高优指导2017版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形课件 文（打包7套）北师大版.zip

第四章 三角函数、解三角形4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数-3-考纲要求 :1.了解任意角的概念 . 2.了解弧度制的概念 ,能进行弧度与角度的互化 . 3.理解任意角的三角函数 (正弦、余弦、正切 )的定义 .-4-1.角的概念的推广(1)定 义 :角可以看成平面内的一条射 线绕 着 端点 从一个位置旋转 到另一个位置所成的 图 形 . (3)终边 相同的角 :所有与角 α终边 相同的角 ,连 同角 α在内 ,可构成一个集合 S={β|β=α+k·360° ,k∈ Z}.2.弧度制的定义和公式(1)定 义 :把 长 度等于 半径长 的弧所 对 的 圆 心角叫做 1弧度的角.弧度 记 作 rad. -5-(2)公式 :3.任意角的三角函数(1)三角函数定 义 :设 P(x,y)是角 α终边 上任一点 ,且 |PO|=r(r0),则 有 sin α= ,cos α= ,tan α= ,它 们 都是以角 为 自变量 ,以比 值为 函数 值 的函数 . (2)三角函数符号 :三角函数在各象限内的正 值 口 诀 是 :Ⅰ 全正、Ⅱ 正弦、 Ⅲ 正切、 Ⅳ 余弦 .-6-(3)三角函数的几何意 义 (三角函数 线 ):如 图 ,设 角 α的 终边 与 单位 圆 交于点 P,过 P作 PM⊥ x轴 ,垂足 为 M,过 A(1,0)作 单 位 圆 的切 线与 α的 终边 或 终边 的反向延 长线 相交于点 T.-7--8-1 2 3 4 51.下列 结论 正确的打 “√”,错误 的打 “×”.(1)小于 90° 的角是 锐 角 . ( )(2)锐 角是第一象限角 ,反之亦然 . ( )(3)若 sin α0,则 α是第一、二象限的角 . ( )(4)相等的角 终边 一定相同 ,终边 相同的角也一定相等 . ( )(5)若角 α为 第一象限角 ,则 sin α+cos α1. ( )× × × × √ -9-1 2 3 4 52.与 60° 角 终边 相同的角的集合是 ( )答案解析解析关闭答案解析关闭-10-1 2 3 4 5答案解析解析关闭答案解析关闭3.已知角 α的 终边经过 点 (-4,3),则 cos α=( )-11-1 2 3 4 54.已知扇形周 长为 10 cm,面 积 是 4 cm2,则 扇形的 圆 心角的弧度数是 ( )答案解析解析关闭答案解析关闭-12-1 2 3 4 55.若角 θ同 时满 足 sin θ0且 tan θ0,则 角 θ的 终边 一定落在第 象限 . 答案解析解析关闭由 sin θ0,可知 θ的终边可能位于第三或第四象限 ,也可能与 y轴的非正半轴重合 .由 tan θ0,可知 θ的终边可能位于第二象限或第四象限 ,可知 θ的终边只能位于第四象限 .答案解析关闭四-13-1 2 3 4 5自 测 点 评2.角的概念推广到任意角后 ,角既有大小之分又有正负之别 .3.角度制与弧度制在一个式子中不能同时出现 .4.在判定角的终边所在的象限时 ,要注意对 k进行分类讨论 .-14-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混考点 1角的表示及象限的判定 例 1(1)终边 在直 线 上的角的集合 为 ; (2)若角 θ的 终边 与 角的 终边 相同 ,则 在 [0,2π)内 终边 与 角的 终边 相同的角 为 ; (3)已知角 α为 第三象限角 ,则 2α的 终边 所在的象限 为 . 答案解析解析关闭答案解析关闭-15-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混-16-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混对点训练 1 (1)在 -720° ~0° 范 围 内找出所有与 45° 终边 相同的角 为 . 答案解析解析关闭答案解析关闭-17-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混(2)在本例 (3)的条件下 ,判断 为 第几象限角 ?答案答案关闭-18-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混考点 2扇形弧 长 、面 积 公式的 应 用 例 2(1)已知扇形的半径 为 10 cm,圆 心角 为 120° ,则 扇形的弧 长为 ,面 积为 . 答案解析解析关闭答案解析关闭-19-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混(2)已知扇形的周 长为 c,则 当扇形的 圆 心角 α= 弧度时 ,其面 积 最大 ,最大面 积 是 .答案解析解析关闭答案解析关闭-20-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混思考 :在弧度制下 ,扇形面积公式有几种表达形式 ?求扇形面积最值的常用思想方法有哪些 ?解题心得 :1.在弧度制下计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷 .2.求扇形面积的最值应从扇形面积出发 ,在弧度制下使问题转化为关于 α的函数 ,利用 基本不等式 或二次函数求最值的方法求最值 .