1、平面向量的数量积及其应用举例教学设计 平面向量专题复习【授课教师】数学组 刘秋凤【授课年级】高一6【授课时间】2011年5月26日（星期二）下午第3节一、 教学内容分析平面向量的数量积是普通高中课程标准实验教科书数学必修4（A版）第二章平面向量的核心内容。向量的平行、垂直关系是向量间最基本、最重要的位置关系，而向量的夹角、距离又是向量的重要数量特征，向量的数量积恰好是解决这类问题的一个重要工具。因此，有必要对平面向量数量积进行一个专题复习，以巩固学生对数量积的定义及运算律的理解，尤其是数量积的应用。二、学生学习情况分析学生在学习本单内容之前，已熟知了向量的概念及其线性运算，并且初步体会了数量积
2、运算的一般方法，但是对数量积的广泛应用还存在一定的困难,教学中老师要注意引导学生分析判断。三、设计思想遵循新课标以人为本的理念，以启发式教学思想和建构主义理论为指导，采用探究式教学，以多媒体手段为平台，利用问题让学生自主地参与探究，在探究过程中注重学生学习过程的体验和数学能力的发展，引导学生积极将知识融入自己的知识体系。课时安排：一课时四、渗透校训、德育教育本节课通过情境体验与参与，使学生感知前后知识的联系。在教学时，在训练学生思维的基础上培养他们良好的思维习性，培养其自信心和承受挫折的能力，有效地渗透德育教育，实现我校校训中“争时、励志、敦品、笃学”的目标。五、教学目标1.知识与技能目标：体
3、会平面向量的数量积的概念，理解掌握数量积的性质和运算律，并能运用性质和运算律进行相关的判断和运算，掌握数量积的综合应用，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。2.过程与方法目标：通过数量积概念及性质、运算律的复习，探究数量积的综合应用，渗透类比、转化、数形结合的数学思想，提高学生思辨、推理、运算的能力。3.情感态度价值观：在探索中激发学生的学习兴趣，体会数形结合的和谐美，实数与数量积运算的差异美；体会联想和类比的科学探索方法，体验成功的喜悦的同时学会学习。六、教学重点和难点1.教学重点：平面向量数量积的概念及运算律的理解，平面向量数量积的应用。2.教学难点：用向量数量积的知识，实现几何与代数
4、之间的等价转化。 七、教学过程 教学内容教学活动设计意图教师活动学生活动一、梳理基础知识 (1)我们是如何定义平面向量数量积，定义中涉及哪些量？它们有怎样的关系？运算结果是向量还是数量？(2)数量积有哪些运算律？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算律的？(3) 请同学们继续回忆，数量积有哪些运算性质？我们上课重点强调的又有哪几个？(4)向量数量积、模长及夹角的余弦如何用坐标表示？二、典例分析题型一、平面向量数量积的运算 【例1】下面四个命题中，真命题的个数是()若ab0，则ab；若abbc且b0，则ac；(ab)ca(bc)；(ab)2a2b2.A.4 B.2 C.1 D.3题型二、用平面向量
5、数量积解决平面向量的夹角、模、平行与垂直问题【例2】(2009宁夏、海南卷)已知点O，N，P在ABC所在平面内，且|，0，则点O，N，P依次是ABC是( )A重心、外心、垂心 B重心、外心、内心C外心、重心、垂心 D外心、重心、内心【例3】已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61.(1)求a与b的夹角；(2)求|ab|；(3)若a，b，求ABC的面积【举一反三】（课练）（2009湖北）已知向量，c=(-1,0)，(1)求向量的长度的最大值；（2）设且，求的值。题型三、平面向量数量积在解析几何中的应用设问：请同学们回忆一下用向量方法解决几何问题一般分为几个步骤？【例4】试证三角形的三条
6、高线交于一点。【例5】例5、已知正方形OABC的边长为1，点D、E分别为AB、BC的中点，求 的值注：这两题分别为配套练习册学海舵手里的例题及练习题型四、平面向量数量积的综合应用【例6】已知OFQ的面积为S，且1.若S0，kR.(1)试用k表示ab；并求出ab的最大值及此时a与b的夹角的值；(2) 当ab取得最大值时求实数使的值最小，并对这一结果作出几何解释。注：本题也是配套练习册学海舵手里的练习，故让学生课后思考，待下一节课再评讲。三、课学练习【巩固练习】1.已知向量OA=(3,-4），OB=(6,-3),OC=(5-m,-3-m),(1)若点A,B，C能构成三角形，求实数m应满足的条件；(
