____________________. 导 学 号 25401643[答案] 932[解析] 设等边三角形的边长为 2a，则 V 圆锥 ＝ ·π a2· a＝ π a3；又13 3 33R2＝ a2＋( a－ R)2，所以 R＝ a，故 V 球 ＝ ·( a)3＝ a3，则其体积比为 .3233 4π3 233 323π27 932三、解答题11．(2015·安徽六校联考)如图所示，在多面体 ABCDEF 中，已知 ABCD 是边长为 1 的正方形，且△ ADE，△ BCF 均为正三角形， EF∥ AB， EF＝2，求该多面体的体积.导 学 号 25401644[答案] 235[解析] 法一：如图所示，分别过 A， B 作 EF 的垂线，垂足分别为 G， H，连接DG， CH，则原几何体分割为两个三棱锥和一个直三棱柱．∵三棱锥高为 ，直三棱柱柱高为 1，12AG＝ ＝ ，12－  12 2 32取 AD 中点 M，则 MG＝ ，22∴ S△ AGD＝ ×1× ＝ ，12 22 24∴ V＝ ×1＋2× × × ＝ .24 13 24 12 23法二：如图所示，取 EF 的中点 P，则原几何体分割为两个三棱锥和一个四棱锥，易知三棱锥 P－ AED 和三棱锥 P－ BCF 都是棱长为 1 的正四面体，四棱锥 P－ ABCD 为棱长为 1 的正四棱锥．∴ V＝ ×12× ＋2× × × ＝ .13 22 13 34 63 2312．(2015·杭州一模)已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为 20 cm 和 30 cm 的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于两底面面积之和，求棱台的体积.导 学 号 25401645[答案] 1900 cm 3[解析] 如图所示，在三棱台 ABC－ A′ B′ C′中， O′， O 分别为上、下底面的中心，D， D′分别是 BC， B′ C′的中点，则 DD′是等腰梯形 BCC′ B′的高．又 A′ B′＝20 cm， AB＝30 cm，所以 S 侧 ＝3× ×(20＋30)× DD′＝75 DD′.126S 上 ＋ S 下 ＝ ×(202＋30 2)＝325 (cm2)．34 3由 S 侧 ＝ S 上 ＋ S 下 ，得 75DD′＝325 ，3所以 DD′＝ cm，133 3又因为 O′ D′＝ ×20＝ (cm)，36 1033OD＝ ×30＝5 (cm)，36 3所以棱台的高 h＝ O′ O＝ D′ D2－  OD－ O′ D′  2＝ ＝4 (cm)， 1333  2－  53－ 1033  2 3由棱台的体积公式，可得棱台的体积为V＝ (S 上 ＋ S 下 ＋ )h3 S上 S下＝ ×(325 ＋ ×20×30)433 3 34＝1 900(cm 3)．故棱台的体积为 1 900 cm3.B 组 能力提升1．如图(1)，在三棱锥 P－ ABC 中， PA⊥平面 ABC， AC⊥ BC， D 为侧棱 PC 上的一点，它的正视图和侧视图如图(2)所示，则下列命题正确的是 ( )导 学 号 25401646A． AD⊥平面 PBC，且三棱锥 D－ ABC 的体积为83B． BD⊥平面 PAC，且三棱锥 D－ ABC 的体积为83C． AD⊥平面 PBC，且三棱锥 D－ ABC 的体积为163D． BD⊥平面 PAC，且三棱锥 D－ ABC 的体积为163[答案] C7[解析] 由正视图可知， PA＝ AC，且点 D 为线段 PC 的中点，所以 AD⊥ PC.由侧视图可知， BC＝4.因为 PA⊥平面 ABC，所以 PA⊥ BC.又 BC⊥ AC，且 AC∩ PA＝ A，所以 BC⊥平面PAC，所以 BC⊥ AD.又 PC∩ BC＝ C，所以 AD⊥平面 PBC， VD－ ABC＝ ×( PA)×S△ ABC＝ .13 12 1632．如图，直三棱柱 ABC－ A1B1C1的六个顶点都在半径为 1 的半球面上， AB＝ AC，侧面BCC1B1是半球底面圆的内接正方形，则侧面 ABB1A1的面积为 ( )导 学 号 25401647A．