（新课标）2017版高考数学大一轮复习 第九章 解析几何题组 理（打包11套）.zip

1题组层级快练(四十七)1．直线 3x＋ y－1＝0 的倾斜角是( )3A. B.π 6 π 3C. D.2π3 5π6答案 C解析 直线 3x＋ y－1＝0 的斜率 k＝－ ，倾斜角为 .3 32π32．直线 l 过点 M(－2，5)，且斜率为直线 y＝－3x＋2 的斜率的 ，则直线 l 的方程为( )14A．3x＋4y－14＝0 B．3x－4y＋14＝0C．4x＋3y－14＝0 D．4x－3y＋14＝0答案 A解析 因为直线 l 的斜率为直线 y＝－3x＋2 的斜率的 ，则直线 l 的斜率为 k＝－ ，故14 34y－5＝－ (x＋2)，得 3x＋4y－14＝0，故选 A.343．已知直线 l 的倾斜角为 α，且 sinα＋cosα＝ ，则直线 l 的斜率是( )15A．－ B．－43 34C．－ 或－ D．±43 34 43答案 A解析 ∵α 为倾斜角，∴0≤α＜π.∵sinα＋cosα＝ ，∴sinα＝ ，cosα＝－ .15 45 35∴tanα＝－ .434．(2016·唐山一中月考)已知直线 PQ 的斜率为－ ，将直线绕点 P 顺时针旋转 60°所得3的直线的斜率为( )A. B．－3 3C．0 D．1＋ 3答案 A解析 直线 PQ 的斜率为－ ，则直线 PQ 的倾斜角为 120°，所求直线的倾斜角为 60°，3tan60°＝ .325．直线(2m 2－m＋3)x＋(m 2＋2m)y＝4m＋1 在 x 轴上的截距为 1，则实数 m 的值为( )A．2 或 B．2 或－12 12C．－2 或－ D．－2 或12 12答案 A解析 令 y＝0，则(2m 2－m＋3)x＝4m＋1，又 2m2－m＋3≠0，所以 ＝1，即4m＋ 12m2－ m＋ 32m2－5m＋2＝0，解得 m＝2 或 m＝ .126．两直线 － ＝1 与 － ＝1 的图像可能是图中的哪一个( )xm yn xn ym答案 B7．(2016·海淀区)若直线 l 经过点 A(1，2)，且在 x 轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是( )A．－11 或 k 或 k0，bc0，bc0C．ab0 D．ab0，故 ab0，bc0，2－ k0.)S△AOB ＝ ·|OA|·|OB|＝ · ·(2－k)＝ (4－ －k)．12 12 k－ 2k 12 4k由－ 0，－k0，得4kS△AOB ≥ (4＋2 )＝4.12 （ － 4k） （ － k）当且仅当 k＝－2 时取“＝” ．∴S △AOB 最小值为 4，方程为 2x＋y－4＝0.1．不论 m 为何值，直线(m－1)x－y＋2m＋1＝0 恒过定点( )A．(1，－1) B．(－2，0)C．(2，3) D．(－2，3)答案 D解析 将方程整理为 m(x＋2)－(x＋y－1)＝0，令 解得{x＋ 2＝ 0，x＋ y－ 1＝ 0， ) {x＝ － 2，y＝ 3. )则直线恒过定点(－2，3)．2．若过点 A(4，a)与 B(5，b)的直线与直线 y＝x＋m 平行，则|AB|＝( )A．6 B. 2C．2 D．不能确定答案 B3．若斜率为 2 的直线经过(3，5)，(a，7)，(－1，b)三点，则 a，b 的值是( )A．a＝4，b＝0 B．a＝－4，b＝－3C．a＝4，b＝－3 D．a＝－4，b＝3答案 C解析 k＝ ＝ ＝2，解得 a＝4，b＝－3.7－ 5a－ 3 5－ b3－ （ － 1）4．直线 x＋a 2y－a＝0(a0)，当此直线在 x，y 轴上的截距和最小时，a 的值为________．答案 1解析 方程可化为 ＋ ＝1，因为 a0，所以截距之和 t＝a＋ ≥2，当且仅当 a＝ ，即xa y1a 1a 1aa＝1 时取等号，故 a 的值为 1.75．若 ab0，且 A(a，0)，B(0，b)，C(－2，－2)三点共线，则 ab 的最小值为________．答案 16解析 根据 A(a，0)，B(0，b)确定直线的方程为 ＋ ＝1，又 C(－2，－2)在该直线上，故xa yb＋ ＝1，所以－2(a＋b)＝ab.又 ab0，故 a0，b0.－ 2a － 2b根据基本不等式 ab＝－2(a＋b)≥4 ，从而 ≤0(舍去)或 ≥4，故 ab≥16，当且仅ab ab ab当 a＝b＝－4 时取等号．即 ab 的最小值为 16.6．一条直线经过点 A(－2，2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为 1，则此直线的方程为________．答案 x＋2y－2＝0 或 2x＋y＋2＝0解析 设直线的斜率为 k(k≠0)，则直线方程为 y－2＝k(x＋2)，由 x＝0 知 y＝2k＋2.由 y＝0 知 x＝ .－ 2k－ 2k由 |2k＋2|| |＝1.12 － 2k－ 2k得 k＝－ 或 k＝－2.12故直线方程为 x＋2y－2＝0 或 2x＋y＋2＝0.7．设直线 l 的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．(1)若 l 在两坐标轴上截距相等，求 l 的方程；(2)若 l 不经过第二象限，求实数 a 的取值范围．答案 (1)3x＋y＝0 或 x＋y＋2＝0 (2)a≤－1解析 (1)当直线过原点时，在 x 轴和 y 轴上的截距为零．∴a＝2，方程即为 3x＋y＝0.当直线不过原点时，由截距存在且均不为 0，∴ ＝a－2，即 a＋1＝1.a－ 2a＋ 1∴a＝0，方程即为 x＋y＋2＝0.