-21-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混对点训练 2 (1)一个半径为 r的扇形 ,若它的周长等于弧所在的半圆的弧长 ,那么扇形的圆心角是 弧度 ,扇形的面积是 . (2)已知半径 为 10的 圆 O中 ,弦 AB的 长为 10,则 弦 AB所 对 的 圆 心角 α的大小 为 ,α所在的扇形弧 长 l为 ,弧所在的弓形的面 积 S为 .答案解析解析关闭答案解析关闭-22-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混考点 3三角函数定 义 的 应 用 (多 维 探究 ) 类型一 利用三角函数定义求三角函数值例 3(2015杭州模拟 )已知角 α的 终边 在直 线 3x+4y=0上 ,则 5sin α+5cos α+4tan α= . 思考 :如何求已知角的终边上一点坐标的三角函数值 ?求角的终边在一条确定直线的三角函数值应注意什么 ?答案解析解析关闭答案解析关闭-23-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混类型二 利用三角函数线解三角不等式例 4(1)已知点 P(sin α-cos α,tan α)在第一象限 ,则 在 [0,2π]内角 α的取 值 范 围 是 ( )答案解析解析关闭答案解析关闭-24-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混答案解析解析关闭答案解析关闭-25-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混思考 :三角函数的几何意义是什么 ?该几何意义有哪些应用 ?解题心得 :1.用定义法求三角函数值的两种情况 :(1)已知角 α终边上一点 P的坐标 ,则直接用三角函数的定义求解 ;(2)已知角 α的终边所在的直线方程 ,注意终边位置有两个 ,对应的三角函数值有两组 .2.三角函数线是三角函数的几何表示 ,正弦线、正切线的方向同纵轴一致 ,向上为正 ,向下为负 ;余弦线的方向同横轴一致 ,向右为正 ,向左为负 .-26-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混对点训练 3 (1)已知角 θ的 终边 上一点 P( ,m)(m≠0),且 sin θ= ,则 cos θ= ,tan θ= . 答案解析解析关闭答案解析关闭-27-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混(2)函数 y=lg(3-4sin2x)的定 义 域 为 .答案解析解析关闭答案解析关闭-28-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混1.在三角函数定 义 中 ,点 P可取 终边 上任一点 ,但 |OP|=r一定是正值 .2.在解 简单 的三角不等式 时 ,利用三角函数 线 是一个小技巧 .3.三角函数也是一种函数 ,它可以看成是从一个角 (弧度制 )的集合到一个比 值 的集合的函数 .-29-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混1.相等的角 终边 一定相同 ,但 终边 相同的角却不一定相等 .2.在同一个式子中 ,不能同 时 出 现 角度制与弧度制 .3.已知三角函数 值 的符号求角的 终边 位置 时 ,不要 遗 忘 终边 在坐 标轴 上的情况 .4.三角函数 线 的 长 度表示三角函数 值 的 绝对值 ,方向表示三角函数 值 的正 负 .-30-审题 答题指导 —— 挖掘隐含条件寻找等量关系典 例 如 图 ,在平面直角坐 标 系 xOy中 ,一 单 位 圆 的 圆 心的初始位置在 (0,1),此 时圆 上一点 P的位置在 (0,0),圆 在 x轴 上沿正向 滚动 ,当圆滚动 到 圆 心位于 (2,1)时 , 的坐 标为 . 审题要点 :(1)已知条件 :滚动 后的 圆 心坐 标 (2,1)和 圆 半径 长为1;(2)隐 含条件 :点 P转动 的弧 长 是 2;(3)等量关系 :P转动 的弧 长 等于弧 长 所 对 的 圆 心角 ;(4)解 题 思路 :求 P点坐 标 可借助已知的点 C的坐 标 (2,1),寻 求 C点 纵 、横坐 标 增 (减 )多少 单 位后成 为 P点 纵 、横坐 标 ,通 过 在直角三角形中利用三角函数定 义 求增 (减 )的量 .4.2 同角三角函数的基本关系及诱导公式-2-考纲要求 :1.理解同角三角函数的基本关系式 :sin2α+cos2α=1, =tan α. 2.能利用单位圆中的三角函数线推导出 ± α,π± α的正弦、余弦、正切的诱导公式 .-3-1.周期函数(1)定 义 :一般地 ,对 于函数 f(x),如果存在非零 实 数 T,对 定 义 域内的任意一个 x值 ,都有 f(x+T)=f(x),我 们 就把 f(x)称 为 周期 函数 .T称 为这 个函数的周期 .(2)最小正周期 :2π是正弦函数、余弦函数正周期中最小的一个 ,称 为 最小正周期 ,π是正切函数的最小正周期 .-4-2.同角三角函数的基本关系(1)平方关系 :sin2α+cos2α=1 .3.三角函数的诱导公式-5-4.