（新课标）2016届高考数学二轮专题复习 第一部分 论方法习题 理（打包10套）.zip

1【高考调研】 （新课标）2016 届高考数学二轮专题复习 第一部分 论方法 专题 1 函数与方程思想作业 1 理一、选择题1．(2015·太原模拟一)在单调递减的等比数列{ an}中，若 a3＝1， a2＋ a4＝ ，则52a1＝( )A．2 B．4C. D．22 2答案 B解析 在等比数列{ an}中， a2a4＝ a ＝1，又 a2＋ a4＝ ，数列{ an}为递减数列，2352∴ a2＝2， a4＝ ，∴ q2＝ ＝ ，∴ q＝ ， a1＝ ＝4.12 a4a2 14 12 a2q2．(2015·河北五校监测二)已知 θ ∈(0，π)，且 sin(θ － )＝ ，则 tan2θ ＝( )π 4 210A. B.43 34C．－ D.247 247答案 C解析 由 sin(θ － )＝ ，得 (sinθ －cos θ )＝ ，sin θ －cos θ ＝ .π 4 210 22 210 15解方程组Error!得Error!或Error!因为 θ ∈(0，π)，所以 sinθ 0，所以Error!不合题意，舍去，所以 tanθ ＝ ，所以43tan2θ ＝ ＝ ＝－ ，故选 C.2tanθ1－ tan2θ2×431－  43 2 2473．(2015·唐山一模)直线 y＝ a 分别与曲线 y＝2( x＋1)， y＝ x＋ln x 交于点 A， B，则|AB|的最小值为( )A．3 B．2C. D.324 32答案 D2解析 当 y＝ a 时，2( x＋1)＝ a，所以 x＝ －1.设方程 x＋ln x＝ a 的根为 t，则a2t＋ln t＝ a，则| AB|＝| t－ ＋1|＝| t－ ＋1|＝| － ＋1|.设 g(t)a2 t＋ lnt2 t2 lnt2＝ － ＋1( t0)，则 g′( t)＝ － ＝ ，令 g′( t)＝0，得 t＝1，当 t∈(0,1)时，t2 lnt2 12 12t t－ 12tg′( t)0，所以 g(t)min＝ g(1)＝ ，所以| AB|≥ ，所以32 32|AB|的最小值为 .324．(2015·保定质检二)等差数列{ an}的前 n 项和为 Sn，且 a1＋ a2＝10， S4＝36，则过点 P(n， an)和 Q(n＋2， an＋2 )(n∈N *)的直线的一个方向向量是( )A．(－ ，－2) B．(－1，－1)12C．(－ ，－1) D．(2， )12 12答案 A解析 设等差数列{ an}的公差为 d，则由题设得，Error!解得Error!所以 an＝4 n－1， ＝( n＋2－ n， an＋2 － an)＝(2,8)＝－4×(－ ，－2)，所以过点PQ→ 12P(n， an)和 Q(n＋2， an＋2 )(n∈N *)的直线的一个方向向量是(－ ，－2)，故选 A.125．(2015·邯郸一中模拟)若曲线 C1： y＝ ax2(a0)与曲线 C2： y＝e x存在公共切线，则a 的取值范围为( )A．[ ，＋∞) B．(0， ]e28 e28C．[ ，＋∞) D．(0， ]e24 e24答案 C解析 根据题意，函数 y＝ ax2与函数 y＝e x的图像在(0，＋∞)上有公共点，令ax2＝e x，得 a＝ .设 f(x)＝ ，则 f′( x)＝ ，exx2 exx2 x2ex－ 2xexx4由 f′( x)＝0，得 x＝2，当 02 时， f′( x)0，函数 f(x)＝ 在区间(2，＋∞)上是增函数，exx2所以当 x＝2 时，函数 f(x)＝ 在(0，＋∞)上有最小值 f(2)＝ ，所以 a≥ ，故选exx2 e24 e243C.6．若方程 x2－ x－ m＝0 在 x∈[－1,1]上有实根，则实数 m 的取值范围是( )32A． m≤－ B．－ |PF2|，从而可知Error!⇒Error!⇒| PF1|·|PF2|＝ n＝12.8．(2015·南昌模拟)设函数 f(x)＝( x－ a)2＋(ln x2－2 a)2，其中 x0， a∈R，存在 x0使得 f(x0)≤ 成立，则实数 a 的值为( )45A. B.15 25C. D．112答案 A解析 ( x－ a)2＋(ln x2－2 a)2表示点 P(x，ln x2)与点 Q(a,2a)距离的平方．而点 P 在曲线 g(x)＝2ln x 上，点 Q(a,2a)在直线 y＝2 x 上．4因为 g′( x)＝ ，且 y＝2 x 表示斜率为 2 的直线，所以由 ＝2，解得 x＝1.2x 2x从而曲线 g(x)＝2ln x 在 x＝1 处的切线方程为 y＝2( x－1)，又直线 y＝2( x－1)与直线y＝2 x 平行，且它们间的距离为 ＝ ，如图所示．222＋  － 1 2 255故| PQ|的最小值为 ，255即 f(x)＝( x－ a)2＋(ln x2－2 a)2的最小值为( )2＝ ，当| PQ|最小时， P 点的坐标为255 45(1,0)，所以 ×2＝－1，解得 a＝ .2a－ 0a－ 1 159．(2015·贵阳期末监测)设双曲线 － ＝1( a0， b0)的左、右焦点分别为x2a2 y2b2F1， F2，离心率为 e，过 F2的直线与双曲线的右支交于 A， B 两点，若△ F1AB 是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形，则 e2＝( )A．1＋2 B．4－22 2C．5－2 D．3＋22 2答案 C解析 5如图，设| AF2|＝ x，则| AF1|＝| AF2|＋2 a＝2 a＋ x.