因此直线 l 的方程为 3x＋y＝0 或 x＋y＋2＝0.(2)将 l 的方程化为 y＝－(a＋1)x＋a－2，∴ ∴a≤－1.{－ （ a＋ 1） ≥ 0，a－ 2≤ 0. )综上可知 a 的取值范围是 a≤－1.88.如图，射线 OA，OB 分别与 x 轴正半轴成 45°和 30°角，过点 P(1，0)作直线 AB 分别交OA，OB 于 A，B 两点，当 AB 的中点 C 恰好落在直线 y＝ x 上时，求直线 AB 的方程．12解析 由题意可得 kOA＝tan45°＝1，k OB＝tan(180°－30°)＝－ ，33所以直线 lOA：y＝x，l OB：y＝－ x.33设 A(m，m)，B(－ n，n)，所以 AB 的中点 C( ， )，3m－ 3n2 m＋ n2由点 C 在直线 y＝ x 上，且 A，P，B 三点共线得12{m＋ n2 ＝ 12·m－ 3n2 ，m－ 0m－ 1＝ n－ 0－ 3n－ 1， )解得 m＝ ，所以 A( ， )．3 3 3又 P(1，0)，所以 kAB＝k AP＝ ＝ ，所以 lAB：y＝ (x－1)，33－ 1 3＋ 32 3＋ 32即直线 AB 的方程为(3＋ )x－2y－3－ ＝0.3 31题组层级快练(四十八)1．若 l1：x＋(1＋m)y＋(m－2)＝0，l 2：mx＋2y＋6＝0 平行，则实数 m 的值是( )A．m＝1 或 m＝－2 B．m＝1C．m＝－2 D．m 的值不存在答案 A解析 方法一：据已知若 m＝0，易知两直线不平行，若 m≠0，则有 ＝ ≠ ⇒1m 1＋ m2 m－ 26m＝1 或 m＝－2.方法二：由 1×2＝(1＋m)m，得 m＝－2 或 m＝1.当 m＝－2 时，l 1：x－y－4＝0，l 2：－2x＋2y＋6＝0，平行．当 m＝1 时，l 1：x＋2y－1＝0，l 2：x＋2y＋6＝0，平行．2．若直线 mx＋4y－2＝0 与直线 2x－5y＋n＝0 垂直，垂足为(1，p)，则实数 n 的值为( )A．－12 B．－2C．0 D．10答案 A解析 由 2m－20＝0，得 m＝10.由垂足(1，p)在直线 mx＋4y－2＝0 上，得 10＋4p－2＝0.∴p＝－2.又垂足(1，－2)在直线 2x－5y＋n＝0 上，则解得 n＝－12.3．对任意实数 a，直线 y＝ax－3a＋2 所经过的定点是( )A．(2，3) B．(3，2)C．(－2，3) D．(3，－2)答案 B解析 直线 y＝ax－3a＋2 变为 a(x－3)＋(2－y)＝0.又 a∈R，∴ 解得{x－ 3＝ 0，2－ y＝ 0， )得定点为 (3，2)．{x＝ 3，y＝ 2， )4．点 A(1，1)到直线 xcosθ＋ysinθ－2＝0 的距离的最大值是( )A．2 B．2－ 2C．2＋ D．42答案 C解析 由点到直线的距离公式，得 d＝ ＝2－ sin(θ＋ )，又|cosθ ＋ sinθ － 2|cos2θ ＋ sin2θ 2 π 4θ∈R，∴d max＝2＋ .25．(2016·广元模拟)若直线 l1：x－2y＋m＝0(m0)与直线 l2：x＋ny－3＝0 之间的距离是2，则 m＋n＝( )5A．0 B．1C．－1 D．2答案 A解析 ∵直线 l1：x－2y＋m＝0(m0)与直线 l2：x＋ny－3＝0 之间的距离为 ，5∴ ∴n＝－2，m＝2(负值舍去)．{n＝ － 2，|m＋ 3|5 ＝ 5， )∴m＋n＝0.6．下面给出的四个点中，到直线 x－y＋1＝0 的距离为 ，且位于 表示的22 {x＋ y－ 10)平面区域内的点是( )A．(1，1) B．(－1，1)C．(－1，－1) D．(1，－1)答案 C解析 验证法，A，B 两选项不能满足线性约束条件 C 选项表示的点满足到{x＋ y－ 10； )直线 x－y＋1＝0 的距离为 ；而 D 选项中点到直线 x－y＋1＝0 的距离为 ，故排除22 322A，B，D，选 C.7．若曲线 y＝x 4的一条切线 l 与直线 x＋4y－8＝0 垂直，则 l 的方程为( )A．4x－y－3＝0 B．x＋4y－5＝0C．4x－y＋3＝0 D．x＋4y＋3＝0答案 A解析 令 y′＝4x 3＝4，得 x＝1，∴切点为(1，1)，l 的斜率为 4.故 l 的方程为 y－1＝4(x－1)，即 4x－y－3＝0.8．若直线 ＋ ＝1 通过点 M(cosα，sinα)，则( )xa ybA．a 2＋b 2≤1 B．a 2＋b 2≥1C. ＋ ≤1 D. ＋ ≥11a2 1b2 1a2 1b2答案 D解析 直线 ＋ ＝1 通过点 M(cosα，sinα)，我们知道点 M 在单位圆上，此问题可转化为xa yb直线 ＋ ＝1 和圆 x2＋y 2＝1 有公共点，圆心坐标为(0，0)，由点到直线的距离公式有xa yb3≤1⇒ ＋ ≥1，故选 D.|－ 1|1a2＋ 1b2 1a2 1b29．(2016·云南统考)已知 A，B 两点分别在两条互相垂直的直线 2x－y＝0 和 x＋ay＝0 上，且 AB 线段的中点为 P(0， )，则线段 AB 的长为( )10aA．11 B．10C．9 D．8答案 B解析 依题意 a＝2，P(0，5)，设 A(x，2x)，B(－2y，y)，故 则 A(4，8)，{x－ 2y＝ 0，2x＋ y＝ 10， )B(－4，2)，∴|AB|＝ ＝10.（ 4＋ 4） 2＋ （ 8－ 2） 210．光线沿直线 y＝2x＋1 射到直线 y＝x 上，被 y＝x 反射后的光线所在的直线方程为( )A．y＝ x－1 B．y＝ x－12 12 12C．