2 B．1C. D．222[答案] C[解析] 由题意知，球心在侧面 BCC1B1的中心 O 处， BC 为截面圆的直径，所以∠ BAC＝90°，△ ABC 的外接圆圆心 N 位于 BC 的中点处，同理△ A1B1C1的外心 M 是 B1C1的中点．设正方形 BCC1B1的边长为 x，Rt△ OMC1中， OM＝ ， MC1＝ ， OC1＝ R＝1( R 为球的半径)，x2 x2所以( )2＋( )2＝1，即 x＝ ，则 AB＝ AC＝1，所以 S 矩形 ABB1A1＝ ×1＝ .x2 x2 2 2 23．(原创题)已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )导 学 号 25401648A. B． 4＋ π  33  4＋ π  32C. D．(4＋π) 4＋ π  36 3[答案] C[解析] 由该几何体的三视图可知，该几何体是左面为底面半径为 1、高为 、母线长3为 2 的半圆锥，右边是底面为等腰三角形(底边为 2、高为 2)、高为 的三棱锥拼成的一个38组合体．所以此组合体的体积为： × ×π×1 2× ＋ × ×2×2× ＝ × ＋ × ＝13 12 3 13 12 3 π 6 3 46 3.故选 C. 4＋ π  364．如图为一简单组合组，其底面 ABCD 为正方形， PD⊥平面 ABCD， EC∥ PD，且PD＝ AD＝2 EC＝2. 导 学 号 25401649(1)画出该几何体的三视图；(2)求四棱锥 B－ CEPD 的体积．[答案] (1)略 (2)2[解析] (1)如图所示：(2)∵ PD⊥平面 ABCD， PD⊂平面 PDCE，∴平面 PDCE⊥平面 ABCD.∵ BC⊥ CD，∴ BC⊥平面 PDCE.∵ S 梯形 PDCE＝ (PD＋ EC)·DC＝ ×3×2＝3，12 12∴四棱锥 B－ CEPD 的体积 VB－ CEPD＝ S 梯形 PDCE·BC＝ ×3×2＝2.13 135．如图所示的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出(单位：cm). 导 学 号 254016509(1)在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；(2)按照给出的尺寸，求该多面体的体积；(3)在所给直观图中连接 BC′，证明： BC′∥平面 EFG.[答案] (1)略 (2) cm3 (3)略2843[解析] (1)如图所示．(2)所求多面体的体积是：V＝ V 长方体 － V 正三棱锥 ＝4×4×6－ ×( ×2×2)×2＝ cm3.13 12 2843(3)如图所示，复原长方体 ABCD－ A′ B′ C′ D′，连接 AD′，则 AD′∥ BC′.∵ E， G 分别是 AA′， A′ D′的中点，∴ AD′∥ EG.从而 EG∥ BC′.又 BC′⊄平面 EFG，∴ BC′∥平面 EFG.12017 高考数学一轮复习 第七章 立体几何 第 3 讲 空间点、直线、平面之间的位置关系习题A 组 基础巩固一、选择题1．设 P 表示一个点， a、 b 表示两条直线， α 、 β 表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是 ( )① P∈ a， P∈ α ⇒a⊂α ；② a∩ b＝ P， b⊂β ⇒a⊂β ；③ a∥ b， a⊂α ， P∈ b， P∈ α ⇒b⊂α ；④ α ∩ β ＝ b， P∈ α ， P∈ β ⇒P∈ b.A．①② B．②③C．①④ D．③④[答案] D[解析] 当 a∩ α ＝ P，时， P∈ a， P∈ α ，但 a⊄α ，∴①错；a∩ β ＝ P 时，②错；如图，∵ a∥ b， P∈ b，∴ P∉a，∴由直线 a 与点 P 确定唯一平面 α ，又 a∥ b，由 a 与 b 确定唯一平面 β ，但 β 经过直线 a 与点 P，∴ β 与 α 重合，∴ b⊂α ，故③正确；两个平面的公共点必在其交线上，故④正确．2．