1、黄冈市2015年高三年级元月质量检测理科数学第卷（选择题共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的。）1已知集合，i为虚数单位，若，则复数z的共轭复数的虚部是ABCD考点：交集及其运算；复数代数形式的乘除运算.专题：集合分析：由M与N交集中的元素为4，得到4为M中的元素，即可得到结果解答：解：M=1，2，zi，N=3，4，且MN=4，zi=4，即z=4i，则复数z的共轭复数z的虚部是4，故选：D点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2对于一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽
2、样和分层抽样三种不同的方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为，则ABC D考点：收集数据的方法.分析：根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义即可得到结论解答：解：根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义可知，无论哪种抽样，每个个体被抽中的概率都是相等的，即P1=P2=P3，故选：A点评：本题主要考查简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的性质，比较基础3下列命题中，正确的一个是ABC若成立的必要不充分条件，则成立的充分不必要条件D若，则考点：命题的真假判断与应用.专题：简易逻辑分析：A由于，可得0，即可判断出不正确；B取x=42，x2=2x=16，即可否定；C由于q是p成立的必要不充
3、分条件，其逆否命题为p是q成立的必要不充分条件，进而判断出；D取sinx=，则sin2x+0，即可否定解答：解：A，0，因此不存在x0R，ln（x02+1）0，不正确；B取x=42，x2=2x=16，因此不正确；C由于q是p成立的必要不充分条件，其逆否命题为p是q成立的必要不充分条件，因此q是p成立的充分不必要条件，正确；Dxk（kZ），取sinx=，则sin2x+0，因此不正确故选：C点评：本题考查了函数的性质、简易逻辑的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题4根据如图所示的框图，对大于2的整数N，输出的数列的通项公式是ABCD考点：程序框图.专题：算法和程序框图分析：根据框图的流程判断
4、递推关系式，根据递推关系式与首项求出数列的通项公式解答：解：由程序框图知：ai+1=2ai，a1=2，第4题图数列为公比为2的等边数列，an=2n故选：B点评：本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断递推关系式是解答本题的关键，属于基础题5将函数的图象沿x轴向右平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的取值不可能是ABCD考点：函数y=Asin（x+）的图象变换.专题：三角函数的图像与性质分析：化简函数解析式，再利用函数y=Asin（x+）的图象变换，结合题意，可求得的值解答：解：y=sin（x+）cos（x+）=sin（2x+），将函数y的图象向右平移个单位后得到f（x）=sin
5、（2x+），f（x）为偶函数，+=k+，kZ，=k+，kZ，故选：C点评：本题考查函数y=Asin（x+）的图象变换，考查正弦函数的对称性，突出考查正弦函数与余弦函数的转化，属于中档题6已知O是坐标原点，点，若点为平面区域上的一个动点，则的取值范围是ABCD考点：简单线性规划.专题：不等式的解法及应用分析：作出不等式组对应的平面区域，设z=，求出z的表达式，利用z的几何意义，利用数形结合即可得到结论解答：解：不等式组等价为，作出不等式组对应的平面区域如图：设z=，A（1，1），M（x，y），z=xy，即y=xz，平移直线y=xz，由图象可知当y=xz，经过点D（0，2）时，直线截距最大，此时z