y＝ x＋ D．y＝ x＋112 12 12答案 B解析 由 得 即直线过(－1，－1)．{y＝ 2x＋ 1，y＝ x， ) {x＝ － 1，y＝ － 1， )又直线 y＝2x＋1 上一点(0，1)关于直线 y＝x 对称的点(1，0)在所求直线上，∴所求直线方程为 ＝ ，即 y＝ － .y－ 0－ 1－ 0 x－ 1－ 1－ 1 x2 1211．设 a，b，c 分别是△ABC 中∠A，∠B，∠C 所对边的边长，则直线 sinA·x＋ay＋c＝0与 bx－sinB·y＋sinC＝0 的位置关系是( )A．平行 B．重合C．垂直 D．相交但不垂直答案 C解析 由正弦定理，得 ＝ .asinA bsinB∵两直线的斜率分别为 k1＝－ ，k 2＝ ，sinAa bsinB∴k 1·k2＝－ · ＝－1，∴两直线垂直．sinAa bsinB12．(2016·贵州六校联盟第二次联考)数学家欧拉 1765 年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知△ABC 的顶点 A(2，0)，B(0，4)，若其欧拉线的方程为 x－y＋2＝0，则顶点 C 的坐标是( )4A．(－4，0) B．(0，－4)C．(4，0) D．(4，0)或(－4，0)答案 A解析 当顶点 C 的坐标是(－4，0)时，三角形重心坐标为(－ ， )，在欧拉线上，对于其23 43他选项，三角形重心都不在欧拉线上．选 A.13．(2016·重庆检测)已知直线 l1的方程为 3x＋4y－7＝0，直线 l2的方程为6x＋8y＋1＝0，则直线 l1与 l2的距离为________．答案 32解析 直线 l1的方程为 3x＋4y－7＝0，直线 l2的方程为 6x＋8y＋1＝0，即3x＋4y＋ ＝0，∴直线 l1与 l2的距离为 ＝ .12 |12＋ 7|32＋ 42 3214．已知两直线 a1x＋b 1y＋1＝0 和 a2x＋b 2y＋1＝0 的交点为 P(2，3)，则过两点 Q1(a1，b 1)，Q2(a2，b 2)(a1≠a 2)的直线方程为________．答案 2x＋3y＋1＝0解析 因为点 P(2，3)在已知直线上，所以 2a1＋3b 1＋1＝0，2a 2＋3b 2＋1＝0，所以 2(a1－a 2)＋3(b 1－b 2)＝0，即 ＝－ ，b1－ b2a1－ a2 23所以所求直线方程为 y－b 1＝－ (x－a 1)．23所以 2x＋3y－(2a 1＋3b 1)＝0，即 2x＋3y＋1＝0.15.如图所示，已知 A(4，0)，B(0，4)，从点 P(2，0)射出的光线经直线 AB 反射后再射到直线 OB 上，最后经直线 OB 反射后又回到 P 点，则光线所经过的路程是________．答案 2 10解析 由题意，求出 P 关于直线 x＋y＝4 及 y 轴的对称点分别为 P1(4，2)，P 2(－2，0)，由物理知识知，光线所经路程即为|P 1P2|＝2 .1016．已知两条直线 l1：ax－by＋4＝0 和 l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的 a，b的值．(1)l1⊥l 2，且 l1过点(－3，－1)；5(2)l1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．答案 (1) (2) 或{a＝ 2b＝ 2) {a＝ 2，b＝ － 2) {a＝ 23b＝ 2)解析 (1)∵l 1⊥l 2，∴a·(a－1)－b＝0， ①又∵l 1过点(－3，－1)，∴－3a＋b＋4＝0 ②由①，②解得：a＝2，b＝2.(2)∵l 2的斜率存在，l 1∥l 2，∴直线 l1的斜率存在，∴k 1＝k 2，即 ＝1－a ③ab又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，l 1∥l 2，∴l 1、l 2在 y 轴上的截距互为相反数．即 ＝b， ④4b由③④联立解得 或{a＝ 2，b＝ － 2， ) {a＝ 23，b＝ 2.)17．设一直线 l 经过点(－1，1)，此直线被两平行直线 l1：x＋2y－1＝0 和l2：x＋2y－3＝0 所截得线段的中点在直线 x－y－1＝0 上，求直线 l 的方程．答案 2x＋7y－5＝0解析 方法一：设直线 x－y－1＝0 与 l1，l 2的交点为 C(xC，y C)，D(x D，y D)，则⇒ ∴C(1，0)．{x＋ 2y－ 1＝ 0，x－ y－ 1＝ 0 ) {xC＝ 1，yC＝ 0， )⇒ ∴D( ， )．{x＋ 2y－ 3＝ 0，x－ y－ 1＝ 0 ) {xD＝ 53，yD＝ 23， ) 53 23则 C，D 的中点 M 为( ， )．43 13又 l 过点(－1，1)，由两点式得 l 的方程为＝ ，y－ 131－ 13x－ 43－ 1－ 43即 2x＋7y－5＝0 为所求方程．方法二：∵与 l1，l 2平行且与它们的距离相等的直线方程为 x＋2y＋ ＝0，即－ 1－ 32x＋2y－2＝0.由 得 M( ， )．(以下同方法一){x＋ 2y－ 2＝ 0，x－ y－ 1＝ 0， ) 43 13方法三：过中点且与两直线平行的直线方程为 x＋2y－2＝0，6设所求方程为(x－y－1)＋λ(x＋2y－2)＝0，∵(－1，1)在此直线上，∴－1－1－1＋λ(－1＋2－2)＝0，∴λ＝－3，代入所设得2x＋7y－5＝0.方法四：设所求直线与两平行线 l1，l 2的交点为 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则⇒(x1＋x 2)＋2(y 1＋y 2)－4＝0.