以下四个命题中，①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点 A、 B、 C、 D 共面，点 A、 B、 C、 E 共面，则点 A、 B、 C、 D、 E 共面；③若直线 a、 b 共面，直线 a、 c 共面，则直线 b、 c 共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．正确命题的个数是 ( )导 学 号 25401668A．0 B．1C．2 D．3[答案] B[解析] ①中显然是正确的；②中若 A、 B、 C 三点共线，则 A、 B、 C、 D、 E 五点不一定共面；③构造长方体或正方体，如图显然 b、 c 异面，故不正确；④中空间四边形中四条线2段不共面，故只有①正确．3．(2015·山西大同一中上学期期末)如图，正方体 ABCD－ A1B1C1D1中， PQ 是异面直线A1D 与 AC 的公垂线，则直线 PQ 与 BD1的位置关系为 ( )导 学 号 25401669A．平行 B．异面C．相交 D．无法判断[答案] B[解析] 也可能相交，③不正确；过平面 α 的一条斜线有且只有一个平面与平面 α 垂直，正确，因为一条斜线只有一条射影，只能确定一个平面．故选 B.4．若 P 是两条异面直线 l， m 外的任意一点，则 ( )导 学 号 25401670A．过点 P 有且仅有一条直线与 l， m 都平行B．过点 P 有且仅有一条直线与 l， m 都垂直C．过点 P 有且仅有一条直线与 l， m 都相交D．过点 P 有且仅有一条直线与 l， m 都异面[答案] B[解析] 对于选项 A，若过点 P 有直线 n 与 l， m 都平行，则 l∥ m，这与 l， m 异面矛盾；对于选项 B，过点 P 与 l， m 都垂直的直线，即过 P 且与 l， m 的公垂线段平行的那一条直线；对于选项 C，过点 P 与 l， m 都相交的直线有一条或零条；对于选项 D，过点 P 与 l， m 都异面的直线可能有无数条．5．已知在正四棱柱 ABCD－ A1B1C1D1中， AA1＝2 AB， E 为 AA1中点，则异面直线 BE 与 CD1所成角的余弦值为 ( )导 学 号 25401671A. B．1010 15C. D．31010 35[答案] C[解析] 连接 BA1，则 CD1∥ BA1，于是∠ A1BE 就是异面直线 BE 与 CD1所成的角(或补角)．设 AB＝1，则 BE＝ ， BA1＝ ， A1E＝1，在△ A1BE 中， cos∠ A1BE＝ ＝ ，选 C.2 55＋ 2－ 125·2 3101036．(2015·浙江金丽衢十二校二联)已知 a， b， c 为三条不同的直线，且 a⊂平面 M， b⊂平面 N， M∩ N＝ c.①若 a 与 b 是异面直线，则 c 至少与 a， b 中的一条相交；②若 a 不垂直于 c，则 a 与 b 一定不垂直；③若 a∥ b，则必有 a∥ c；④若 a⊥ b， a⊥ c，则必有 M⊥ N.其中正确命题的个数是 ( )导 学 号 25401672A．0 B．1C．2 D．3[答案] C[解析] 命题①③正确，命题②④错误．其中命题②中 a 和 b 有可能垂直；命题④中当b∥ c 时，平面 M， N 有可能不垂直，故选 C.二、填空题7．(教材改编)如图所示，平面 α ， β ， γ 两两相交， a， b， c 为三条交线，且 a∥ b，则 a 与 c， b 与 c 的位置关系是____________________. 导 学 号 25401673[答案] a∥ b∥ c[解析] ∵ a∥ b， a⊂α ， b⊄α ，∴ b∥ α .又∵ b⊂β ， α ∩ β ＝ c，∴ b∥ c.∴ a∥ b∥ c.8．(2013·江西改编)如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面 α 上，且AB∥ CD，正方体的六个面所在的平面与直线 CE， EF 相交的平面个数分别记为 m， n，那么m＋ n＝____________________. 导 学 号 25401674[答案] 8[解析] 取 CD 的中点 H，连接 EH， HF.