（全国通用）2018高考数学大一轮复习 第十篇 计数原理、概率、随机变量及其分布 理（课件+习题）（打包14套）.zip

1第十篇 计数原理、概率、随机变量及其分布第 1 节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理【选题明细表】知识点、方法 题号分类加法计数原理 1,7,9,11分步乘法计数原理 2,3,6,8,10,13,14,15两个原理的综合 4,5,12基础对点练(时间:30 分钟)1.从甲地到乙地,一天中有 5 次火车,12 次客车,3 次飞机航班,还有 6 次轮船,每人某天要从甲地到乙地,则共有不同走法的种数是( A )(A)26 (B)60 (C)18 (D)1 080解析:由分类加法计数原理知有 5+12+3+6=26 种不同走法.2.用数字 1,2,3,4,5 组成的无重复数字的四位偶数的个数为( C )(A)8 (B)24 (C)48 (D)120解析:偶数的个位数是偶数,分四步完成.第一步,安排个位,有 2 种不同的安排方法;第二步,安排十位,有 4 种不同的安排方法;第三步,安排百位,有 3 种不同的安排方法;第四步,安排千位,有 2 种不同的安排方法.根据分步乘法计数原理,共可组成 2×4×3×2=48 个无重复数字的四位偶数.3.教学大楼共有五层,每层均有两个楼梯,由一层到五层的走法有( D )(A)10 种 (B)32 种 (C)25 种 (D)16 种解析:由分步乘法计数原理知有 2×2×2×2=16 种不同走法.4.(2016·山东东营模拟)如图所示 2×2 方格,在每一个方格中填入一个数字,数字可以是1,2,3,4 中的任何一个,允许重复.若填入 A 方格的数字大于 B 方格的数字,则不同的填法共有( C )(A)192 种 (B)128 种 (C)96 种 (D)12 种解析:可分三步:第一步,填 A,B 方格的数字,填入 A 方格的数字大于 B 方格的数字有 6 种填法(若方格 A 填入 2,则方格 B 只能填入 1;若方格 A 填入 3,则方格 B 只能填入 1 或 2;若方格A 填入 4,则方格 B 只能填入 1 或 2 或 3);第二步,填方格 C 的数字,有 4 种不同的填法;第三步,填方格 D 的数字,有 4 种不同的填法.由分步乘法计数原理得不同的填法总数为6×4×4=96.5.如图,用 4 种不同的颜色涂入图中的矩形 A,B,C,D 中,要求相邻的矩形涂色不同,则不同的涂法有( A ) (A)72 种 (B)48 种 (C)24 种 (D)12 种2解析:先分两类.一是四种颜色都用,这时 A 有 4 种涂法,B 有 3 种涂法,C 有两种涂法,D 有一种涂法,共有 4×3×2×1=24 种涂法;二是用三种颜色,这时 A,B,C 的涂法有 4×3×2=24 种,D 只要不与 C 同色即可,故 C 有两种涂法.故不同的涂法共有 24+24×2=72(种).6.5 位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组,则不同的报名方法共有( D )(A)10 种 (B)20 种 (C)25 种 (D)32 种解析:可以分五步完成报名工作,即 5 位同学依次报名,而每位同学的报名方式有两种,由分步乘法计数原理可得不同的报名方法共有 25=32(种),选 D.7.我们把各位数字之和为 6 的四位数称为“六合数”(如 2 013 是“六合数”),则“六合数”中首位为 2 的“六合数”共有( B )(A)18 个 (B)15 个 (C)12 个 (D)9 个解析:首位数字为 2,则其余三位数字之和为 4.数字 0,0,4 的有 3 个,0,1,3 的有 6 个,0,2,2的有 3 个,1,1,2 的有 3 个.共有 15 个.8.(2016·海南海口模拟)三张卡片的正、反两面分别写有 1,2,3,4,5,6,将这三张卡片排成一排,可以组成三位数的个数为. 解析:分三步:先排百位,有 6 种排法;再排十位,有 4 种排法;最后排个位,有 2 种排法,故共有 6×4×2=48(种)排法.答案:489.如图,从 A 到 O 有 种不同的走法(不重复过一点). 解析:分 3 类:第一类,直接由 A 到 O,有 1 种走法;第二类,中间过一个点,有 A→B→O 和A→C→O 2 种不同的走法;第三类,中间过两个点,有 A→B→C→O 和 A→C→B→O 2 种不同的走法,由分类加法计数原理可得共有 1+2+2=5 种不同的走法.答案:510.如图所示,用五种不同的颜色分别给 A,B,C,D 四个区域涂色,相邻区域必须涂不同颜色,若允许同一种颜色多次使用,则不同的涂色方法共有 种. 