6、最小为z=02=2当直线y=xz，经过点B（1，1）时，直线截距最小，此时z最大为z=11=0故2z0，故选：B点评：本题主要考查线性规划的应用，根据向量数量积的坐标公式求出z的表达式，利用数形结合是解决本题的关键7设分别是等差数列的前n项和，若，则ABCD考点：等差数列的性质.专题：等差数列与等比数列分析：根据等差数列的前n项和的特点和，不妨设Sn=n2，Tn=n（2n+1），分别求出a5和b6，再求出解答：解：由题意得，Sn、Tn分别是等差数列an，bn的前n项和，所以不妨设Sn=n2，Tn=n（2n+1），所以a5=S5S4=2516=9，b6=T6T5=613511=23，则=，故选：
7、D点评：本题考查等差数列的前n项和公式的灵活运用，以及数列的前n项和与数列中项的关系，属于中档题8若a和b是计算机在区间上产生的随机数，那么函数的值域为R（实数集）的概率为ABCD考点：几何概型.专题：概率与统计分析：运用函数f（x）=lg（ax2+4x+4b）的值域为R（实数集），求出a，b的范围，再由几何概概型的概率公式，即可得到解答：解：由已知，a和b是计算机在区间（0，2）上产生的随机数，对应区域的面积为4，因为函数f（x）=lg（ax2+4x+4b）的值域为R（实数集），所以（ax2+4x+4b）能取得所有的正数，所以，解得ab1且a0，对应的区域面积为=（2alna）|=32ln2
8、；由几何概型的公式得；故选B点评：本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出（0，2）上产生两个随机数a和b所对就图形的面积，几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关9已知双曲线=1（ba0），直线l过点A（a，0）和B（0，b），若原点O到直线l的距离为（c为双曲线的半焦距），则双曲线的离心率为（）ABCD2考点：双曲线的简单性质.专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：求出直线的方程，运用点到直线的距离公式，得到方程，结合a，b，c的关系和离心率公式，化简整理即可得到3e416e2+1
9、6=0，解方程即可得到离心率，注意条件0ab，则有e22，注意取舍解答：解：直线l的方程为=1，即为bx+ayab=0，c2=a2+b2，原点O到直线l的距离d=c，即有4ab=c2，即16a2b2=3c4，即16a2（c2a2）=3c4，16a2c216a43c4=0，由于e=，则3e416e2+16=0，解得，e=2或由于0ab，即a2b2，即有c22a2，即有e22，则e=2故选D点评：本题考查双曲线的性质：离心率的求法，同时考查直线的方程和点到直线的距离公式的运用，考查运算能力，属于中档题和易错题10定义：如果函数f（x）在a，b上存在x1，x2（ax1x2b），满足f（x1）=，f（
10、x2）=，则称函数f（x）是a，b上的“双中值函数”已知函数f（x）=x3x2+a是0，a上“双中值函数”，则实数a的取值范围是（） A.(1,3) B. （，3） C. （1，） D. （1，）（，3）考点：导数的运算.专题：导数的概念及应用分析：由新定义可知f（x1）=f（x2）=a2a，即方程x22x=a2a在区间（0，a）有两个解，利用二次函数的性质可知实数a的取值范围解答：解：由题意可知，在区间0，a存在x1，x2（ax1x2b），满足f（x1）=f（x2）=a2af（x）=x3x2+a，f（x）=x22x，方程x22x=a2a在区间（0，a）有两个解令g（x）=x22xa2+a，（
11、0xa）则解得a3，实数a的取值范围是（，3）故选：B点评：本题主要考查了导数的几何意义，二次函数的性质与方程根的关系，属于中档题二、填空题（5525分）11已知点，则与向量方向相反的单位向量的坐标为。考点：相等向量与相反向量.专题：平面向量及应用分析：利用与向量方向相反的单位向量=即可得出解答：解：=（3，4），与向量方向相反的单位向量=故答案为：点评：本题考查了相反向量、单位向量的定义，属于基础题12函数的最大值为。考点：函数的最值及其几何意义.专题：计算题；函数的性质及应用分析：由题意化简y=3+=3+；从而令令x1=5sin2a，则6x=5cos2a，a0，从而得到y=sin（a+），