特殊角的三角函数值 -6-2 3 41 5× × √ √ × -7-2 3 41 52. (2015福建 ,文 6)若 sin α= ,且 α为 第四象限角 ,则 tan α的 值 等于 ( )答案解析解析关闭答案解析关闭-8-2 3 41 53.tan 300° +sin 450° 的 值为 ( )答案解析解析关闭答案解析关闭-9-2 3 41 5答案解析解析关闭答案解析关闭-10-2 3 41 55.已知 tan θ=2,则 sin θcos θ= . 答案解析解析关闭答案解析关闭-11-2 3 41 5自 测 点 评1.平方关系和商数关系式中的角都是同一个角 ,且商数关系式中α≠ +kπ,k∈ Z.2.利用平方关系式解决问题时 ,要注意开方运算结果的符号 ,需要根据角 α的范围确定 .3.公式化简求值时 ,先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数 ,其步骤 :去负 — 脱周 — 化锐 ,特别注意函数名称和符号的确定 .-12-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混考点 1同角三角函数基本关系式的 应 用 例 1(1)已知 tan α=2,则 = ,4sin2α-3sin αcos α-5cos2α= .答案解析解析关闭答案解析关闭-13-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混(2)已知 sin α=2sin β,tan α=3tan β,则 cos α= .答案解析解析关闭答案解析关闭-14-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混-15-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混答案解析解析关闭答案解析关闭-16-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混考点 2利用 sin α± cos α与 sin αcos α关系求 值 例 2已知关于 x的方程 2x2-( +1)x+m=0的两根 为 sin θ和 cos θ,且 θ∈ (0,2π).(1)求 的 值 ;(2)求 m的 值 ;(3)求方程的两根及此 时 θ的 值 .-17-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混-18-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混思考 :sin α+cos α,sin α-cos α,sin αcos α这三个式子之间有怎样的关系 ?解题心得 :1.通过平方 ,对称式 sin α+cos α,sin α-cos α,sin αcos α之间可建立联系 ,若令 sin α+cos α=t,则 sin αcos α= ,sin α-cos α=± (注意根据 α的范围选取正、负号 ).2.利用上述关系 ,对于 sin α+cos α,sin α-cos α,sin αcos α这三个式子 ,可以知一求二 .-19-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混-20-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混-21-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混-22-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混-23-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混考点 3诱导 公式的 应 用 (多 维 探究 ) 类型一 利用诱导公式化简三角函数式例 3(1)sin(-1 200° )cos 1 290° +cos(-1 020° )·sin(-1 050° )= . 答案解析解析关闭答案解析关闭-24-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混思考 :利用诱导公式化简三角函数的基本思路和化简要求各是什么 ?答案解析解析关闭答案解析关闭-25-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混类型二 利用诱导公式求值 答案解析解析关闭答案解析关闭-26-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混思考 :观察题目中的两角之间有什么关系 ?当所给两角互补或互余时 ,怎样简化解题过程 ?解题心得 :1.利用诱导公式化简三角函数的基本思路 :(1)分析结构特点 ,选择恰当公式 ;(2)利用公式化成单角三角函数 ;(3)整理得最简形式 .2.化简要求 :(1)化简过程是恒等变形 ;(2)结果要求项数尽可能少 ,次数尽可能低 ,结构尽可能简单 ,能求值的要求出值 .-27-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混对点训练 3 (1)已知 A= (k∈ Z),则 A的 值 构成的集合是 ( ) A.{1,-1,2,-2}B.{-1,1}C.{2,-2} D.{1,-1,0,2,-2}答案解析解析关闭答案解析关闭-28-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混(2)sin 600° +tan 240° 的 值 等于 . 