又∵△ F1AB 是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形，∴| AB|＝| AF1|＝2 a＋ x，∴| BF2|＝2 a，| BF1|＝| BF2|＋2 a＝4 a，∴4 a＝ (2a＋ x)， x＝2(2－ 1)a，又∵| AF1|2＋| AF2|2＝| F1F2|2，∴(2 a＋ x)2＋ x2＝4 c2，即 8a2＋4(3－2 )2 2a2＝4 c2， e2＝ ＝5－2 .c2a2 210．(2015·兰州诊断测试)已知定义在 R 上的可导函数 f(x)的导函数为 f′( x)，满足f′( x)0，故选 B.二、填空题11．(2015·洛阳统考)已知 tanα ，tan β 是 lg(6x2－5 x＋2)＝0 的两个实数，则tan(α ＋ β )＝________.答案 1解析 lg(6 x2－5 x＋2)＝0⇒6 x2－5 x＋ 1＝0，∴tan α ＋tan β ＝ ，tan α ·tanβ ＝ ，∴tan( α ＋ β )＝56 16＝ ＝1.tanα ＋ tanβ1－ tanα tanβ561－ 1612．(2015·衡水调研)已知函数 f(x)＝－ x3＋ ax2＋ bx＋ c 在(－∞，0)上是减函数，在(0,1)上是增函数，函数 f(x)在 R 上有三个零点，且 1 是其中一个零点，则 f(2)的取值范围是________．答案 (－ ，＋∞)52解析 f′( x)＝－3 x2＋2 ax＋ b，由已知可得 f′(0)＝ b＝0， f(1)6＝－1＋ a＋ c＝0，∴ c＝1－ a，∴ f′( x)＝－3 x2＋2 ax＝－3 x(x－ a)，∵ f(x)在(0,1)上是23增函数，可得 a1，∴ a .故 f(2)＝3 a－7 －7＝－ ，即 f(2)的取值范围是23 32 92 52(－ ，＋∞)．5213．(2015·南宁第二次适应测试)设椭圆中心在坐标原点， A(2,0)， B(0,1)是它的两个顶点，直线 y＝ kx(k0)与 AB 相交于点 D，与椭圆相交于 E， F 两点，若 ＝6 ，则所有ED→ DF→ k 的值为________．答案 或23 38解析 依题意得椭圆的方程为 ＋ y2＝1，直线 AB， EF 的方程分别为x24x＋2 y＝2， y＝ kx(k0)．如图，设 D(x0， kx0)， E(x1， kx1)， F(x2， kx2)，其中 x1c.已知 ·BA→ ＝2，cos B＝ ， b＝3.求 a 和 c 的值．BC→ 13解析 (1)由题意知 f(x)＝ a·b＝ msin2x＋ ncos2x.因为 y＝ f(x)的图像过点 和 ，(π12， 3) (2π3， － 2)7所以Error! 即Error!解得Error!(2)由 · ＝2，得 c·acosB＝2.又 cosB＝ ，所以 ac＝6.BA→ BC→ 13由余弦定理，得 a2＋ c2＝ b2＋2 accosB.又 b＝3，所以 a2＋ c2＝9＋2×2＝13.解Error! 得Error!或Error!因 ac，所以 a＝3， c＝2.15. (2015·新课标全国Ⅱ)如图，长方体 ABCD－ A1B1C1D1中，AB＝16， BC＝10， AA1＝8，点 E， F 分别在 A1B1， D1C1上， A1E＝ D1F＝4.过点 E， F 的平面α 与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；(2)求直线 AF 与平面 α 所成角的正弦值．解析 (1)交线围成的正方形 EHGF 如图：(2)作 EM⊥ AB，垂足为 M，则 AM＝ A1E＝4， EM＝ AA1＝8.因为 EHGF 为正方形，所以 EH＝ EF＝ BC＝10.于是 MH＝ ＝6，所以 AH＝10.EH2－ EM2以 D 为坐标原点， 的方向为 x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 D－ xyz，DA→ 则 A(10,0,0)， H(10,10,0)， E(10,4,8)， F(0,4,8)， ＝(10,0,0)， ＝(0，－6，8)．FE→ HE→ 设 n＝( x， y， z)是平面 EHGF 的法向量，则Error!即8Error!所以可取 n＝(0,4,3)．又 ＝(－10,4,8)，故|cos〈 n， 〉|＝ ＝ .AF→ AF→ |n·AF→ ||n||AF→ | 4515所以 AF 与平面 EHGF 所成角的正弦值为 .451516．(2015·太原模拟)设△ ABC 的内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，且a＋ c＝6， b＝2，cos B＝ .79(1)求 a， c 的值；(2)求 sin(A－ B)的值．解析 (1)由余弦定理 b2＝ a2＋ c2－2 accosB，得 b2＝( a＋ c)2－2 ac(1＋cos B)．又 b＝2， a＋ c＝6，cos B＝ ，79所以 ac＝9，解得 a＝3， c＝3.(2)在△ ABC 中，sin B＝ ＝ ，1－ cos2B429由正弦定理，得 sinA＝ ＝ .asinBb 223因为 a＝ c，所以 A 为锐角，所以 cosA＝ ＝ .1－ sin2A13因此 sin(A－ B)＝sin AcosB－cos AsinB＝ .1022717.9(2015·山西四校联考)已知椭圆 C： ＋ ＝1( ab0)的离心率为 ，以原点为圆心，y2a2 x2b2 32椭圆的短半轴长为半径的圆与直线 x－ y＋ ＝0 相切． A， B 是椭圆 C 的右顶点与上顶点，2直线 y＝ kx(k0)与椭圆相交于 E， F 两点．