1、1第 3 章 数系的扩充与复数的引入学习目标 1.掌握复数的代数表示形式及其有关概念.2.掌握复数的模的概念及其计算公式,会用复数模的几何意义解题.3.理解复数加减法的几何意义,并能进行复数的加减乘除运算知识点一 复数的有关概念1定义:形如 a bi(a, bR)的数叫做复数,其中 a 叫做_, b 叫做_(i为虚数单位)2分类:满足条件( a, b 为实数)a bi 为实数_a bi 为虚数_复数的分类a bi 为纯虚数_3.复数相等: a bi c di_(a, b, c, dR)4共轭复数: a bi 与 c di 共轭_( a, b, c, dR)5模:向量 的模叫做复数 z a bi
2、 的模,记作_或_,即OZ |z| a bi|_( a, bR)知识点二 复数的几何意义复数 z a bi 与复平面内的点_及平面向量 ( a, b)(a, bR)是一一对应OZ 关系知识点三 复数的运算1运算法则:设 z1 a bi, z2 c di, a, b, c, dR2几何意义:复数加减法可按向量的平行四边形法则或三角形法则进行2如图给出的平行四边形 OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义,即_, _.OZ Z1Z2 类型一 分类讨论思想的应用例 1 实数 k 为何值时,复数(1i) k2(35i) k2(23i)满足下列条件?(1)是实数;(2)是虚数;(3)是纯虚数反思
3、与感悟 往往以复数分类为载体考查分类讨论思想,复数 z a bi(a, bR)Error!其中纯虚数中“ b0”这个条件易被忽略,学习中应引起足够的注意跟踪训练 1 (1)设 i 是虚数单位,复数 为纯虚数,则实数 a 为_1 ai2 i(2)若复数( a2 a2)(| a1|1)i( aR)不是纯虚数,则_类型二 复数的四则运算例 2 (1)计算: ( )3 204; 23 i1 23i 21 i(2)已知复数 z 满足( z )3 z i13i,求复数 z.z z3反思与感悟 (1)进行复数乘除运算,注意 i 的性质的活用(2)设出复数的代数形式,转化为实数运算(3)设 i, 31, 2
4、10, 2 .12 32 跟踪训练 2 计算:(1) ; 2 2i 4 1 3i 5(2) ( )2 006. 23 i1 23i 21 i类型三 数形结合思想的应用例 3 若 i 为虚数单位,如图所示复平面内点 Z 表示复数 z,则表示复数 的点是z1 i_4反思与感悟 根据图形观察 Z 点的坐标,则复数 z 易得,根据复数的四则运算求出 ,z1 i则它对应的点由该复数的实部和虚部惟一确定跟踪训练 3 已知复数 z1i(1i) 3.(1)求| z1|;(2)若| z|1,求| z z1|的最大值1i 为虚数单位,设复数 z1, z2在复平面内对应的点关于原点对称,若 z123i,则z2_.2
5、设 i 为虚数单位,则 _.1i 1i2 1i3 1i43若复数 z( a2)3i( aR)是纯虚数,则 _.a i1 ai54已知 z m3(2 m1)i(2 m1),则| z|的最大值是_1准确理解虚数单位、复数、虚数、纯虚数、共轭复数、实部、虚部、复数的模等概念2复数四则运算要加以重视,其中复数的乘法运算与多项式的乘法运算类似;对于复数的除法运算,将分子分母同时乘以分母的共轭复数最后整理成 a bi(a, bR)的结构形式3复数几何意义在高考中一般会结合复数的概念、复数的加减运算考查复数的几何意义、复数加减法的几何意义6答案精析问题导学知识点一1实部 虚部2 b0 b0 a0 且 b03
6、 a c 且 b d4 a c, b d5| a bi| | z| a2 b2知识点二Z(a, b)知识点三1( ac)( bd)i ( ac bd)( bc ad)i i(c di0)ac bdc2 d2 bc adc2 d22. OZ1 OZ2 OZ2 OZ1 题型探究例 1 解 (1i) k2(35i) k2(23i)( k23 k4)( k25 k6)i.(1)当 k25 k60,即 k6 或 k1 时,该复数为实数(2)当 k25 k60,即 k6 且 k1 时,该复数为虚数(3)当Error!即 k4 时,该复数为纯虚数跟踪训练 1 (1)2 (2) a1解析 (1)方法一 为纯虚
7、数,所以1 ai2 i 1 ai 2 i 2 i 2 i 2 a 2a 1 i52 a0, a2.方法二 为纯虚数,所以 a2.1 ai2 i i a i2 i(2)a2 a20 或Error!a1 且 a2 或 a2.综上可知, a1.例 2 解 (1) ( )3 204 23 i1 23i 21 i 1 602 23 i 1 23i12 23 2 2 1 i 2 ( )1 602i(i) 1 602ii 21i.13i13 1i7(2)设 z x yi(x, yR),则 x yi,z代入条件得 2x(3 x23 y2)i13i,Error!解得Error! z i.12 32跟踪训练 2
8、解 (1) 2 2i 4 1 3i 5 24 1 i 4 2 5 12 32i 5 2( i)1 i.24 2i 225 12 32i 2 12 32 3(2) ( )2 006 23 i1 23i 21 i 23 i i 1 23i i 21 003 2i 1 003 i ii0. 23 i ii 23 1i1 003 1 i例 3 H解析 由图示可知, z3i, 2i,z1 i 3 i1 i 3 i 1 i 1 i 1 i 4 2i2该复数在复平面内对应的点的坐标是(2,1),即点 H.跟踪训练 3 解 (1)方法一 z1i(1i) 3(i1)(1i) 22(1i)22i,|z1| 2 .
9、22 2 2 2方法二 | z1|i(1i) 3|i|1i| 32 .2(2)如图所示,由| z|1 可知, z 在复平面内对应的点的轨迹是半径为 1,圆心为 O(0,0)的圆,而 z1对应着坐标系中的点 Z1(2,2)所以| z z1|的最大值可以看成是点 Z1到圆上的点的距离的最大值由图知| z z1|max| z1| r(r 为圆半径)2 1.2达标检测123i解析 (2,3)关于原点的对称点是(2,3), z223i.208解析 i1i10.1i 1i2 1i3 1i43. i45 35解析 z a23i( aR)是纯虚数, a2, i.a i1 ai 2 i1 2i 2 i 1 2i5 45 3545解析 | z| , m 3 2 2m 1 2 5 m 1 2 52 m1, m1 时,| z|max5.