12、（cos=，sin=）；从而求最值解答：解：y=3+=3+；x1+6x=5；令x1=5sin2a，则6x=5cos2a，a0，y=3+=（3sina+cosa）=sin（a+），（cos=，sin=）；故sin（a+），故最大值为；故答案为：点评：本题考查了函数的最值的求法，属于中档题13设函数则时，表达式中的展开式中的常数项为。（用数字作答）考点：二项式系数的性质.专题：二项式定理分析：由题意可得x0时，f（x）=0，ff（x）=，它的通项公式为 Tr+1=（2）rf（x）2r6，令x的幂指数等于零，求得r的值，可得ff（x）表达式中的展开式中的常数项解答：解：函数f（x）=，则x0时，f（
13、x）=0，ff（x）=，它的通项公式为 Tr+1=（2）rf（x）2r6，令2r6=0，求得r=3，可得ff（x）表达式中的展开式中的常数项为（2）3=160，故答案为：160点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，分段函数的应用，属于中档题14定义：曲线C上点到直线的距离的最小值称为曲线C到的距离。已知曲线到直线的距离等于曲线到直线的距离，则实数。考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；点到直线的距离公式.专题：计算题；压轴题分析：先根据定义求出曲线C2：x2+（y+4）2=2到直线l：y=x的距离，然后根据曲线C1：y=x2+a的切线与直线y=x平行时，该
14、切点到直线的距离最近建立等式关系，解之即可解答：解：圆x2+（y+4）2=2的圆心为（0，4），半径为圆心到直线y=x的距离为=2曲线C2：x2+（y+4）2=2到直线l：y=x的距离为2=则曲线C1：y=x2+a到直线l：y=x的距离等于令y=2x=1解得x=，故切点为（，+a）切线方程为y（+a）=x即xy+a=0由题意可知xy+a=0与直线y=x的距离为即解得a=或当a=时直线y=x与曲线C1：y=x2+a相交，故不符合题意，舍去故答案为：点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及点到直线的距离的计算，同时考查了分析求解的能力，属于中档题15设集合M=1，2，3，n （nN
15、+），对M的任意非空子集A，定义f（A）为A中的最大元素，当A取遍M的所有非空子集时，对应的f（A）的和为Sn，则：S3=Sn=考点：数列的求和.专题：规律型分析：由题意得对M的任意非空子集A一共有2n1个：在所有非空子集中每个元素出现2n1次可以推出有2n1个子集含n，有2n2个子集不含n含n1，有2n3子集不含n，n1，含n2有2k1个子集不含n，n1，n2k1，而含k，进而利用错位相减法求出其和解答：解：由题意得：在所有非空子集中每个元素出现2n1次故有2n1个子含n，有2n2个子集不含n含n1，有2n3子集不含n，n1，含n2有2k1个子集不含n，n1，n2k1，而含有k定义f（A）为
16、A中的最大元素，所以Sn=2n1n+2n2（n1）+212+1Sn=1+212+223+234+2n1n又2Sn=2+222+233+244+2nn错位相减，所以可得Sn=1+21+22+23+2n12nn所以Sn=（n1）2n+1所以S3=（31）23+1=17故答案为S3=17，Sn=（n1）2n+1点评：解决此类问题的关键是读懂并且弄清题意，结合数列求和的方法求其和即可，找出规律是关键，此题难度比较大；、解答题（75分）16（本题满分12分）设函数（）求函数的最大值及此时x的取值集合；（）设为的三个内角，若，且C为锐角，求的值。考点：三角函数中的恒等变换应用；正弦定理.专题：计算题；三角
17、函数的求值分析：（）利用三角恒等变换公式化简f（x）=+cos2xsin2x=sin2x，从而求最大值及最大值点；（）由f（）=sinC=可得sinC=，从而得到C=，则sinA=sin（B）=cosB+sinB，从而求值解答：解：（）f（x）=+cos2xsin2x=sin2x，（2分）当sin2x=1时，f（x）max=； （4分）此时2x=2k（kZ），x的取值集合为x|x=k，kZ （6分）（）f（）=sinC=，sinC=，C为锐角，C=，（8分）由cosB=得sinB=，sinA=sin（B）=cosB+sinB= （12分）点评：本题考查了三角恒变换及三角函数的性质应用，属于基础