答案解析解析关闭答案解析关闭-29-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混答案解析解析关闭答案解析关闭-30-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混1.同角三角函数基本关系可用于 统 一函数 ;诱导 公式主要用于 统一角 ,其主要作用是 进 行三角函数的求 值 、化 简 和 证 明 .2.三角函数求 值 与化 简 必会的三种方法 :(1)弦切互化法 :主要利用公式 tan α= ;形如 ,asin2x+bsin xcos x+ccos2x等 类 型可 进 行弦化切 .(2)“1”的灵活代 换 法 :1=sin2θ+cos2θ=(sin θ+cos θ)2-2sin θcos θ=tan 等 ;(3)和 积转换 法 :利用 (sin θ± cos θ)2=1± 2sin θcos θ,(sin θ+cos θ)2+(sin θ-cos θ)2=2的关系 ,进 行 变 形、 转 化 .3.利用 诱导 公式化 简 求 值时 的步 骤 :(1)负 化正 ;(2)大化小 ;(3)小化 锐 ;(4)锐 求 值 .4.3 三角函数的图像与性质考纲要求 :1.能画出 y=sin x,y=cos x,y=tan x的图像 ,了解三角函数的周期性 . 2.理解正弦函数、余弦函数在 [0,2π]上的性质 (如单调性、最大值和最小值、图像与 x轴的交点等 ),理解正切函数在 内的单调性 .-2--3--4-2.正弦、余弦、正切函数的图像与性质 -5-3.对 称与周期 :正弦曲 线 、余弦曲 线 相 邻 两 对 称中心、相 邻 两对 称 轴 之 间 的距离是半周期 ,相 邻 的 对 称中心与 对 称 轴 之 间 的距离是 周期 ;正切曲 线 相 邻 两 对 称中心之 间 的距离是半周期 .-6--7-2 3 41 51.下列 结论 正确的打 “√”,错误 的打 “×”.(1)y=cos x在第一、二象限内是减函数 . ( )(2)y=ksin x+1,x∈ R,则 y的最大 值 是 k+1. ( )(3)由 是正弦函数 y=sin x(x∈ R)的一个周期 . ( )(4)函数 y=sin x的 对 称 轴 方程 为 x=2kπ+ (k∈ Z).( )(5)函数 y=tan x在整个定 义 域上是增函数 . ( )× × × × × -8-2 3 41 5答案解析解析关闭答案解析关闭-9-2 3 41 53.下列函数中 ,最小正周期 为 π的奇函数是 ( )A.y=cos x B.y=sin 2xC.y=tan 2x D.y=sin答案解析解析关闭答案解析关闭-10-2 3 41 5答案解析解析关闭答案解析关闭-11-2 3 41 55.函数 y=3cos 的 递 增区 间 是 . 答案解析解析关闭答案解析关闭-12-2 3 41 5自 测 点 评1.判断函数周期不能以特殊代一般 ,只有 x取定义域内的每一个值时 ,都有 f(x+T)=f(x),T才是函数 f(x)的一个周期 .2.求函数 y=Asin(ωx+φ)的单调区间时 ,应注意 ω的符号 ,只有当ω0时 ,才能把 (ωx+φ)看作一个整体 ,代入 y=sin t的相应单调区间求解 .3.函数 y=sin x与 y=cos x的对称轴分别是经过其 图像 的最高点或最低点且平行于 y轴的直线 ,如 y=cos x的对称轴为 x=kπ(k∈ Z),而不是 x=2kπ(k∈ Z).4.对于 y=tan x不能认为其在定义域上为增函数 ,而是在每个区间(k∈ Z)内为增函数 .-13-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混考点 1三角函数的定 义 域、 值 域 例 1(1)函数 y= 的定 义 域 为 . -14-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混-15-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混(2)函数 y=cos 2x+2sin x的最大 值为 . 答案解析解析关闭答案解析关闭-16-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混思考 :如何求三角函数的定义域 ?求三角函数值域的常用方法有哪些 ?解题心得 :1.求三角函数定义域通常解三角不等式 (组 ),解三角不等式 (组 )常借助三角函数线或三角函数的 图像 .2.求三角函数值域、最值的方法有 :(1)利用 sin x和 cos x的值域直接求 .(2)形如 y=asin x+bcos x的三角函数化为 y=Asin(ωx+φ)的形式求值域 ;形如 y=asin2x+bsin x+c的三角函数 ,可先设 sin x=t,化为关于 t的二次函数求值域 (最值 ).(3)利用 sin x± cos x和 sin xcos x的关系转换成二次函数求值域 .-17-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混对点训练 1 (1)已知 f(x)的定义域为 [0,1],则 f(cos x)的定义域为 .(2)函数 y=sin x-cos x+sin x·cos x,x∈ [0,π]的最 值为 . (3)若函数 f(x)=(1+ tan x)cos x,x∈ ,则 f(x)的最大 值为 . 