在四面体 CDEF 中， CD⊥ EH， CD⊥ FH，所以 CD⊥平面 EFH，所以 AB⊥平面 EFH，所以正方体的左、右两个侧面与 EF 平行，其余 4 个平面与EF 相交，即 n＝4.又因为 CE 与 AB 在同一平面内，所以 CE 与正方体下底面共面，与上底面平行，与其余四个面相交，即 m＝4，所以 m＋ n＝4＋4＝8.9．若两条异面直线所成的角为 60°，则称这对异面直线为“黄金异面直线对” ，在连接正方体各顶点的所有直线中， “黄金异面直线对”共有____________________对.导 学 号 25401675[答案] 244[解析] 正方体如图，若要出现所成角为 60°的异面直线，则直线为面对角线，以 AC为例，与之构成黄金异面直线对的直线有 4 条，分别是 A′ B， BC′， A′ D， C′ D，正方体的面对角线有 12 条，所以所求的黄金异面直线对共有 ＝24(对)．12×4210．(2015·浙江)如图，在三棱锥 A－ BCD 中， AB＝ AC＝ BD＝ CD＝3， AD＝ BC＝2，点M， N 分别为 AD， BC 的中点，则异面直线 AN， CM 所成的角的余弦值是____________________.导 学 号 25401676[答案] 78[解析] 如图所示，连接 ND，取 ND 的中点 E，连接 ME， CE，则 ME∥ AN，则异面直线 AN， CM 所成的角即为∠ EMC.由题可知 CN＝1， AN＝2 ，∴ ME＝ .2 2又 CM＝2 ， DN＝2 ， NE＝ ，∴ CE＝ ，则 cos∠ CME＝ ＝2 2 2 3CM2＋ EM2－ CE22CM×EM＝ .8＋ 2－ 32×22×2 78三、解答题11．如图，空间四边形 ABCD 中， E、 F、 G 分别在 AB、 BC、 CD 上，且满足AE EB＝ CF FB＝21 ， CG GD＝31 ，过 E、 F、 G 的平面交 AD 于点 H.导 学 号 25401677(1)求 AH HD；(2)求证： EH、 FG、 BD 三线共点．5[答案] (1) AH HD＝31 (2)略[解析] (1)解：∵ ＝ ＝2，∴ EF∥ AC，AEEB CFFB∴ EF∥平面 ACD，而 EF⊂平面 EFGH，平面 EFGH∩平面 ACD＝ GH，∴ EF∥ GH，∴ AC∥ GH.∴ ＝ ＝3.∴ AH HD＝31.AHHD CGGD(2)证明：∵ EF∥ GH，且 ＝ ， ＝ ，EFAC 13 GHAC 14∴ EF∥ GH，∴ EFGH 为梯形．令 EH∩ FG＝ P，则 P∈ EH，而 EH⊂平面 ABD，又 P∈ FG， FG⊂平面 BCD，平面 ABD∩平面 BCD＝ BD，∴ P∈ BD.∴ EH、 FG、 BD 三线共点．12．如图，在四棱锥 O－ ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形， OA⊥底面ABCD， OA＝2， M 为 OA 的中点. 导 学 号 25401678(1)求四棱锥 O－ ABCD 的体积；(2)求异面直线 OC 与 MD 所成角的正切值的大小．[答案] (1) (2)83 63[解析] (1)由已知可求得，正方形 ABCD 的面积 S＝4，所以，四棱锥 O－ ABCD 的体积V＝ ×4×2＝ .13 83(2)连接 AC，设线段 AC 的中点为 E，连接 ME， DE，则∠ EMD 为异面直线 OC 与 MD 所成的角(或其补角)，由已知，可得 DE＝ ， EM＝ ， MD＝ ，2 3 56∵( )2＋( )2＝( )2，2 3 5∴△ DEM 为直角三角形，∴tan∠ EMD＝ ＝ ＝ .DEEM 23 63B 组 能力提升1．(2015·江西七校联考)已知直线 a 和平面 α ， β ， α ∩ β ＝ l， a⊄α ， a⊄β ，且 a在 α ， β 内的射影分别为直线 b 和 c，则直线 b 和 c 的位置关系是 ( )导 学 号 25401679A．相交或平行 B．相交或异面C．平行或异面 D．相交、平行或异面[答案] D[解析] 依题意，直线 b 和 c 的位置关系可能是相交、平行或异面，故选 D.2．