（新课标）2015-2016学年高中数学 第1-3章（双基限时练+单元测试）（打包32套）新人教A版必修4.zip

1双基限时练(一)1．下列命题中正确的是( )A．终边在 x轴负半轴上的角是零角B．第二象限角一定是钝角C．第四象限角一定是负角D．若 β ＝ α ＋ k·360°(k∈Z)，则 α 与 β 终边相同解析 易知 A、B、C 均错，D 正确．答案 D2．若 α 为第一象限角，则 k·180°＋ α (k∈Z)的终边所在的象限是( )A．第一象限 B．第一、二象限C．第一、三象限 D．第一、四象限解析 取特殊值验证．当 k＝0 时，知终边在第一象限；当 k＝1， α ＝30°时，知终边在第三象限．答案 C3．下列各角中，与角 330°的终边相同的是( )A．150° B．－390°C．510° D．－150°解析 330°＝360°－30°，而－390°＝－360°－30°，∴330°与－390°终边相同．答案 B4．若 α 是第四象限角，则 180°－ α 是( )A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角解析 方法一 由 270°＋ k·360°180°－ α －180°－ k·360°，终边在(－180°，－90°)之间，即 180°－ α 角的终边在第三象限，故选 C.方法二 数形结合，先画出 α 角的终边，由对称得－ α 角的终边，再把－ α 角的终边关于原点对称得 180°－ α 角的终边，如图知 180°－ α 角的终边在第三象限，故选 C.2答案 C5．把－1125°化成 k·360°＋ α (0°≤ α 360°， k∈Z)的形式是( )A．－3×360°＋45° B．－3×360°－315°C．－9×180°－45° D．－4×360°＋315°解析 －1125°＝－4×360°＋315°.答案 D6．设集合 A＝{ x|x＝ k·180°＋(－1) k·90°， k∈Z}， B＝{ x|x＝ k·360°＋90°，k∈Z}，则集合 A， B的关系是( )A． A B B． A BC． A＝ B D． A∩ B＝∅解析 集合 A表示终边在 y轴非负半轴上的角，集合 B也表示终边在 y轴非负半轴上的角．∴ A＝ B.答案 C7.3如图，射线 OA绕顶点 O逆时针旋转 45°到 OB位置，并在此基础上顺时针旋转 120°到达 OC位置，则∠ AOC的度数为________．解析 解法一 根据角的定义，只看终边相对于始边的位置，顺时针方向，大小为75°，故∠ AOC＝－75°.解法二 由角的定义知，∠ AOB＝45°，∠ BOC＝－120°，所以∠ AOC＝∠ AOB＋∠ BOC＝45°－120°＝－75°.答案 －75°8．在(－720°，720°)内与 100°终边相同的角的集合是________．解析 与 100°终边相同的角的集合为{α |α ＝ k·360°＋100°， k∈Z}令 k＝－2，－1,0,1，得 α ＝－620°，－260°，100°，460°.答案 {－620°，－260°，100°，460°}9．若时针走过 2小时 40分，则分针转过的角度是________．解析 ∵2 小时 40分＝2 小时，23∴－360°×2 ＝－960°.23答案 －960°10．若 2α 与 20°角的终边相同，则所有这样的角 α 的集合是__________．解析 2 α ＝ k·360°＋20°，所以 α ＝ k·180°＋10°， k∈Z.答案 { α |k·180°＋10°， k∈Z}11．角 α 满足 180°α 360°，角 5α 与 α 的始边相同，且又有相同的终边，求角α .解 由题意得 5α ＝ k·360°＋ α (k∈Z)，4∴ α ＝ k·90°(k∈Z)．∵180° α 360°，∴180° k·90°360°.∴2 k4，又 k∈Z，∴ k＝3.∴ α ＝3×90°＝270°.12.如图所示，角 α 的终边在图中阴影部分，试指出角 α 的范围．解 ∵与 30°角的终边所在直线相同的角的集合为：{β |β ＝30°＋ k·180°， k∈Z}．与 180°－65°＝115°角的终边所在直线相同的角的集合为：{ β |β ＝115°＋ k·180°， k∈Z}．因此，图中阴影部分的角 α 的范围为：{α |30°＋ k·180°≤ α 115°＋ k·180°， k∈Z}．13．在角的集合{ α |α ＝ k·90°＋45°， k∈Z}中，(1)有几种终边不同的角？(2)写出区间(－180°，180°)内的角？(3)写出第二象限的角的一般表示法．