答案解析解析关闭答案解析关闭-18-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混考点 2三角函数的 单调 性 例 2(1)已知函数 f(x)= sin ωx+cos ωx(ω0),y=f(x)的 图 像 与直线 y=2的两个相 邻 交点的距离等于 π,则 f(x)的 单调递 增区 间 是 ( )答案解析解析关闭答案解析关闭-19-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混答案解析解析关闭答案解析关闭-20-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混思考 :求三角函数单调区间的一般思路是怎样的 ?已知单调区间如何求参数的范围 ?解题心得 :1.求较为复杂的三角函数的单调区间时 ,首先把三角函数式化简成 y=Asin(ωx+φ)的形式 ,再求 y=Asin(ωx+φ)的单调区间 ,只需把 (ωx+φ)看作一个整体代入 y=sin x的相应单调区间内即可 ,注意要先把 ω化为正数 .2.已知函数在某区间单调求参数 ω的范围的解法 :先确定出已知函数的单调区间 ,利用已知的单调区间为函数的单调区间的子集的关系求解 .-21-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混对点训练 2 (1)已知函数 f(x)=-2sin(2x+φ)(-π0)的最小正周期 为 ,则 f(x)的 图 像 的一条 对 称 轴 方程是 ( )思考 :如何求三角函数的对称轴及对称中心 ?答案解析解析关闭答案解析关闭-27-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混类型三 已知周期性、奇偶性判断单调性例 5设 函数 f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ) 的最小正周期 为 π,且 f(-x)=f(x),则 ( )答案解析解析关闭答案解析关闭-28-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混思考 :已知三角函数的周期性、奇偶性判断其单调性的基本思路是什么 ?解题心得 :1.若求最小正周期 ,可先把所给三角函数式化为y=Asin(ωx+φ)或 y=Acos(ωx+φ)的形式 ,则最小正周期为 ;奇偶性的判断关键是解析式是否为 y=Asin ωx或 y=Acos ωx+b的形式 .2.求三角函数的对称轴及对称中心 ,须先把所给三角函数式化为y=Asin(ωx+φ)或 y=Acos(ωx+φ)的形式 ,把 (ωx+φ)整体看成一个变量,若求 f(x)=Asin(ωx+φ)(ω≠0)的对称轴 ,只需令 ωx+φ= +kπ(k∈ Z),求 x;若求 f(x)的对称中心的横坐标 ,只需令 ωx+φ=kπ(k∈ Z),求 x.-29-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混3.已知三角函数的周期性、奇偶性判断其单调性的基本思路是 :根据给出的三角函数的周期性、奇偶性求出三角函数式中的参数 ,然后把三角函数式化成 y=Asin(ωx+φ)或 y=Acos(ωx+φ)的形式再判断其单调性 .-30-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混对点训练 3 (1)函数 y=2cos2 -1是 ( ) A.最小正周期 为 π的奇函数B.最小正周期 为 π的偶函数C.最小正周期 为 的奇函数D.最小正周期 为 的偶函数答案解析解析关闭答案解析关闭4.4 函数 y=Asin(ωx+φ )的图像 及应用-2-考纲要求 :1.了解函数 y=Asin(ωx+φ)的物理意义 ;能画出y=Asin(ωx+φ)的图像 ,了解参数 A,ω,φ对函数图像变化的影响 . 2.体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型 ,会用三角函数解决一些简单实际问题 .-3-1.“五点法 ”作 三角函数 图像 的五点作 图 的五点是三角函数 图 像 在一个周期内的最高点 、最低点及与 x轴 的三个交点 .2.作函数 y=Asin(ωx+φ)(A0,ω0)的简图的步骤(1)定点 :如下表所示 .(2)作 图 :在坐 标 系中描出 这 五个关 键 点 ,用平滑的曲 线顺 次 连 接得到 y=Asin(ωx+φ)在一个周期内的 图 像 .(3)扩 展 :将所得 图 像 ,按周期向两 侧扩 展可得 y=Asin(ωx+φ)在 R上的 图 像 .-4-3.由 y=sin x的 图像 得 y=Asin(ωx+φ)(A0,ω0)的 图像 的两种方法-5-4.函数 y=Asin(ωx+φ)的物理意义当函数 y=Asin(ωx+φ)(A0,ω0),x∈ [0,+∞)表示某一个振 动时 ,A叫做振幅 , 叫做周期 , 叫做 频 率 ,ωx+φ叫做相位 ,φ叫做初相 .-6-2 3 41 5× × √ √ × -7-2 3 41 5答案解析解析关闭答案解析关闭-8-2 3 41 53.若函数 y=cos (ω∈ N+)的一个 对 称中心是 ,则 ω的最小 值为 ( )A.1 B.2 C.4 D.8答案解析解析关闭答案解析关闭-9-2 3 41 54.将函数 y=8sin x的 图 像 上所有的点向右平移 个 单 位 长 度 ,再把所得各点的横坐 标 伸 长 到原来的 4倍 (纵 坐 标 不 变 ),所得 图 像 的函数解析式是 . 