解析:按区域分四步:第一步,A 区域有 5 种颜色可选;第二步,B 区域有 4 种颜色可选;第三步,C区域有 3 种颜色可选;第四步,D 区域也有 3 种颜色可选.由分步乘法计数原理,共有5×4×3×3=180(种)不同的涂色方法.答案:180能力提升练(时间:15 分钟)11.导学号 18702556 已知两条异面直线 a,b 上分别有 5 个点和 8 个点,则这 13 个点可以确定不同的平面个数为( C )(A)40 (B)16 (C)13 (D)103解析:分两类情况讨论:第一类,直线 a 分别与直线 b 上的 8 个点可以确定 8 个不同的平面;第二类,直线 b 分别与直线 a 上的 5 个点可以确定 5 个不同的平面.根据分类加法计数原理知,共可以确定 8+5=13 个不同的平面.12.从 2,3,4,5,6,7,8,9 这 8 个数中任取 2 个不同的数分别作为一个对数的底数和真数,则可以组成不同对数值的个数为( D )(A)56 (B)54 (C)53 (D)52解析:在 8 个数中任取 2 个不同的数共有 8×7=56 个对数值;但在这 56 个对数值中,log24=log39,log42=log93,log23=log49,log32=log94,即满足条件的对数值共有 56-4=52(个).13.在某校举行的一次运动会的百米决赛上,8 名男运动员参加 100 米决赛.其中甲、乙、丙三人必须在 1,2,3,4,5,6,7,8 八条跑道的奇数号跑道上,则安排这 8 名运动员比赛的不同方式的种数为( C )(A)120 (B)480 (C)2 880 (D)3 200解析:分两步安排这 8 名运动员.第一步:安排甲、乙、丙三人,共有 1,3,5,7 四条跑道可安排.所以安排方式有4×3×2=24(种).第二步:安排另外 5 人,可有 2,4,6,8 及余下的一条奇数号跑道安排,所以安排方式有5×4×3×2×1=120(种).所以安排这 8 人的方式有 24×120=2 880(种).14.导学号 18702558 从集合 A={1,2,3,4}到集合 B={a,b,c}可以建立 种不同的映射,从集合 B 到集合 A 可以建立 种不同的映射. 解析:根据映射的定义,集合 A 中的元素 1 有 3 种对应方法,元素 2,3,4 也各有 3 种对应方法,只有这四个元素都找到了对应的元素这个映射才算完成,共有 3×3×3×3=81 种不同的映射;同理集合 B 到集合 A 可以建立 4×4×4=64 种不同的映射.答案:81 6415.正整数 180 的正约数的个数为 . 解析:180=2 2×32×5,其正约数的构成是 2i3j5k形式的数,其中 i=0,1,2,j=0,1,2,k=0,1,故其不同的正约数有 3×3×2=18(个).答案:18好题天天练1.导学号 18702559 有编号分别为 1,2,3,4,5 的 5 个红球和 5 个黑球,从中取出 4 个,则取出的编号互不相同的种数为( B )(A)5 (B)80 (C)105 (D)210解题关键:把号码相同的小球放在一组后考虑选法.解析:把号码相同的小球放在一组,从中取出 4 组,再从每组中各取其一.方法数是 ×24=80.𝐶452.导学号 18702560 如图所示,在 A,B 间有四个焊接点,若焊接点脱落,则可能导致电路不通,今发现 A,B 之间线路不通,则焊接点脱落的不同情况有 种. 解题关键:分类考虑、从反面考虑.解析:四个焊接点共有 24种情况,其中使线路通的情况有 1,4 都通,2 和 3 至少有一个通时线路才通,共有 3 种情况.故不通的情况有 24-3=13(种).答案:13第十篇 计数原理、概率、随机变量及其分布(必修 3、选修 2-3)六年新课标全国卷试题分析高考考点、示例分布 图 命 题 特点1.本篇在高考中一般考 查 1个小 题 和 1个解答 题 ,占 12～ 17分 .2.从考 查 内容来看 ,(1)利用 计 数原理解决 实际问题 ,有 时 与古典概型 综 合考 查 .(2)几何概型 较 少考 查 .(3)对 二 项 式定理的考 查 主要是利用通 项 公式求特定 项 .(4)对 正 态 分布的考 查 ,可能 单 独考查 也可能在解答 题 中出 现 .(5)以 实际问题为 背景 ,考 查 分布列、期望等是高考的 热 点 题 型 .第 1节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理最新考纲1.理解分 类 加法 计 数原理和分步乘法 计 数原理 .2.