解 (1)在 α ＝ k·90°＋45°中，令 k＝0,1,2,3 知，α ＝45°，135°，225°，315°.∴在给定的角的集合中，终边不同的角共有 4种．(2)由－180° k·90°＋45°180°，得－ k .52 32又 k∈Z，故 k＝－2，－1,0,1.∴在区间(－180°，180°)内的角有－135°，－45°，45°，135°.(3)其中第二象限的角可表示为 k·360°＋135°， k∈Z.1双基限时练(十)1．当 x∈ 时，函数 y＝tan| x|的图象( )(－π 2， π 2)A．关于原点对称 B．关于 y 轴对称C．关于 x 轴对称 D．没有对称轴答案 B2．函数 y＝tan 的定义域是( )(2x－π 4)A.{x|x≠kπ2＋ 3π8， k∈ Z}B.{x|x≠kπ2＋ 3π4， k∈ Z}C.{x|x≠ kπ ＋3π8， k∈ Z}D.{x|x≠ kπ ＋3π4， k∈ Z}解析 由 2x－ ≠ kπ＋ ，得 x≠ ＋ ， k∈Z.π 4 π 2 kπ2 3π8答案 A3．函数 f(x)＝tan ωx (ω 0)的图象上的相邻两支曲线截直线 y＝1 所得的线段长为 .则π 4ω 的值是( )A．1 B．2C．4 D．8解析 由题意可得 f(x)的周期为 ，则 ＝ ，∴ ω ＝4.π 4 πω π 4答案 C4． y＝cos ＋tan(π＋ x)是( )(x－π 2)A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数解析 y＝cos ＋tan(π＋ x)＝sin x＋tan x.(x－π 2)∵ y＝sin x， y＝tan x 均为奇函数，∴原函数为奇函数．答案 A25．设 a＝log tan70°， b＝log sin25°， c＝ cos25°，则有( )12 12 (12)A． atan45°＝1，∴ a＝log tan70°log ＝1，而 c＝ cos25°∈(0,1)，12 12 1212 (12)∴ bca.答案 D6．下列图形分别是① y＝|tan x|；② y＝tan x；③ y＝tan(－ x)；④ y＝tan| x|在 x∈内的大致图象，那么由 a 到 d 对应的函数关系式应是( )(－3π2， 3π2)ab3cdA．①②③④ B．①③④②C．③②④① D．①②④③解析 y＝tan(－ x)＝－tan x 在 上是减函数，只有图象 d 符合，即 d 对应(－π 2， π 2)③.答案 D7．函数 f(x)＝tan 的最小正周期为 2π，则 f ＝________.(ω x＋π 6) (π 6)解析 由已知 ＝2π，∴ ω ＝ ，∴ f(x)＝tan ，πω 12 (12x＋ π 6)∴ f ＝tan ＝tan ＝1.(π 6) (12×π 6＋ π 6) π 4答案 18．函数 y＝tan x 的值域是________．(π 4 ≤ x≤ 3π4， 且 x≠ π 2)4解析 ∵ y＝tan x 在 ， 上都是增函数，[π 4， π 2) (π 2， 3π4]∴ y≥tan ＝1 或 y≤tan ＝－1.π 4 3π4答案 (－∞，－1]∪[1，＋∞)9．满足 tan ≥－ 的 x 的集合是________．(x＋π 3) 3解析 把 x＋ 看作一个整体，利用正切函数图象可得 kπ－ ≤ x＋ 0， |φ |π 2)则 f ＝________.(π24)解析 由图象可知，此正切函数的半周期等于 π－ π＝ π＝ π，即周期为 π，38 18 28 14 12所以， ω ＝2.由题意可知，图象过定点 ，所以 0＝ Atan ，即(38π ， 0) (2×38π ＋ φ )π＋ φ ＝ kπ( k∈Z)，所以， φ ＝ kπ－ π( k∈Z)，又| φ | π，所以， φ ＝ π.再由图34 34 12 145象过定点(0,1)，所以， A＝1.综上可知， f(x)＝tan .故有 f ＝tan(2x＋14π ) (124π )＝tan π＝ .(2×124π ＋ 14π ) 13 3答案 311．已知函数 f(x)＝2tan 的最小正周期 T 满足 1T ，求正整数 k 的值，并(kx－π 3) 32指出 f(x)的奇偶性、单调区间．解 ∵1 T ，∴1 ，即 kπ.32 π k32 2π3∵ k∈N *，∴ k＝3，则 f(x)＝2tan ，(3x－π 3)由 3x－ ≠ ＋ kπ 得 x≠ ＋ ， k∈Z，定义域不关于原点对称，π 3 π 2 5π18 kπ3∴ f(x)＝2tan 是非奇非偶函数．由－ ＋ kπ3 x－ ＋ kπ 得(3x－π 3) π 2 π 3 π 2－ ＋ x ＋ ， k∈Z.