答案解析解析关闭答案解析关闭-10-2 3 41 55.若将函数 f(x)=sin 的 图 像 向右平移 φ个 单 位 ,所得 图 像 关于 y轴对 称 ,则 φ的最小正 值 是 . 答案解析解析关闭答案解析关闭-11-2 3 41 5自 测 点 评1.利用 图像 变换 由 y=sin x的 图像 作y=Asin(ωx+φ)(A0,ω0)(x∈ R)的 图像 ,若先平移后伸缩 ,平移的量是 |φ|个单位 ,而先伸缩再平移 ,平移的量是 个单位 .2.三角函数 图像 的对称中心就是 图像 与 x轴的交点坐标 ,若函数f(x)=Asin(ωx+φ)的对称中心为 (x0,0),则有 f(x0)=0.3.有关三角函数性质的题目 ,要将三角函数化为 y=Asin(ωx+φ)的形式 ,最大值、最小值与 A的符号有关 .y=Asin(ωx+φ)的 图像 的两个相邻对称轴间的距离是半个周期 .4.函数 y=Asin(ωx+φ)的 图像 横向伸长 ,周期变大 ,x的系数变小 ;横向缩短 ,周期变小 ,x的系数变大 .-12-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混考点 1函数 y=Asin(ωx+φ)的 图 像 及 变换 例 1(2015湖北 ,文 18)某同学用 “五点法 ”画函数 f(x)=Asin(ωx+φ) 在某一个周期内的 图 像 时 ,列表并填入部分数据 ,如下表 :(1)请 将上述数据 补 充完整 ,并直接写出函数 f(x)的解析式 .(2)将 y=f(x)图 像上所有点向左平行移 动 个 单 位 长 度 ,得到y=g(x)图 像 ,求 y=g(x)的 图 像离原点 O最近的 对 称中心 .-13-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混-14-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混-15-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混思考 :作函数 y=Asin(ωx+φ)(A0,ω0)的 图像 有 哪些方法 ?解题心得 :1.函数 y=Asin(ωx+φ)(A0,ω0)的 图像 的两种作法 :(1)五点法 :用 “五点法 ”作 y=Asin(ωx+φ)的简图 ,主要是通过变量代换 ,设 z=ωx+φ,由 z取 2π来求出相应的 x,通过列表 ,计算得出五点坐标 ,描点后得出 图像 .(2)图像 变换法 :由函数 y=sin x的 图像 通过变换得到 y=Asin(ωx+φ)的 图像 ,有两种主要途径 “先平移后伸缩 ”与 “先伸缩后平移 ”.2.变换法作 图像 的关键是看 x轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移 ,对于后者可利用 ωx+φ=ω 来确定平移单位 .-16-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混对点训练 1 已知函数 y=2sin , (1)求它的振幅、周期、初相 ;(2)用 “五点法 ”作出它在一个周期内的 图 像 ;(3)说 明 y=2sin 的 图 像 可由 y=sin x的 图 像 经过 怎 样 的 变换 而得到 .-17-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混-18-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混-19-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混考点 2求函数 y=Asin(ωx+φ)的解析式 (多 维 探究 ) 类型一 由函数的 图像 求函数 y=Asin(ωx+φ)的解析式例 2(2015课标全国 Ⅰ ,文 8)函数 f(x)=cos(ωx+φ)的部分 图 像 如 图所示 ,则 f(x)的 单调递 减区 间为 ( )思考 :由 y=Asin(ωx+φ)+b(A0,ω0)的 图像 求其解析式的方法和步骤是怎样的 ?-20-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混-21-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混-22-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混类型二 由函数 y=Asin(ωx+φ)的性质求解析式例 3已知角 φ的 终边经过 点 P(1,-1)(|φ|0)图 像 上的任意两点 .当 |f(x1)-f(x2)|=2时 ,若 |x1-x2|的最小 值为 ,则 f(x)的解析式 为 . 答案解析解析关闭答案解析关闭-23-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混思考 :如何由函数 y=Asin(ωx+φ)的性质确定 A,ω,φ?解题心得 :1.由 图像 确定 y=Asin(ωx+φ)+b(A0,ω0)的解析式的步骤和方法 :2.由函数 y=Asin(ωx+φ)的性质确定其解析式的方法 :由函数的最值确定 A,由函数的周期性确定 ω,由函数的奇偶性或对称性确定 φ.