能正确区分 “ 类 ” 和 “ 步 ” ,并能利用两个原理解决一些 简单 的实际问题 .考点专项突破知识链条完善易混易错辨析知识链条完善 把散落的知识连起来 【 教材导读 】1.分类加法计数原理和分步乘法计数原理中要特别注意什么 ?提示 :分类时注意 “ 不重不漏 ” ,分步时注意 “ 步骤完整 ” .2.在应用中 ,如何确定使用哪个原理 ?提示 :方法分类 ,每类中的方法都能直接完成一件事情 ,则使用分类加法计数原理 ;完成一件事情需分若干步骤 ,只有顺次完成各个步骤事情才能完成,则使用分步乘法计数原理 .知识梳理1.分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案 ,在第 1类方案中有 m种不同的方法 ,在第 2类方案中有 n种不同的方法 .那么完成这件事共有 N= 种不同的方法 .这个原理称为分类加法计数原理 .推广 :完成一件事有 n类不同方案 ,在第 1类方案中有 m1种不同的方法 ,在第2类方案中有 m2种不同的方法 ,…, 在第 n类方案中有 mn种不同的方法 .那么完成这件事共有 N= 种不同的方法 .m+nm1+m2+…+ mn2.分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤 ,做第 1步有 m种不同的方法 ,做第 2步有 n种不同的方法 ,那么完成这件事共有 N= 种不同的方法 .推广 :完成一件事需要分成 n个步骤 ,做第 1步有 m1种不同的方法 ,做第 2步有 m2种不同的方法 …… 做第 n步有 mn种不同的方法 .那么完成这件事共有 N= 种不同的方法 .m×nm1×m 2×…× mn对点自测1.乘 积 (a1+a2)(b1+b2+b3)(c1+c2+c3+c4)(d1+d2+d3+d4)的展开式中共有个不同的 项 . 解析 : 2×3×4×4=96.答案 :962.如图 ,一条电路由 A到 B接通时 ,有 种不同的线路 . 解析 :3+1+2×2=8.3.将 3张不同的奥运会门票分给 10名同学中的 3人 ,每人 1张 ,则不同分法的种数是 . 解析 :分步来完成此事 .第 1张有 10种分法 ;第 2张有 9种分法 ;第 3张有 8种分法 ,共有 10×9×8=720 种分法 .答案 :8答案 :7204.现有 4名同学去听同时进行的 3个课外知识讲座 ,每名同学可自由选择其中的一个讲座 ,不同选法的种数是 . 解析 :每个同学都有 3种选择 ,所以不同选法共有 34=81(种 ).答案 :815.用 1,5,9,13中的任意一个数作分子 ,4,8,12,16中的任意一个数作分母 ,可构成 个不同的分数 ,可构成 个不同的真分数 . 解析 :由于 1,5,9,13是奇数 ,4,8,12,16是偶数 ,所以以 1,5,9,13中的任意一个为分子 ,都可以与 4,8,12,16中的一个构成分数 ,因此可以分两步构成分数 :第一步 ,选分子 ,有 4种选法 ,第二步 ,选分母 ,也有 4种选法 ,共有分数 4×4=16( 个 );分四类 :分子为 1时 ,分母可以从 4,8,12,16中选一个 ,有 4个 ;分子为 5时 ,分母从 8,12,16中选一个 ,有 3个 ;分子为 9时 ,分母从12,16中选一个 ,有 2个 ;分子为 13时 ,分母只能选 16,有 1个 .所以共有真分数 4+3+2+1=10(个 ). 答案 :16 10考点专项突破 在讲练中理解知识 分类加法计数原理考点一【 例 1】 a,b,c,d,e共 5个人 ,从中选 1名组长 1名副组长 ,但 a不能当副组长 ,不同选法的种数是 ( )(A)20 (B)16 (C)10 (D)6解析 :当 a当组长时 ,共有 1×4=4 种选法 ;当 a不当组长时 ,又因为 a也不能当副组长 ,共有 4×3=12 种选法 .因此共有 4+12=16种选法 .故选 B.反思归纳 本题是分类加法计数原理的直接应用 ,解题时首先把问题分类,然后确定每类中的方法数 ,最后按照分类加法计数原理得出结果 .【 即时训练 】 (1)某班班干部有 5名男生、 4名女生 ,从 9人中选 1人参加某项活动 ,则不同选法的种数为 ( )(A)9 (B)5 (C)4 (D)72(2)如图所示 ,在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中 ,与正八边形有公共边的三角形有 个 . 解析 : (1)分两类 :一类从男生中选 1人 ,有 5种方法 ;另一类是从女生中选1人 ,有 4种方法 .因此 ,共有 5+4=9种不同的选法 .