(1)求椭圆 C 的方程；(2)当四边形 AEBF 面积取最大值时，求 k 的值．解析 (1)由题意知 e＝ ＝ ，ca 32∴ e2＝ ＝ ＝ ，∴ a2＝4 b2.c2a2 a2－ b2a2 34又圆 x2＋ y2＝ b2与直线 x－ y＋ ＝0 相切，2∴ b＝1，∴ a2＝4，故所求椭圆 C 的方程为 x2＋ ＝1.y24(2)设 E(x1， kx1)， F(x2， kx2)，其中 x10)，即当 k＝2 时，上式取等号．所以当四边形 AEBF 面积取最大值时， k＝2.18．(2015·沈阳监测一)已知函数 f(x)＝ alnx(a0)，e 为自然对数的底数．(1)过点 A(2， f(2))的切线斜率为 2，求实数 a 的值；10(2)当 x0 时，求证： f(x)≥ a(1－ )；1x(3)在区间(1，e)上，e －e x0，即 a( － )0，解得 x1，∴ g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上1x 1x2单调递增，∴ g(x)最小值为 g(1)＝0，∴ g(x)≥0，即 f(x)≥ a(1－ )．1x(3)由题意可知 e ， x－ 1lnx令 h(x)＝ ，则 h′( x)＝ ＝ ，x－ 1lnx lnx－  x－ 1 1x lnx 2 lnx－ 1＋ 1x lnx 2由(2)知，当 x∈(1，e)时，ln x－1＋ 0，1x∴ h′( x)0，即 h(x)在(1，e)上单调递增，∴ h(x)h(e)＝e－1，∴ a≥e－1.1【高考调研】 （新课标）2016 届高考数学二轮专题复习 第一部分 论方法 专题 2 数形结合思想作业 2 理一、选择题1．(2015·新课标全国Ⅱ)已知 A， B 为双曲线 E 的左，右顶点，点 M 在 E 上，△ ABM为等腰三角形，且顶角为 120°，则 E 的离心率为( )A. B．25C. D.3 2答案 D解析 设双曲线方程为 － ＝1( a0， b0)，如图设 M 在双曲线的右支x2a2 y2b2上．| AB|＝| BM|，∠ ABM＝120°.过点 M 作 MN⊥ x 轴，垂足为 N，在 Rt△ BMN 中，|BN|＝ a，| MN|＝ a，故点 M 的坐标为 M(2a， a)，代入双曲线方程得 c2＝2 a2⇒e＝ ，3 3 2故选 D.2．(2015·九江市模拟)若实数 x， y 满足| x－3|≤ y≤1，则 z＝ 的最小值为( )2x＋ yx＋ yA. B．253C. D.35 12答案 A2解析 依题意，得实数 x， y 满足Error!画出可行域如图阴影部分所示，其中 A(3,0)，C(2,1)， z＝ ＝1＋ ∈[ ，2]，故选 A.2＋ yx1＋ yx11＋ yx 533．已知函数 y＝ f(x)在(0,1)内的一段图像是如图所示的一段曲线，若0＜ x1＜ x2＜1，则( )A. ＜f x1x1 f x2x2B. ＝f x1x1 f x2x2C. ＞f x1x1 f x2x2D．不能确定答案 C解析 3如图，设曲线上两点 P1(x1， f(x1))， P2(x2， f(x2))，kOP1＝ ＝ ， kOP2＝ ＝ ，由于 0＜ x1＜ x2＜1，根据斜f x1 － 0x1－ 0 f x1x1 f x2 － 0x2－ 0 f x2x2率与倾斜角之间的关系，显然有 kOP1＞ kOP2，即 ＞ ，故选 C.f x1x1 f x2x24．(2015·沈阳质量监测)在△ ABC 中，| ＋ |＝| － |， AB＝2， AC＝1， E， FAB→ AC→ AB→ AC→ 为 BC 的三等分点，则 · ＝( )AE→ AF→ A. B.89 109C. D.259 269答案 B解析 由| ＋ |＝| － |，化简得 · ＝0，又因为 AB 和 AC 为三角形的两条边，不可AB→ AC→ AB→ AC→ AB→ AC→ 能为 0，所以 与 垂直，所以△ ABC 为直角三角形．以 AC 为 x 轴，以 AB 为 y 轴建立平面AB→ AC→ 4直角坐标系，如图所示，则 A(0,0)， B(0,2)， C(1,0)，由 E， F 为 BC 的三等分点知 E( ， )，23 23F( ， )，所以 ＝( ， )， ＝( ， )，所以 · ＝ × ＋ × ＝ .13 43 AE→ 23 23 AF→ 13 43 AE→ AF→ 23 13 23 43 1095．设方程 10x＝|lg(－ x)|的两个根分别为 x1， x2，则( )A． x1x21 D．01 的解集为( )A．(－∞，－1)∪(0，＋∞) B．(－∞，0)∪(1，＋∞)C．(－1,0) D．(0,1)答案 C解析 ∵ f(x)＝ ax2－( a＋2) x＋1， Δ ＝( a＋2) 2－4 a＝ a2＋40，∴函数 f(x)＝ ax2－( a＋2) x＋1 必有两个不同的零点．又∵ f(x)在(－2，－1)上有一个零点，则 f(－2) f(－1)1，即－ x2－ x0.解得－10，由此可排除B，故选 D.8．(2015·山东日照联考)已知点 M(－3,0)， N(3,0)， B(1,0)，动圆 C 与直线 MN 切于点 B，过 M， N 与圆 C 相切的两直线相交于点 P，则 P 点的轨迹方程为( )A． x2－ ＝1( x1)y28 y28C． x2＋ ＝1( x0) D． x2－ ＝1( x0)y28 y28答案 B解析 由题意画图如图．可见| MA|＝| MB|＝4，| ND|＝| NB|＝2，且| PA|＝| PD|.