18、题17（本题满分12分）某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）甲和乙，系统甲和系统乙在任意时刻发生故障的概率分别为和P，若在任意时刻至多有一个系统发生故障的概率为（）求P的值；（）设系统乙在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量，求的数学期望考点：离散型随机变量的期望与方差.专题：概率与统计分析：（）记“系统甲发生故障、系统乙发生故障”分别为事件A、B，“任意时刻至多有一个系统发生故障”为事件C则P（C）=1P（AB）=1P（A）P（B），由此能求出P的值（）依题意B（3，），由此能求出E（）和D（）解答：解：（）记“系统甲发生故障、系统乙发生故障”分别为事件A、B，“任意
19、时刻至多有一个系统发生故障”为事件C则P（C）=1P（AB）=1P（A）P（B）=1P=，P=（5分）（）依题意B（3，），E（）=3=，（8分）D（）=3=（12分）点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用18若数列An满足An+1=An2，则称数列An为“平方递推数列”已知数列an中，a1=2，点（an，an+1）在函数f（x）=2x2+2x的图象上，其中n为正整数（1）证明数列2an+1是“平方递推数列”，且数列lg（2an+1）为等比数列；（2）设（1）中“平方递推数列”的前n项之积为Tn，即Tn=（
20、2a1+1）（2a2+1）（2an+1），求数列an的通项及Tn关于n的表达式；（3）记bn=log2an+1Tn，求数列bn的前n项和Sn，并求使Sn2012的n的最小值考点：数列与不等式的综合；数列的求和；数列递推式.专题：等差数列与等比数列分析：（1）由an+1=2an2+2an，2an+1+1=2（2an2+2an）+1=（2an+1）2，能证明数列2an+1是“平方递推数列”，由此能求出数列lg（2an+1）为首项是lg5，公比为2的等比数列（2）由已知得an=（51），由此能求出Tn=5（3）由bn=2，得Sn=2n2+由此能求出使Sn2012的n的最小值解答：（1）证明：an+1
21、=2an2+2an，2an+1+1=2（2an2+2an）+1=（2an+1）2，数列2an+1是“平方递推数列”由以上结论lg（2an+1+1）=lg（2an+1）2=2lg（2an+1），数列lg（2an+1）为首项是lg5，公比为2的等比数列（4分）（2）解：lg（2an+1）=lg（2a1+1）2n1=2n1lg 5=lg5，2an+1=5，an=（51）lg Tn=lg（2a1+1）+lg（2an+1）=（2n1）lg 5，Tn=5（8分）（3）解：bn=2，Sn=2n2+Sn2 014，2n2+2 014n+1008nmin=1008（12分）点评：本题考查数列是“平方递推数列”，
22、且为等比数列的证明，考查数列an的通项及Tn关于n的表达式的求法，考查使Sn2012的n的最小值的求法，解题时要注意对数性质的合理运用19（12分）香港违法“占中”行动对香港的经济、政治、社会及民生造成重大损失，据香港科技大学经济系教授雷鼎鸣测算，仅香港的“占中”行动开始后一个多月的时间，保守估计造成经济损失3500亿港元，相等于平均每名港人承受了5万港元的损失，为了挽回经济损失，某厂家拟在新年举行大型的促销活动，经测算某产品当促销费用为x万元时，销售量t万件满足t=5（其中0xa23a+3，a为正常数）现假定生产量与销售量相等，已知生产该产品t万件还需投入成本（10+2t）万元（不含促销费用
23、），产品的销售价格定为（4+）万元/万件（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大考点：基本不等式在最值问题中的应用；函数模型的选择与应用.专题：应用题；函数的性质及应用分析：（1）确定该产品售价为2（）万元，y=2（）t102tx，销售量t万件满足t=5代入化简得该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（2）分类讨论，利用基本不等式及函数的单调性，可求厂家的利润最大解答：解：（1）由题意知，该产品售价为2（）万元，y=2（）t102tx，销售量t万件满足t=5代入化简得y=20（+x），（0xa23a+3）（5分）（2）y=21（