(2015·山东青岛平度三校上学期期末)如图，正方体 ABCD－ A1B1C1D1的棱长为 1，线段 B1D1上有两个动点 E， F，且 EF＝ ，则下列结论中错误的是 ( )12 导 学 号 25401680A． AC⊥ BEB． EF∥平面 ABCDC．三棱锥 A－ BEF 的体积为定值D．△ AEF 的面积与△ BEF 的面积相等[答案] D[解析] 因为 AC⊥平面 BDD1B， BE⊂平面 BDD1B1，所以 AC⊥ BE，A 选项正确．根据线面平行的判定定理，知 B 项正确．因为三棱锥的底面△ BEF 的面积是定值，且点 A 到平面BDD1B 的距离是定值 ，所以其体积为定值，故 C 正确．很显然，点 A 和点 B 到 EF 的距离22是不相等的，故 D 是错误的．故选 D.3．如图是正四面体(各面均为正三角形)的平面展开图， G、 H、 M、 N 分别为DE、 BE、 EF、 EC 的中点，在这个正四面体中，① GH 与 EF 平行；7② BD 与 MN 为异面直线；③ GH 与 MN 成 60°角；④ DE 与 MN 垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是____________________. 导 学 号 25401681[答案] ②③④[解析] 还原成正四面体知 GH 与 EF 为异面直线， BD 与 MN 为异面直线， GH 与 MN 成60°角， DE⊥ MN.4．如图，在正方体 ABCD－ A1B1C1D1中， O 为正方形 ABCD 的中心， H 为直线 B1D 与平面ACD1的交点．求证： D1、 H、 O 三点共线. 导 学 号 25401682[证明] 连接 BD， B1D1，则 BD∩ AC＝ O，∵ BB1綊 DD1，∴四边形 BB1D1D 为平行四边形，又 H∈ B1D， B1D⊂平面 BB1D1D，则 H∈平面 BB1D1D，∵平面 ACD1∩平面 BB1D1D＝ OD1，∴ H∈ OD1.即 D1、 H、 O 三点共线．5．如图所示，等腰直角三角形 ABC 中，∠ A＝90°， BC＝ ， DA⊥ AC， DA⊥ AB，若2DA＝1，且 E 为 DA 的中点．求异面直线 BE 与 CD 所成角的余弦值. 导 学 号 25401683[答案] 1010[解析] 取 AC 的中点 F，连接 EF， BF，在△ ACD 中， E、 F 分别是 AD、 AC 的中点，∴ EF∥ CD.8∴∠ BEF 或其补角即为异面直线 BE 与 CD 所成的角，在 Rt△ EAB 中， AB＝ AC＝1， AE＝ AD＝ ，12 12∴ BE＝ .52在 Rt△ EAF 中， AF＝ AC＝ ， AE＝ ，12 12 12∴ EF＝ .22在 Rt△ BAF 中， AB＝1， AF＝ ，∴ BF＝ .12 52在等腰三角形 EBF 中，cos∠ FEB＝ ＝ ＝ .12EFBE2452 1010∴异面直线 BE 与 CD 所成角的余弦值为 .101012017 高考数学一轮复习 第七章 立体几何 第 4 讲 直线、平面平行的判定与性质习题A 组 基础巩固一、选择题1．(2015·揭阳一模)设平面 α ， β ，直线 a， b， a⊂α ， b⊂α ，则“ a∥ β ， b∥ β ”是“ α ∥ β ”的 ( )导 学 号 25401699A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] B[解析] 由平面与平面平行的判定定理可知，若直线 a， b 是平面 α 内两条相交直线，且有“ a∥ β ， b∥ β ”，则有“ α ∥ β ”；当“ α ∥ β ”，若 a⊂α ， b⊂α ，则有“a∥ β ， b∥ β ”，因此“ a∥ β ， b∥ β ”是“ α ∥ β ”的必要不充分条件．选 B.2．(2015·江西师大附中上学期期中)已知两条不重合的直线 m， n 和两个不重合的平面α ， β ，有下列命题：①若 m⊥ n， m⊥ α ，则 n∥ α ；②若 m⊥ α ， n⊥ β ， m∥ n，则 α ∥ β ；③若 m， n 是两条异面直线， m⊂α ， n⊂β ， m∥ β ， n∥ α ，则 α ∥ β ；④若 α ⊥ β ， α ∩ β ＝ m， n⊂β ， n⊥ m，则 n⊥ α .