高中数学 第二章 数列教案（打包7套）新人教B版必修5.zip

12．1.1 数列整体设计教学分析 本节教材通过举例引出数列概念，教材上列举了 7 个例子，这 7 列数的排列都具有一定的规律，教学时也可举几个各项数是随机的、没有什么规律的例子．注意函数定义域的表述．符号 N＋ 与 N*表示正整数或非 0 自然数．教材中的例 1 可由学生自己完成．例 2 中的3 个小题都要通过观察并分析数的性质，有一定难度．例 3 是为了加强数列与函数的联系，教学时要重视．对数列概念的引入可作适当拓展．一方面从研究数的角度提出数列概念，使学生感受数列是刻画自然规律的基本数学模型；另一方面可从生活实际引入，如银行存款利息、购房贷款等，使学生对这些现象的数学背景有更直观认识，感受数列研究的现实意义，以激发学生学习数列的兴趣．(1)教学中要注意留给学生回味、思考的空间和余地．(2)数列是一种特殊函数，其定义域是正整数集 N*(或它的有限子集)，值域是当自变量顺次从小到大依次取值时的对应值．教科书通过数列的定义域与值域之间这种一一对应关系的列表，让学生加深对数列是一种特殊函数的认识．(3)对于函数 y＝f(x)，如果 f(i)(i＝1,2,3，…)有意义，这些函数值也可以组成一个数列，教学中要注意数列与函数的这种关系的把握．教材上对数列进行了两种分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，常数列，摆动数列．这些分类的严格定义不要求学生记忆，只要学生知道上述分类是依据不同分类标准得出的并能对所给数列的类别作出准确判断就可以了．三维目标 1．通过本节学习，让学生理解数列的概念，理解数列是一种特殊函数，把数列融于函数之中；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项，对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的通项公式．2．通过探究、思考、交流、实验、观察、分析等教学方式，充分发挥学生的主体作用，并通过日常生活中的大量实例，鼓励学生动手试验，大胆猜想．培养学生对科学的探究精神和严肃认真的科学态度．3．通过本节章头图的学习，体会数学来源于生活，理解大自然的丰富多彩，感受“大2自然是懂数学的” ，从而提高学生学习数学的兴趣．重点难点 教学重点：理解数列及其有关的概念，了解数列通项公式的意义；了解数列和函数之间的关系．教学难点：根据数列的前几项，归纳出数列的通项公式．课时安排 1 课时教学过程导入新课 思路 1.(章头图引入)斐波那契(Fibonacci Leonardo，约 1170～1250)，意大利著名数学家，保存至今的斐波那契著作有 5 部，其中影响最大的是 1202 年在意大利出版的《算盘全书》 ， 《算盘全书》中许多有趣的问题中最富成功的问题是著名的兔子繁殖问题：如果每对兔子每月繁殖一对子兔(一雌一雄)，而子兔在出生后第三个月里就又能生 1 对子兔．试问一对兔子 50 个月会有多少对兔子？由此展开新课的探究．思路 2.(直接引入)利用多媒体打出教材前言中的几列数．这是与集合中的元素不同的一列数，有一定的次序，告诉学生这就是我们要研究的数列，由此直接进入新课．推进新课 Error!Error!1 阅读课本章头图，列出前 5 个月中每个月兔子的总对数.2 每个同学取一张纸对折，假设纸的原来厚度为 1 个长度单位，面积为 1 个面积单位，那么随着依次对折的次数增加，它的厚度和每层纸的面积分别是多少？3 怎样理解数列？与集合有什么不同？什么是数列的项？怎样表示数列a1，a 2，a 3，…，a n，…？4 你能举出身边的哪些数列？5 怎样对数列分类？什么是有穷数列？什么是递增数列？6 怎样理解数列与函数的关系？7 什么是数列的通项公式？8 数列有哪些简单的表示方法？活动：教师引导学生阅读课本章头的插图，直观感知大自然是懂数学的，激起进一步3探究的欲望．通过阅读课本，知道三角形数是 1,3,6,10，….由于这些数都能够表示成三角形，就将其称为三角形数，知道正方形数是 1,4,9,16，….由于这些数都能够表示成正方形，所以被称为正方形数．教师将两列数用课本演示出来，引导学生观察它们的共同特征．接下来让学生折纸可得到两列数，随着对折数的增加，厚度依次为2,4,8,16，…，256，…；随着对折数的增加，面积依次为 ，，， ，…， ，….121418116 1256教师引导学生阅读课本并弄清有穷数列、无穷数列的概念，之后提出问题：相同的一组数按不同顺序排列时，是否为同一个数列？