-24-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混对点训练 2 (1)若函数 f(x)=2sin(ωx+φ) 的部分图 像 如 图 所示 ,则 ω,φ的 值 分 别 是 ( )答案解析解析关闭答案解析关闭-25-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混(2)已知函数 y=Asin(ωx+φ)(A0,ω0,0φπ)的两个相 邻 最 值 点为 ,则这 个函数的解析式 为 .答案解析解析关闭答案解析关闭-26-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混考点 3函数 y=Asin(ωx+φ)性 质 的 应 用 -27-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混-28-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混思考 :如何求解三角函数 图像 与性质的综合问题 ?解题心得 :解决 三角函数 图像 与 性质综合问题的方法 :先将 y=f(x)化为 y=asin x+bcos x的形式 ,然后用辅助角公式化为 y=Asin(ωx+φ)的形式 ,再借助 y=Asin(ωx+φ)的性质 (如周期性、对称性、单调性等 )解决相关问题 .-29-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混答案答案关闭-30-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混1.由函数 y=Asin(ωx+φ)的 图 像 确定 A,ω,φ的 题 型 ,常常以 “五点法 ”中的五个点作 为 突破口 ,要从 图 像 的升降情况找准第一个 “零点 ”和第二个 “零点 ”的位置 .要善于抓住特殊量和特殊点 .2.函数 y=Asin(ωx+φ)的 图 像 与 x轴 的每一个交点均 为 其 对 称中心 ,若函数 f(x)=Asin(ωx+φ)的 图 像 关于点 (x0,0)成中心 对 称 ,则ωx0+φ=kπ(k∈ Z);经过 函数 y=Asin(ωx+φ)图 像 的最高点或最低点 ,且与 x轴 垂直的直 线 都 为 其 对 称 轴 .两个相 邻对 称 轴 的距离是半个周期 ,若函数 f(x)=Asin(ωx+φ)的 图 像 关于直 线 x=x0对 称 ,则ωx0+φ=kπ+ (k∈ Z).4.5 两角和与差的正弦、余弦与正切公式-2-考纲要求 :1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式 . 2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式 . 3.会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式 ,了解它们的内在联系 .-3-1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式(1)sin(α± β)=sin αcos β± cos αsin β . (2)cos(α∓β)=cos αcos β± sin αsin β . 2.二倍角公式sin 2α=2sin αcos α ; cos 2α=cos2α-sin2α =2cos2α-1 =1-2sin2α ; 3.公式的变形(1)tan α± tan β=tan(α± β)(1∓tan αtan β) . (2)1± sin 2α=(sin α± cos α)2.-4-2 3 41 51.下列 结论 正确的打 “√”,错误 的打 “×”.(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角 α,β是任意的 . ( )(2)两角和与差的正切公式中的角 α,β是任意的 .( )(3)cos 80° cos 20° -sin 80° sin 20° =cos(80° -20° )=cos 60° = . ( )√ × × √ × -5-2 3 41 52.sin 20° cos 10° -cos 160° ·sin 10° =( )答案解析解析关闭答案解析关闭-6-2 3 41 5答案解析解析关闭答案解析关闭-7-2 3 41 54.(2015长沙模拟 )已知 α为 第二象限角 ,sin α+cos α= ,则 cos 2α=( )答案解析解析关闭答案解析关闭-8-2 3 41 55.(2015上海 ,文 1)函数 f(x)=1-3sin2x的最小正周期 为 . 答案解析解析关闭答案解析关闭-9-2 3 41 5自 测 点 评1.两角和与差的正弦公式概括为 “正余、余正符号同 ”,两角和与差的余弦公式概括为 “余余、正正符号异 ”.“符号同 ”指的是等号左边的 “± ”与等号右边的 “± ”一致 .2.运用公式时要注意公式成立的条件 .3.给角求值问题往往给出的角是非特殊角 ,求值时要注意 :(1)观察角 ,分析角之间的差异 ,巧用诱导公式或拆分 ;(2)观察名 ,尽可能使得函数统一名称 ;(3)观察结构 ,利用公式 ,整体化简 .-10-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混考点 1三角函数公式的基本 应 用 答案解析解析关闭答案解析关闭-11-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混(2)设 sin 2α=-sin α,α∈ ,则 tan 2α的 值 是 . 