其中正确命题的个数是 ( )导 学 号 25401700A．1 B．2C．3 D．4[答案] C[解析] 若 m⊥ n， m⊥ α ，则直线 n 与平面 α 平行或在平面 α 内，所以①错误；若m⊥ α ， n⊥ β ， m∥ n，则 n⊥ α ，垂直于同一直线的两平面平行，所以 α ∥ β ，则②正确；若 m， n 是两条异面直线，过直线 m 上任意一点作直线 k∥ n，则 m， k 确定一个平面 γ ，若m⊂α ， n⊂β ， m∥ β ， n∥ α ，则 α ∥ γ ， β ∥ γ ，所以 α ∥ β ，则③正确；由线面垂直的判定定理可知④正确．故选 C.3．在空间四边形 ABCD 中， E、 F 分别是 AB 和 BC 上的点，若 AE EB＝ CF FB＝12 ，则对角线 AC 和平面 DEF 的位置关系是 ( )导 学 号 25401701A．平行 B．相交C．在平面内 D．不能确定2[答案] A[解析] 如图，由 ＝ 得 AC∥ EF.又因为 EF⊂平面 DEF， AC⊄平面 DEF，所以 AC∥平AEEB CFFB面 DEF.4．在正方体 ABCD－ A1B1C1D1中，棱长为 a， M， N 分别为 A1B 和 AC 上的点，若A1M＝ AN＝ ，则 MN 与平面 BB1C1C 的位置关系是 ( )2a3 导 学 号 25401702A．相交 B．平行C．垂直 D．不能确定[答案] B[解析] 连接 CD1，在 CD1上取点 P，使 D1P＝ ，∴ MP∥ BC， PN∥ AD1.2a3∴ MP∥面 BB1C1C， PN∥面 AA1D1D.∴面 MNP∥面 BB1C1C，∴ MN∥面 BB1C1C.5．(2015·安徽阜阳一中模拟)过平行六面体 ABCD－ A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面 DBB1D1平行的直线共有 ( )导 学 号 25401703A．4 条 B．6 条C．8 条 D．12 条[答案] D[解析] 如图所示，在平行六面体 ABCD－ A1B1C1D1中， E， F， G， H， M， N， P， Q 分别为相应棱的中点，容易证明平面 EFGH，平面 MNPQ 均与平面 BDD1B1平行．平面 EFGH 和平面MNPQ 中分别有 6 条直线(相应四边形的四条边和两条对角线)满足要求，故共有 12 条直线符合要求．36．下列四个正方体图形中， A， B 为正方体的两个顶点， M， N， P 分别为其所在棱的中点，能得出 AB∥平面 MNP 的图形的序号是 ( )导 学 号 25401704A．①③ B．①④C．②③ D．②④[答案] B[解析] ①中易知 NP∥ AA′， MN∥ A′ B，∴平面 MNP∥平面 AA′ B 可得出 AB∥平面MNP(如图)．④中， NP∥ AB，能得出 AB∥平面 MNP.二、填空题7．考查下列三个命题，在“____________________”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题(其中 l， m 为直线， α ， β 为平面)，则此条件为____________________.导 学 号 25401705①Error! ⇒l∥ α ；②Error!⇒ l∥ α ；③Error!⇒ l∥ α .[答案] l⊄α[解析] ①体现的是线面平行的判定定理，缺的条件是“ l 为平面 α 外的直线” ，即“l⊄α ”，它也同样适合②③ ，故填 l⊄α .8．在四面体 ABCD 中， M， N 分别是△ ACD，△ BCD 的重心，则四面体的四个面中与 MN 平行的是____________________. 导 学 号 25401706[答案] 平面 ABC 和平面 ABD[解析] 连接 AM 并延长交 CD 于 E，连接 BN 并延长交 CD 于 F.由重心的性质可知，E， F 重合为一点，且该点为 CD 的中点 E.