一个数列中的数可以重复吗？0,0,0，…，0，…是数列吗？让学生结合数列的概念进行辨析．显然，根据数列的概念1,2,3；2,3,1 是两个不同的数列.0,0,0，…，0，…也是数列．这点与集合不同．集合讲究无序性、互异性、确定性，而数列强调有顺序，且同一数字可重复．也就是说数列具有确定性、有序性、可重复性，这样根据数列的每一项随序号变化的情况可以对数列进行分类，按项数多少可分为有穷数列、无穷数列；按各项的变化规律可分为递增数列、递减数列、常数列、摆动数列．根据以上探究，数列中的数与它的序号是一种怎样的关系呢？序号可看作是自变量，数列中的项可看作是随之变动的量．这就让我们联想到了函数，认识到数列也是函数，是一种特殊的函数，特殊到自变量只能取非零自然数．如数列 2,4,8,16，…，256，…中，项与序号之间的对应关系如下：项 2 4 8 16 32↓ ↓ ↓ ↓ ↓序号 1 2 3 4 5一般形式则为项 a 1 a 2 a 3 … a n …↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓序号 1 2 3 … n …由此得出，数列可以看作是一个定义域为正整数集 N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的函数 an＝f(n)，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值．反过来，对于函数y＝f(x)，如果 f(i)(i＝1、2、3、4、…)有意义，那么我们可以得到一个数列 f(1)，f(2)，f(3)，…，f(n)，….因此，如果数列{a n}的第 n 项 an与 n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公4式就叫做这个数列的通项公式．函数与数列的比较(由学生完成此表)：函数 数列(特殊的函数)定义域 R 或 R 的子集 N*或它的有限子集{1,2，…，n}解析式 y＝f(x) an＝f(n)图象 点的集合 一些离散的点的集合关于数列的表示方法，与函数一样，数列也可以用图象法、列表法等方法来表示．由于数列中的自变量只能取正整数，所以其图象应是一系列孤立的点．例如上面问题中提出的函数 y＝2x，当 x 依次取 1,2,3，…时，我们可以得到函数值构成的数列2,4,6，…，2n，…，这个数列还可用列表法与图象法表示如下：n 1 2 3 … k …an 2 4 6 … 2k …对于数列的图象法表示，我们可仿照函数图象的画法画数列的图形．具体方法是以项数 n 为横坐标，相应的项 an为纵坐标，即以(n，a n)为坐标在平面直角坐标系中作出点(以前面提到的数列 1，，，，…为例，作出一个数列的图象)，所得的数列的图形是一群孤立121314的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在 y 轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数．从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势．讨论结果：5(1)1,1,2,3,5(3)按照一定次序排列起来的一列数叫做数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列的一般形式可以写成 a1，a 2，a 3，…，a n，…，又可简记为{a n}．(7)数列的通项公式也就是相应的函数的解析式．(8)数列的几种简单表示方法有通项公式法(解析式法)、列表法和图象法．(2)(4)(5)(6)略．Error!例 1(教材本节例 2)活动：本例 3 个小题，都要通过观察，并分析数的性质，有一定难度．教师可引领学生一起分析，然后由学生完成．同时要让学生领悟题目中为什么要求写出“一个”通项公式．如第 2 小题奇数项为 0，偶数项为 2，显然具备这种特点的数学式子不是唯一的．点评：解完本例后要让学生领悟，这种由数写出数列前几项的题目，解决的关键是找出这列数与序号之间呈现的规律性的东西．然后通过归纳写出这个数列的通项公式．但要注意，根据数列的若干项写出通项公式的形式可能不是唯一的．如本例中的 2 学生可能就有以下几种写法：a n＝Error!或 an＝2|sin π|或 an＝2|cos |，等等．n＋ 12 nπ2因此教师可就此点拨学生：由函数的观点可知，数列的通项公式实质上就是函数的对应法则的解析式表示，而我们知道函数的对应法则并不是都能用解析式表示出来的，因此也不是所有的数列都能写出通项公式来，即使存在通项公式也不一定唯一．