{x1＋ 2y1－ 1＝ 0，x2＋ 2y2－ 3＝ 0)又 A，B 的中点在直线 x－y－1＝0 上，∴ － －1＝0.x1＋ x22 y1＋ y22解得 (以下同方法一){x1＋ x22 ＝ 43，y1＋ y22 ＝ 13.)18．在△ABC 中，BC 边上的高所在直线 l1的方程为 x－2y＋1＝0，∠A 的平分线所在的直线 l2的方程为 y＝0，若点 B 的坐标为(1，2)，求点 A，C 的坐标．答案 A(－1，0)，C(5，－6)解析 如图，设 C(x0，y 0)，由题意知 l1∩l 2＝A，则⇒{x－ 2y＋ 1＝ 0，y＝ 0 ) {x＝ － 1，y＝ 0. )即 A(－1，0)．又∵l 1⊥BC，∴k BC·kl1＝－1.∴k BC＝ ＝ ＝－2.－ 1kl1 － 112∴由点斜式可得 BC 的直线方程为 y－2＝－2(x－1)，即 2x＋y－4＝0.又∵l 2：y＝0(x 轴)是∠A 的平分线，∴B 关于 l2的对称点 B′在直线 AC 上，易得 B′点的坐标为(1，－2)，由两点式可得直线AC 的方程为 x＋y＋1＝0.由 C(x0，y 0)在直线 AC 和 BC 上，可得 ⇒{x0＋ y0＋ 1＝ 0，2x0＋ y0－ 4＝ 0) {x0＝ 5，y0＝ － 6.)71． “m＝－1”是“直线 mx＋(2m－1)y＋2＝0 与直线 3x＋my＋3＝0 垂直”的( )A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案 A解析 若 m＝－1，则两直线的斜率积为－ ×3＝－1，所以两直线垂直，充分性满足．若13两直线垂直，则有 3m＋m(2m－1)＝0，解得 m＝0，或 m＝－1，必要性不满足．综上可知选A.2．直线 y＝2x＋1 关于点(1，1)对称的直线方程是( )A．y＝2x－1 B．y＝－2x＋1C．y＝－2x＋3 D．y＝2x－3答案 D解析 在直线 y＝2x＋1 上任取两个点 A(0，1)，B(1，3)，则点 A 关于点(1，1)对称的点为 M(2，1)，点 B 关于点(1，1)对称的点为 N(1，－1)．由两点式求出对称直线 MN 的方程为 ＝ ，即 y＝2x－3，故选 D.y＋ 11＋ 1 x－ 12－ 13．已知直线 l 的倾斜角为 ，直线 l1经过点 A(3，2)，B(a，－1)，且 l1与 l 垂直，直3π4线 l2：2x＋by＋1＝0 与直线 l1平行，则 a＋b＝( )A．－4 B．－2C．0 D．2答案 B解析 l 的斜率为－1，则 l1的斜率为 1，k AB＝ ＝1，2－ （ － 1）3－ a∴a＝0.由 l1∥l 2，得－ ＝1，b＝－2.2b∴a＋b＝－2.4．(2016·南通一模)在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A(0，－1)，B(－3，－4)两点，若点 C 在∠AOB 的平分线上，且| |＝ ，则点 C 的坐标是________．OC→ 10答案 (－1，－3)解析 设 C(a，b)(a0，b0)．OB 所在直线方程为 4x－3y＝0，则 解得{|4a－ 3b|5 ＝ |a|，a2＋ b2＝ 10， )∴C( －1，－3)．{a＝ － 1，b＝ － 3.)5．正方形的中心为 C(－1，0)，一条边所在的直线方程是 x＋3y－5＝0，求其他三边所在8直线的方程．解析 点 C 到直线 x＋3y－5＝0 的距离 d＝ ＝ .|－ 1－ 5|1＋ 9 3105设与 x＋3y－5＝0 平行的一边所在直线的方程是 x＋3y＋m＝0(m≠－5)，则点 C 到直线 x＋3y＋m＝0 的距离 d＝ ＝ ，解得 m＝－5(舍去)或 m＝7.|－ 1＋ m|1＋ 9 3105所以与 x＋3y－5＝0 平行的边所在直线的方程是 x＋3y＋7＝0.设与 x＋3y－5＝0 垂直的边所在直线的方程是 3x－y＋n＝0，则点 C 到直线 3x－y＋n＝0 的距离 d＝ ＝ ，解得 n＝－3 或 n＝9.|－ 3＋ n|1＋ 9 3105所以与 x＋3y－5＝0 垂直的两边所在直线的方程分别是 3x－y－3＝0 和 3x－y＋9＝0.6．已知直线 l1为曲线 y＝x 2＋x－2 在点(1，0)处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l 2.(1)求直线 l2的方程；(2)求由直线 l1，l 2和 x 轴所围成的三角形的面积．答案 (1)y＝－ x－ (2)13 229 12512解析 (1)y′＝2x＋1.直线 l1的方程为 y＝3x－3.设直线 l2过曲线 y＝x 2＋x－2 上的点 B(b，b 2＋b－2)，则 l2的方程为 y＝(2b＋1)x－b 2－2.因为 l1⊥l 2，则有 2b＋1＝－ ，b＝－ .13 23所以直线 l2的方程为 y＝－ x－ .13 229(2)解方程 得{y＝ 3x－ 3，y＝ － 13x－ 229， ) {x＝ 16，y＝ － 52.)所以直线 l1和 l2的交点的坐标为( ，－ )．16 52l1，l 2与 x 轴交点的坐标分别为(1，0)，(－ ，0)．223所以所求三角形的面积为 S＝ × ＝ .12 253|－ 52| 125121题组层级快练(四十九)1．以抛物线 y2＝4x 的焦点为圆心，半径为 2 的圆的方程为( )A．x 2＋y 2－2x－1＝0 B．x 2＋y 2－2x－3＝0C．