π18 kπ3 5π18 kπ3∴ f(x)＝2tan 的单调增区间为(3x－π 3)， k∈Z.(－π18＋ kπ3， 5π18＋ kπ3)12．函数 f(x)＝tan(3 x＋ φ )图象的一个对称中心是 ，其中 0φ ，试求函(π 4， 0) π 2数 f(x)的单调区间．解 由于函数 y＝tan x 的对称中心为 ，(kπ2， 0)其中 k∈Z.故令 3x＋ φ ＝ ，其中 x＝ ，即 φ ＝ － .kπ2 π 4 kπ2 3π4由于 0φ ，π 2所以当 k＝2 时， φ ＝ .π 4故函数解析式为 f(x)＝tan .(3x＋π 4)由于正切函数 y＝tan x 在区间 (k∈Z)上为增函数．(kπ －π 2， kπ ＋ π 2)则令 kπ－ 3x＋ kπ＋ ，π 2 π 4 π 26解得 － x ＋ ， k∈Z，kπ3 π 4 kπ3 π12故函数的单调增区间为 ， k∈Z.(kπ3－ π 4， kπ3 ＋ π12)13．求函数 y＝－tan 2x＋10tan x－1， x∈ 的最值及相应的 x 的值．[π 4， π 3]解 y＝－tan 2x＋10tan x－1＝－(tan x－5) 2＋24.∵ ≤ x≤ ，∴1≤tan x≤ .π 4 π 3 3∴当 tanx＝ 时， y 有最大值 10 －4，此时 x＝ .3 3π 3当 tanx＝1 时， y 有最小值 8，此时 x＝ .π 41双基限时练(十一)1．把函数 f(x)的图象向右平移 个单位后得到函数 y＝sin 的图象，则 f(x)π12 (x＋ π 3)为( )A．sin B．sin(x＋712π ) (x＋ 34π )C．sin D．sin(x＋5π12) (x－ 512π )解析 用 x－ 代换选项中的 x，化简得到 y＝sin 的就是 f(x)，代入选项 C，π12 (x＋ π 3)有 f(x)＝sin ＝sin .(x－π12＋ 5π12) (x＋ π 3)答案 C2．下列四个函数中，同时具有：①最小正周期是 π，②图象关于 x＝ 对称的是( )π 3A． y＝sin( ＋ ) B． y＝sin(2 x＋ )x2 π 6 π 6C． y＝sin(2 x－ ) D． y＝sin(2 x－ )π 3 π 6解析 当 x＝ 时，π 3y＝sin ＝sin ＝sin ＝1.(2x－π 6) (2×π 3－ π 6) π 2∴函数 y＝sin 的图象关于 x＝ 对称，且周期 T＝ ＝π.(2x－π 6) π 3 2π2答案 D3．要将 y＝sin 的图象转化为某一个偶函数图象，只需将 y＝sin 的(2x＋π 4) (2x＋ π 4)图象( )A．向左平移 个单位π 4B．向右平移 个单位π 4C．向左平移 个单位π 8D．向右平移 个单位π 8解析 把 y＝sin 的图象向左平移 个单位即得 y＝sin ＝sin(2x＋π 4) π 8 [2(x＋ π 8)＋ π 4]2＝cos2 x 的图象．因为 y＝cos2 x 为偶函数，所以符合题意．(2x＋π 2)答案 C4．函数 y＝3sin 的相位和初相分别是( )(－ x＋π 6)A．－ x＋ ， B． x－ ，－π 6 π 6 π 6 π 6C． x＋ ， D． x＋ ，5π6 5π6 5π6 π 6解析 因为 y＝3sin ＝3sin(－ x＋π 6) [π － (－ x＋ π 6)]＝3sin ，所以相位和初相分别是 x＋ ， .(x＋5π6) 5π6 5π6答案 C5．如下图是函数 y＝ Asin(ωx ＋ φ )＋ b 在一个周期内的图象，那么这个函数的一个解析式为( )A． y＝2sin －1(x2＋ π 6)B． y＝2sin －1(2x＋π 6)C． y＝3sin －1(2x＋π 3)D． y＝3sin －1(2x＋π 6)解析 由图象知 A＝ ＝3， b＝－1，2－  － 42T＝ － ＝π.5π6 (－ π 6)∴ ω ＝ ＝2，故可设解析式为 y＝3sin(2 x＋ φ )－1，代入点 ，得2πT (7π12， － 4)－4＝3sin －1，(2×7π12＋ φ )即 sin ＝－1，∴ φ ＋ ＝2 kπ－ (k∈Z)．(7π6＋ φ ) 7π6 π 23令 k＝1，解得 φ ＝ ，所以 y＝3sin －1.π 3 (2x＋ π 3)答案 C6．将函数 f(x)＝sin( ωx ＋ φ )的图象向左平移 个单位长度，若所得图象与原图象π 2重合，则 ω 的值不可能等于( )A．4 B．6C．8 D．12解析 由题意可得，sin [ω (x＋φω ＋ π 2)]＝sin ，则 ω ＝2 kπ， k∈Z，所以 ω ＝4 k， k∈Z，因为 6 不是 4 的(ω x＋ φ ＋π 2ω ) π 2整数倍，所以 ω 的值不可能是 6，故选 B.