变式训练根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1)3,5,7,9,11，…；(2)0,1,0,1,0,1，…；(3)1,3,3,5,5,7,7,9,9，…；(4)2，－6,12，－20,30，－42，….解：(1)a n＝2n＋1；(2)a n＝ ；1＋  － 1 n2(3)将数列变形为 1＋0,2＋1,3＋0,4＋1,5＋0,6＋1,7＋0,8＋1，…，∴a n＝n＋ ；1＋  － 1 n2(4)将数列变形为 1×2，－2×3,3×4，－4×5,5×6，…，∴a n＝(－1) n＋1 n(n＋1)．6例 2(教材本节例 3)活动：教材设计本例的目的是为了加强数列与函数的联系，用研究函数性质的方法研究数列的性质．这一点非常重要，应引起学生的极大重视．本例中的第 1 问实际上就是函数的有界性，第 2 问的递增递减数列就是函数的单调性．教师与学生一起分析后，可由学生自己完成．点评：解完本例后，可让学生结合思考与讨论，总结本例的思想方法．因为这一点学通了，后面的内容就好学了．变式训练写出数列 1，，， ， ，…的通项公式，并判断它的增减性．2437410513解：数列的通项公式为 an＝ ，n3n－ 2∵a n＋1 －a n＝ － ＝ ＜0，即 an＋1 ＜a n，n＋ 13 n＋ 1 － 2 n3n－ 2 － 2 3n＋ 1  3n－ 2这说明每相邻的两项中，后项小于前项，由此可知数列为递减数列．例 3 写出下面数列的一个通项公式：(1) ， ， ， ，…；(2) ，2，，8， ，…；(3)1,0，－ ，0，，0，－ ，0，….23415635863 12 92 252 13 15 17解：(1)a n＝ .2n 2n－ 1  2n＋ 1(2)an＝ .n22原数列可写成 ，，， ， ，…，这样数列中各项数的规律就一目了然了．124292162252(3)an＝ sin .1n nπ2原数列可写成 ，，－ ，，，，－ ，，…，这样分母依次为 1,2,3，…，而分子依次1102 13041506 1708为 1,0，－1,0，由此想到三角函数．变式训练以下通项公式中，不是数列 3,5,9，…的通项公式的是( )A．a n＝2 n＋1 B．a n＝n 2－n＋37C．a n＝－ n3＋5n 2－ n＋7 D．a n＝2n＋123 253答案：D例 4 求数列{－2n 2＋9n＋3}中的最大项．活动：教师首先引导学生熟悉这个数列，即是 10,13,12，…，－2n 2＋9n＋3，…，其通项公式为 an＝－2n 2＋9n＋3，可以看出 an与 n 构成二次函数，可完全类比二次函数求最值的方法，但要注意这里 n∈N *这一隐含条件．解：由题意，知 an＝－2n 2＋9n＋3＝－2(n－ )2＋ .94 1058∵n 为正整数，由二次函数的图象和性质，知当 n＝2 时，a n取到最大值 13.∴数列{－2n 2＋9n＋3}中的最大项为 a2＝13.点评：数列的项与项数之间构成特殊的函数关系．在用函数的有关知识解决数列问题时，要注意到函数的定义域为正整数集这一约束条件．变式训练已知数列{a n}的通项公式为 an＝log 2(n2＋3)－2，那么 log23 是这个数列的第__________项．答案：3例 5 图中的三角形称为谢宾斯基(Sierpinski)三角形．在下图四个三角形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前 4 项，请写出这个数列的一个通项公式，并在直角坐标系中画出它的图象．图 3解：如题图，这四个三角形中着色三角形的个数依次为 1,3,9,27，则所求数列的前 4项都是 3 的指数幂，指数为序号减 1，所以这个数列的一个通项公式是 an＝3 n－1 .8该数列在直角坐标系中的图象如下图．点评：本例是用通项公式和图象两种方法表示谢宾斯基三角形中着色三角形个数构成的数列．解完此题后，让学生总结数列的表示方法．变式训练根据下图中 5 个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第 n 个图中有__________个点．答案：n 2－n＋1解析：经观察，第 n 个图中间 1 个点向 n 个方向发散，每个方向上另有(n－1)个点，所以第 n 个图中点的总个数为 n(n－1)＋1＝n 2－n＋1.Error!1．写出数列的一个通项公式，使它的前 4 项分别是：(1)1,8,27,64，…；(2) ，3， ， ，….3 15 212．