高优指导2017版高考数学一轮复习 第十二章 推理与证明、算法初步与复数 文（考点规范练+单元质检）（打包5套）北师大版.zip

1考点规范练 53 归纳与类比考点规范练 A 册第 42 页 基础巩固组1.下面几种推理是合情推理的是( )① 由圆的性质类比出球的有关性质;② 由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是 180°,归纳出所有三角形的内角和都是180°;③ 某次考试张军成绩是 100 分,由此推出全班同学成绩都是 100 分;④ 三角形的内角和是 180°,四边形的内角和是 360°,五边形的内角和是 540°,由此得出 n 边形的内角和是( n-2)·180°.A.①② B.①③C.①②④ D.②④答案:C解析: ① 是类比推理, ②④ 是归纳推理, ③ 是非合情推理 .2.“因为对数函数 y=logax 是增函数(大前提),而 y=lox 是对数函数(小前提),所以 y=lox 是增函数(结论)”,以上推理的错误是( )A.大前提错误导致结论错误B.小前提错误导致结论错误C.推理形式错误导致结论错误D.大前提和小前提均错误导致结论错误答案:A解析:当 a1 时,函数 y=logax 是增函数;当 0cos A+cos B+cos C.3证明: ∵ △ ABC 为锐角三角形,∴A+B ,∴A-B ,∵y= sin x 在上是增函数,∴ sin Asin=cos B,同理可得 sin Bcos C,sin Ccos A,∴ sin A+sin B+sin Ccos A+cos B+cos C.能力提升组13.学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级,依次为“优秀”“合格”“不合格” .若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙,且其中至少有一门成绩高于乙,则称“学生甲比学生乙成绩好” .如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好,并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生,那么这组学生最多有( )A.2 人 B.3 人 C.4 人 D.5 人〚导学号 32470546〛答案:B解析:用 A,B,C 分别表示优秀、及格和不及格 .显然,语文成绩得 A 的学生最多只有一人,语文成绩得 B 的也最多只有 1 人,得 C 的也最多只有 1 人,所以这组学生的成绩为(AC),(BB),(CA)满足条件,故学生最多为 3 人 .14.类比“两角和与差的正弦公式”的形式,对于给定的两个函数: S(x)=ax-a-x,C(x)=ax+a-x,其中a0,且 a≠1,下面正确的运算公式是( )①S (x+y)=S(x)C(y)+C(x)S(y);②S (x-y)=S(x)C(y)-C(x)S(y);③ 2S(x+y)=S(x)C(y)+C(x)S(y);④ 2S(x-y)=S(x)C(y)-C(x)S(y).A.①② B.③④C.①④ D.②③ 〚导学号 32470547〛答案:B解析:经验证易知 ①② 错误 .依题意,注意到2S(x+y)=2(ax+y-a-x-y),S(x)C(y)+C(x)S(y)=2(ax+y-a-x-y),因此有 2S(x+y)=S(x)C(y)+C(x)S(y);同理有 2S(x-y)=S(x)C(y)-C(x)S(y).15.已知 f(x)=,x≥0,若 f1(x)=f(x),fn+1(x)=f(fn(x)),n∈N +,则 f2 014(x)的表达式为 . 答案: f2 014(x)=解析:由 f1(x)=⇒f2(x)=f;又可得 f3(x)=f(f2(x))=,故可猜想 f2 014(x)=.16.观察下列等式:32+42=52,102+112+122=132+142,212+222+232+242=252+262+272,362+372+382+392+402=412+422+432+442,……由此得到第 n(n∈N +)个等式为 . 答案:(2 n2+n)2+(2n2+n+1)2+…+(2n2+n+n)2=(2n2+n+n+1)2+(2n2+n+n+2)2+…+(2n2+n+2n)2解析:第一式的第一个数为 1×3;第二式的第一个数为 2×5;第三式的第一个数为 3×7,故第 n 式的第一个数为 n×(2n+1),每一式有(2 n+1)个数,且等号右边 n 个,等号左边( n+1)个,故满足条件的第n 个等式为(2 n2+n)2+(2n2+n+1)2+…+(2n2+n+n)2=(2n2+n+n+1)2+(2n2+n+n+2)2+…+(2n2+n+2n)2.17.