x 2＋y 2＋2x－1＝0 D．x 2＋y 2＋2x－3＝0答案 B解析 ∵抛物线 y2＝4x 的焦点是(1，0)，∴圆的标准方程是(x－1) 2＋y 2＝4，展开得 x2＋y 2－2x－3＝0.2．已知一圆的圆心为点(2，－3)，一条直径的两个端点分别在 x 轴和 y 轴上，则此圆的方程是( )A．(x－2) 2＋(y＋3) 2＝13 B．(x＋2) 2＋(y－3) 2＝13C．(x－2) 2＋(y＋3) 2＝52 D．(x＋2) 2＋(y－3) 2＝52答案 A解析 设该直径的两个端点分别为 P(a，0)，Q(0，b)，则 A(2，－3)是线段 PQ 的中点，所以 P(4，0)，Q(0，－6)，圆的半径 r＝|PA|＝ ＝ .（ 4－ 2） 2＋ 32 13故圆的方程为(x－2) 2＋(y＋3) 2＝13.3．过点 A(1，－1)，B(－1，1)，且圆心在直线 x＋y－2＝0 上的圆的方程是( )A．(x－3) 2＋(y＋1) 2＝4 B．(x＋3) 2＋(y－1) 2＝4C．(x－1) 2＋(y－1) 2＝4 D．(x＋1) 2＋(y＋1) 2＝4答案 C解析 设圆心 C 的坐标为(a，b)，半径为 r.∵圆心 C 在直线 x＋y－2＝0 上，∴b＝2－a.∵|CA| 2＝|CB| 2，∴(a－1) 2＋(2－a＋1) 2＝(a＋1) 2＋(2－a－1) 2.∴a＝1，b＝1.∴r＝2.∴方程为(x－1) 2＋(y－1) 2＝4.4．(2016·四川成都外国语学校)已知圆 C1：(x＋1) 2＋(y－1) 2＝1，圆 C2与圆 C1关于直线x－y－1＝0 对称，则圆 C2的方程为( )A．(x＋2) 2＋(y－2) 2＝1 B．(x－2) 2＋(y＋2) 2＝1C．(x＋2) 2＋(y＋2) 2＝1 D．(x－2) 2＋(y－2) 2＝1答案 B解析 C 1：(x＋1) 2＋(y－1) 2＝1 的圆心为(－1，1)，它关于直线 x－y－1＝0 对称的点为(2，－2)，对称后半径不变，所以圆 C2的方程为(x－2) 2＋(y＋2) 2＝1.5．过点 P(0，1)与圆 x2＋y 2－2x－3＝0 相交的所有直线中，被圆截得的弦最长时的直线方2程是( )A．x＝0 B．y＝1C．x＋y－1＝0 D．x－y＋1＝0答案 C解析 依题意得所求直线是经过点 P(0，1)及圆心(1，0)的直线，因此所求直线方程是x＋y＝1，即 x＋y－1＝0，选 C.6．(2016·山东青岛一模)若过点 P(1， )作圆 O：x 2＋y 2＝1 的两条切线，切点分别为 A3和 B，则弦长|AB|＝( )A. B．23C. D．42答案 A解析 如图所示，∵PA，PB 分别为圆 O：x 2＋y 2＝1 的切线，∴OA⊥AP.∵P(1， )，O(0，0)，∴|OP|＝ ＝2.3 1＋ 3又∵|OA|＝1，∴在 Rt△APO 中，cos∠AOP＝ .12∴∠AOP＝60°，∴|AB|＝2|AO|sin∠AOP＝ .37．在圆 x2＋y 2－2x－6y＝0 内，过点 E(0，1)的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD，则四边形 ABCD 的面积为( )A．5 B．102 2C．15 D．202 2答案 B解析 圆的标准方程为(x－1) 2＋(y－3) 2＝10，则圆心(1，3)，半径 r＝ ，由题意知10AC⊥BD，且|AC|＝2 ，|BD|＝2 ＝2 ，所以四边形 ABCD 的面积为10 10－ 5 5S＝ |AC|·|BD|12＝ ×2 ×2 ＝10 .12 10 5 28．已知点 P 在圆 x2＋y 2＝5 上，点 Q(0，－1)，则线段 PQ 的中点的轨迹方程是( )A．x 2＋y 2－x＝0 B．x 2＋y 2＋y－1＝0C．x 2＋y 2－y－2＝0 D．x 2＋y 2－x＋y＝03答案 B解析 设 P(x0，y 0)，PQ 中点的坐标为(x，y)，则 x0＝2x，y 0＝2y＋1，代入圆的方程即得所求的方程是 4x2＋(2y＋1) 2＝5，化简，得 x2＋y 2＋y－1＝0.9．已知两点 A(0，－3)，B(4，0)，若点 P 是圆 x2＋y 2－2y＝0 上的动点，则△ABP 面积的最小值为( )A．6 B.112C．8 D.212答案 B解析 如图，过圆心 C 向直线 AB 作垂线交圆于点 P，连接 BP，AP，这时△ABP 的面积最小．直线 AB 的方程为 ＋ ＝1，x4 y－ 3即 3x－4y－12＝0，圆心 C 到直线 AB 的距离为 d＝ ＝ ，|3×0－ 4×1－ 12|32＋ （ － 4） 2 165∴△ABP 的面积的最小值为 ×5×( －1)＝ .12 165 11210．若方程 x2＋y 2－2x＋2my＋2m 2－6m＋9＝0 表示圆，则 m 的取值范围是________；当半径最大时，圆的方程为________．答案 20，∴20)上，并且与抛物线的准线及 y 轴均相切的圆的方程是( )A．x 2＋y 2－x－2y－ ＝0 B．x 2＋y 2＋x－2y＋1＝014C．x 2＋y 2－x－2y＋1＝0 D．x 2＋y 2－2x－y＋ ＝014答案 D解析 ∵圆心在抛物线上，∴设圆心(a， )．a22∴圆的方程为(x－a) 2＋(y－ )2＝r 2.a22∴x 2＋y 2－2ax－a 2y＋a 2＋ －r 2＝0.a44对比 A，B，C，D 项，仅 D 项 x，y 前系数符合条件．85．若圆 C 的半径为 1，点 C 与点(2，0)关于点(1，0)对称，则圆 C 的标准方程为( )A．