已知数列{a n}的通项公式为 an＝n(n＋1)，则 380 是这个数列的第__________项．答案：1．(1)a n＝n 3；(2)a n＝ .3 2n－ 12．由 380＝n(n＋1)，n∈N *，可解得 n＝19.Error!1．由学生总结本节课所学习的主要内容：数列的有关概念；根据数列的前几项写出数9列的通项公式，反过来，根据数列的通项公式求其任意一项；数列与函数的关系．2．通过知识性的小结，尽快地把课堂探究的知识转化为学生的素质能力；通过特殊到一般、类比等思想方法的运用，更深刻地理解数学思想方法在解题中的地位和作用．并通过章头插图的阅读与理解，更加热爱大自然、保护大自然．Error!课本本节习题 2—1 A 组 1～6；习题 2—1 B 组 1～3.设计感想本教案设计遵循学生的认知规律，体现新课标理念．设计的教学方法是让学生自主探究，呈现“现实情境——数学模型——应用于现实问题”的特点．让学生通过观察、分析、归纳、猜想，培养学生主动探究的精神．感受到大自然的神奇与奥妙，激发热爱大自然的热情，并自发保护大自然，真切领悟到大自然才是我们人类智慧的源泉．本教案设计体现对学生发散性思维的培养，本节的难点之一就是由数列的前几项写出它的一个通项公式，这个通项公式不是唯一的．设计中鼓励学生根据所学知识，充分施展种种奇思妙想，最大限度地开挖学生的潜能．本教案的设计加强了数学思想方法的运用，这也是本章的特色，可以说本章简直就是数学思想方法的王国．如不把握好这一点，正如入宝山而空手回．如类比思想、归纳思想及特殊到一般的思想方法等．备课资料备用习题1．数列 3,7,13,21,31，…的通项公式是( )A．a n＝4n－1 B．a n＝n 3－n 2＋n＋2C．a n＝n 2＋n＋1 D．不存在2．根据下面数列{a n}的通项公式，写出前 5 项：(1)an＝ ；(2)a n＝(－1) n·n.nn＋ 13．写出下面数列的一个通项公式，使它的前 4 项分别是下列各数：(1)1，－ ，，－ ；1213 14(2)2,0,2,0.4．数列{a n}中，a 1＝1，对所有的 n≥2 都有 a1·a2·a3·…·an＝n 2，则 a3＋a 5的值是__________．105．已知数列{ }：9n2－ 9n＋ 29n2－ 1(1)求这个数列的第 10 项；(2) 是不是该数列中的项，为什么？98101(3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内；(4)在区间( ， )内有无数列中的项？若有，有几项？若没有，说明理由．13 23参考答案：1．C 解析：代入选择支验证即可．2．解：(1)a 1＝ ；a 2＝ ；a 3＝ ；a 4＝ ；a 5＝ .12 23 34 45 56(2)a1＝－1；a 2＝2；a 3＝－3；a 4＝4；a 5＝－5.3．解：(1)a n＝ ；(2)a n＝(－1) n＋1 ＋1. － 1 n＋ 1n4. 解析：∵a 1a2＝2 2，a 1a2a3＝3 2，a 1a2a3a4＝4 2，a 1a2a3a4a5＝5 2，6116∴a 3＋a 5＝ ＋ ＝ .3222 5242 61165．解：(1)设 f(n)＝ ＝ ，9n2－ 9n＋ 29n2－ 1 3n－ 23n＋ 1令 n＝10，得 a10＝f(10)＝ .2831(2)令 ＝ ，得 9n＝300，3n－ 23n＋ 1 98101此方程在自然数集内无解，所以 不是该数列中的项．98101(3)证明：∵a n＝ ＝1－ ，3n－ 23n＋ 1 33n＋ 1又∵n∈N *，∴0＜ ＜1.33n＋ 1∴0＜a n＜1.(4)令 ＜a n＝ ＜ .13 3n－ 23n＋ 1 23∴Error!即Error!∴ ＜n＜ .76 83∴当且仅当 n＝2 时上式成立．11故区间( ， )上有数列中的项，且只有一项为 a2＝ .13 23 4712．1.2 数列的递推公式(选学)整体设计教学分析 本节作为选学内容，课标对递推公式没有明确要求．考虑到它在认识数列中的作用，教材把它单列一节作为选学．实际上，递推公式作为数列的一种表示方法，有其独特的作用，高考试卷中常常见到它的踪影，因此，教学中还是把它作为必学内容对待为好．数列作为刻画自然规律的基本数学模型，教材意图是用函数的观点和递推的观点理解数列．同上节一样本节也是通过一些例子及章头前言中的事例来引入递推公式．并通过例题，让学生明确数列的递推公式应包括数列的首项和公式本身．没有首项，就没有递推的基础，没有递推公式则无法向后延续．