故选 A.(2)把与正八边形有公共边的三角形分为两类 :第一类 ,有一条公共边的三角形共有 8×4=32( 个 ).第二类 ,有两条公共边的三角形共有 8个 .由分类加法计数原理知 ,共有 32+8=40(个 ).答案 : (1)A (2)40分步乘法计数原理考点二【 例 2】 (1) 导学号 18702554 某市汽车牌号码可以上网自编 ,但规定从左到右第二个号码只能从字母 B,C,D中选择 ,其他四个号码可以从 0～ 9这十个数字中选择 (数字可以重复 ),一车主第一个号码 (从左到右 )只想在数字 3,5,6,8,9中选择 ,其他号码只想在 1,3,6,9中选择 ,则他的车牌号码可选的所有可能情况有 ( )(A)180种 (B)360种 (C)720种 (D)960种(2)甲、乙、丙 3人站到共有 7级的台阶上 ,若每级台阶最多站 2人 ,同一级台阶上的人不区分站的位置 ,则不同的站法的种数为 . 解析 : (1)按照车主的要求 ,从左到右第一个号码有 5种选法 ,第二个号码有 3种选法 ,其余三个号码各有 4种选法 .因此车牌号码可选的所有可能情况有 5×3×4×4×4=960( 种 ).故选 D.(2)甲有 7种站法、乙也有 7种站法、丙也有 7种站法 ,故不考虑限制共有站法 7×7×7=343( 种 ),其中三个人站在同一台阶上的有 7种站法 ,故符合本题要求的不同站法有 343-7=336(种 ).答案 : (1)D (2)336反思归纳 如果 “ 一件事情 ” 需要分成若干步骤才能完成 ,则就需要使用分步乘法计数原理计数完成这件事情的方法总数 ,如果其中存在某些特殊情况 ,则从总数中减去特殊情况的数目即可 ,这种间接求解的方法是计数问题中经常使用的 .【 即时训练 】 (1)从 0,1,2,3,4这 5个数字中任取 3个组成三位数 ,其中奇数的个数是 ( )(A)16 (B)18 (C)20 (D)24(2)某单位有甲、乙、丙、丁四个部门 ,分别有工作人员 8名 ,10名 ,12名 ,15名 ,现从该单位四个部门中各选派一名志愿者参加社会公益活动 ,则不同的选派方法的种数为 . 解析 : (1)从 1,3中取一个排个位 ,故排个位有 2种方法 ;排百位不能是 0,可以从另外 3个数中取一个 ,有 3种方法 ;排十位有 3种方法 .故所求奇数的个数为 3×3×2=18. 故选 B.(2)选派工作可以分四个步骤完成 .分别从甲、乙、丙、丁四个部门中各选派一人 .根据分步乘法计数原理 ,共有不同的选派方法有 8×10×12×15=14 400( 种 ).答案 : (1)B (2)14 400两个原理的综合考点三【 例 3】 (1) 导学号 18702555 如图 ,矩形的对角线把矩形分成 A,B,C,D四部分 ,现用 5种不同颜色给四部分涂色 ,每部分涂 1种颜色 ,要求共边的两部分颜色互异 ,则共有 种不同的涂色方法 . 解析 : (1)区域 A有 5种涂色方法 ;区域 B有 4种涂色方法 ;区域 C的涂色方法可分 2类 :若 C与 A涂同色 ,区域 D有 4种涂色方法 ;若 C与 A涂不同色,此时区域 C有 3种涂色方法 ,区域 D也有 3种涂色方法 .所以共有5×4×4+5×4×3×3=260 种涂色方法 .答案 : (1)260 (2)甲、乙、丙 3个班各有三好学生 3名 ,5名 ,2名 ,现准备推选两名来自不同班的三好学生去参加校三好学生代表大会 ,则不同的推选方法种数为 . 解析 : (2)分为三类 :第一类 :甲、乙各一名 ,根据分步乘法计数原理有 3×5=15( 种 );第二类 :甲、丙各一名 ,有 3×2=6( 种 );第三类 :乙、丙各一名 ,有 5×2=10( 种 ).根据分类加法计数原理 ,共有 15+6+10=31种不同选法 .答案 : (2)31 备选例题【 例题 】 (1)设集合 A={-1,0,1},集合 B={0,1,2,3},定义A*B={(x,y)|x∈A∩B,y∈A∪B },则 A*B中元素的个数是 ( )(A)7 (B)10 (C)25 (D)52解析 : (1)由题意知本题是一个分步乘法计数原理 ,因为集合 A={-1,0,1},集合 B={0,1,2,3},所以 A∩B={0,1},A∪B={-1,0,1,2,3}, 所以 x有 2种取法,y有 5种取法 ,所以根据分步乘法计数原理得 2×5=10. 故选 B.答案 : (1)B (2)用数字 2,3组成四位数 ,且数字 2,3至少都出现一次 ,这样的四位数共有个 (用数字作答 ). 