x 2＋y 2＝1 B．(x－3) 2＋y 2＝1C．(x－1) 2＋y 2＝1 D．x 2＋(y－3) 2＝1答案 A解析 因为点 C 与点(2，0)关于点(1，0)对称，故由中点坐标公式可得 C(0，0)，所以所求圆的标准方程为 x2＋y 2＝1.6．若直线 l：4x－3y－12＝0 与 x，y 轴的交点分别为 A，B，O 为坐标原点，则△AOB 内切圆的方程为________．答案 (x－1) 2＋(y＋1) 2＝1解析 由题意知，A(3，0)，B(0，－4)，则|AB|＝5.∴△AOB 的内切圆半径 r＝ ＝1，内切圆的圆心坐标为(1，－1)．3＋ 4－ 52∴内切圆的方程为(x－1) 2＋(y＋1) 2＝1.7．已知圆 C 的方程为 x2＋y 2－mx－2my＝0(m≠0)，以下关于这个圆的叙述中，所有正确命题的序号是________．①圆 C 必定经过坐标原点；②圆 C 的圆心不可能在第二象限或第四象限；③y 轴被圆 C 所截得的弦长为 2m；④直线 y＝x 与 y 轴的夹角的平分线必过圆心．答案 ①②8．(2016·西安五校联考)若过圆 x2＋y 2＝4 外一点 P(4，2)作圆的切线，切点为 A，B，则△APB 的外接圆方程为________．答案 (x－2) 2＋(y－1) 2＝5解析 连接 OA，OB，由平面几何知识可知 O，A，P，B 四点共圆，故△APB 的外接圆即为以OP 为直径的圆，即圆心为 C(2，1)，半径 r＝ |OP|＝|OC|＝ ，故圆的方程为(x－2)12 52＋(y－1) 2＝5.9．在直角坐标系 xOy 中，以 M(－1，0)为圆心的圆与直线 x－ y－3＝0 相切．3(1)求圆 M 的方程；(2)如果圆 M 上存在两点关于直线 mx＋y＋1＝0 对称，求实数 m 的值．(3)已知 A(－2，0)，B(2，0)，圆内的动点 P 满足|PA|·|PB|＝|PO| 2，求 · 的取值范PA→ PB→ 围．答案 (1)(x＋1) 2＋y 2＝4 (2)m＝1 (3)[－2，6)解析 (1)依题意，圆 M 的半径 r 等于圆心 M(－1，0)到直线 x－ y－3＝0 的距离，即 r＝39＝2.|－ 1－ 3|1＋ 3∴圆 M 的方程为(x＋1) 2＋y 2＝4.(2)∵圆 M 上存在两点关于直线 mx＋y＋1＝0 对称，∴直线 mx＋y＋1＝0 必过圆心 M(－1，0)．∴－m＋1＝0，∴m＝1.(3)设 P(x，y)，由|PA||PB|＝|PO| 2，得· ＝x 2＋y 2，（ x＋ 2） 2＋ y2 （ x－ 2） 2＋ y2即 x2－y 2＝2.∴ · ＝(－2－x，－y)·(2－x，－y)PA→ PB→ ＝x 2－4＋y 2＝2(y 2－1)．∵点 P 在圆 M 内，∴(x＋1) 2＋y 24，∴0≤y 24，∴－1≤y 2－13.∴ · 的取值范围为[－2，6)．PA→ PB→ 1题组层级快练(五十)1．(2016·衡水调研卷)若直线 ax＋by＝1 与圆 x2＋y 2＝1 相交，则 P(a，b)与圆x2＋y 2＝1 的关系为( )A．在圆上 B．在圆外C．在圆内 D．以上都有可能答案 B解析 1，∴P(a，b)在圆外．|a×0＋ b×0－ 1|a2＋ b22．两圆 C1：x 2＋y 2＋2x－6y－26＝0，C 2：x 2＋y 2－4x＋2y＋4＝0 的位置关系是( )A．内切 B．外切C．相交 D．外离答案 A解析 由于圆 C1的标准方程为(x＋1) 2＋(y－3) 2＝36，故圆心为 C1(－1，3)，半径为 6；圆 C2的标准方程为(x－2) 2＋(y＋1) 2＝1，故圆心为 C2(2，－1)，半径为 1.因此，两圆的圆心距|C 1C2|＝ ＝5＝6－1，显然两圆内切．（ － 1－ 2） 2＋ （ 3＋ 1） 23．已知直线 l：y＝k(x－1)－ 与圆 x2＋y 2＝1 相切，则直线 l 的倾斜角为( )3A. B.π 6 π 2C. D.2π3 5π6答案 D解析 由题意知， ＝1，∴k＝－ .|k＋ 3|k2＋ 1 33∴直线 l 的倾斜角为 .5π64．过点(－4，0)作直线 l 与圆 x2＋y 2＋2x－4y－20＝0 交于 A，B 两点，若|AB|＝8，则直线 l 的方程为( )A．5x＋12y＋20＝0 B．5x＋12y＋20＝0 或 x＋4＝0C．5x－12y＋20＝0 D．5x－12y＋20＝0 或 x＋4＝0答案 B解析 圆的标准方程为(x＋1) 2＋(y－2) 2＝25，由|AB|＝8 知，圆心(－1，2)到直线 l 的距离 d＝3.当直线 l 的斜率不存在，即直线 l 的方程为 x＝－4 时，符合题意．当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y＝k(x＋4)，即 kx－y＋4k＝0.2则有 ＝3，∴k＝－ .|3k－ 2|k2＋ 1 512此时直线 l 的方程为 5x＋12y＋20＝0.5．圆：x 2＋y 2－4x＋2y＋c＝0 与 y 轴交于 A、B 两点，其圆心为 P，若∠APB＝90°，则实数 c 的值是( )A．－3 B．3C．2 D．82答案 A解析 由题知圆心为(2，－1)，半径为 r＝ .令 x＝0 得5－ cy1＋y 2＝－2，y 1y2＝c，∴|AB|＝|y 1－y 2|＝2 .又|AB|＝ r，1－ c 2∴4(1－c)＝2(5－c)．∴c＝－3.6．(2015·新课标全国Ⅱ理)过三点 A(1，3)，B(4，2)，C(1，－7)的圆交 y 轴于 M，N 两点，则|MN|＝( )A．