（山东专用）2017版高考数学一轮复习 第五章 平面向量 第1-4讲课件 理（打包4套）新人教A版.zip

第 1讲 平面向量的概念及 线 性运算最新考 纲 1.了解向量的 实际 背景； 2.理解平面向量的概念和两个向量相等的含 义 ； 3.理解向量的几何表示； 4.掌握向量加法、减法的运算 ， 并理解其几何意 义 ； 5.掌握向量数乘的运算及其几何意 义 ， 理解两个向量共 线 的含 义 ； 6.了解向量 线 性运算的性 质 及其几何意 义 .知 识 梳 理1.向量的有关概念0平行向量 方向 或 的非零向量0与任一向量或共 线共 线 向量 方向相同或相反的非零向量又叫做共 线 向量相等向量 长 度 且方向 的向量两向量只有相等或不等，不能比较 大小相反向量 长 度 且方向 的向量 0的相反向量 为 0相同 相反平行相等 相同相等 相反2.向量的 线 性运算向量运算 定 义 法 则 (或几何意 义 ) 运算律加法 求两个向量和的运算(1)交 换 律：a＋ b＝ .(2)结 合律：(a＋ b)＋ c＝b＋ aa＋ (b＋ c)减法求 a与 b的相反向量－ b的和的运算叫做 a与 b的差a－ b＝a＋ (－ b)数乘求 实 数 λ与向量 a的 积 的运算(1)|λa|＝ ； (2)当 λ＞ 0时 ， λa的方向与 a的方向 ；当 λ＜ 0时 ， λa的方向与 a的方向 ；当 λ＝ 0时 ， λa＝ λ(μa)＝ ； (λ＋ μ)a＝；λ(a＋ b)＝λμaλa＋ μa|λ||a|相同相反0 λa＋ λb3.共 线 向量定理向量 a(a≠ 0)与 b共 线 的充要条件是存在唯一一个 实 数 λ，使得 .b＝ λa诊 断 自 测√√×××答案 C答案 A答案 D答案 b－ a － a－ b答案 A【 训练 1】 给 出下列命 题 ：① 两个具有公共 终 点的向量，一定是共 线 向量；② 两个向量不能比 较 大小，但它 们 的模能比 较 大小；③ 若 λa＝ 0(λ为实 数 )， 则 λ必 为 零；④ 已知 λ， μ为实 数，若 λa＝ μb， 则 a与 b共 线 .其中 错误 命 题 的个数 为 ( )A.1 B.2 C.3 D.4解析 ① 错误 .两向量共 线 要看其方向而不是起点与终 点 .② 正确 .因 为 向量既有大小 ， 又有方向 ， 故它 们不能比 较 大小 ， 但它 们 的模均 为实 数 ， 故可以比 较 大小 .③ 错误 .当 a＝ 0时 ， 不 论 λ为 何 值 ， λa＝ 0.④ 错误 .当 λ＝ μ＝ 0时 ， λa＝ μb， 此 时 ， a与 b可以是任意向量 .答案 C答案 (1)D (2)D规 律方法 (1)解 题 的关 键 在于熟 练 地找出 图 形中的相等向量 ，并能 熟 练 运用相反向量将加减法相互 转 化 .(2)用几个基本向量表示某个向量 问题 的基本技巧： ① 观 察各向量的位置； ② 寻 找相 应 的三角形或多 边 形； ③ 运用法 则 找关系；④ 化 简结 果 .答案 (1)D (2)2规 律方法 (1)证 明三点共 线问题 ， 可用向量共 线 解决 ， 但 应 注意向量共 线 与三点共 线 的区 别 与 联 系 ， 当两向量共 线 且有公共点 时 ， 才能得出三点共 线 .(2)向量 a， b共 线 是指存在不全 为 零的 实 数 λ1， λ2， 使 λ1a＋ λ2b＝ 0成立 .答案 (1)C (2)3[易 错 防范 ]1.解决向量的概念 问题 要注意两点：一是不 仅 要考 虑向量的大小，更重要的是要考 虑 向量的方向；二是考 虑 零向量是否也 满 足条件 .要特 别 注意零向量的特殊性 .2.在利用向量减法 时 ，易弄 错 两向量的 顺 序，从而求得所求向量的相反向量， 导 致 错误 .第 2讲 平面向量基本定理及坐 标 表示最新考 纲 1.了解平面向量的基本定理及其意 义 ； 2.掌握平面向量的正交分解及其坐 标 表示； 3.会用坐 标表示平面向量的加法、减法与数乘运算； 4.理解用坐标 表示的平面向量共 线 的条件 .知 识 梳 理1.平面向量的基本定理如果 e1， e2是同一平面内的两个 向量，那么 对 于这 一平面内的任意向量 a， 一 对实 数 λ1， λ2，使 a＝ .其中，不共 线 的向量 e1， e2叫做表示 这 一平面内所有向量的一 组 基底 .2.