让学生体会，给出首项和递推公式，就可唯一确定一个数列．数列的递推公式也是数列的一种表示方法，它与数列的通项公式紧密相连，但作为开始认识数列，本节不宜过分拓展，加大难度，仅限于理解递推公式的定义，并能用数列的首项和递推公式写出数列的后续各项即可．三维目标 1．通过本节学习，理解数列递推公式的意义，理解递推公式与通项公式的异同．会根据数列的首项和递推公式写出数列的后续各项．2．通过探究、交流、观察、分析等教学方式，充分发挥学生的主体作用，并通过思考与讨论本章章头左图中的说明，体会数学来源于生活．3．通过对数列递推公式的探究，培养学生动手试验，大胆猜想的优秀品质，培养学生对科学的探究精神和严肃认真的态度．重点难点 教学重点：理解用递推公式定义数列的方法；能用递推公式和首项写出数列的后续各项．教学难点：利用数列的递推公式和首项，猜想该数列的通项公式．课时安排 1 课时教学过程导入新课 2思路 1.(章头图引入)让学生观察章头图中左图兔子的繁殖情况．假设每次生出的小兔子都是一雄一雌，并且排除兔子发生死亡的情况，这样每个月兔子的对数，依次可以排成一个数列，你能把这个数列的每一项(第一项除外)用前一项表示出来吗？由此展开新课的探究．思路 2.(直接引入)我们知道数列 1,2,3,4，…可用通项公式 an＝n 表示．容易发现，这个数列从第 2 项起的任一项都可用它的前一项表示出来，即 an＝a n－1 ＋1(n≥2)，这就是数列的另一种表示方法，也就是今天我们探究的主要内容：递推公式．由此展开探究．推进新课 Error!Error!(1)多媒体演示图 1，是工厂生产的钢管堆放示意图，你能写出它的一个通项公式吗？你能找出它的相邻两层之间的关系吗？(2)数列{a n}的通项公式是 an＝2n.从第 2 项起，它的任一项与它相邻的前一项有什么关系？章头数列 3， …从第 2 项起，它的任一项与它相邻的前一项有什么1coscoscos关系呢？(3)怎样理解递推公式？若已知数列 an＝2a n－1 ＋1，你能写出这个数列吗？为什么？活动：教师用多媒体演示工厂生产的钢管堆放示意图．引导学生观察钢管堆放示意图，寻其规律，看看能否建立它的一些数学模型．由学生合作探究，必要时教师给予点拨．模型一：自上而下第 1 层钢管数为 4，即 14 ＝1＋3；第 2 层钢管数为 5，即 25 ＝2＋3；第 3 层钢管数为 6，即 36 ＝3＋3；第 4 层钢管数为 7，即 47 ＝4＋3；第 5 层钢管数为 8，即 58 ＝5＋3；第 6 层钢管数为 9，即 69 ＝6＋3；第 7 层钢管数为 10，即 710 ＝7＋3.若用 an表示钢管数，n 表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且3an＝n＋3(1≤n≤7)．模型二：上下层之间的关系自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多 1，即 a1＝4；a 2＝5＝4＋1＝a 1＋1；a 3＝6＝5＋1＝a 2＋1.依此类推：a n＝a n－1 ＋1(2≤n≤7)．在教师的引导点拨下，学生最终能得到以上两种数学模型，教师适时给以点评．首先表扬学生的这种探究问题的精神，不怕困难敢于钻研，而且推得两个很重要的结论．对于推得的 an＝n＋3，只要将 n 的具体值代入，我们就会很快地求出某一层的钢管数．因为这一关系反映了每一层的钢管数与其层数之间的对应规律，这会给我们的统计与计算带来很大方便，这是由特殊到一般的数学思想方法的运用，是非常正确和成功的．对于推得an＝a n－1 ＋1(2≤n≤7 且 n∈N *)的同学就更值得表扬，因为这是我们没有见过的，这就是创新，这就是聪明智慧的闪现．这个关系式说明：只要知道 a1，则以后的每一项都等于它的前项加 1，这样就可以求出第二项，以此类推即可求出其他项．这就是我们今天要探究的一个重点内容，也就是数列的另一种表示法，递推公式法．我们把数列中具有这种递推关系的式子叫做递推公式．递推公式很重要，显然教材上涉及的内容不多，但在每年的高考卷上都有所体现，应引起注意．下一节要学习的等差数列就是最简单的递推数列．引导学生给递推公式这样下定义：通过给出数列的第一项(或前若干项)，并给出数列的某一项与它的前一项(或前若干项)的关系式来表示数列，这种表示数列的式子叫做这个数列的递推公式．注意：递推公式也是给出数列的一种方法．如下列数字排列的一个数列：3,5,8,13,21,34,55,89，递推公式为 a1＝3，a 2＝5，a n＝a n－1 ＋a n－2 (3≤n≤8)．