2 B．86C．4 D．106答案 C解析 设过 A，B，C 三点的圆的方程为 x2＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0，则解得 D＝－2，E＝4，F＝－20，所求圆的方程为{D＋ 3E＋ F＋ 10＝ 0，4D＋ 2E＋ F＋ 20＝ 0，D－ 7E＋ F＋ 50＝ 0 )x2＋y 2－2x＋4y－20＝0，令 x＝0，得 y2＋4y－20＝0，设 M(0，y 1)，N(0，y 2)，则y1＋y 2＝－4，y 1y2＝－20，所以|MN|＝|y 1－y 2|＝ ＝4 ，故选 C.（ y1＋ y2） 2－ 4y1y2 67．(2015·重庆理)已知直线 l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆 C：x 2＋y 2－4x－2y＋1＝0 的对称轴．过点 A(－4，a)作圆 C 的一条切线，切点为 B，则|AB|＝( )A．2 B．4 2C．6 D．2 10答案 C解析 圆 C 标准方程为(x－2) 2＋(y－1) 2＝4，圆心为 C(2，1)，半径为 r＝2，因此2＋a×1－1＝0，a＝－1，即 A＝(－4，－1)，|AB|＝ ＝|AC2|－ r2＝6.选 C 项．（ － 4－ 2） 2＋ （ － 1－ 1） 2－ 48．圆 x2＋y 2＋2x＋4y－3＝0 上到直线 x＋y＋1＝0 的距离为 的点共有( )2A．1 个 B．2 个C．3 个 D．4 个答案 C解析 把 x2＋y 2＋2x＋4y－3＝0 化为(x＋1) 2＋(y＋2) 2＝8，圆心为(－1，－2)，半径3r＝2 ，圆心到直线的距离为 ，所以在圆上共有三个点到直线的距离等于 .2 2 29．(2016·福建福州质检)若直线 x－y＋2＝0 与圆 C：(x－3) 2＋(y－3) 2＝4 相交于 A，B 两点，则 · 的值为( )CA→ CB→ A．－1 B．0C．1 D．6答案 B解析 联立 消去 y，{（ x－ 3） 2＋ （ y－ 3） 2＝ 4，x－ y＋ 2＝ 0， )得 x2－4x＋3＝0.解得 x1＝1，x 2＝3.∴A(1，3)，B(3，5)．又 C(3，3)，∴ ＝(－2，0)， ＝(0，2)．CA→ CB→ ∴ · ＝－2×0＋0×2＝0.CA→ CB→ 10．由直线 y＝x＋1 上的一点向圆(x－3) 2＋y 2＝1 引切线，则切线长的最小值为( )A．1 B．2 2C. D．37答案 C解析 设直线上一点 P，切点为 Q，圆心为 M，则|PQ|即为切线长，MQ 为圆 M 的半径，长度为 1，|PQ|＝ ＝ ，要使|PQ|最小，即求|PM|最小，此题转化为求直线|PM|2－ |MQ|2 |PM|2－ 1y＝x＋1 上的点到圆心 M 的最小距离，设圆心到直线 y＝x＋1 的距离为 d，则 d＝＝2 ，|3－ 0＋ 1|12＋ （ － 1） 2 2∴|PM|最小值为 2 ，|PQ|＝ ＝ ＝ ，选 C.2 |PM|2－ 1 （ 22） 2－ 1 711．(2015·重庆文)若点 P(1，2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点 P 处的切线方程为________．答案 x＋2y－5＝0解析 由题意，得 kOP＝ ＝2，则该圆在点 P 处的切线方程的斜率为－ ，所以所求切线2－ 01－ 0 124方程为 y－2＝－ (x－1)，即 x＋2y－5＝0.1212．以 C(1，3)为圆心，并且与直线 3x－4y－6＝0 相切的圆的方程为________．答案 (x－1) 2＋(y－3) 2＝9解析 r＝ ＝3，所求圆的方程为(x－1) 2＋(y－3) 2＝9.|3×1－ 4×3－ 6|513．(2014·大纲全国)直线 l1和 l2是圆 x2＋y 2＝2 的两条切线．若 l1与 l2的交点为(1，3)，则 l1与 l2的夹角的正切值等于________．答案 43解析 利用两点间距离公式及直角三角形求△AOB 各边，进而利用二倍角公式求夹角的正切值．如图，|OA|＝ ＝ .12＋ 32 10∵半径为 ，∴|AB|＝ ＝ ＝2 .2 |OA|2－ |OB|2 10－ 2 2∴tan∠OAB＝ ＝ ＝ .|OB||AB| 222 12∴所求夹角的正切值为tan∠ CAB＝ ＝ ＝ .2tan∠ OAB1－ tan2∠ OAB2×121－ 14 4314．已知直线 x－y＋2＝0 及直线 x－y－10＝0 截圆 C 所得的弦长均为 8，则圆 C 的面3 3积是________．答案 25π解析 因为已知的两条直线平行且截圆 C 所得的弦长均为 8，所以圆心到直线的距离 d 为两直线距离的一半，即 d＝ × ＝3.又因为直线截圆 C 所得的弦长为 8，所以圆的半12 |2＋ 10|3＋ 1径 r＝ ＝5，所以圆 C 的面积是 25π.32＋ 4215．已知圆 C：x 2＋y 2＋2x－4y＋3＝0.若圆 C 的切线在 x 轴和 y 轴上的截距的绝对值相等，求此切线的方程．答案 x＋y－3＝0 或 x＋y＋1＝0 或 x－y＋5＝0 或 x－y＋1＝0 或(2± )x－y＝06解析 ∵切线在两坐标轴上截距的绝对值相等，5∴切线的斜率是±1 或过原点．①当 k＝±1 时，设切线方程为 y＝－x＋b 或 y＝x＋c，分别代入圆 C 的方程得2x2－2(b－3)x＋(b 2－4b＋3)＝0 或 2x2＋2(c－1)x＋(c 2－4c＋3)＝0.