答案解析解析关闭答案解析关闭-12-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混思考 :在应用三角函数公式时应注意什么 ?解题心得 :三角函数公式对使公式有意义的任意角都成立 .使用中要注意观察角之间的和、差、倍、互补、互余等关系 .-13-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混对点训练 1 (1)4cos 50° -tan 40° =( ) 答案解析解析关闭答案解析关闭-14-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混答案解析解析关闭答案解析关闭-15-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混考点 2三角函数公式的逆用及 变 用 例 2(1)sin(65° -x)cos(x-20° )+cos(65° -x)·cos(110° -x)的 值为 ()答案解析解析关闭答案解析关闭-16-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混答案解析解析关闭答案解析关闭-17-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混(3)在 △ABC中 ,若 tan Atan B=tan A+tan B+1,则 cos C的 值为 ( )答案解析解析关闭答案解析关闭-18-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混思考 :三角函数公式除了直接应用外 ,还能怎样应用 ?解题心得 :运用两角和与差的三角函数公式时 ,不但要熟练公式的直接应用 ,而且要熟悉公式的逆用及变形 ,如 tan α+tan β=tan(α+β)·(1-tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等 .公式的逆用和变形应用更能开拓思路 ,培养从正向思维向逆向思维转化的能力 .-19-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混答案解析解析关闭答案解析关闭-20-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混答案解析解析关闭答案解析关闭-21-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混答案解析解析关闭答案解析关闭-22-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混考点 3三角函数公式运用中角的 变换 答案解析解析关闭答案解析关闭-23-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混答案解析解析关闭答案解析关闭-24-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混思考 :已知一个角或两个角的三角函数值 ,求另一角的三角函数值的一般思路是什么 ?解题心得 :1.求角的三角函数值的一般思路是把 “所求角 ”用 “已知角 ”表示 .(1)当 “已知角 ”有两个时 ,“所求角 ”一般表示为两个 “已知角 ”的和或差的形式 ;(2)当 “已知角 ”有一个时 ,此时应着眼于 “所求角 ”与 “已知角 ”的和或差的关系 ,然后应用诱导公式把 “所求角 ”变成 “已知角 ”.-25-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混答案解析解析关闭答案解析关闭-26-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混答案解析解析关闭答案解析关闭-27-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混1.解决三角函数 问题 要重 视 三角函数的 “三 变 ”:“三 变 ”是指 “变角、 变 名、 变 式 ”.变 角 :对 角的分拆要尽可能化成同角、余角、补 角、特殊角 ;变 名 :尽可能减少函数名称 ;变 式 :对 式子 变 形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等 .2.三角函数式的化 简 要遵循 “三看 ”原 则 :一看角之 间 的差 别 与 联 系 ,把角 进 行合理的拆分 ,灵活使用公式 ;二看函数名称之 间 的差异 ,确定使用的公式 ,常 见 的有 “切化弦 ”;三看 结 构特征 ,找到 变 形的方向 ,常 见 的有 “遇到分式要通分 ”“遇到根式一般要升 幂 ”等 .-28-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混1.解 题时 注意 观 察角、名、 结 构等特征 ,注意利用整体思想解决相关 问题 .2.运用公式 时 要注意公式成立的条件 ,要注意和、差、倍角的相对 性 ,要注意升 幂 、降 幂 的灵活运用 ,要注意 “1”的各种 变 形 .3.在三角求 值时 ,往往要估 计 角的范 围 后再求 值 .特 别 是在 (0,π)范 围 内 ,正弦 值对应 的角不唯一 .