对于三次函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),给出定义:设 f'(x)是函数 y=f(x)的导数, f″ (x)是f'(x)的导数,若方程 f″ (x)=0 有实数解 x0,则称点( x0,f(x0))为函数 y=f(x)的“拐点” .某同学经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”;任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心 .若 f(x)=x3-x2+3x-,请你根据这一发现,(1)求函数 f(x)=x3-x2+3x-的对称中心;(2)计算 f+f+f+f+…+f.4解:(1) f'(x)=x2-x+3,f″ (x)=2x-1,由 f″ (x)=0,即 2x-1=0,解得 x=.f+3×=1.由题中给出的结论,可知函数 f(x)=x3-x2+3x-的对称中心为 .(2)由(1),知函数 f(x)=x3-x2+3x-的对称中心为,所以 f+f=2,即 f(x)+f(1-x)=2.故 f+f=2,f+f=2,f+f=2,……f+f=2.所以 f+f+f+f+…+f×2×2 014=2 014. 1考点规范练 54 综合法、分析法、反证法考点规范练 B册第 41页 基础巩固组1.要证: a2+b2-1-a2b2≤0,只要证明( )A.2ab-1-a2b2≤0 B.a2+b2-1-≤0C.-1-a2b2≤0 D.(a2-1)(b2-1)≥0答案:D解析:在各选项中,只有( a2-1)(b2-1)0⇒a2+b2-1-a2b2≤0,故选 D.2.若 a,b∈R,则下面四个式子中恒成立的是( )A.lg(1+a2)0 B.a2+b2≥2( a-b-1)C.a2+3ab2b2 D.答案:B解析:在 B中, ∵a 2+b2-2(a-b-1)=(a2-2a+1)+(b2+2b+1)=(a-1)2+(b+1)2≥0,∴a 2+b2≥2( a-b-1)恒成立 .3.设 a,b,c均为正实数,则三个数 a+,b+,c+( )A.都大于 2 B.都小于 2C.至少有一个不大于 2 D.至少有一个不小于 2答案:D解析: ∵a 0,b0,c0,∴ ≥6,当且仅当 a=b=c=1时,等号成立,故三者不能都小于 2,即至少有一个不小于 2.4.设 f(x)是定义在 R上的奇函数,且当 x≥0 时, f(x)单调递减,若 x1+x20,则 f(x1)+f(x2)的值( )A.恒为负值 B.恒等于零C.恒为正值 D.无法确定正负答案:A解析:由 f(x)是定义在 R上的奇函数,且当 x≥0 时, f(x)单调递减,可知 f(x)是 R上的单调递减函数 .由 x1+x20,可知 x1-x2,即 f(x1) 1;②a+b= 2;③a+b 2;④a 2+b22;⑤ab 1.其中能推出:“ a,b中至少有一个大于 1”的条件是( )A.②③ B.①②③ C.③ D.③④⑤ 〚导学号 32470847〛答案:C解析:对于 ③ ,即 a+b2,则 a,b中至少有一个大于 1.反证法:假设 a≤1 且 b≤1,则 a+b≤2 与 a+b2矛盾,因此假设不成立, a,b中至少有一个大于 1.①②④⑤ 都不能推出“ a,b中至少有一个大于 1”.6.在不等边三角形中, a为最大边,要想得到角 A为钝角的结论,三边 a,b,c应满足 .答案: a2b2+c2解析:由余弦定理 cos A=b2+c2.7.与 2的大小关系为 . 答案: 2解析:要比较与 2的大小,只需比较() 2与(2) 2的大小,只需比较 6+7+2与 8+5+4的大小,只需比较与 2的大小,只需比较 42与 40的大小,2∵ 4240,∴ 2.8.(2015陕西咸阳模拟)设 a,b,c0,证明:≥ a+b+c.证明:因为 a,b,c0,根据基本不等式,有 +b≥2 a,+c≥2 b,+a≥2 c,三式相加, +a+b+c≥2( a+b+c),即≥ a+b+c.9.若 a,b,c是不全相等的正数,求证:lg+lg+lglg a+lg b+lg c.证明: ∵a ,b,c∈(0, +∞ ),∴ 0,0,0.又上述三个不等式中等号不能同时成立 .∴abc 成立 .上式两边同时取常用对数,得 lglg abc,∴ lg+lg+lglg a+lg b+lg c.