解析 : (2)法一 用 2,3组成四位数共有 2× 2× 2× 2=16(个 ),其中不出现2或不出现 3的共 2个 ,因此满足条件的四位数共有 16-2=14(个 ).法二 满足条件的四位数可分为三类 :第一类含有一个 2,三个 3,共有 4个;第二类含有三个 2,一个 3共有 4个 ;第三类含有二个 2,二个 3共有 6个 ,因此满足条件的四位数共有 4+4+6=14(个 ).答案 : (2)14易混易错辨析 用心练就一双慧眼各步中方法数确定不准致误【 典例 】 有六名同学报名参加三个智力竞赛项目 ,在下列情况下各有多少种不同的报名方法 ?(1)每人恰好参加一项 ,每项人数不限 ;(2)每项限报一人 ,但每人参加的项目不限 .解 : (1)每人都可以从这三个比赛项目中选报一项 ,各有 3种不同选法 ,由分步乘法计数原理知共有不同的报名方法 36=729(种 ).(2)由于每人参加的项目不限 ,因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛 ,由分步乘法计数原理得共有不同的报名方法 63=216(种 ).易错提醒 :使用分步乘法计数原理解题时要根据实际问题确定每步中的具体方法数 ,本题中要注意是按项目分步计数还是按人分步计数 .1第 2节 排列与组合【选题明细表】知识点、方法 题号排列 1,2,4,5,11,12组合 7,8,9,10,14,16排列组合的综合 3,6,13,15基础对点练(时间:30 分钟)1.某段铁路中的所有车站共发行 132种普通车票,那么这段铁路共有车站数是( B )(A)8 (B)12 (C)16 (D)24解析: 设有 n个车站,则 =n(n-1)=132,解得 n=12.𝐴2𝑛2.用 0到 9这 10个数字,可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为( B )(A)324 (B)328 (C)360 (D)648解析:当 0排在个位时,有 =9×8=72(个);0 不排在个位时,有 ·𝐴29 𝐴14· =4×8×8=256(个).于是由分类加法计数原理 ,得符合题意的偶数共有𝐴18 𝐴1872+256=328(个).故选 B.3. 某校为了提倡素质教育,丰富学生们的课外活动分别成立绘画,象棋和篮球兴趣小组,现有甲、乙、丙、丁四名同学报名参加,每人仅参加一个兴趣小组,每个兴趣小组至少有一人报名,则不同的报名方法有( C )(A)12种 (B)24种 (C)36种 (D)72种解析:4 人分为三组,再分配到三个项目组中,方法数为 · =36.𝐶24·𝐶12𝐴22 𝐴334. 某教师一天上 3个班级的课,每班一节,如果一天共 9节课,上午 5节、下午 4节,并且教师不能连上 3节课(第 5和第 6节不算连上),那么这位教师一天的课的所有排法有( A )(A)474种 (B)77种 (C) 462种 (D) 79种解析:总的排法为 =9×8×7=504(种),三节连上的情况为 5 =30(种),故所有不同排法为𝐴39 𝐴33504-30=474(种).5.某班同学准备参加学校在寒假里组织的“社区服务”“进敬老院”“参观工厂”“民俗调查”“环保宣传”五个项目的社会实践活动,每天只安排一项活动,并要求在周一至周五内完成.其中“参观工厂”与“环保宣传”两项活动必须安排在相邻两天,“民俗调查”活动不能安排在周一.则不同安排方法的种数是( C )(A)48 (B)24 (C)36 (D)64解析:采用间接法.由于“参观工厂”与“环保宣传”相邻,故总的安排方法为 =48(种),其𝐴22𝐴44中“民俗调查”排在周一时,其他的排法为 =12(种). 符合要求的安排方法为 48-12=36𝐴22𝐴33种.26. 分配 4名水暖工去 3个不同的居民家里检查暖气管道,要求 4名水暖工都分配出去,并每个水暖工只去一个居民家,且每个居民家都要有人去检查,那么分配的方案共有( D )(A) 种 (B) · 种𝐴34 𝐴33 𝐴33(C) · 种 (D) · 种𝐶14 𝐶13𝐴33 𝐶24 𝐴33解析:先把 4名水暖工分为 3组,方法数为 ,再分配到 3个居民家方法数为 .根据分步乘𝐶24 𝐴33法计数原理得分配方案共有 · 种.𝐶24 𝐴337.(2016·贵州贵阳模拟)现有 2门不同的考试要安排在 5天之内进行,每天最多进行一门考试,且不能连续两天有考试,那么不同的考试安排方案种数是( A )(A)12 (B)6 (C)8 (D)16解析:若第一门安排在开头或结尾,则第二门有 3种安排方法,这时,共有 ×3=6种方法;若𝐶12第一门安排在中间的 3天中,则第二门有 2种安排方法,这时,共有 3×2=6种方法.