由于相切，则方程有等根，即 b＝3 或 b＝－1，c＝5 或 c＝1.故所求切线方程为x＋y－3＝0，x＋y＋1＝0，x－y＋5＝0，x－y＋1＝0.②当切线过原点时，设方程为 y＝kx 即 kx－y＝0.由 ＝ ，得 k＝2± .|－ k－ 2|k2＋ 1 2 6∴此时切线方程为 y＝(2± )x.6综上①②可得切线方程为 x＋y－3＝0，x＋y＋1＝0，x－y＋5＝0，x－y＋1＝0，(2± )6x－y＝0.16．(2016·福建漳州七校第一次联考)已知圆 C：x 2＋y 2＋2x＋a＝0 上存在两点关于直线l：mx＋y＋1＝0 对称．(1)求实数 m 的值；(2)若直线 l 与圆 C 交于 A，B 两点， · ＝－3(O 为坐标原点)，求圆 C 的方程．OA→ OB→ 答案 (1)m＝1 (2)x 2＋y 2＋2x－3＝0解析 (1)圆 C 的方程为(x＋1) 2＋y 2＝1－a，圆心 C(－1，0)．∵圆 C 上存在两点关于直线 l：mx＋y＋1＝0 对称，∴直线 l：mx＋y＋1＝0 过圆心 C.∴－m＋1＝0，解得 m＝1.(2)联立 消去 y，得{x2＋ y2＋ 2x＋ a＝ 0，x＋ y＋ 1＝ 0， )2x2＋4x＋a＋1＝0.设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，Δ＝16－8(a＋1)0，∴a1＋2，∴两圆相离，两圆的公切线（ 2＋ 1） 2＋ （ 1－ 2） 2 10有 4 条．5．已知圆 C：(x－3) 2＋(y－4) 2＝1 和两点 A(－m，0)，B(m，0)(m0)，若 C 上存在的点P，使得∠APB＝90°，则 m 的最大值为( )A．7 B．6C．5 D．4答案 B解析 由(x－3) 2＋(y－4) 2＝1 得圆上点 P(x0，y 0)可化为 {x0＝ 3＋ cosθ ，y0＝ 4＋ sinθ .)∵∠APB＝90°，即 · ＝0，AP→ BP→ ∴(x 0＋m)(x 0－m)＋y 02＝0.∴m 2＝x 02＋y 02＝26＋6cosθ＋8sinθ＝26＋10sin(θ＋φ)≤36.∴m≤6，即 m 的最大值为 6.86．已知直线 x＋y＝a 与圆 x2＋y 2＝4 交于 A，B 两点，O 是坐标原点，向量 ， 满足OA→ OB→ | ＋ |＝| － |，则实数 a 的值是________．OA→ OB→ OA→ OB→ 答案 ±2解析 因为向量 ， 满足| ＋ |＝| － |，所以 OA⊥OB.又因为直线 x＋y＝a 的斜OA→ OB→ OA→ OB→ OA→ OB→ 率为－1，所以直线经过圆与 y 轴的交点，所以 a＝±2.7．已知圆 x2＋y 2－4x＋6y＝0 与圆 x2＋y 2－2x＋4y＝0，则两圆公共弦所在直线方程为________．答案 x－y＝08．已知点 P(2，2)，圆 C：x 2＋y 2－8y＝0，过点 P 的动直线 l 与圆 C 交于 A，B 两点，线段 AB 的中点为 M，O 为坐标原点．(1)求 M 的轨迹方程；(2)当|OP|＝|OM|时，求 l 的方程及△POM 的面积．答案 (1)(x－1) 2＋(y－3) 2＝2(2)x＋3y－8＝0，165解析 (1)圆 C 的方程可化为 x2＋(y－4) 2＝16，所以圆心为 C(0，4)，半径为 4.设 M(x，y)，则 ＝(x，y－4)， ＝(2－x，2－y)．由题设知 · ＝0，故 x(2－x)CM→ MP→ CM→ MP→ ＋(y－4)(2－y)＝0，即(x－1) 2＋(y－3) 2＝2.由于点 P 在圆 C 的内部，所以 M 的轨迹方程是(x－1) 2＋(y－3) 2＝2.(2)由(1)可知 M 的轨迹是以点 N(1，3)为圆心， 为半径的圆．2由于|OP|＝|OM|，故 O 在线段 PM 的垂直平分线上．又 P 在圆 N 上，从而 ON⊥PM.因为 ON 的斜率为 3，所以 l 的斜率为－ ，故 l 的方程为 y＝－ x＋ .13 13 83又|OM|＝|OP|＝2 ，O 到 l 的距离为 ，|PM|＝ ，所以△POM 的面积为 .24105 4105 1659．求两圆 x2＋y 2－2x＋10y－24＝0 和 x2＋y 2＋2x＋2y－8＝0 的公共弦所在直线的方程及公共弦长．思路 两圆公共弦所在直线的方程易求．对于公共弦长，可以求出两圆的交点，再求公共弦长，也可以利用其中一个圆的半径、弦心距、半径长构成的直角三角形求解．解析 联立两圆的方程得两式相减整理得 x－2y＋4＝0，所以两圆公共弦所在直线的方{x2＋ y2－ 2x＋ 10y－ 24＝ 0，x2＋ y2＋ 2x＋ 2y－ 8＝ 0， )程为 x－2y＋4＝0.方法一：设两圆相交于点 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则 A，B 两点的坐标满足方程组9{ x－ 2y＋ 4＝ 0，x2＋ y2＋ 2x＋ 2y－ 8＝ 0， )解得 或{x1＝ － 4，y1＝ 0 ) {x2＝ 0，y2＝ 2.)所以|AB|＝ ＝2 ，即公共弦长为 2 .（ 0＋ 4） 2＋ （ 2－ 0） 2 5 5方法二：由 x2＋y 2－2x＋10y－24＝0，得(x－1) 2＋(y＋5) 2＝50，其圆心坐标为(1，－5)，半径 r＝5 ，圆心到直线 x－2y＋4＝0 的距离 d＝ ＝3 .2|1－ 2×（ － 5） ＋ 4|1＋ （ － 2） 2 5设公共弦长为 2l，由勾股定理得 r2＝d 2＋l 2，即 50＝(3 )2＋l 2，解得 l＝ ，故公共弦5 5长 2l＝2 .5