能力提升组10.如果△ A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△ A2B2C2的三个内角的正弦值,则( )A.△ A1B1C1和△ A2B2C2都是锐角三角形B.△ A1B1C1和△ A2B2C2都是钝角三角形C.△ A1B1C1是钝角三角形,△ A2B2C2是锐角三角形D.△ A1B1C1是锐角三角形,△ A2B2C2是钝角三角形答案:D解析:由条件知,△ A1B1C1的三个内角的余弦值均大于 0,则△ A1B1C1是锐角三角形,且△ A2B2C2不可能是直角三角形 .假设△ A2B2C2是锐角三角形 .由得则 A2+B2+C2=,这与三角形内角和为 180°相矛盾 .因此假设不成立,故△ A2B2C2是钝角三角形 .11.已知 a,b,μ ∈(0, +∞ ),且 =1,则使得 a+b≥ μ 恒成立的 μ 的取值范围是 . 答案:(0,16]解析: ∵a ,b∈(0, +∞ ),且 =1,∴a+b= (a+b)=10+≥10 +2=16(当且仅当 a=4,b=12时等号成立) .∴a+b 的最小值为 16.∴ 要使 a+b≥ μ 恒成立,只需 16≥ μ.∴ 0-1).h'(x)=-x2+x-1=.h(x)在( -1,0)上为增函数,在(0, +∞ )上为减函数 .h(x)max=h(0)=0,即 h(x)≤ h(0)=0,即 f(x)≤ g(x). 13.已知 A,B,C是椭圆 W:+y2=1上的三个点, O是坐标原点 .(1)当点 B是 W的右顶点,且四边形 OABC为菱形时,求此菱形的面积;(2)当点 B不是 W的顶点时,判断四边形 OABC是否可能为菱形,并说明理由 .解:(1)椭圆 W:+y2=1的右顶点 B的坐标为(2,0) .3因为四边形 OABC为菱形,所以 AC与 OB相互垂直平分 .所以可设 A(1,m),代入椭圆方程得 +m2=1,即 m=±.所以菱形 OABC的面积是|OB|·|AC|=×2×2|m|=.(2)假设四边形 OABC为菱形 .因为点 B不是 W的顶点,且直线 AC不过原点,所以可设 AC的方程为 y=kx+m(k≠0, m≠0) .由消去 y并整理得(1 +4k2)·x2+8kmx+4m2-4=0.设 A(x1,y1),C(x2,y2),则 =-=k·+m=.所以 AC的中点为M.因为 M为 AC和 OB的交点,所以直线 OB的斜率为 -.因为 k·≠ -1,所以 AC与 OB不垂直 .所以 OABC不是菱形,与假设矛盾 .所以当点 B不是 W的顶点时,四边形 OABC不可能是菱形 .1考点规范练 55 算法初步考点规范练 A 册第 44 页 基础巩固组1.如图,若依次输入的 x 分别为,相应输出的 y 分别为 y1,y2,则 y1,y2的大小关系是( )A.y1=y2B.y1y2C.y1cos 成立,所以输出的 y1=sin;当输入的 x 为时,sin cos 不成立,所以输出的 y2=cos,所以 y17,程序运行终止,∴ 所有的输出结果之和为 1+4+9+16=30.3.执行如图所示的程序框图,如果输入的 x,y∈R,那么输出的 S 的最大值为( )2A.0 B.1C.2 D.3〚导学号 32470549〛答案:C解析:先画出 x,y 满足的约束条件对应的可行域如图中阴影部分:移动直线 l0:y=-2x.当直线经过点 A(1,0)时, y=-2x+S 中截距 S 最大,此时 Smax=2×1+0=2.再与 x≥0, y≥0, x+y≤1 不成立时 S=1 进行比较,可得 Smax=2.4.为了在运行如图所示的程序之后得到结果 y=16,则键盘输入的 x 应该是( )输入 xIf x1 时,输出的 y=ln|x|=x,即确定方程|x|=ex的解的个数,当 x1 时,令 f(x)=ex-x,则 f'(x)=ex-10,x∈(1, +∞ )恒成立,且 f(1)=e-10,此时 f(x)=ex-x=0 无解 .当 x1 时无解;当 |x|≤1 时,输出的 y=x3=x,解得 x=-1,0,1,均适合题意,所以这样的 x 有 3 个,故选 B.6.(2015 辽宁鞍山一模)一个算法的程序框图如图,若输出结果为 6,则判断框内 m 的取值范围是( )A.(12,20]B.(20,30]C.(30,42]D.(12,42]答案:B解析:由程序框图知第一次运行 S=0+2,i=2;第二次运行 S=0+2+4,i=3;第三次运行 S=0+2+4+6,i=4;第四次运行 S=0+2+4+6+8,i=5;第五次运行 S=0+2+4+6+8+10,i=6.