平面向量的正交分解把一个向量分解 为 两个 的向量，叫做把向量正交分解 .λ1e1＋ λ2e2互相垂直不共 线有且只有(x1＋ x2， y1＋ y2)(x1－ x2， y1－ y2) (λx1， λy1)(x2－ x1， y2－ y1)x1y2－ x2y1＝ 0诊 断 自 测××××√2.在下列向量 组 中，可以把向量 a＝ (3， 2)表示出来的是 ( )A.e1＝ (0， 0)， e2＝ (1， 2)B.e1＝ (－ 1， 2)， e2＝ (5，－ 2)C.e1＝ (3， 5)， e2＝ (6， 10)D.e1＝ (2，－ 3)， e2＝ (－ 2， 3)解析 由 题 意知 ， A选项 中 e1＝ 0， C， D选项 中两向量均共 线 ， 都不符合基底条件 ， 故 选 B(事 实 上 ， a＝(3， 2)＝ 2e1＋ e2).答案 B答案 A规 律方法 (1)应 用平面向量基本定理表示向量的 实质 是利用平行四 边 形法 则 或三角形法 则进 行向量的加、减或数乘运算 .(2)用平面向量基本定理解决 问题 的一般思路是：先 选择 一 组 基底 ， 并运用 该 基底将条件和 结论 表示成向量的形式 ， 再通 过 向量的运算来解决.(3)要熟 练 运用平面几何的一些性 质 定理 .答案 (1)B (2)D规 律方法 向量的坐 标 运算主要是利用加、减、数乘运算法 则进 行 .若已知有向 线 段两端点的坐标 ， 则应 先求出向量的坐 标 ， 解 题过 程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法 则 .答案 (1)D (2)B考点三 平面向量共 线 的坐 标 表示规 律方法 (1)两平面向量共 线 的充要条件有两种形式： ① 若 a＝ (x1， y1)， b＝ (x2， y2)， 则 a∥ b的充要条件是 x1y2－ x2y1＝ 0； ② 若 a∥ b(b≠ 0)， 则 a＝ λb.(2)向量共 线 的坐 标 表示既可以判定两向量平行 ， 也可以由平行求参数 .当两向量的坐 标 均非零 时 ， 也可以利用坐标对应 成比例来求解 .【 训练 3】 (1)已知梯形 ABCD，其中 AB∥ CD，且 DC＝ 2AB，三个 顶 点 A(1， 2)， B(2， 1)， C(4， 2)，则 点 D的坐 标为 ________.(2)在 △ ABC中，内角 A， B， C所 对 的 边 分 别为 a， b， c，若 p＝ (a＋ c， b)， q＝ (b－ a， c－ a)，且p∥ q， 则 角 C＝ ________.答案 (1)(2， 4) (2)60°[思想方法 ]1.对 平面向量基本定理的理解(1)平面向量基本定理 实际 上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理 论 依据，也是向量的坐 标 表示的基 础 .(2)平面向量一 组 基底是两个不共 线 向量，平面向量基底可以有无 穷 多 组 .(3)用平面向量基本定理可将平面中任一向量分解成形如 a＝ λ1e1＋ λ2e2的形式 .2.向量共 线 的作用向量共 线 常常用来解决交点坐 标问题 和三点共 线问题 ，向量共线 的充要条件用坐 标 可表示 为 x1y2－ x2y1＝ 0.第 3讲 平面向量的数量 积 及其 应 用最新考 纲 1.理解平面向量数量 积 的含 义 及其物理意义 ； 2.了解平面向量的数量 积 与向量投影的关系； 3.掌握数量 积 的坐 标 表达式 ， 会 进 行平面向量数量 积 的运算； 4.能运用数量 积 表示两个向量的 夹 角 ， 会用数量 积 判断两个平面向量的垂直关系 .知 识 梳 理|a||b|cos θ |a||b|cos θ(3)数量 积 的几何意 义 ：数量 积 a·b等于 a的 长 度 |a|与 b在 a的方向上的投影 的乘 积 .|b|cos θx1x2＋ y1y2x1x2＋ y1y2＝ 03.平面向量数量 积 的运算律(1)a·b＝ b·a(交 换 律 ).(2)λa·b＝ λ(a·b)＝ a·(λb)(结 合律 ).(3)(a＋ b)·c＝ __________ (分配律 ).a·c＋ b·c诊 断 自 测×××√√2.