答案 B7．使函数 f(x)＝3sin(2 x＋5 θ )的图象关于 y 轴对称的 θ 为________．解析 ∵函数 f(x)＝3sin(2 x＋5 θ )的图象关于 y 轴对称，∴ f(－ x)＝ f(x)恒成立，∴3sin(－2 x＋5 θ )＝3sin(2 x＋5 θ )，∴sin(－2 x＋5 θ )＝sin(2 x＋5 θ )，∴－2 x＋5 θ ＝2 x＋5 θ ＋2 kπ(舍去)或－2 x＋5 θ ＋2 x＋5 θ ＝2 kπ＋π( k∈Z)，即 10θ ＝2 kπ＋π，故 θ ＝ ＋ (k∈Z)．kπ5 π10答案 ＋ ， k∈Zkπ5 π108．若函数 f(x)＝2sin( ωx ＋ φ )， x∈R(其中 ω 0，| φ |0)．又由 f(0)＝ 且| φ |0) 的图象向右平移 个单位长度，所得图象经过π 4点 ，则 ω 的最小值是________．(3π4， 0)解析 把 f(x)＝sin ωx 的图象向右平移 个单位长度得： y＝sin .π 4 [ω (x－ π 4)]又所得图象过点 ，(3π4， 0)∴sin ＝0.[ω (3π4－ π 4)]∴sin ＝0.ω π2∴ ＝ kπ( k∈Z)．ω π2∴ ω ＝2 k(k∈Z)．∵ ω 0，∴ ω 的最小值为 2.答案 211．设函数 f(x)＝3sin ， ω ＞0，且以 为最小正周期．(ω x＋π 6) π 2(1)求 f(x)的解析式；(2)当 x∈ 时，求 f(x)的最值．[－π12， π 6]解 (1)∵ f(x)的最小正周期为 ，∴ ω ＝ ＝4.π 2 2ππ 2∴ f(x)＝3sin .(4x＋π 6)(2)由 x∈ ，[－π12， π 6]得 4x＋ ∈ ，π 6 [－ π 6， 5π6]sin ∈ .(4x＋π 6) [－ 12， 1]5∴当 sin ＝－ ，(4x＋π 6) 12即 x＝－ 时， f(x)有最小值－ ，π12 32当 sin ＝1，即 x＝ 时， f(x)有最大值 3.(4x＋π 6) π1212．设函数 f(x)＝sin ， y＝ f(x)的图象的一条对称轴是直线(12x＋ φ )(00， ω 0， x∈R)，在一个周期内的图象如下图所示，求直线 y＝ 与函数 f(x)图象的所有交点的坐标．3解 由图象得 A＝2，6T＝ π－ ＝4π.72 (－ π 2)则 ω ＝ ＝ ，故 y＝2sin .2πT 12 (12x＋ φ )又 × ＋ φ ＝0，∴ φ ＝ .12 (－ π 2) π 4∴ y＝2sin .(12x＋ π 4)由条件知 ＝2sin ，3 (12x＋ π 4)得 x＋ ＝2 kπ＋ (k∈Z)，12 π 4 π 3或 x＋ ＝2 kπ＋ π( k∈Z)．12 π 4 23∴ x＝4 kπ＋ (k∈Z)，或 x＝4 kπ＋ π( k∈Z)．π 6 56则所有交点的坐标为或 (k∈Z)．(4kπ ＋π 6， 3) (4kπ ＋ 5π6， 3)1双基限时练(十二)1．某人的血压满足函数式 f(t)＝24sin160π t＋110，其中 f(t)为血压， t为时间，则此人每分钟心跳的次数为( )A．60 B．70C．80 D．90解析 由 T＝ ＝ ＝ ，又 f＝ ＝ ＝80，故每分钟心跳次数为 80，选 C.2πω 2π160π 180 1T 1180答案 C2．如下图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置 O的距离 s cm和时间 t s的函数关系式为 s＝6sin ，那么单摆来回摆动一次所需的时间为( )(2π t＋π6)A．2π s B．π sC．0.5 s D．1 s解析 依题意是求函数 s＝6sin 的周期， T＝ ＝1.故选 D.(2π t＋π6) 2π2π答案 D3．函数 y＝ x＋sin| x|， x∈[－π，π]的大致图象是( )2解析 y＝ x＋sin| x|是非奇非偶函数，在[0，π]上是增函数，故选 C.答案 C4．如图，表示电流强度 I与时间 t的关系为 I＝ Asin(ωt ＋ φ )(A0， ω 0)在一个周期内的图象，则该函数的解析式为( )A． I＝300sin (50π t＋π3)B． I＝300sin (50π t－π3)C． I＝300sin (100π t＋π3)D． I＝300sin (100π t－π3)解析 分析图象可知， A＝300， T＝2× ＝ ，(1150＋ 1300) 1503∴ ω ＝ ＝100π.又当 t＝ 时， I＝0.