∵ 输出 i=6,∴ 程序运行了 5 次,此时 S=0+2+4+6+8+10=30,∴m 的取值范围为 2049,得 x7,所以当输入的 x∈[1,19]时,输出的 x 大于 49 的概率为 .10.(2015 湖北七市(州)联考)某程序框图如图所示,判断框内为“ k≥ n”,n 为正整数,若输出的S=26,则判断框内的 n= . 5〚导学号 32470552〛答案:4解析:依题意,执行题中的程序框图,进行第一次循环时, k=1+1=2,S=2×1+2=4;进行第二次循环时,k=2+1=3,S=2×4+3=11;进行第三次循环时, k=3+1=4,S=2×11+4=26,因此当输出的 S=26 时,判断框内的 n=4.11.运行如图所示的程序,当输入 a,b 分别为 2,3 时,最后输出的 m 的值为 . 输入 a,bIf ab Thenm=aElsem=bEnd If输出 m答案:3解析: ∵a= 2,b=3,∴a0,则输出 n=3,结束 .能力提升组13.(2015 天津,文 3)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出 i 的值为( )6A.2 B.3 C.4 D.5答案:C解析:第一次循环,得 i=1,S=9,不满足 S≤1,进入循环体;第二次循环,得 i=2,S=7,不满足 S≤1,进入循环体;第三次循环,得 i=3,S=4,不满足 S≤1,进入循环体;第四次循环,得 i=4,S=0,满足 S≤1,终止循环,输出 i=4.14.执行如图所示的程序框图,若输入的 a,b,k 分别为 1,2,3,则输出的 M=( )A. B. C. D.答案:D解析:第一次执行循环体时, n=1,M=1+,a=2,b=;第二次执行循环体时, n=2,M=2+,a=,b=;第三次执行循环体时, n=3,M=,a=,b=,这时 n=4,跳出循环 .输出 M 的值 .15.执行如图所示的程序框图,输入正整数 N(N≥2)和实数 a1,a2,…,aN,输出 A,B,则( )7A.A+B 为 a1,a2,…,aN的和B.为 a1,a2,…,aN的算术平均数C.A 和 B 分别是 a1,a2,…,aN中最大的数和最小的数D.A 和 B 分别是 a1,a2,…,aN中最小的数和最大的数答案:C解析:随着 k 的取值不同, x 可以取遍实数 a1,a2,…,aN,依次与 A,B 比较, A 始终取较大的那个数, B始终取较小的那个数,直到比较完为止,故最终输出的 A,B 分别是这 N 个数中的最大数与最小数,故选 C.16.(2015 湖南湘潭模拟)执行如图所示的程序框图,则输出的结果是 . 〚导学号 32470553〛答案:解析:共循环 2014 次,由裂项求和得 S=+…++…+=1-.1考点规范练 56 复数考点规范练 B 册第 42 页 基础巩固组1.(2015 大连二十四中高考模拟)若复数 a2-1+(a-1)i(i 为虚数单位)是纯虚数,则实数 a=( )A.±1 B.-1C.0 D.1答案:B解析:因为复数 a2-1+(a-1)i(i 为虚数单位)是纯虚数,所以 a2-1=0,且 a-1≠0,解得 a=-1.2.若复数 z=1+i,为 z 的共轭复数,则下列结论正确的是( )A.=-1-i B.=-1+iC.||=2 D.||=答案:D解析: =1-i,||=,选 D.3.(2015 沈阳一模)设复数 z 满足(1 -i)z=2i,则 z 的共轭复数 =( )A.-1+i B.-1-iC.1+i D.1-i答案:B解析:由(1 -i)z=2i,得 z==-1+i.∴=- 1-i.4.已知复数 z=2-i,则 z·的值为( )A.5 B.C.3 D.答案:A解析: z·=(2-i)·(2+i)=22-i2=4-(-1)=5,故选 A.5.(2015 河北石家庄高三质检二)在复平面内,复数 z=(i 为虚数单位)对应的点位于( )A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限〚导学号 32470850〛答案:D解析:因为 z==(2+4i)(-i)=4-2i,所以复数 z 对应的点(4, -2)在第四象限,故选 D.6.(2015 河南郑州二测)已知复数 z=(i 为虚数单位),则 z 的虚部为( )A.-1 B.0C.1 D.i答案:C解析: z==i,故 z 的虚部是 1.7.(2015 河北唐山一模) =( )A.-2i B.