由 ＝ ＝ ，得 MN∥ AB.因此 MN∥平面 ABC 且EMMA ENNB 12MN∥平面 ABD.49．过三棱柱 ABC－ A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面 ABB1A1平行的直线共有____________________条. 导 学 号 25403023[答案] 6[解析] 过三棱柱 ABC－ A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，记 AC， BC， A1C1， B1C1的中点分别为 E， F， E1， F1，则直线 EF， EF1， EE1， FF1， E1F， E1F1均与平面 ABB1A1平行，故符合题意的直线共 6 条．10．在正四棱柱 ABCD－ A1B1C1D1中， O 为底面 ABCD 的中心， P 是 DD1的中点，设 Q 是CC1上的点，则点 Q 满足条件____________________时，有平面 D1BQ∥平面 PAO.导 学 号 25401707[答案] Q 为 CC1的中点[解析] 如图，假设 Q 为 CC1的中点，因为 P 为 DD1的中点，所以 QB∥ PA.连接 DB，因为 P， O 分别是 DD1， DB 的中点，所以 D1B∥ PO，又 D1B⊄平面 PAO， QB⊄平面 PAO，所以D1B∥平面 PAO， QB∥平面 PAO，又 D1B∩ QB＝ B，所以平面 D1BQ∥平面 PAO.故 Q 满足条件 Q为 CC1的中点时，有平面 D1BQ∥平面 PAO.三、解答题11．如图， ABCD 与 ADEF 均为平行四边形， M， N， G 分别是 AB， AD， EF 的中点.导 学 号 25401708(1)求证： BE∥平面 DMF；(2)求证：平面 BDE∥平面 MNG.[证明] (1)连接 AE，则 AE 必过 DF 与 GN 的交点 O，连接 MO，则 MO 为△ ABE 的中位线，所以 BE∥ MO，5又 BE⊄平面 DMF， MO⊂平面 DMF，所以 BE∥平面 DMF.(2)因为 N， G 分别为平行四边形 ADEF 的边 AD， EF 的中点，所以 DE∥ GN，又 DE⊄平面 MNG， GN⊂平面 MNG，所以 DE∥平面 MNG.又 M 为 AB 的中点，所以 MN 为△ ABD 的中位线，所以 BD∥ MN，又 MN⊂平面 MNG， BD⊄平面 MNG，所以 BD∥平面 MNG，又 DE， BD⊂平面 BDE， DE∩ BD＝ D，所以平面 BDE∥平面 MNG.12．如图所示，在四棱锥 P－ ABCD 中，底面 ABCD 为正方形， PD⊥平面ABCD， PD＝ AB＝2， E， F， G 分别为 PC， PD， BC 的中点. 导 学 号 25401709(1)求证： PA∥平面 EFG；(2)求三棱锥 P－ EFG 的体积．[解析] (1)证明 如图，取 AD 的中点 H，连接 GH， FH.∵ E， F 分别为 PC， PD 的中点，∴ EF∥ CD.∵ G， H 分别是 BC， AD 的中点，∴ GH∥ CD.∴ EF∥ GH.∴ E， F， H， G 四点共面．∵ F， H 分别为 DP， DA 的中点，∴ PA∥ FH.∵ PA⊄平面 EFG， FH⊂平面 EFG，∴ PA∥平面 EFG.(2)∵ PD⊥平面 ABCD， CG⊂平面 ABCD，∴ PD⊥ CG.6又∵ CG⊥ CD， CD∩ PD＝ D，∴ GC⊥平面 PCD.∵ PF＝ PD＝1， EF＝ CD＝1，12 12∴ S△ PEF＝ EF·PF＝ .12 12又 GC＝ BC＝1，12∴ VP－ EFG＝ VG－ PEF＝ × ×1＝ .13 12 16B 组 能力提升1．已知平面 α 、 β 和直线 m，给出条件：① m∥ α ；② m⊥ α ；③ m⊂α ；④ α ⊥ β ；⑤ α ∥ β .能推导出 m∥ β 的是 ( )导 学 号 25401710A．①④ B．①⑤C．②⑤ D．③⑤[答案] D[解析] 由两平面平行的性质可知，两平面平行，在一个平面内的直线必平行于另一个平面，故选 D.2．