综上可得,不同的考试安排方案共有 6+6=12(种).8.6人参加一项活动,要求是:必须有人去,去几个人,谁去,自己定,则不同的去法种数为 .解析:按照去的人数分类,去的人数分别为 1,2,3,4,5,6,而去的人没有地位差异,所以不同的去法有 + + + + + =63(种).𝐶16𝐶26𝐶36𝐶46𝐶56𝐶66答案:639.(2016·北京丰台模拟)将 6位志愿者分配到甲、乙、丙 3个志愿者工作站,每个工作站 2人,由于志愿者特长不同,A 不能去甲工作站,B 只能去丙工作站,则不同的分配方法共有 种. 解析:先安排甲工作站,方法数为 =6,再安排乙工作站,方法数为 =3,余下一人去丙工作站,方𝐶24 𝐶23法数是 1,故总的分配方法数是 6×3=18.答案:1810.4位同学参加某种形式的竞赛,竞赛规则规定:选甲题答对得 100分,答错得-100 分,选乙题答对得 90分,答错得-90 分,若 4位同学的总分为 0分,则这 4位同学不同得分情况的种数是 . 解析:由于 4位同学的总分为 0分,故 4位同学选甲、乙题的人数有且只有三种情况:①甲:4人,乙:0 人;②甲:2 人,乙:2 人;③甲:0 人,乙:4 人.对于①,须 2人答对,2 人答错,共有 =6𝐶24种情况;对于②,选甲题的须 1人答对,1 人答错,选乙题的也如此,有 =24种情况;对于𝐶24𝐶12𝐶12③,与①相同,有 6种情况,故共有 6+24+6=36种不同的情况.答案:36能力提升练(时间:15 分钟)11.导学号 18702565 有 5盆菊花,其中黄菊花 2盆、白菊花 2盆、红菊花 1盆,现把它们摆放成一排,要求 2盆黄菊花必须相邻,2 盆白菊花不能相邻,则这 5盆花不同的摆放种数是( B )3(A)12 (B)24 (C)36 (D)48解析:黄菊花的排法有 种,把其与红菊花排列的方法数是 ,在隔开的 3个空位排白菊花𝐴22 𝐴22的方法数是 ,根据分步乘法计数原理得不同的摆放种数为 · · =24.𝐴23 𝐴22 𝐴22 𝐴2312.导学号 18702566 将 A,B,C,D,E排成一列,要求 A,B,C在排列中顺序为“A,B,C”或“C,B,A”(可以不相邻),这样的排列有( C )(A)12种 (B)20种 (C)40种 (D)60 种解析:五个元素没有限制全排列为 ,由于要求 A,B,C的次序一定(按 A,B,C或 C,B,A),故除𝐴55以这三个元素的全排列 ,可得这样的排列有 ×2=40(种).𝐴33 𝐴55𝐴3313.(2016·山西太原模拟)有 5本不同的教科书,其中语文书 2本,数学书 2本,物理书 1本.若将其并排摆放在书架的同一层上,则同一科目书都不相邻的放法种数是( B )(A)24 (B)48 (C)72 (D)96解析:据题意可先摆放 2本语文书,当 1本物理书在 2本语文书之间时,只需将 2本数学书插在前 3本书形成的 4个空中即可,此时共有 𝐴22𝐴24种摆放方法;当 1本物理书放在 2本语文书一侧时,共有 种不𝐴22𝐴12𝐶12𝐶13同的摆放方法,由分类加法计数原理可得共有 + =48种摆放方法.𝐴22𝐴24𝐴22𝐴12𝐶12𝐶1314.导学号 18702567 已知 n是正整数,若 + 0,n ,或者 nm时,(k+1) =𝐶𝑚𝑘 (𝑘+1)·𝑘!𝑚!·(𝑘‒𝑚)!=(m+1)·(𝑘+1)!(𝑚+1)!·[(𝑘+1)‒(𝑚+1)]!=(m+1) ,𝐶𝑚+1𝑘+1k=m+1,m+2,…,n.又因为 + = ,𝐶𝑚+1𝑘+1𝐶𝑚+2𝑘+1𝐶𝑚+2𝑘+2所以(k+1) =(m+1)( - ),k=m+1,m+2,…,n.𝐶𝑚𝑘 𝐶𝑚+2𝑘+2𝐶𝑚+2𝑘+1因此,(m+1) +(m+2) +(m+3) +…+(n+1) =(m+1) +[(m+2) +(m+3)𝐶𝑚𝑚 𝐶𝑚𝑚+1 𝐶𝑚𝑚+2 𝐶𝑚𝑛 𝐶𝑚𝑚 𝐶𝑚𝑚+1+…+(n+1) ]=(m+1) +(m+1)[( - )+( - )+…+( -𝐶𝑚𝑚+2 𝐶𝑚𝑛 𝐶𝑚+2𝑚+2 𝐶𝑚+2𝑚+3𝐶𝑚+2𝑚+2 𝐶𝑚+2𝑚+4𝐶𝑚+2𝑚+3 𝐶𝑚+2𝑛+2)]=(m+1) .𝐶𝑚+2𝑛+1 𝐶𝑚+2𝑛+2好题天天练1.在正方体中,过任意两个顶点的异面直线的对数是 . 解题关键:异面直线的概念、正方体中线线的位置关系,从排除方面考虑.解析:连成两条异面直线需要 4个点,因此在正方体 8个顶点中任取 4个点有 种取法.每 4𝐶48个点可分共面和不共面两种情况,共面的不符合条件得去掉.因为在 6个表面和 6个体对角面中都有四点共面,故有( -12)种.但不共面的 4点可构成四面体,而每个四面体有 3对异𝐶48面直线,故共有 3( -12)=174对.