所以| PM|－| PN|＝(| PA|＋| MA|)－(| PD|＋| ND|)＝| MA|－| ND|＝4－2＝21)．y289．(2015·海淀练习)已知抛物线 C： y2＝8 x 的焦点为 F，准线为 l， P 是 l 上一点， Q是直线 PF 与 C 的一个交点，若 ＝4 ，则| QF|＝( )FP→ FQ→ A. B.72 52C．3 D．2答案 C解析 6利用 ＝4 转化长度关系，再利用抛物线定义求解．FP→ FQ→ ∵ ＝4 ，FP→ FQ→ ∴| |＝4| |.FP→ FQ→ ∴ ＝ .如图，过 Q 作 QQ′⊥ l，垂足为 Q′，设 l 与 x 轴的交点为 A，则| AF|＝4.|PQ||PF| 34∴ ＝ ＝ .∴| QQ′|＝3.|PQ||PF| |QQ′ ||AF| 34根据抛物线定义可知| QQ′|＝| QF|＝3，故选 C.10．(2015·石家庄一模)已知平面图形 ABCD 为凸四边形(凸四边形即任取平面四边形一边所在的直线，其余各边均在此直线的同侧)，且 AB＝2， BC＝4， CD＝5， DA＝3，则四边形 ABCD 的面积 S 的最大值为( )A. B．230 30C．4 D．630 30答案 B解析 根据题意，连接 BD，则 S＝ ×2×3×sinA＋ ×4×5×sinC＝3sin A＋10sin C.12 12根据余弦定理得， BD2＝13－12cos A＝41－40cos C，得 10cosC－3cos A＝7，两边同时平方得 100cos2C＋9cos 2A－60cos CcosA＝49，得 100sin2C＋9sin 2A＝60－60cos CcosA，而S2＝(3sin A＋10sin C)2＝100sin 2C＋9sin 2A＋60sin CsinA＝60－60cos AcosC＋60sin CsinA＝60－60cos( C＋ A)≤120，所以 S≤2 ，故选 B.3011．若点 P(x， y)在直线 x＋ y＝12 上运动，则 ＋ 的最小值为( )x2＋ 1 y2＋ 16A. ＋2 B. ＋37 13 2 137C．13 D．1＋4 10答案 C7解析 ＋ ＝ ＋ 表示点x2＋ 1 y2＋ 16  x－ 0 2＋  0＋ 1 2  x－ 12 2＋  0－ 4 2(x,0)到点 A(0，－1)与点 B(12,4)的距离之和，最小值| AB|＝13.12．(2015·九江市模拟)已知定义在 R 上的函数 f(x)，当 x∈[0,2]时， f(x)＝8(1－| x－1|)，且对于任意的实数 x∈[2 n－2,2 n＋1 －2]( n∈N *，且 n≥2)，都有 f(x)＝ f( －1)，若函数 g(x)＝ f(x)－log ax 有且只有三个零点，则 a 的取值范围为( )12 x2A．[2,10] B．[ ， ]2 10C．(2,10) D．( ， )2 10答案 D解析 f(x)的图像如图所示，易知 a1，依题意得Error!∴ 2 时，求函数 y＝ f(x)在区间[1,2]上的最小值；解析 (1)当 a＝2 时， f(x)＝ x|x－2|＝Error!由图像可知，单调递增区间为(－∞，1]和[2，＋∞)．(2)因为 a2， x∈[1,2]，所以 f(x)＝ x(a－ x)＝－ x2＋ ax＝－( x－ )2＋ .a2 a24当 1 ，即 a3 时， f(x)min＝ f(1)＝ a－1.a232f(x)min＝Error!16．(2015·太原模拟)已知函数 f(x)＝|2 x－1|＋| x－ a|， a∈R.(1)当 a＝3 时，解不等式 f(x)≤4；(2)若 f(x)＝| x－1＋ a|，求 x 的取值范围．解析 (1)当 a＝3 时，f(x)＝|2 x－1|＋| x－3|＝Error!9其图像如图所示，与直线 y＝4 相交于点 A(0,4)和 B(2,4)，∴不等式 f(x)≤4 的解集为{ x|0≤ x≤2}．(2)∵ f(x)＝|2 x－1|＋| x－ a|≥|(2 x－1)－( x－ a)|＝| x－1＋ a|，∴ f(x)＝| x－1＋ a|⇔(2x－1)( x－ a)≤0，①当 a 时， x 的取值范围是{ x| ≤ x≤ a}．12 121【高考调研】 （新课标）2016 届高考数学二轮专题复习 第一部分 论方法 专题 3 分类讨论思想作业 3 理一、选择题1．若 x0 且 x≠1，则函数 y＝lg x＋log x10 的值域为( )A．R B．[2，＋∞)C．(－∞，－2] D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)答案 D解析 当 x1 时， y＝lg x＋log x10＝lg x＋ ≥1lgx2 ＝2；当 04 不符合要求．A， B 分别在左、右两支上，有两条．所以共 3 条．3．(2015·河北唐山二模)一种团体竞技比赛的积分规则是：每队胜、平、负分别得 2分、1 分、0 分．已知甲球队已赛 4 场，积 4 分．在这 4 场比赛中，甲球队胜、平、负(包括顺序)的情况共有( )A．7 种 B．13 种C．18 种 D．19 种答案 D解析 由题意，甲队积 4 分分三类情况：①2 胜 2 负，有 C C ＝6 种；242②1 胜 2 平 1 负，有 C C ＝12 种；14232③0 胜 4 平 0 负，有 C ＝1 种，4综上可知共有 6＋12＋1＝19 种情况．4．(2015·合肥调研)某人根据自己的爱好，希望从{ W， X， Y， Z}中选 2 个不同的字母，从{0,2,6,8}中选 3 个不同的数字编拟车牌号，要求前 3 位是数字，后 2 位是字母，且数字2 不能排在首位，字母 Z 和数学 2 不能相邻，则满足要求的车牌号的个数为( )A．