掌握递推公式的关键一点是把握其中的递推关系，应特别注意探究和发现递推关系中前项和后项，或前、后几项之间的关系．有了以上探究活动，学生很容易探究出问题(2)(3)，至此，学生对数列的表示方法有了全面的理解，为数列的后续内容的学习打下了坚实的基础．讨论结果：(1)略(2)a1＝2，a n＝2a n－1 (n＝2,3,4，…)；数列 3，a 1＝1，a n＝cos(a n－1 )(n＝2,3,4，…)．(3)递推公式包括已知的第 1 项(或前几项)才能写出这个数列的后续各项．前者是递推4的基础，后者是递推的延续．因此仅知 an＝2a n－1 ＋1 无法写出这个数列的各项．Error!例 1 已知 a1＝2，a n＋1 ＝2a n，写出前 5 项，并猜想 an.活动：根据 a1＝2 及 an＋1 ＝2a n，学生很容易求出前 5 项，分别是 2,4,8,16,32.由观察可猜想 an＝2 n，这种解法在选择题或填空题中是非常有效的，但若改为求 an，这种解法则是不完整的．由 ＝2，可得到以下解法：anan－ 1× × ×…× ＝ ＝2 n－1 ，anan－ 1 an－ 1an－ 2 an－ 2an－ 3 a2a1 ana1∴a n＝2 n.解：∵a 1＝2，a n＋1 ＝2a n，∴a 2＝2×a 1＝4，a3＝2×a 2＝8，a4＝2×a 3＝16，a5＝2×a 4＝32.∵a 2＝2×2＝2 2，a 3＝2×2 2＝2 3，a 4＝16＝2 4，∴猜想 an＝2 n.变式训练已知 a1＝2，a n＋1 ＝a n－4，求 an.解：由 an＋1 －a n＝－4 依次向下写，一直到第一项，然后将它们加起来，a n－a n－1 ＝－4an－1 －a n－2 ＝－4an－2 －a n－3 ＝－4……＋  a2－ a1＝ － 4an－ a1＝ － 4 n－ 1∴a n＝2－4(n－1)．例 2(教材本节例 1)活动：本例由学生自己完成，并通过本例边注中的提问，让学生进一步体会数列两种5表示方法的特色，用递推公式写出数列的前几项后，引导学生观察、归纳并猜想该数列的通项公式，虽有一定难度，但学生应有这个能力．教师可引导学生分析，如果不代入 a1的值，由依次计算的结果可能更容易看到 an与 n 的函数关系：a2＝ ；a 3＝ ，a 4＝ ，a 5＝ ，…，a n＝ ＝a11－ a1 a11－ 2a1 a11－ 3a1 a11－ 4a1 a11－  n－ 1 ·a1.23－ 2n变式训练已知数列{a n}的递推公式是 an＋2 ＝3a n＋1 －2a n，且 a1＝1，a 2＝3.求：(1)a 5；(2)127 是这个数列中的第几项？解：(1)∵a 1＝1，a 2＝3，a n＋2 ＝3a n＋1 －2a n，∴a 3＝3a 2－2a 1＝7，a4＝3a 3－2a 2＝15，a5＝3a 4－2a 3＝31.(2)由递推公式，可得 a6＝3a 5－2a 4＝63，a 7＝3a 6－2a 5＝127，∴127 是此数列的第 7 项．例 3(教材本节例 2)活动：本例为数列这一大节的最后一个教材例题，具有一定的综合性，难度较大．要求学生有较坚实的数形结合基础和解题能力．这种解题的综合能力，要努力去训练，学生才能掌握．具体讲解时，可把 P1，P 2，P 3的坐标都写出来让学生观察发现 an与 an＋1 间的关系．变式训练在数列{a n}中，a 1＝2，a n＋1 ＝a n＋ln(1＋ )，则 an等于( )1nA．2＋lnn B．2＋(n－1)lnnC．2＋nlnn D．1＋n＋lnn答案：A解析：方法一，由 a2＝a 1＋ln2＝2＋ln2，排除 C、D；由 a3＝a 2＋ln(1＋ )126＝2＋ln3，排除 B.故选 A.方法二，由已知，a n＋1 －a n＝ln ，a 1＝2，n＋ 1n∴a n－a n－1 ＝ln ，a n－1 －a n－2 ＝ln ，nn－ 1 n－ 1n－ 2…a2－a 1＝ln ，21将以上 n－1 个式子累加得an－a 1＝ln ＋ln ＋…＋lnnn－ 1 n－ 1n－ 2 21＝ln( · ·…· )＝lnn，nn－ 1 n－ 1n－ 2 21∴a n＝2＋lnn.例 4 如图甲是第七届国际数学教育大会的会徽，会徽的主体图案是由如图乙所示的一连串直角三角形演化而成，其中 OA1＝A 1A2＝A 2A3＝…＝A 7A8＝1，记OA1，OA 2，OA 3，…，OA 7，OA 8的长度所在的数列为{l n}(n∈N *,1≤n≤8)．甲乙(1)写出数列的前 4 项；(2)写出数列{l n}的一个递推关系式；(3)求{l n}的通项公式；(4)如果把图中的三角形继续作下去，那么 OA9，OA 2 007的长度分别是多少？