𝐶48答案:1742.将 7个不同的小球全部放入编号为 2和 3的两个小盒子里,使得每个盒子里的球的个数不小于盒子的编号,则不同的放球方法共有 种.(用数字作答) 解题关键:只要考虑放入 2号盒子的小球情况即可.解析: + + =21+35+35=91.𝐶27𝐶37𝐶47答案:91第 2节 排列与组合最新考纲1.理解排列 组 合的概念 .2.理解排列数公式、 组 合数公式 .3.能利用公式解决一些 简单 的 实际问题 .考点专项突破知识链条完善易混易错辨析知识链条完善 把散落的知识连起来 【 教材导读 】1.排列问题和组合问题的区别是什么 ?提示 :元素之间与顺序有关的为排列、与顺序无关的为组合 .2.排列数与组合数之间有何关系 ?知识梳理1.排列(1)排列的定义 :从 n个不同元素中取出 m(m≤n )个元素 ,按照一定的 排成一列 ,叫做从 n个不同元素中取出 m个元素的一个排列 .顺序(2)排列数 :从 n个不同元素中取出 m(m≤n )个元素的所有不同排列的 ,叫做从 n个不同元素中取出 m个元素的排列数 ,用符号 表示 .个数(3)排列数公式 : =n(n-1)(n-2)…(n-m+1)= (n,m∈ N*,m≤n ),规定 0!=1,当 m=n时 = .n!2.组合(1)组合的定义 :从 n个不同元素中取出 m(m≤n )个元素 一组 ,叫做从 n个不同元素中取出 m个元素的一个组合 .合成(2)组合数的定义 :从 n个不同元素中取出 m(m≤n )个元素的所有不同组合的 ,叫做从 n个不同元素中取出 m个元素的组合数 ,用符号 表示 .个数对点自测1. 将 2名教师、 4名学生分成 2个小组 ,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动 ,每个小组由 1名教师和 2名学生组成 ,不同的安排方案共有 ( )(A)10种 (B)9种 (C)12种 (D)8种C2.2名男生 4名女生排成一排 ,则男生不相邻的排法种数为 ( )(A)600 (B)480 (C)360 (D)240B3.将 5名学生分配到甲、乙两个宿舍 ,每个宿舍至少安排 2名学生 ,那么互不相同的安排方法的种数为 ( )(A)10 (B)20 (C)30 (D)40B4.从 1,3,5,7,9中任取三个数 ,从 2,4,6,8中任取两个数 ,则可以组成没有重复数字的五位数的个数为 . 答案 :7 200答案 :②③④⑤考点专项突破 在讲练中理解知识 排列问题考点一【 例 1】 (1) 导学号 18702561 我国第一艘航母 “ 辽宁舰 ” 在某次舰载机起降飞行训练中 ,有 5架歼 -15飞机准备着舰 ,如果甲、乙两机必须相邻着舰 ,而丙、丁两机不能相邻着舰 ,那么不同的着舰方法种数为 ( )(A)12 (B)18 (C)24 (D)48(2)(2016· 河南南阳模拟 )从 0,1,2,3,4中任取四个数字组成无重复数字的四位数 ,其中偶数的个数是 ( )(A)36 (B)48 (C)60 (D)72反思归纳 (1)解排列问题的两个基本方法 :直接法和间接法 .(2)基本技巧 :相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、特殊元素优先法 .【 即时训练 】 6个人站成一排 ,其中甲、乙必须站在两端 ,且丙、丁相邻 ,则不同站法的种数为 ( )(A)12 (B)18 (C)24 (D)36组合问题考点二【 例 2】 (1) 导学号 18702562 现有 6个白球、 4个黑球 ,任取 4个 ,则至少有 2个黑球的取法种数是(A)90 (B)115 (C)210 (D)385(3)(2016· 陕西模拟 )将甲、乙、丙等六位老师分配到高中三个年级 ,每个年级 2人 ,要求甲必须在高一年级 ,乙和丙均不能在高三年级 ,则不同的安排种数为 ( )(A)18 (B)15 (C)12 (D)9反思归纳 如果元素之间与顺序无关则是组合问题 ,解题中要根据问题的具体情况辨别是组合问题还是排列问题 .在含有限制条件的组合问题中要考虑特殊元素 ,进行必要的分类和分步 ,如果正面解答困难 ,可考虑使用间接法求解 .【 即时训练 】 (1)(2016· 辽宁大连质检 )某校开设 A类选修课 2门 ,B类选修课 3门 ,一位同学从中选 3门 .