198 B．180C．216 D．234答案 A解析 不选 2 时，有 A A ＝72 种；选 2，不选 Z 时，有 C C A A ＝72 种；选 2，选 Z324 1223223时，当 2 在数字的中间时，有 A C C ＝36 种，当 2 在数字的第三位时，有 A A ＝18231213 2313种．根据分类计数原理，共有 72＋72＋36＋18＝198 个，故选 A.5．(2015·兰州诊断)已知不等式组Error!所表示的平面区域为 D，若直线 y＝ kx－3 与平面区域 D 有公共点，则 k 的取值范围为( )A．[－3,3]B．(－∞，－ ]∪[ ，＋∞)13 13C．(－∞，－3]∪[3，＋∞)D．[－ ， ]13 13答案 C解析 满足约束条件的平面区域如图中阴影部分所示．因为直线 y＝ kx－3 过定点(0，－3)，所以当 y＝ kx－3 过点 C(1,0)时， k＝3；当 y＝ kx－3 过点 B(－1,0)时， k＝－3，所以k≤－3 或 k≥3 时，直线 y＝ kx－3 与平面区域 D 有公共点，故选 C.36．(2015·太原模拟)已知数列{ an}的通项公式为 an＝(－1)n(2n－1)·cos ＋1( n∈N *)，其前 n 项和为 Sn，则 S60＝( )nπ2A．－30 B．－60C．90 D．120答案 D解析 由题意可知，当 n＝4 k－3( k∈N *)时， an＝ a4k－3 ＝1；当 n＝4 k－2( k∈N *)时，an＝ a4k－2 ＝6－8 k；当 n＝4 k－1( k∈N *)时， an＝ a4k－1 ＝1；当 n＝4 k(k∈N *)时，an＝ a4k＝8 k.∴ a4k－3 ＋ a4k－2 ＋ a4k－1 ＋ a4k＝8，∴ S60＝8×15＝120.7．(2015·陕西八校联考)设[ x]表示不超过实数 x 的最大整数，如[2.6]＝2，[－2.6]＝－3.设 g(x)＝ (a0 且 a≠1)，那么函数 f(x)＝[ g(x)－ ]＋[ g(－ x)－ ]的值域为( )axax＋ 1 12 12A．{－1,0,1} B．{0,1}C．{1，－1} D．{－1,0}答案 D解析 ∵ g(x)＝ ，∴ g(－ x)＝ ，axax＋ 1 1ax＋ 1∴00 得 t20， b0)的渐x2a2 y2b2近线方程为 y＝± x，所以 ＝tan ＝ ，所以 b＝ a， c＝ ＝2 a，故双曲线 C 的ba ba π 3 3 3 a2＋ b2离心率 e＝ ＝ ＝2；②当双曲线的焦点在 y 轴上时，由题意知双曲线ca 2aaC： － ＝1( a0， b0)的渐近线方程为 y＝± x，所以 ＝tan ＝ ，所以 a＝ b， c＝y2a2 x2b2 ab ab π 3 3 3＝2 b，故双曲线 C 的离心率 e＝ ＝ ＝ .综上所述，双曲线 C 的离心率为 2 或a2＋ b2ca 2b3b 233.23310．已知点 O(0,0)， A(0， b)， B(a， a3)．若△ OAB 为直角三角形，则必有( )A． b＝ a3B． b＝ a3＋1aC．( b－ a3)(b－ a3－ )＝01aD．| b－ a3|＋| b－ a3－ |＝01a5答案 C解析 根据直角三角形的直角的位置求解．若以 O 为直角顶点，则 B 在 x 轴上，则 a 必为 0，此时 O， B 重合，不符合题意；若∠ A＝ ，则 b＝ a3≠0.π 2若∠ B＝ ，根据斜率关系可知 a2· ＝－1，所以 a(a3－ b)＝－1，即π 2 a3－ bab－ a3－ ＝0.1a以上两种情况皆有可能，故只有 C 满足条件．二、填空题11．函数 y＝ x＋ 的值域是________．2x－ 1答案 (－∞，1－2 ]∪[1＋2 ，＋∞)2 2解析 当 x1 时， y＝ x＋ ＝ x－1＋ ＋1≥2x－ 1 2x－ 12 ＋1＝2 ＋1，当且仅当 x－1＝ ，即 x＝1＋ 时等号成立； x－ 1 ·2x－ 1 2 2x－ 1 2当 x2；④ a＝0， b＝2；⑤ a＝1， b＝2.答案 ①③④⑤解析 令 f(x)＝ x3＋ ax＋ b，则 f′( x)＝3 x2＋ a.对于①，由 a＝ b＝－3，得 f(x)＝ x3－3 x－3， f′( x)＝3( x＋1)( x－1)， f(x)极大值 ＝ f(－1)＝－10， f(x)极小值 ＝ f(1)＝0，函数 f(x)的图像与 x 轴有两个交点，故 x3＋ ax＋ b＝0 有两个实根；对于③，由 a＝－3， b2，得 f(x)＝ x3－3 x＋ b， f′( x)＝3( x＋1)( x－1)， f(x)极大值 ＝ f(－1)＝2＋ b0， f(x)极小值 ＝ f(1)＝ b－20，函数 f(x)的图像与 x 轴只有一个交点，故 x3＋ ax＋ b＝0 仅有一个实根；对于④，由 a＝0， b＝2，得 f(x)＝ x3＋2， f′( x)＝3 x2≥0， f(x)在 R 上单调递增，函数 f(x)的图像与 x 轴只有一个交点，故 x3＋ ax＋ b＝0仅有一个实根；对于⑤，由 a＝1， b＝2，得 f(x)＝ x3＋ x＋2， f′( x)＝3 x2＋10， f(x)在R 上单调递增，函数 f(x)的图像与 x 轴只有一个交点，故 x3＋ ax＋ b＝0 仅有一个实根．三、解答题15．(2015·山西省太原市高三模拟)已知函数 f(x)＝| x－3 a|(a∈R)．