1、第七章 弯曲变形一、授课学时:4学时二、重点与难点:重点:推导;积分法的求解过程.难点:积分法 的边界条件,光滑连续条件的确定;叠加法的技巧应用重点处理: 利用数学知识，讲解积分法的求解过程，对积分过程的每一步都详细说明其由来和注意的知识点,推导完毕后再总结分析.难点处理:多举几个典型例子,说明边界条件的重要意义,通过习题课的提问,讨论解决.通过例题讲解叠加法的求解方法，并在解题过程中，详细说明该方法容易出错的地方，并对不同的问题进行对比分析，让学生掌握叠加法的思想。二、 主要内容:（一） 概述Pxyxy关于梁的弯曲变形，可以从梁的轴线和横截面两个方面来研究。图所示一根任意梁，以变形前直梁的轴
2、线为轴，垂直向上的轴为轴，建立右手直角坐标系。当梁在面内发生弯曲时，梁的轴线由直线变为面内的一条光滑连续曲线，称为梁的挠曲线，或弹性曲线。第六章中曾经指出，梁弯曲后横截面仍然垂直于梁的挠曲线，因此，当梁发生弯曲时梁的各个截面不仅发生了线位移，而且还产生了角位移，如图7-5所示。 横截面的形心在垂直于梁轴（轴）方向的线位移，称为横截面的挠度，并用符号表示。有时也用符号表示某一特定截面挠度的绝对值。关于挠度的正负符号，在图示右手坐标系下，规定挠度向上（与轴同向）为正；向下（与轴反向）为负。应该指出，由于梁在弯曲时长度不变，横截面的形心在沿梁轴方向也存在线位移。但在小变形条件下，这种位移极小，可以忽
3、略不计。梁弯曲时，各个截面的挠度是截面形心坐标的函数，即有 上式是挠曲线的函数表达式，亦称为挠曲线方程。 横截面的角位移，称为截面的转角，用符号表示。从图中可以看到，截面的转角等于挠曲线以点的切线与轴的夹角。关于转角的正负符号，规定在图示右手坐标系中从轴逆时针转到挠曲线的切线形成的转角为正的；反之，为负的。 显然，转角也是随截面位置不同而变化的，它也是截面位置的函数，即 此式称为转角方程。工程实际中，小变形时转角是一个很小的量，因此可表示为 综上所述，求梁的任一截面的挠度和转角，关键在于确定梁的挠曲线方程（二） 挠曲线近似微分方程对细长梁，梁上的弯矩和相应截面处梁轴的曲率半径均为截面位置的函数
4、，因此，梁的挠曲线的曲率可表为即梁的任一截面处挠曲线的曲率与该截面上的弯矩成正比，与截面的抗弯刚度EI成反比。 另外，由高等数学知，曲线任一点的曲率为显然，上述关系同样适用于挠曲线。比较上两式，可得 上式称为挠曲线微分方程。这是一个二阶非线性常微分方程，求解是很困难的。而在工程实际中，梁的挠度和转角数值都很小，因此，之值和1相比很小，可以略去不计，于是，该式可简化为式中左端的正负号的选择，与弯矩的正负符号规定及坐标系的选择有关。根据弯矩的正负符号规定，当梁的弯矩时，梁的挠曲线为凹曲线，按图示坐标系，挠曲线的二阶导函数值；反之，当梁的弯矩时，挠曲线为凸曲线，在图示坐标系中挠曲线的。可见，在图示右
5、手坐标系中，梁上的弯矩M与挠曲线的二阶导数符号一致。所以，上式的左端应取正号，即 上式称为挠曲线近似微分方程。实践表明，由此方程求得的挠度和转角，对工程计算来说，已足够精确。（三） 积分法求弯曲变形梁的挠曲线近似微分方程可用直接积分的方法求解。将挠曲近似微分方程积分，可得梁的转角方程为 再积分一次，即可得梁的挠曲线方程式中和为积分常数，它们可由梁的约束所提供的已知位移来确定。当梁的载荷较多或截面的形状，尺寸沿梁轴改变时，各段梁的挠曲近似微分方程也不相同。这样，在求梁的变形时就要分段写出不同的挠曲近似微分方程，积分后，除了利用梁的边界条件来确定部分积分常数外，同时还必须考虑挠曲线的光滑连续性，即