活动：本例虽然题干看起来很繁杂，但难度并不大，可让学生独立探究解决，学生充分理解题意后会很快完成第(1)问，关于递推公式，教师可点拨学生递推公式的关键是递推7关系，也就是前项和后项的关系，这是递推公式的核心所在．教师可借此进一步向学生点拨：①数列的递推公式是由初始值和相邻几项的递推关系确定的，如果只有递推关系而无初始值，那么这个数列是不能确定的．②递推公式是给出数列的一种方法，由递推公式可能求出数列的通项公式，也可能求不出通项公式．解：(1)l 1＝OA 1＝1，l 2＝OA 2＝ ，l 3＝OA 3＝ ，l 4＝OA 4＝2.2 3(2)通过观察图形，可知：OA n＋1 ，OA n,1 组成直角三角形，而 OAn＋1 ＝l n＋1 ，OA n＝l n.∴由勾股定理可得 l ＝l ＋1(n∈N *,1≤n≤8)．2n＋ 1 2n(3)ln＝ .n(4)OA9＝l 9＝3，OA 2 007＝ ＝3 .2 007 223点评：递推关系在教材上的要求并不高，仅是明了递推公式是数列的一种表示方法，并能根据给出的数列递推公式写出其中的几项，对繁难复杂的递推公式，如 3 项或 2 项以上的递推公式不作要求．Error!1．若数列{a n}前 n 项的值各异，且 an＋8 ＝a n对任意的 n∈N *都成立，则下列数列中可取遍{a n}的前 8 项值的数列为( )A．{a 2n＋1 } B．{a 3n＋1 } C．{a 4n＋1 } D．{a 6n＋1 }2．已知 an＝a n－2 ＋a n－1 (n≥3)，a 1＝1，a 2＝2，b n＝ ，则数列{b n}的前 4 项依次anan＋ 1是__________．答案：1．B 解析：取 k＝0,1,2，…，8 验证，周期为 8.2．前 4 项依次是 ，，， .122335 58Error!1．先由学生自己总结归纳本节课所学到的数学知识，即数列的简单表示法：通项公式、列表法、图象法、简单的递推公式法．探求和发展了数列的各项之间的关系及其规律，并用合适的表示法来表示这种规律．2．教师强调，通过例题进一步明确了数列的图象是一些离散的点，并通过实际例子探究出数列的递推公式．由于教材内容对此要求不高，因此我们在例题或习题的难度上作了严格的控制，但要熟悉常用的基本方法．8Error!课本本节习题 2—1 A 组 7、8；习题 2—1 B 组 4，第 5 题选做．设计感想本教案设计遵循生活是源，数学是流的规律，对数学概念的探究都是在日常生活实例的背景下进行的．如递推数列是通过工厂堆放的钢管数呈现的．目的是让学生感受到数学离不开生活，生活离不开数学．本教案设计思路体现了新课程理念，遵循学生的认知规律，让学生自主学习，经历数学活动，体验数学过程，以活泼、清新、富于理性思维的内容参与教学，拓展空间，激活思维．同时使学生借助递推思想，有效提高学生分析问题、解决问题的能力，培养学生严密的思维习惯，促进个性品质的良好发展．本教案设计力图展示：教为主导，学为主体，思维训练为主线的教学理念．数学课堂的最后呈现标准不是学生成为解题能手，成为听话的乖绵羊，而是让学生体会到数学的实用价值，一种文化价值．当你醉心于数学课堂时，数学课堂便呈现给你一种美景：那就是活生生的数学，那就是内在神奇而奥妙，外在冷傲而绝美，由大自然抽象出来的自然科学的皇后——数学．备课资料一、探究求数列通项公式的方法求通项公式是学习数列的一个难点，由于求通项公式时需用到多种数学思想方法，因此求解过程中往往方法多，灵活性大，技巧性强，为了学生课余时间进一步探究，现举几例，以供参考．1．观察法已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项．【例 1】 已知数列 ，，－ ， ，－ ， ，…，写出此数列的一个通项公式．1214 581316 29326164解：观察数列前若干项可得通项公式为 an＝(－1) n .2n－ 32n2．公式法已知数列的前 n 项和求通项时，通常用公式 an＝Error!用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二” ，即分段式；另一种是“合二为一” ，即 a1和 an合为一个表达式．9【例 2】 已知数列{a n}的前 n 项和 Sn满足 log2(Sn＋1)＝n＋1，求此数列的通项公式．解：由条件可得 Sn＝2 n＋1 －1，当 n＝1 时，a 1＝3，当 n≥2 时，a n＝S n－S n－1 ＝2 n＋1 －2 n＝2 n.所以 an＝Error!3．