(1)当 a＝1 时，解不等式 f(x)5－|2 x－1|；(2)若存在 x0∈R，使 f(x0)＋ x05－|2 x－1|，即| x－3|＋|2 x－1|5.∴Error! 或Error!或Error!∴解得 x3.13(2)设 g(x)＝ f(x)＋ x，由题意，得g(x)＝| x－3 a|＋ x＝Error!显然 g(x)≥3 a.所以若存在 x0∈R，使 f(x0)＋ x00.若 m0， f′( x)0.所以， f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．(2)由(1)知，对任意的 m， f(x)在[－1,0]上单调递减，在[0,1]上单调递增，故 f(x)在 x＝0 处取得最小值．所以对于任意 x1， x2∈[－1,1]，| f(x1)－ f(x2)|≤e－1 的充要条件是Error!即Error! ①设函数 g(t)＝e t－ t－e＋1，则 g′( t)＝e t－1.当 t0 时， g′( t)0.故 g(t)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．又 g(1)＝0， g(－1)＝e －1 ＋2－e1 时，由 g(t)的单调性， g(m)0，即 em－ me－1；当 m0，即 e－ m＋ me－1.综上， m 的取值范围是[－1,1]．817．(2015·四川) 如图，椭圆 E： ＋ ＝1( ab0)的离心率是 ，过点 P(0,1)的动x2a2 y2b2 22直线 l 与椭圆相交于 A， B 两点．当直线 l 平行于 x 轴时，直线 l 被椭圆 E 截得的线段长为2 .2(1)求椭圆 E 的方程；(2)在平面直角坐标系 xOy 中，是否存在与点 P 不同的定点 Q，使得 ＝ 恒成立？|QA||QB| |PA||PB|若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由．解析 (1)由已知，点( ，1)在椭圆 E 上．2因此，Error! 解得 a＝2， b＝ .2所以椭圆 E 方程为 ＋ ＝1.x24 y22(2)当直线 l 与 x 轴平行时，设直线 l 与椭圆相交于 C， D 两点．如果存在定点 Q 满足条件，则有 ＝ ＝1，即| QC|＝| QD|.|QC||QD| |PC||PD|所以 Q 点在 y 轴上，可设 Q 点的坐标为(0， y0)．当直线 l 与 x 轴垂直时，设直线 l 与椭圆相交于 M， N 两点，则 M， N 的坐标分别为(0， )，(0，－ )．2 2由 ＝ ，有 ＝ ，解得 y0＝1 或 y0＝2.|QM||QN| |PM||PN| |y0－ 2||y0＋ 2| 2－ 12＋ 1所以，若存在不同于点 P 的定点 Q 满足条件，则 Q 点坐标只可能为(0,2)．下面证明：对任意直线 l，均有 ＝ .|QA||QB| |PA||PB|当直线 l 的斜率不存在时，由上可知，结论成立．当直线 l 的斜率存在时，可设直线 l 的方程为 y＝ kx＋1， A， B 的坐标分别为( x1， y1)，(x2， y2)．联立Error! 得(2 k2＋1) x2＋4 kx－2＝0.其判别式 Δ ＝(4 k)2＋8(2 k2＋1)0，9所以， x1＋ x2＝－ ， x1x2＝－ .4k2k2＋ 1 22k2＋ 1因此 ＋ ＝ ＝2 k.1x1 1x2 x1＋ x2x1x2易知，点 B 关于 y 轴对称的点 B′的坐标为(－ x2， y2)．又 kQA＝ ＝ ＝ k－ ，y1－ 2x1 kx1－ 1x1 1x1kQB′ ＝ ＝y2－ 2－ x2 kx2－ 1－ x2＝－ k＋ ＝ k－ ，1x2 1x1所以 kQA＝ kQB′ ，即 Q， A， B′三点共线．所以 ＝ ＝ ＝ .|QA||QB| |QA||QB′ | |x1||x2| |PA||PB|故存在与 P 不同的定点 Q(0,2)，使得 ＝ 恒成立．|QA||QB| |PA||PB|1【高考调研】 （新课标）2016 届高考数学二轮专题复习 第一部分 论方法 专题 4 转化与化归思想作业 4 理一、选择题1．(2015·武汉调研)设 F 为抛物线 C： x2＝12 y 的焦点， A， B， C 为抛物线上不同的三点，若 ＋ ＋ ＝0，则| FA|＋| FB|＋| FC|＝( )FA→ FB→ FC→ A．3 B．9C．12 D．18答案 D解析 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， C(x3， y3)，因为 A， B， C 为抛物线上不同的三点，则 A， B， C 可以构成三角形．抛物线 C： x2＝12 y 的焦点为 F(0,3)，准线方程为 y＝－3.因为 ＋ ＋ ＝0，所以利用平面向量的相关知识可得点 F 为△ ABC 的重心，从而有FA→ FB→ FC→ x1＋ x2＋ x3＝0， y1＋ y2＋ y3＝9.又根据抛物线的定义可得| FA|＝ y1－(－3)＝ y1＋3，|FB|＝ y2－(－3)＝ y2＋3，| FC|＝ y3－(－3)＝ y3＋3，所以| FA|＋| FB|＋| FC|＝ y1＋3＋ y2＋3＋ y3＋3＝ y1＋ y2＋ y3＋9＝18.2．(2015·唐山调研)已知点 F 是椭圆 C： ＋ y2＝1 的左焦点，点 P 为椭圆 C 上任意x22一点，点 Q 的坐标为(4,3)，则当| PQ|＋| PF|取最大值时，点 P 的坐标为( )A．(－ ，0) B．(0，－1)2C．( ， ) D．