故选 C.2πT 1150答案 C5．如图为一半径为 3 cm的水轮，水轮圆心 O距离水面 2 m，已知水轮自点 A开始旋转，15 s旋转一圈．水轮上的点 P到水面距离 y(m)与时间 x(s)满足函数关系y＝ Asin(ωx ＋ φ )＋2，则有( )A． ω ＝ ， A＝3 B． ω ＝ ， A＝32π15 152πC． ω ＝ ， A＝5 D． ω ＝ ， A＝52π15 152π解析 ∵ T＝15，故 ω ＝ ＝ ，显然 ymax－ ymin的值等于圆 O的直径长，即2πT 2π15ymax－ ymin＝6，故 A＝ ＝ ＝3.ymax－ ymin2 62答案 A6．动点 A(x， y)在圆 x2＋ y2＝1 上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12 秒旋转一周．已知时间 t＝0 时，点 A的坐标是 ，则当 0≤ t≤12 时，动点 A的纵坐标 y关于(12， 32)t(单位：秒)的函数的单调递增区间是( )A．[0,1] B．[1,7]C．[7,12] D．[0,1]和[7,12]解析 由已知可得该函数的周期为 T＝12， ω ＝ ＝ ，又当 t＝0 时， A ，2πT π6 (12， 32)∴ y＝sin ， t∈[0,12]，可解得函数的单调递增区间是[0,1]和[7,12]．(π6t＋ π3)答案 D7．在匀强磁场中，匀速转动的线圈所产生的电流强度 I是时间 t的正弦函数，关系式为 I＝3sin ，则它的最大电流和周期分别为________．(12t＋ π6)4答案 3,4π8．如图是一弹簧振子作简谐振动的图象，横轴表示振动时间，纵轴表示振子的位移，则这个振子振动的函数解析式是__________．8．如图所示的图象显示的是相对于平均海平面的某海湾的水面高度 y(m)在某天 24 h内的变化情况，则水面高度 y关于从夜间 0时开始的时间 x的函数关系式为________．解析 将其看成 y＝ Asin(ωx ＋ φ )的图象，由图象知： A＝6， T＝12，∴ ω ＝ ＝ ，下面确定 φ .2πT π6将(6,0)看成函数图象的第一特殊点，则 ×6＋ φ ＝0.π6∴ φ ＝－π.∴函数关系式为： y＝6sin ＝－6sin x.(π6x－ π ) π6答案 y＝－6sin xπ69．一树干被台风吹断，折成 60°角，树干底部与树尖着地处相距 20米，树干原来的高度为________米．解析 如图所示，在 Rt△ ABC中， AC＝20 米，∠ B＝60°，5∴sin B＝ ，∴ BC＝ ＝ ＝ .ACBC ACsinB 20sin60°4033又 AB＝ BC＝ ，12 2033∴树干高为 AB＋ BC＝20 .3答案 20 310.如图，某游乐园内摩天轮的中心 O点距地面的高度为 50 m，摩天轮做匀速运动．摩天轮上的一点 P自最低点 A点起，经过 t min后，点 P的高度 h＝40sin ＋50(m)，(π6t－ π2)那么在摩天轮转动一圈的过程中，点 P的高度在距地面 70 m以上的时间将持续________min.解析 40sin ＋5070，即 cos t1≠cos ，∴①错误；代入②，得 ＝ 0≠cos ，∴②错误；同理yA 26.025.8 π6 y－ 46A 26.0－ 4625.8 π6④错误．∴本题应选③.答案 (1)～(4)见解析 (5)③1双基限时练(十三)1．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功，其中不是向量的有( )A．1 个 B．2 个C．3 个 D．4 个1．下列说法中正确的个数是( )(1)零向量是没有方向的 (2)零向量的长度为 0(3)零向量的方向是任意的 (4)单位向量的模都相等A．0 B．1C．2 D．3答案 D2．在下列命题中，正确的是( )A．若| a||b|，则 abB．若| a|＝| b|，则 a＝ bC．若 a＝ b，则 a 与 b 共线D．若 a≠ b，则 a 一定不与 b 共线解析 分析四个选项知，C 正确．答案 C3．设 a， b 为两个单位向量，下列四个命题中正确的是( )A. a＝ bB．若 a∥ b，则 a＝ bC. a＝ b 或 a＝－ bD．若 a＝ c， b＝ c，则 a＝ b答案 D4．设 M 是等边△ ABC 的中心，则 ， ， 是( )AM→ MB→ MC→ A．有相同起点的向量B．相等的向量C．模相等的向量D．平行向量解析 由正三角形的性质知，| MA|＝| MB|＝| MC|.∴| |＝| |＝| |.故选 C.MA→ MB→ MC→ 答案 C25．