-4iC.2i D.4i答案:A解析:先对的分子与分母分别平方,然后再计算,=-2i,故选 A.8.(2015 山东,文 2)若复数 z 满足 =i,其中 i 为虚数单位,则 z=( )A.1-i B.1+iC.-1-i D.-1+i答案:A解析: ∵= i,∴= i(1-i)=i-i2=1+i.∴z= 1-i.9.设 z=1+i,则 +z2等于( )A.1+i B.-1+iC.-i D.-1-i2答案:A解析: +z2=+(1+i)2=+2i=+2i=1-i+2i=1+i.10.若复数( a+i)2在复平面内对应的点在 y 轴负半轴上,则实数 a 的值是 .〚导学号32470851〛 答案: -1解析:( a+i)2=a2-1+2ai,由题意知 a2-1=0,且 2a0,即 a=-1.11.已知 i 是虚数单位,则 = . 答案: -i解析: =-i.12.(2015 河南洛阳统考)设复数 z=-1-i(i 为虚数单位), z 的共轭复数为,则 |(1-z)·|= .答案:解析:依题意得(1 -z)·=(2+i)(-1+i)=-3+i,则 |(1-z)·|=|-3+i|=.13.在复平面内,复数 1+i 与 -1+3i 分别对应向量,其中 O 为坐标原点,则 ||= . 答案:2解析:由题意知 A(1,1),B(-1,3),故 ||=||==2.能力提升组14.设 z=+i,则 |z|=( )A. B.C. D.2答案:B解析:因为 z=+i=+i=+i=i,所以 |z|=,故选 B.15.(2015 河南新乡、许昌、平顶山调研)复数 z1,z2满足 z1=m+(4-m2)i,z2=2cos θ+ (λ+ 3sin θ )i(m,λ ,θ ∈R),并且 z1=z2,则 λ 的取值范围是( )A.[-1,1] B.C. D.〚导学号 32470852〛答案:C解析:由复数相等的充要条件可得化简得 4-4cos2θ=λ+ 3sin θ ,由此可得 λ=- 4cos2θ- 3sin θ+ 4=-4(1-sin2θ )-3sin θ+ 4=4sin2θ- 3sin θ= 4,因为 sin θ ∈[ -1,1],所以 4sin2θ- 3sin θ ∈ .16.若 =a+bi(a,b 为实数,i 为虚数单位),则 a+b= . 答案:3解析:由 =a+bi,得 a=,b=,解得 b=3,a=0,所以 a+b=3.17.已知复数 z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3-4i,它们在复平面上对应的点分别为 A,B,C,若=λ+μ (λ ,μ ∈R),则 λ+μ 的值是 .〚导学号 32470853〛 答案:1解析:由条件得 =(3,-4),=(-1,2),=(1,-1),根据 =λ+μ 得(3, -4)=λ (-1,2)+μ (1,-1)=(-λ+μ ,2λ-μ ),∴ 解得∴λ+μ= 1.18.已知复数 z=是 z 的共轭复数,则 z·= . 答案:解析: ∵z==- i,故 =-i,∴z ·.1单元质检十二 推理与证明、算法初步与复数(时间:45 分钟 满分:100 分)单元质检卷第 24页 一、选择题(本大题共 6小题,每小题 7分,共 42分)1.(2015辽宁鞍山一模)复数的虚部是( )A.i B. C.-i D.-答案:B解析: ∵=- i,∴ 虚部为 .2.(2015辽宁大连双基)执行如图所示的程序框图,运行相应的程序,若输出的结果是 4,则常数 a的值为( )A.4 B.2C. D.-1〚导学号 32470654〛答案:D解析: S和 n依次循环的结果如下:,2;1 -,4.所以 1-=2,a=-1,故选 D.3.(2015华师附中模拟)用反证法证明命题:“三角形三个内角至少有一个不大于 60°”时,应假设( )A.三个内角都不大于 60°B.三个内角都大于 60°C.三个内角至多有一个大于 60°D.三个内角至多有两个大于 60°答案:B解析:“三角形三个内角至少有一个不大于 60°”的反面是“三个内角都大于 60°”.4.(2015湖北黄冈一模)在 R上定义运算⊗: x⊗y=x(1-y).若不等式( x-a)⊗(x+a)0.不等式恒成立的充要条件是 Δ =1-4(-a2+a+1)0,则≥ a+-2.证明: ∵a 0,由基本不等式知 a+≥2, a2+≥2,∴ ≥0, a+-2≥0 .下面用分析法证明≥ a+-2.要证明≥ a+-2成立,只需证明成立,即 2-2≥,即 4≥2,即 -4+4≥0,即证明≥0,显然≥0 成立,∴ 若 a0,则≥ a+-2.〚导学号 32470658〛