6、利用各梁段交界处梁的挠曲线的连续条件来确定其余的积分常数例.所示简支梁受集中力作用，试求该梁的最大挠度和转角。ABCp解：求反力并列梁的弯矩方程 简支梁的支反力为 按图所示坐标系，分两段列出梁的弯矩方程为： 段 段 列出梁的各段的挠曲线近似微分方程并积分 将和两段的挠曲线近似微分方程及积分结果，列表如下。段段 在梁段，对含有的项积分时，就以作为自弯量进行积分，这样可以使确定积分常数的计算得到简化。 确定积分常数 积分出现的4个积分常数、和、，需要四个条件来确定。由于梁的挠曲线应该是一条光滑连续的曲线，因此，在和两段挠曲线的交界截面处，挠曲线应有唯一的挠度和转角。即挠曲线在截面的连续条件为当时，
7、 即： 由上两式解得此外，梁在、两端的边界条件为时， 时， 即： 解得 梁和段的转角方程和挠曲线方程列于下表：AC段 CB段 求梁的最大挠度和转角 在梁的左端截面的转角为 在梁右端截面的转角为 当时，可以断定为最大转角。 为了确定挠度为极值的截面，先确定截面的转角若，则转角。段挠曲线为光滑连续曲线，而，当转角从截面到截面连续地由负值变为正值时，段内必有一截面转角为零。为此，令，即解得的转角为零，亦即挠度最大的截面位置。由段的挠曲线方程可求得梁的最大挠度为（四）叠加法求梁的变形积分法是求梁变形的基本方法。利用此方法求任意截面的挠度和转角时，必须先求出梁的挠曲线方程和转角方程。当梁上同时作用若干个
8、载荷，而且只需要求出某些特定截面（如挠度为最大，或转角为最大的截面）的挠度和转角时（不需要知道挠曲线方程和转角方程），积分法就显得繁琐。在这种情况下，用叠加法求梁的变形要方便得多。在第五章介绍用叠加法作弯矩图时，曾介绍了材料力学的一个普遍原理叠加原理。在线弹性小变形前提下，构件的支反力、内力、应力和变形都可以用叠加法的方法计算。 弯曲变形时，梁的挠度与转角都与载荷成线性关系。且可统一表示为如下形式： 因此，可以用叠加法计算梁的弯曲变形。当梁上有几个载荷共同作用时，可以分别计算梁在每个载荷单独作用时的变形，然后进行叠加，即可求得梁在几个载荷共同作用时的总变形。应用叠加法求梁的变形时，若已知梁在简
9、单载荷作用时的变形，是很方便的。为此，将梁在简单载荷作用下的变形汇总在书表7-2 中，以便直接查用例1.用叠加法求B点挠度和转角F=qlABxylqlBxyqABxylF=qlA解：（1）分解载荷 载荷分解为F、q（2）查表叠加 PPP例2. 用叠加法求C点挠度2aaABCfc1ABCfc2ABC刚化BC 刚化AB解：分离变形体刚化BC 刚化AB 例1解决的是复杂载荷问题，是利用载荷的分解，来实现变形的分解，利用载荷的叠加实现变形的叠加，这种方法我们称为载荷叠加法。例2解决的是复杂梁的问题，是利用分离变形体的叠加，实现变形的叠加，在解决复合梁，连续梁，阶梯梁的变形中，有很好的作用，这种方法我们称为变形叠加法。用叠加法求梁的变形时，一定要保证在叠加过程中所求截面的位移和原结构中该截面的真实位移等效。同时，在叠加过程中要能够利用已知的梁的变形的现在资料直接进行叠加。还应注意，在叠加时不要漏掉因杆件的刚性转动而引起的截面的位移。