如右图，在四边形 ABCD 中，其中 ＝ ，则相等的向量是( )AB→ DC→ A. 与 B. 与AD→ CB→ OA→ OC→ C. 与 D. 与AC→ DB→ DO→ OB→ 解析 由 ＝ 知，四边形 ABCD 是平行四边形，由平行四边形的性质知，AB→ DC→ | |＝| |，且方向相同，故选 D.DO→ OB→ 答案 D6．下列结论中，正确的是( )A．2014 cm 长的有向线段不可能表示单位向量B．若 O 是直线 l 上的一点，单位长度已选定，则 l 上有且只有两个点 A， B，使得 ，OA→ 是单位向量OB→ C．方向为北偏西 50°的向量与南偏东 50°的向量不可能是平行向量D．一人从 A 点向东走 500 米到达 B 点，则向量 不能表示这个人从 A 点到 B 点的位移AB→ 解析 一个单位长度取作 2014 cm 时，2014 cm 长的有向线段刚好表示单位向量，故A 错误；易确定 B 正确，C 选项为平行向量；D 选项的 表示从点 A 到点 B 的位移．AB→ 答案 B7．如图， ABCD 为边长为 3 的正方形，把各边三等分后，共有 16 个交点，从中选取两个交点作为向量，则与 平行且长度为 2 的向量个数是________．AC→ 23解析 如图所示，满足条件的向量有 ， ， ， ， ， ， ， 共 8 个．EF→ FE→ HG→ GH→ AQ→ QA→ PC→ CP→ 答案 8 个8．把平行于某一直线的一切向量平移到同一起点，则这些向量的终点构成的图形是__________．解析 这些向量的始点在同一直线，其终点构成一条直线．答案 一条直线9．如图，某人想要从点 A 出发绕阴影部分走一圈，他可按图中提供的向量行走，则将这些向量按顺序排列为________．解析 注意到从 A 点出发，这些向量的顺序是 a， e， d， c， b.答案 a， e， d， c， b10．给出下列说法(1)若 a 与 b 同向，且| a||b|，则 ab；(2)若 a∥ b，则 a＝ b；(3)若 a＝ b，则 a∥ b；(4)若 a＝ b，则| a|＝| b|；(5)若 a≠ b，则 a 与 b 不是共线向量，其中正确说法的序号是________．解析 (1)错误．因为两个向量不能比较大小．(2)错误．若 a∥ b，则 a 与 b 的方向不一定相同，模也不一定相等，故无法得到 a＝ b.(3)正确．若 a＝ b，则 a 与 b 的方向相同，故 a∥ b.(4)正确．若 a＝ b，则 a 与 b 模相等，即| a|＝| b|.(5)错误．若 a≠ b，则 a 与 b 有可能模不相等但方向相同，所以有可能是共线向量．答案 (3)(4)11．如下图， E， F， G， H 分别是四边形 ABCD 的各边中点，分别指出图中：4(1)与向量 相等的向量；HG→ (2)与向量 平行的向量；HG→ (3)与向量 模相等的向量；HG→ (4)与向量 模相等、方向相反的向量．HG→ 解 (1)与向量 相等的向量有 .HG→ EF→ (2)与向量 平行的向量有 ， ， ， ， .HG→ EF→ FE→ AC→ CA→ GH→ (3)与向量 模相等的向量有 ， ， .HG→ GH→ EF→ FE→ (4)与向量 模相等、方向相反的向量有 ， .HG→ GH→ FE→ 12．一辆汽车从 A 点出发向西行驶了 100 km 到达 B 点，然后又改变方向向西偏北45°走了 200 km 到达 C 点，最后又改变方向，向东行驶了 100 km 到达 D 点．(1)作出向量 ， ， ；AB→ BC→ CD→ (2)求| |.AD→ 解 (1)如图所示．(2)由题意，易知 与 方向相反，故 与 平行．AB→ CD→ AB→ CD→ 又| |＝| |＝100 km，AB→ CD→ ∴在四边形 ABCD 中， AB 綊 CD.5∴四边形 ABCD 为平行四边形．∴| |＝| |＝200 km.AD→ BC→ 13.如图，在△ ABC 中， D， E 分别是边 AB， AC 的中点， F， G 分别是 DB， EC 的中点，求证：向量 与 共线．DE→ FG→ 证明 ∵ D， E 分别是边 AB， AC 的中点，∴ DE 是△ ABC 的中位线．∴ DE∥ BC.∴四边形 DBCE 是梯形．又∵ F， G 分别是 DB， EC 的中点，∴ FG 是梯形 DBCE 的中位线．∴ FG∥ DE.∴向量 与 共线．DE→ FG→ 1双基限时练(十四)1．已知 a， b， c 是非零向量，则( a＋ c)＋ b， b＋( a＋ c)， b＋( c＋ a)， c＋( a＋ b)，c＋( b＋ a)中，与向量 a＋ b＋ c 相等的向量的个数为( )A．