( ，0)43 13 2答案 B解析 由题意知椭圆的左焦点为 F(－1,0)，设椭圆的右焦点为 E，则 E(1,0)，根据椭圆的定义，知| PF|＝2 －| PE|，所以| PQ|＋| PF|＝| PQ|＋2 －| PE|＝2 ＋(| PQ|－| PE|)，2 2 2易知| PQ|－| PE|≤| QE|，当且仅当 P 是 QE 的延长线与椭圆的交点，即 P 的坐标为(0，－1)时，等号成立，故| PQ|＋| PF|的最大值为 2 ＋| QE|＝2 ＋3 ＝5 ，此时点 P 的坐标为2 2 2 2(0，－1)．3．(2015·南昌调研)若正数 a， b 满足 ＋ ＝1，则 ＋ 的最小值为( )1a 1b 4a－ 1 16b－ 1A．16 B．25C．36 D．49答案 A2解析 因为 a， b0， ＋ ＝1，所以 a＋ b＝ ab，1a 1b所以 ＋ ＝ ＝ ＝4 b＋16 a－20.4a－ 1 16b－ 1 4 b－ 1 ＋ 16 a－ 1 a－ 1  b－ 1 4b＋ 16a－ 20ab－  a＋ b ＋ 1又 4b＋16 a＝4( b＋4 a)＝4( b＋4 a)( ＋ )＝20＋4( ＋ )≥20＋4×2 ＝36，1a 1b ba 4ab ba·4ab当且仅当 ＝ 且 ＋ ＝1，即 a＝ ， b＝3 时取等号．ba 4ab 1a 1b 32所以 ＋ ≥36－20＝16.4a－ 1 16b－ 14．若 α 、 β ∈[－ ， ]，且 α sinα － β sinβ 0，则下面结论正确的是( )π 2 π 2A． α β B． α ＋ β 0C． α β 2答案 D解析 令 f(x)＝ xsinx，∵ x∈[－ ， ]， f(x)为偶函数，π 2 π 2且当 x∈[0， ]时， f′( x)≥0，π 2∴ f(x)在[0， ]上为增函数，在[－ ，0]上为减函数．π 2 π 2∴ α sinα － β sinβ 0⇔f(|α |)f(|β |)⇒|α ||β |⇒α 2β 2.5．(2015·九江模拟)在△ ABC 中，| |＝3，| |＝2，点 D 满足AB→ AC→ 2 ＝3 ，∠ BAC＝60°，则 · ＝( )BD→ DC→ AD→ BC→ A．－ B.85 95C. D．－85 95答案 D解析 因为 2 ＝3 ，所以 ＝ ，所以 ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ( － )＝BD→ DC→ BD→ 35BC→ AD→ AB→ BD→ AB→ 35BC→ AB→ 35AC→ AB→ 35＋ .所以 · ＝( ＋ )· ＝( ＋ )·( － )＝ 2－ · － 2＝AC→ 25AB→ AD→ BC→ 35AC→ 25AB→ BC→ 35AC→ 25AB→ AC→ AB→ 35AC→ 15AB→ AC→ 25AB→ ×22－ ×2×3×cos60°－ ×32＝－ .35 15 25 956．(2015·太原模拟)已知函数 f(x)＝log 2x，若在[1,8]上任取一个实数 x0，则不等3式 1≤ f(x0)≤2 成立的概率是( )A. B.14 13C. D.27 12答案 C解析 1≤ f(x0)≤2⇒1≤log 2x0≤2⇒2≤ x0≤4，∴所求概率为 ＝ .4－ 28－ 1 277．(2015·广州调研)棱长为 a 的正方体中，连接相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为( )A. B.a33 a34C. D.a36 a312答案 C解析 所得图形是一个正八面体，可将它分割为两个四棱锥，棱锥的底面为正方形且边长为 a，高为正方体边长的一半，22∴ V＝2× ( a)2· ＝ .13 22 a2 a368．(2015·保定模拟)已知函数 f(x)满足 f(x)＋1＝ ，当 x∈[0,1]时， f(x)1f x＋ 1＝ x，若在区间(－1,1]上方程 f(x)－ mx－ m＝0 有两个不同的实根，则实数 m 的取值范围是( )A．[0， ) B．[ ，＋∞)12 12C．[0， ) D．(0， ]13 12答案 D解析 4方程 f(x)－ mx－ m＝0 有两个不同的实根等价于方程 f(x)＝ m(x＋1)有两个不同的实根，等价于直线 y＝ m(x＋1)与函数 f(x)的图像有两个不同的交点．因为当 x∈(－1,0)时，x＋1∈(0,1)，所以 f(x)＝ －1，所以 f(x)＝Error!在同一平面直角坐标系内作出直线1x＋ 1y＝ m(x＋1)与函数 f(x)， x∈(－1,1]的图像，由图像可知，当直线 y＝ m(x＋1)与函数 f(x)的图像在区间(－1,1]上有两个不同的公共点时，实数 m 的取值范围为(0， ]．12二、填空题9．过点(1， )的直线 l 将圆( x－2) 2＋ y2＝4 分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小2时，直线 l 的斜率 k＝________.答案 22解析 由题意得，劣弧所对圆心角最小，则劣弧对应的弦长最短，此时圆心到直线 l的距离最大，所以当圆心(2,0)与点(1， )的连线与直线 l 垂直时，弦长最短．此时直线2l 的斜率 k＝ .2210．设抛物线 y2＝2 x 的焦点为 F，过点 M( ，0)的直线与抛物线相交于 A， B 两点，3与抛物线的准线相交于点 C，| BF|＝2，则△ BCF 与△ ACF 的面积之比 ＝________.S△ BCFS△ ACF答案 455解析 如图所示，设过点 M( ，0)的直线方程为 y＝ k(x－ )，代入 y2＝2 x 并整理，3 3得 k2x2－(2 k2＋2) x＋3 k2＝ 0.3则 x1＋ x2＝ .23k2＋ 2k2因为| BF|＝2，所以| BB′|＝2.