7、2)若ABC为直角三角形，且A为直角，求实数的m值。2、已知，a和b的夹角为，求当向量的夹角是锐角时，的取值范围。四、课堂小结五、布置作业用幻灯片展示问题，引导学生做出正确解答对学生的讨论进行纠错, 讲解正确的解题思路；同时注意利用学生错误这一重要的资源，让学生更容易找到易错点和易混点，从而更清晰、准确地掌握知识。点评思路：要判定O，N，P是ABC的什么心，就是要根据条件和三角形重心、外心、内心、垂心的定义和平面向量的有关知识分析点O，N，P在三角形ABC中的位置点评解题方法：(1)求两个向量的夹角,需求得ab及|a|,|b|或得出它们的关系,注意夹角的取值范围是0,180 ；（2）利用数量积
8、求解模长问题是数量积的重要应用，根据实际合理选择以下公式： ；（3）注意在ABC中，向量的夹角与ABC的内角之间的关系，向量与的夹角为A，而与的夹角为B，这一点考容易出错。点评解题思路，展示正确的解题过程，规范格式。讲述：平面向量数量积也是解决解析几何的一个重要工具，这方面的例题我们在教材中平面几何中的向量方法已讲得很详细，故这节课就不再展开，请同学们自行阅读例4并独立完成例5。强调：用向量法证明几何问题的基本思想是：将问题中有关的线段表示为向量，然后根据图形的性质和特点，应用向量的运算、性质、法则，推出所要求证的结论，要注意挖掘题目中，特别是几何图形中的隐含条件。由学生思考后点评：注意到面积
9、S及均与、的长度和夹角有关，于是我们可考虑用S来表示，再由S的范围求tan的范围；展示完整的解题过程。讲述：本题以向量为起点，结合函数、不等式等有关知识，具有较强的综合性，是本节课的重、难点，请同学们课后认真思考、相互讨论，尝试着解答，我们下一节课再讲评。巡视学生的解答情况后点评，并用幻灯片展示正确的解答过程。总结：（1）本节课我们学习的主要内容是什么？（2）平面向量的数量积有哪些应用？（3）我们是按照怎样的思维模式进行概念的归纳和性质的探究？在运算律的探究过程中，渗透了哪些数学思想？本节的例4、例5、例7回顾旧知识、讨论交流并回答阅读题目，通过思考、类比、探究问题的答案作图，利用数形结合解决
10、问题认真审题，独立思考并讲述解题思路思考、讨论交流在练习册中做下记号，课后思考并独立完成阅读题目并思考，讲述解题思路在练习册做下记号，课后思考并相互探讨思考并自行解答。回顾本节课的主要内容并积极发言课后思考、探讨完成作业回顾已有知识，实现课程资源整合，让学生进一步明晰数量积的概念、运算律、性质，为下面数量积的典例分析做好准备工作。让学生理解不同的运算具有不同的运算律，体会到数学的法则与法则之间的区别与联系，并加深学生对数量积性质的理解考查三角形的重心、外心、内心、垂心的含义和平面向量模的几何意义、向量的线性运算的几何意义及向量数量积的几何意义等有关知识，考查数形结合的数学思想.（1）让学生体会
11、实际解题中运算律的作用，比较向量运算与多项式乘法运算的异曲同工；（2）让学生掌握用数量积求向量的夹角、模长。本题作为学生的课堂练习，结合不等式巩固学生运用数量积计算向量的长度，及运用向量垂直的等价条件解决问题。新课程很强调学生的主体性，通过由学生独立思考得出结论能充分发挥学生的主体性本题是与函数相结合的题目，有新意但不难理解，为下一例题做铺垫，强化学生的类比思想。让学生利用课余时间有足够的时间思考，再由老师评讲效果更好，同时起到培养学生学习的主动性和合作交流的学习习惯的目的。加强巩固学生的练习，通过观察、问答等方式对学生的掌握情况有了进一步的了解和把握。让学生清晰认识整节课内容的研究过程，明白
12、了为什么要学这些内容，学了这些内容可以做什么，这对以后的学习有什么指导意义。通过设计不同层次的作业既使学生掌握基础知识，又使学有余力的学生有所提高，从而达到激发兴趣和“减负”的目的。八、自我反思 本节课教学效果不错，主要是把学习的主动权交还给学生，注意学生的主动探索、思考及师生互动。以梳理基础知识为开端，再结合典型范例，几个例题层层递进，都是把较难的问题转化为已经解决的较易的标准问题，体现了知识和方法上的转化，使得学习内容直观、生动，抓住重点。使学生懂得对已有的知识进行迁移、采用类比的方法让学生主动学习合作交流，体验数学的发现和创造过程，培养学生数学表达和交流的能力。在课堂中会体现自我，学会自己寻找解题的突破口，在探究中学会思考，在合作中学会推进，在观察中学会比较，进而推进整个教学程序的展开。但自我感觉 “讲”的还是偏多了一点，对于学生解题中出现的错误这一资源展开、分析得不够，以后应该更加注意引导。九、点评意见平面向量数量积相关概念、性质及运算律的引入和运用是本节的两个知识点。刘老师在教学设计中，注重知识的发生和发展过程的展现。以问题设计为导向，以知识为载体，引导学生积极思维，循循善诱，发展学生的思维能力。本节课选材具有典型的代表性，刘老师教态自然，重难点突出，能起到引导者的作用，学生积极参与，课堂气氛活跃，是是一节成功的复习课。 数学教研组长：蔡景滨5