5 B．4C．3 D．2解析 向量加法满足交换律，所以五个向量均等于 a＋ b＋ c.答案 A2．向量( ＋ )＋( ＋ )＋ 化简后等于( )AB→ MB→ BO→ BC→ OM→ A. B.CB→ AB→ C. D.AC→ AM→ 解析 ( ＋ )＋( ＋ )＋ ＝( ＋ )＋( ＋ ＋ )＝ ＋0＝ ，故选 C.AB→ MB→ BO→ BC→ OM→ AB→ BC→ BO→ OM→ MB→ AC→ AC→ 答案 C3．向量 a， b 皆为非零向量，下列说法不正确的是( )A．向量 a 与 b 反向，且| a||b|，则向量 a＋ b 与 a 的方向相同B．向量 a 与 b 反向，且| a||b|，则向量 a＋ b 与 a 的方向相同C．向量 a 与 b 同向，则向量 a＋ b 与 a 的方向相同D．向量 a 与 b 同向，则向量 a＋ b 与 b 的方向相同解析 向量 a 与 b 反向，且| a||b|，则 a＋ b 应与 b 方向相同，因此 B 错．答案 B4．设 P 是△ ABC 所在平面内一点， ＋ ＝2 ，则( )BC→ BA→ BP→ A. ＋ ＝0 B. ＋ ＝0PA→ PB→ PB→ PC→ C. ＋ ＝0 D. ＋ ＋ ＝0PC→ PA→ PA→ PB→ PC→ 解析 由向量加法的平行四边形法则易知， 与 的和向量过 AC 边的中点，且长度是BA→ BC→ AC 边中线长的 2 倍，结合已知条件知， P 为 AC 的中点，故 ＋ ＝0.PA→ PC→ 答案 C5．正方形 ABCD 的边长为 1， ＝ a， ＝ c， ＝ b，则| a＋ b＋ c|为( )AB→ AC→ BC→ 2A．0 B. 2C．3 D．2 2解析 | a＋ b＋ c|＝|2 c|＝2| c|＝2 .应选 D.2答案 D6．在▱ ABCD 中，若| ＋ B |＝| B ＋ |，则四边形 ABCD 是( )BC→ A→ C→ AB→ A．菱形 B．矩形C．正方形 D．不确定解析 | ＋ |＝| ＋ |＝| |，BC→ AB→ AB→ BC→ AC→ | ＋ |＝| |，BC→ BA→ BD→ 由| |＝| |知四边形 ABCD 为矩形．BD→ AC→ 答案 B7.根据图示填空．(1) ＋ ＝________；AB→ OA→ (2) ＋ ＋ ＝________；BO→ OD→ DO→ (3) ＋ ＋2 ＝________.AO→ BO→ OD→ 解析 由三角形法则知(1) ＋ ＝ ＋ ＝ ；AB→ OA→ OA→ AB→ OB→ (2) ＋ ＋ ＝ ；BO→ OD→ DO→ BO→ 3(3) ＋ ＋2 ＝ ＋ .AO→ BO→ OD→ AD→ BD→ 答案 (1) (2) (3) ＋OB→ BO→ AD→ BD→ 8．在正方形 ABCD 中，边长为 1， ＝ a， ＝ b，则| a＋ b|＝________.AB→ BC→ 解析 a＋ b＝ ＋ ＝ ，AB→ BC→ AC→ ∴| a＋ b|＝| |＝ .AC→ 2答案 29．若 P 为△ ABC 的外心，且 ＋ ＝ ，则∠ ACB＝__________.PA→ PB→ PC→ 解析 ∵ ＋ ＝ ，则四边形 APBC 是平行四边形．PA→ PB→ PC→ 又 P 为△ ABC 的外心，∴| |＝| |＝| |.PA→ PB→ PC→ 因此∠ ACB＝120°.答案 120°10．设 a 表示“向东走了 2 km”， b 表示“向南走了 2 km”， c 表示“向西走了 2 km”，d 表示“向北走了 2 km”，则(1)a＋ b＋ c 表示向________走了________km；(2)b＋ c＋ d 表示向________走了________km；(3)|a＋ b|＝________， a＋ b 的方向是________．解析 (1)如图①所示， a＋ b＋ c表示向南走了 2 km.(2)如图②所示， b＋ c＋ d 表示向西走了 2 km.4(3)如图①所示，| a＋ b|＝ ＝2 ， a＋ b 的方向是东南．22＋ 22 2答案 (1)南 2 km(2)西 2 km(3)2 东南211.如图， O 为正六边形 ABCDEF 的中心，试通过计算用图中有向线段表示下列向量的和：(1) ＋ ；OA→ OC→ (2) ＋ ；BC→ FE→ (3) ＋ .OA→ FE→ 解 (1)因为四边形 OABC 是平行四边形，所以 ＋ ＝ .OA→ OC→ OB→ (2)因为 BC∥ AD∥ FE； BC＝ FE＝ AD，12所以 ＝ ， ＝ ，BC→ AO→ FE→ OD→ 所以 ＋ ＝ ＋ ＝ .BC→ FE→ AO→ OD→ AD→ (3)因为| |＝| |，且 与 反向．