不妨设 x2＝2－ ＝ 是方程的一个根，可得 k2＝12 32，所以 x1＝2.3 32－ 3 2＝ ＝ ＝ ＝ ＝ .S△ BCFS△ ACF12|BC|·d12|AC|·d |BC||AC| |BB′ ||AA′ | 22＋ 12 4511．(2015·山西四校联考)若函数 f(x)＝2sin(2 x＋ φ )，且 f( )＝ f(－ )，则函数π 4 π12f(x)图像的对称轴为________．答案 x＝ ＋ (k∈Z)kπ2 π12解析 易知函数 f(x)的最小正周期为 π，而 f( )＝ f(－ )，所以 f(x)图像的一条π 4 π12对称轴为 x＝ ，故函数 f(x)的图像的对称轴为 x＝ ＋ (k∈Z)．π12 kπ2 π1212．(2015·河北五校联考)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且 f(2)＝0，当 x0 时，xf′( x)－ f(x)0，则不等式 xf(x)0 时， g′( x)＝ 0，此时 g(x)为增函数，又xf′  x － f xx2g(2)＝ ＝0，所以不等式 g(x)＝ b0)的两个焦点分别为 F1， F2，设 P 为x2a2 y2b2椭圆上一点，∠ F1PF2的外角平分线所在的直线为 l，过 F1， F2分别作 l 的垂线，垂足分别为 R， S，当 P 在椭圆上运动时， R， S 所形成的图形的面积为________．答案 π a2解析 如图，△ PF1M 中， PR⊥ F1M 且 PR 是∠ F1PM 的平分线，所以| MP|＝| F1P|，可得|PF1|＋| PF2|＝| PM|＋| PF2|＝| MF2|，根据椭圆的定义，可得| PF1|＋| PF2|＝2 a，所以|MF2|＝2 a，即动点 M 到点 F2的距离为定值 2a，因为 R 为 F1M 的中点， O 为 F1F2的中点，所以 R 的轨迹是以点 O 为圆心，半径为 a 的圆．同理点 S 的轨迹是以点 O 为圆心，半径为 a的圆．故 R， S 所形成的图形的面积为 π a2.三、解答题14．已知 cosα ＝ ，cos( α － β )＝ ，且 00)，原式＝ x2＋ xcosα ＋ 1＝0，故 cosα ＝－ .32 7 7 x2＋ 17x8又由 cosα ∈[－1,1]得 x2－ x＋1≤0，得 ≤ x≤ .所以| b－ c|min＝77－ 32 7＋ 32.7－ 3216．(2015·福建八县联考)已知 x∈R，函数 f(x)＝2 x＋ k·2－ x， k∈R.(1)若函数 f(x)为奇函数，且 f(2m＋1)＋ f(m2－2 m－4)0，求实数 m 的取值范围；(2)若对任意的 x∈[0，＋∞)都有 f(x)2－ x成立，求实数 k 的取值范围．解析 (1)∵函数 f(x)为奇函数且 x∈R，∴ f(0)＝0，即 20＋ k×20＝0，解得 k＝－1，∴ f(x)＝2 x－2 － x.∵ f′( x)＝2 xln2＋2 － xln2＝(2 x＋2 － x)ln20，∴ f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．∵ f(2m＋1)＋ f(m2－2 m－4)0，即 f(2m＋1) f[－( m2－2 m－4)]，∴2 m＋1－( m2－2 m－4)，∴ m .3 3(2)∵∀ x∈[0，＋∞)，2 x＋ k·2－ x2－ x，即 22x＋ k1，∴ k1－2 2x对任意的 x∈[0，＋∞)恒成立，∴ k(1－2 2x)max.又∵ t＝1－2 2x＝1－4 x在[0，＋∞)上单调递减，∴ t≤1－4 0＝0，∴ k0.17．(2015·北京房山期末)已知椭圆 M 的对称轴为坐标轴，离心率为 ，且抛物线22y2＝4 x 的焦点是椭圆 M 的一个焦点．2(1)求椭圆 M 的方程；(2)设直线 l 与椭圆 M 相交于 A， B 两点，以线段 OA， OB 为邻边作平行四边形 OAPB，其中点 P 在椭圆 M 上， O 为坐标原点．求点 O 到直线 l 的距离的最小值．解析 (1)由题意，抛物线的焦点为( ，0)，2设椭圆方程为 ＋ ＝1( ab0)．x2a2 y2b2则 c＝ ，由 e＝ ，得 a＝2，所以 b2＝2.222所以椭圆 M 的方程为 ＋ ＝1.x24 y22(2)当直线 l 斜率存在时，设直线方程为 y＝ kx＋ m，则由Error! 消去 y，得(1＋2 k2)x2＋4 kmx＋2 m2－4＝0.Δ ＝16 k2m2－4(1＋2 k2)(2m2－4)＝8(2＋4 k2－ m2)0.①9设 A， B， P 点的坐标分别为( x1， y1)，( x2， y2)，( x0， y0)，则x0＝ x1＋ x2＝－ ， y0＝ y1＋ y2＝ k(x1＋ x2)＋2 m＝ ，4km1＋ 2k2 2m1＋ 2k2由于点 P 在椭圆 M 上，所以 ＋ ＝1.x204 y202从而 ＋ ＝1，4k2m2 1＋ 2k2 2 2m2 1＋ 2k2 2化简，得 2m2＝1＋2 k2，经检验满足①式．又因为点 O 到直线 l 的距离为d＝ ＝ ＝ ≥ ＝ .|m|1＋ k2 12＋ k21＋ k2 1－ 12 1＋ k2 1－ 12 22当且仅当 k＝0 时等号成立．当直线 l 无斜率时，由对称性知，点 P 一定在 x 轴上，从而点 P 的坐标为(－2,0)或(2,0)，直线 l 的方程为 x＝±1，所以点 O 到直线 l 的距离为 1.所以点 O 到直线 l 的距离最小值为 .22