累差迭加法若数列{a n}满足 an＋1 ＝a n＋f(n)的递推式，其中 f(n)又是等差数列或等比数列，则可用累差迭加法求通项．【例 3】 已知数列 6,9,14,21,30，…，求此数列的通项．解：∵a 2－a 1＝3，a 3－a 2＝5，a 4－a 3＝7，…，a n－a n－1 ＝2n－1，各式相加得 an－a 1＝3＋5＋7＋…＋(2n－1)，∴a n＝n 2＋5(n∈N)．4．连乘法若数列{a n}能写成 an＝a n－1 f(n)(n≥2)的形式，则可由 an＝a n－1 f(n)，an－1 ＝a n－2 f(n－1)，a n－2 ＝a n－3 f(n－2)，…，a 2＝a 1f(2)连乘求得通项公式．【例 4】 已知数列{a n}满足 a1＝1，S n＝ (n∈N)，求{a n}的通项公式． n＋ 1 an2解：∵2S n＝(n＋1)a n(n∈N)，2Sn－1 ＝na n－1 (n≥2，n∈N)，两式相减得 2an＝(n＋1)a n－na n－1 ，∴ ＝ (n≥2，n∈N)．anan－ 1 nn－ 1于是有 ＝ ， ＝ ， ＝ ，…， ＝ (n≥2，n∈N)，a2a1 21 a3a2 32 a4a3 43 anan－ 1 nn－ 1以上各式相乘，得 an＝na 1＝n(n≥2，n∈N)．又 a1＝1，∴a n＝n(n∈N)．5．求解方程法若数列{a n}满足方程 f(an)＝0 时，可通过解方程的思想方法求得通项公式．【例 5】 已知函数 f(x)＝2 x－2 －x ，数列{a n}满足 f(log2an)＝－2n，求数列{a n}的通项公式．10解：由条件 f(log2an)＝2log 2an－2－log 2an＝－2n，即 an－ ＝－2n.1an∴a ＋2na n－1＝0.2n又 an＞0，∴a n＝ －n.n2＋ 16．迭代法若数列{a n}满足 an＝f(a n－1 )，则可通过迭代的方法求得通项公式．二、备用习题1．已知数列{a n}中，a 1＝1，a 2＝3，a n＝a n－1 ＋ (n≥3)，则 a5等于( )1an－ 2A. B. C．4 D．55512 1332．已知数列{a n}的首项 a1＝1，且 an＝－ an－1 (n≥2，且 n∈N *)，则 a4等于… ( )12A．－1 B. C. D．－12 1724 183．设{a n}是首项为 1 的正项数列，且(n＋1)a －na ＋a n＋1 ·an＝0(n∈N *)，则它2n＋ 1 2n的通项公式 an＝__________.4．设数列{a n}中，a 1＝2，a n＋1 ＝a n＋n＋1，则通项 an＝__________.5．已知 an＝ (n∈N *)，则在数列{a n}中的前 30 项中，最大项和最小项分别是n－ 98n－ 99__________．6．一只猴子爬一个 8 级的梯子，每次可爬一级或上跃二级，最多能上跃起三级，从地面上到最上一级，你知道这只猴子一共可以有多少种不同的爬跃方式吗？参考答案：1．A 解析：a 3＝a 2＋ ＝4，a 4＝a 3＋ ＝ ，a 5＝a 4＋ ＝ .1a1 1a2 133 1a3 55122．D 解析：a 2＝－ a1＝－ ，a 3＝－ a2＝ ，a 4＝－ a3＝－ .12 12 12 14 12 183. 解析：由已知可求得 a2＝ ，a 3＝ ，a 4＝ ，由此可猜想 an＝ .1n 12 13 14 1n4. ＋1 解析：由题意得，当 n≥2 时，a n＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)n n＋ 12＋…＋(a n－a n－1 )＝2＋ ＝ ＋1.当 n＝1 时，也符合上式．因此， n－ 1  2＋ n2 n n＋ 12an＝ ＋1.n n＋ 125．a 10，a 9 解析：a n＝ ＝1＋ ，n－ 98n－ 99 99－ 98n－ 9911当 1≤n≤9 时， ＜0 ，a n为递减函数；99－ 98n－ 99当 n≥10 时， ＞0， an为递减函数．99－ 98n－ 99∴最大项为 a10，最小项为 a9.6．解：这题是一道应用题，本题难在爬梯子有多种形式，到底是爬一级还是上跃二级等情况要分类考虑周到．爬一级梯子的方法只有一种．爬一个二级梯子的方法有两种，即一级一级爬是一种，还有一次爬二级，所以共有两种．若设爬一个 n 级梯子的不同爬法有 an种，则 an＝a n－1 ＋a n－2 ＋a n－3 (n≥4)，则得到 a1＝1，a 2＝2，a 3＝4 及 an＝a n－1 ＋a n－2 ＋a n－3 (n≥4)，就可以求得 a8＝81.