如图，在正方体 ABCD－ A1B1C1D1中， E、 F、 G、 H 分别是棱 CC1、 C1D1、 D1D、 CD 的中点， N 是 BC 的中点，动点 M 在四边形 EFGH 上及其内部运动，则 M 满足条件____________________时，有 MN∥平面 B1BDD1.导 学 号 25401711[答案] M∈线段 FH[解析] 因为 HN∥ BD， HF∥ DD1，所以平面 NHF∥平面 B1BDD1，故线段 FH 上任意点 M 与N 相连，都有 MN∥平面 B1BDD1.3．(2015·温州一测)如图，矩形 ABCD 中， E 为边 AB 的中点，将△ ADE 沿直线 DE 翻转成△ A1DE.若 M 为线段 A1C 的中点，则在△ ADE 翻转过程中，正确的命题是____________________.导 学 号 254029797①| BM|是定值；②点 M 在圆上运动；③一定存在某个位置，使 DE⊥ A1C；④一定存在某个位置，使 MB∥平面 A1DE.[答案] ①②④[解析] 取 DC 中点 N，连接 MN， NB，则 MN∥ A1D， NB∥ DE，∴平面 MNB∥平面 A1DE，∵ MB⊂平面 MNB，∴ MB∥平面 A1DE，④正确；∠ A1DE＝∠ MNB， MN＝ A1D＝定值， NB＝ DE＝定值，根据余弦定理，12MB2＝ MN2＋ NB2－2 MN·NB·cos∠ MNB，所以 MB 是定值．①正确；B 是定点，所以 M 是在以 B 为圆心， MB 为半径的圆上，②正确；当矩形 ABCD 满足 AC⊥ DE 时存在，其他情况不存在，③不正确．所以①②④正确．4．(2015·云南昆明三中、玉溪一中高三统一考试)如图， AB 为圆 O 的直径，点 E， F在圆 O 上，且 AB∥ EF，矩形 ABCD 所在的平面和圆 O 所在的平面互相垂直，且AD＝ EF＝ AF＝1， AB＝2. 导 学 号 25401712(1)求证：平面 AFC⊥平面 CBF.(2)在线段 CF 上是否存在一点 M，使得 OM∥平面 ADF？并说明理由．[答案] (1)略 (2)存在， M 为 CF 中点[证明] (1)因为平面 ABCD⊥平面 ABEF， CB⊥ AB，平面 ABCD∩平面 ABEF＝ AB，所以 CB⊥平面 ABEF，因为 AF⊂平面 ABEF，8所以 AF⊥ CB，又 AB 为圆 O 的直径，所以 AF⊥ BF，所以 AF⊥平面 CBF.因为 AF⊂平面 AFC，所以平面 AFC⊥平面 CBF.(2)取 CF 中点记作 M，设 DF 的中点为 N，连接 AN， MN，如图所示，则 MN 綊 CD，又 AO 綊 CD，则 MN 綊 AO，12 12所以 MNAO 为平行四边形，所以 OM∥ AN，又 AN⊂平面 ADF， OM⊄平面 ADF，所以 OM∥平面 ADF.5．(改编题)如图，在三棱柱 ABC－ A1B1C1中， AB⊥平面 BB1C1C， BB1＝2 BC， D， E， F 分别是 CC1， A1C1， B1C1的中点， G 在 BB1上，且 BG＝3 GB1.导 学 号 25402980(1)求证： B1D⊥平面 ABD；(2)求证：平面 GEF∥平面 ABD.[证明] (1)取 BB1的中点为 M，连接 MD，如图所示．因为 BB1＝2 BC，且四边形 BB1C1C 为平行四边形，所以四边形 CDMB 和四边形 DMB1C1为菱形．故∠ CDB＝∠ BDM，∠ MDB1＝∠ B1DC1.所以∠ BDM＋∠ MDB1＝90°，即 BD⊥ B1D.又 AB⊥平面 BB1C1C， B1D⊂平面 BB1C1C，所以 AB⊥ B1D.又 AB∩ BD＝ B，所以 B1D⊥平面 ABD.(2)连接 MC1，因为 G 为 MB1的中点， F 为 B1C1的中点，所以 GF∥ MC1.又 MB 綊 C1D，所以四边形 BMC1D 为平行四边形，所以 MC1∥ BD.故 GF∥ BD.又 BD⊂平面 ABD，所以 GF∥平面 ABD.又 EF∥ A1B1， A1B1∥ AB， AB⊂平面 ABD，所以 EF∥平面 ABD.又 EF∩ GF＝ F，故平面 GEF∥平面 ABD.9