OA→ FE→ OA→ FE→ 所以利用三角形法则可知 ＋ ＝0.OA→ FE→ 12．化简：(1) ＋ ＋ ；AB→ CD→ BC→ (2)( ＋ )＋( ＋ )；MA→ BN→ AC→ CB→ (3) ＋( ＋ )＋ .AB→ BD→ CA→ DC→ 5解 (1) ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ .AB→ CD→ BC→ AB→ BC→ CD→ AD→ (2)( ＋ )＋( ＋ )MA→ BN→ AC→ CB→ ＝( ＋ )＋( ＋ )MA→ AC→ CB→ BN→ ＝ ＋ ＝ .MC→ CN→ MN→ (3) ＋( ＋ )＋AB→ BD→ CA→ DC→ ＝ ＋ ＋ ＋ ＝0AB→ BD→ DC→ CA→ 13.如右图所示， P， Q 是△ ABC 的边 BC 上的两点，且 ＝ .BP→ QC→ 求证： ＋ ＝ ＋ .AB→ AC→ AP→ AQ→ 证明 由图可知 ＝ ＋ ，AB→ AP→ PB→ ＝ ＋ ，AC→ AQ→ QC→ ∴ ＋ ＝ ＋ ＋ ＋ .AB→ AC→ AP→ AQ→ PB→ QC→ ∵ ＝ ，BP→ QC→ 又 与 模相等，方向相反，PB→ BP→ 故 ＋ ＝ ＋ ＝0.PB→ QC→ PB→ BP→ ∴ ＋ ＝ ＋ .AB→ AC→ AP→ AQ→ 1双基限时练(十五)1．若非零向量 a， b 互为相反向量，则下列说法错误的是( )A． a∥ b B． a≠ bC．| a|≠| b| D． b＝－ a解析 根据相反向量的定义：大小相等，方向相反，可知| a|＝| b|.答案 C2．给出下列四个结论：① ＝ ＋ ； ② － ＝ ；AB→ AO→ OB→ AB→ AC→ BC→ ③ ＋ ＋ ＝0; ④| a＋ b|≥| a－ b|.AB→ BC→ CA→ 其中错误的有( )A．1 个 B．2 个C．3 个 D．4 个解析 ①正确，②错误，∵ － ＝ ＋ ＝ ≠ .③错误，AB→ AC→ AB→ CA→ CB→ BC→ ∵ ＋ ＋ ＝0≠0.④错误，当 a 与 b 方向相反时，有| a＋ b||| |－| ||可得BC→ BC→ AC→ AB→ |a－ b|||a|－| b||；4当 a 与 b 反向时，如图 2，知 a－ b＝ ，| ||| |－| ||，∴| a－ b|||a|－| b||.CB→ CB→ AB→ AC→ 当 a 与 b 同向时，如图 3， a－ b＝ ，| |＝|| |－| ||，∴| a－ b|＝|| a|－| b||.CB→ CB→ AB→ AC→ 答案 相同10．给出下列命题：①若 ＋ ＝ ，则 － ＝ ；OD→ OE→ OM→ OM→ OE→ OD→ ②若 ＋ ＝ ，则 ＋ ＝ ；OD→ OE→ OM→ OM→ DO→ OE→ ③若 ＋ ＝ ，则 － ＝ ；OD→ OE→ OM→ OD→ EO→ OM→ ④若 ＋ ＝ ，则 ＋ ＝ .OD→ OE→ OM→ DO→ EO→ MO→ 其中所有正确命题的序号为________．答案 ①②③④11．如图，解答下列各题：(1)用 a， d， e 表示 ；DB→ (2)用 b， c 表示 ；DB→ 5(3)用 a， b， e 表示 ；EC→ (4)用 d， c 表示 .EC→ 解 ∵ ＝ a， ＝ b， ＝ c，AB→ BC→ CD→ ＝ d， ＝ e，DE→ EA→ ∴(1) ＝ ＋ ＋ ＝ d＋ e＋ a.DB→ DE→ EA→ AB→ (2) ＝ － ＝－ － ＝－ b－ c.DB→ CB→ CD→ BC→ CD→ (3) ＝ ＋ ＋ ＝ a＋ b＋ e.EC→ EA→ AB→ BC→ (4) ＝－ ＝－( ＋ )＝－ c－ d.EC→ CE→ CD→ DE→ 12.如图所示， O 为△ ABC 内一点， ＝ a， ＝ b， ＝ c，求作向量 b＋ c－ a.OA→ OB→ OC→ 解 以 ， 为邻边作▱ OBDC，连接 OD， AD，则OB→ OC→ ＝ ＋ ＝ b＋ c， ＝ － ＝ b＋ c－ a.OD→ OB→ OC→ AD→ OD→ OA→ 13．已知| a|＝6，| b|＝8，且| a＋ b|＝| a－ b|，求| a－ b|.解 如下图，设 ＝ a， ＝ b，以 AB， AD 为邻边作▱ ABCD，则AB→ AD→ 6＝ ＋ ＝ a＋ b， ＝ － ＝ a－ b.AC→ AB→ AD→ DB→ AB→ AD→ 由| a＋ b|＝| a－ b|知，| |＝| |，AC→ DB→ ∴四边形 ABCD 是矩形，故 AD⊥ AB.在 Rt△ ABD 中，