24、+x+1）212=17当且仅当=x+1即x=1时，上式取等号 （8分）当1a23a+3，即a2或0a1时，促销费用投入1万元时，厂家的利润最大； （9分）当a23a+31，即1a2时，y=0，故y=21（+x+1）在0xa23a+3上单调递增，所以在0xa23a+3时，函数有最大值促销费用投入x=a23a+3万元时，厂家的利润最大 （11分）综上述，当a2或0a1时，促销费用投入1万元时，厂家的利润最大；当1a2时，促销费用投入x=a23a+3万元时，厂家的利润最大 （12分）点评：本题考查函数模型的选择与应用，考查基本不等式的运用，确定函数解析式是关键20（13分）已知抛物线y2=4x的焦点
25、为F2，点F1与F2关于坐标原点对称，以F1，F2为焦点的椭圆C，过点（1，），（）求椭圆C的标准方程；（）设T（2，0），过点F2作直线l与椭圆C交于A，B两点，且=，若2，1，求|+|2的最小值考点：抛物线的简单性质.专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（）设椭圆的半焦距为c，由y2=4x求得c=1设椭圆C的标准方程为（ab0），由于椭圆C过点（1，），代入椭圆方程结合a2=b2+c2，联立解得即可；（II）设l：x=ky+1，与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，由2，1）可得到k2的取值范围由于=（x12，y1），=（x22，y2），通过换元，令t=，即可得出|+|2的最小值解
26、答：解：（）设椭圆的半焦距为c，由y2=4x得c=1，设椭圆C的标准方程为（ab0），椭圆C过点（1，），又a2=b2+1，联立解得b2=1，a2=2故椭圆C的标准方程为椭圆方程为+y2=1（5分）（）由题意可设l：x=ky+1，由得（k2+2）y2+2ky1=0（6分）设A（x1，y1），B（x2，y2），则有将2得+2=+2=（8分）由2，1得+200，0k2（9分）=（x12，y1），=（x22，y2），+=（x1+x24，y1+y2）x1+x24=k（y1+y2）2=，|+|=+=16+令t=，|+|2=8t228t+16t=时|+|2的最小值是4点评：本题综合考查了椭圆与抛物线的标准
27、方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数、换元法、分类讨论、向量相等及其向量运算和向量的模等基础知识与基本技能方法，考查了分析问题和解决问题的能力，考查了推理能力和计算能力，属于中档题21（本题满分14分）已知函数，其中（）若函数有极值1，求实数a的值；（）若函数在区间上是增函数，求实数a的取值范围；（）证明：考点：函数在某点取得极值的条件；利用导数求闭区间上函数的最值.专题：计算题；压轴题；导数的综合应用分析：（I）根据已知条件函数F（x）=f（x）g（x）有极值1，可得F（1）=0，得出等式，求出a值；（II）因为函数G（x）=fsin（1x）+g（x）在区间（0，1）上
28、为增函数，可以对其进行转化，可以转化为G（x）0在（0，1）上恒成立，利用常数分离法进行求解；（）这个证明题可以利用一个恒等式，sinxx，然后对从第三项开始进行放缩，然后进行证明；解答：解：（ I）函数f（x）=ax，g（x）=lnx，其中aRF（x）=axlnx，则 F（x）=a，函数F（x）=f（x）g（x）有极值1，F（1）=0，a1=0，解得a=1；（ II）函数G（x）=fsin（1x）+g（x）=asin（1x）+lnx，G（x）=acos（1x）（1）+，只要G（x）0在区间（0，1）上大于0，G（x）=acos（1x）（1）+0，a，求的最小值即可，求h（x）=xcos（1x）的最大值即可，01x1，h（x）=cos（1x）+xsin（1x）0，h（x）在（0，1）增函数，h（x）h（1）=1，的最小值为1，a1；（）01，sinxx在x（0，1）上恒成立，=sin+sin+sin+=ln2，ln2；点评：第一问利用导数可以很容易解决，第二问利用了常数分离法进行证明，第三问需要进行放缩证明，主要利用sinxx进行证明，此题难度比较大，计算量比较大；16