(2015·全国 Ⅱ 卷 )向量 a＝ (1，－ 1)， b＝ (－ 1， 2)，则 (2a＋ b)·a等于 ( )A.－ 1 B.0 C.1 D.2解析 因 为 a＝ (1，－ 1)， b＝ (－ 1， 2)，所以 2a＋ b＝ 2(1，－ 1)＋ (－ 1， 2)＝ (1， 0)，得 (2a＋b)·a＝ (1， 0)·(1，－ 1)＝ 1， 选 C.答案 C答案 D5.(人教 A必修 4P104例 1改 编 )已知 |a|＝ 5， |b|＝ 4， a与 b的夹 角 θ＝ 120°， 则 向量 b在向量 a方向上的投影 为________.解析 由数量 积 的定 义 知， b在 a方向上的投影为 |b|cos θ＝ 4× cos 120°＝－ 2.答案 － 2考点一 平面向量的数量 积规 律方法 (1)求两个向量的数量 积 有三种方法：利用定 义；利用向量的坐 标 运算；利用数量 积 的几何意 义 .(2)解决涉及几何 图 形的向量数量 积 运算 问题时 ， 可先利用向量的加减运算或数量 积 的运算律化 简 再运算 .但一定要注意向量的夹 角与已知平面角的关系是相等 还 是互 补 .答案 (1)C (2)C考点二 平面向量的 夹 角与垂直答案 (1)C (2)2第 4讲 平面向量的 应 用最新考 纲 1.会用向量方法解决某些 简单 的平面几何 问题 ； 2.会用向量方法解决 简单 的力学 问题 与其他一些 实际问题 .知 识 梳 理1.向量在平面几何中的 应 用向量在平面几何中的 应 用主要是用向量的 线 性运算及数量积 解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、 长度、 夹 角等 问题 .(1)证 明 线 段平行或点共 线问题 ，包括相似 问题 ，常用共 线向量定理： a∥ b(b≠ 0)⇔ ⇔ .(2)证 明垂直 问题 ，常用数量 积 的运算性 质a⊥ b⇔ ⇔ (a， b均 为 非零向量 ).a＝ λb x1y2－ x2y1＝ 0a·b＝ 0 x1x2＋ y1y2＝ 02.向量在三角函数中的 应 用与三角函数相 结 合考 查 向量的数量 积 的坐 标 运算及其 应用是高考 热 点 题 型 .解答此 类问题 ，除了要熟 练 掌握向量数量 积 的坐 标 运算公式、向量模、向量 夹 角的坐 标 运算公式外， 还应 掌握三角恒等 变换 的相关知 识 .3.向量在解析几何中的 应 用向量在解析几何中的 应 用，是以解析几何中的坐 标为 背景的一种向量描述 .它主要 强 调 向量的坐 标问题 ， 进 而利用直 线 和 圆锥 曲 线 的位置关系的相关知识 来解答，坐 标 的运算是考 查 的主体 .诊 断 自 测√√√√×2.已知 △ ABC的三个 顶 点的坐 标 分 别为 A(3， 4)， B(5， 2)， C(－ 1，－ 4)， 则这 个三角形是 ( )A.锐 角三角形 B.直角三角形C.钝 角三角形 D.等腰直角三角形答案 B答案 C答案 B答案 垂心考点一 平面向量在平面几何中的 应 用规 律方法 用平面向量解决平面几何问题时，在便于建立直角坐标系的情况下建立平面直角坐标系，这样可以使向量的运算更简便一些 .在解决这类问题时，共线向量定理和平面向量基本定理起主导作用 .规 律方法 (1)解决平面向量与三角函数的交汇问题 ，关键是准确利用向量的坐标运算化简已知条件 ， 将其转化为三角函数中的有关问题解决 .(2)还应熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、几何意义、向量模、夹角的坐标运算公式以及三角恒等变换、正、余弦定理等知识 .规 律方法 向量在解析几何中的作用： (1)载体作用 ， 向量在解析几何问题中出现 ， 多用于 “ 包装 ” ， 解决此类问题时关键是利用向量的意义、运算脱去 “ 向量外衣 ” ， 导出曲线上点的坐标之间的关系 ， 从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题； (2)工具作用 ， 利用 a⊥ b⇔ a·b＝0； a∥ b⇔ a＝ λb(b≠ 0)， 可解决垂直、平行问题 ， 特别地， 向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较可行的方法 .