若要求两类课程中各至少选一门 ,则不同的选法共有 ( )(A)3种 (B)6种 (C)9种 (D)18种(2)(2016· 北京通州模拟 )现有 12件商品摆放在货架上 ,摆成上层 4件下层8件 ,现要从下层 8件中取 2件调整到上层 ,若其他商品的相对顺序不变 ,则不同调整方法的种数是 ( )(A)420 (B)560 (C)840 (D)2 160解析 : (1)由题意知有 2门 A类选修课 ,3门 B类选修课 ,从中选出 3门的选法有 =10(种 ).两类课程都有的对立事件是选了 3门 B类选修课 ,这种情况只有 1种 .满足题意的选法有 10-1=9(种 ).故选 C.排列与组合的综合问题考点三【 例 3】 (1) 导学号 18702563 某班班会准备从甲、乙等 7名学生中选派 4名学生发言 ,要求甲、乙两人至少有一人参加 ,当甲、乙同时参加时 ,他们两人的发言不能相邻 ,那么不同的发言顺序的种数为 ( )(A)360 (B)520 (C)600 (D)720(2)(2016· 山西联考 )某校从 6名教师中选派 3名教师同时去 3个边远地区支教 ,每地 1人 ,其中甲和乙不同去 ,甲和丙只能同去或同不去 ,则不同的选派方法的种数为 ( )(A)36 (B)42 (C)48 (D)60(3)国家教育部为了发展贫困地区教育 ,在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生 ,毕业后要分到相应的地区任教 .现有 6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到 3所学校去任教 ,则不同的分派方法的种数为( )(A)60 (B)72 (C)90 (D)120反思归纳 (1)在排列问题中 :① 当可供使用的元素的个数多于使用的元素个数时 ,需要先选后排 ;② 当某些元素的选用受到限制时需要优先把受到限制的元素分情况处理 .(2)在分组、分配问题中 ,要先分组后分配 ,同时注意区分均匀分组、不均匀分组、部分均匀分组等情况 .【 即时训练 】 (1) 导学号 18702564 计划将排球、篮球、乒乓球 3个项目的比赛安排在 4个不同的体育馆举办 ,每个项目的比赛只能安排在一个体育馆进行 ,则在同一个体育馆比赛的项目不超过 2个的安排方案共有 ()(A)60种 (B)42种 (C)36种 (D)24种(2)某校 4名大学生申请当某次比赛中 A,B,C三个项目的志愿者 ,组委会接受了他们的申请 ,每个比赛项目至少分配一人 ,每人只能服务一个比赛项目 ,若甲要求不去服务 A比赛项目 ,则不同的安排方案共有 ( )(A)20种 (B)24种(C)30种 (D)36种备选例题(2)原方程可化为 x2-x=5x-5或 (x2-x)+(5x-5)=16,即 x2-6x+5=0或 x2+4x-21=0.解得 x=1,x=5或 x=-7,x=3,经检验 x=5和 x=-7不合题意 ,故原方程的根为 1,3.答案 : (1)5 (2)1或 3【 例 2】 某课外活动小组共有 13人 ,其中男生 8人 ,女生 5人 ,并且男、女生各指定一名队长 ,现从中选 5人主持某种活动 ,依据下列条件各有多少种选法 ?(1)只有 2名女生 ;(2)两队长当选 ;(3)至少有一名队长当选 ;(4)至多有两名女生当选 .【 例 3】 按下列要求分配 6本不同的书 ,各有多少种不同的分配方式 ?(1)分成三份 ,1份 1本 ,1份 2本 ,1份 3本 ;(2)甲、乙、丙三人中 ,一人得 1本 ,一人得 2本 ,一人得 3本 ;(3)平均分成三份 ,每份 2本 ;(4)平均分配给甲、乙、丙三人 ,每人 2本 ;(5)分成三份 ,1份 4本 ,另外两份每份 1本 ;(6)甲、乙、丙三人中 ,一人得 4本 ,另外两人每人得 1本 ;(7)甲得 1本 ,乙得 1本 ,丙得 4本 .易混易错辨析 用心练就一双慧眼元素相同的排列组合的易误点【典例】 10个优秀指标名额分配给 6个班级 ,每个班至少一个 ,则不同的分配方法的种数为 . 解析 :由于是 10个名额 ,故名额和名额之间是没有区别的 ,不妨把这 10个名额在桌面上从左到右一字摆开 ,这样在相邻的两个名额之间就出现了一个空档 ,10个名额之间就出现了 9个空档 ,把这 9个空档中的 5个空档上各放上一个隔板 ,就把这 10个指标从左到右分成了 6份 ,且满足每份至少一个名额 ,所以不同的分配方法的种数是 =126.答案 :126易错提醒 :元素是否相同是解题中值得注意的 ,在一般的排列组合问题中各个元素是不同的 ,但在一些特殊的问题中元素是可以相同的 ,如本题 ,再如用两个 1、三个 2组成五位数 ,则只要在 5个位置上选两个位置安排 1、剩下的位置都安排 2即可 ,一个不同的选法对应一个不同的五位数 ,即可组成不同的五位数的个数为 =10.