1、1.4.3含有一个量词的命题的否定学习目标1.理解含有一个量词的命题的否定的意义.2.会对含有一个量词的命题进行否定.3.掌握全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题.知识点一全称命题的否定思考尝试写出下面含有一个量词的全称命题的否定，并归纳写全称命题否定的方法.(1)所有矩形都是平行四边形；(2)每一个素数都是奇数；(3)xR，x22x10.答案(1)将量词“所有”换为：“存在一个”然后将结论否定，即“不是平行四边形”，所以原命题的否定为：“存在一个矩形不是平行四边形”；用同样的方法可得(2)(3)的否定：(2)存在一个素数不是奇数；(3)x0R，x2x010.梳理写全称命题的否定
2、的方法：(1)更换量词，将全称量词换为存在量词；(2)将结论否定.对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：全称命题p：xM，p(x)，它的否定綈p：x0M，綈p(x0).全称命题的否定是特称命题.知识点二特称命题的否定思考尝试写出下面含有一个量词的特称命题的否定，并归纳写特称命题否定的方法.(1)有些实数的绝对值是正数；(2)某些平行四边形是菱形；(3)x0R，x10.答案(1)先将存在量词“有些”改写为全称量词“所有”，然后将结论“实数的绝对值是正数”否定，即“实数的绝对值不是正数，于是得原命题的否定为：“所有实数的绝对值都不是正数”；同理可得(2)(3)的否定：(2)所有平行四边形
3、都不是菱形；(3)xR，x210.梳理写特称命题的否定的方法：(1)将存在量词改写为全称量词，(2)将结论否定.对于含一个量词的特称命题的否定，有下面的结论：特称命题p：x0M，p(x0)，它的否定綈p：xM，綈p(x).特称命题的否定是全称命题.类型一全称命题的否定例1写出下列全称命题的否定：(1)任何一个平行四边形的对边都平行；(2)数列：1，2，3，4，5中的每一项都是偶数；(3)a，bR，方程axb都有惟一解；(4)可以被5整除的整数，末位是0.解(1)其否定：存在一个平行四边形，它的对边不都平行.(2)其否定：数列：1，2，3，4，5中至少有一项不是偶数.(3)其否定：a，bR，使方
4、程axb的解不惟一或不存在.(4)其否定：存在被5整除的整数，末位不是0.反思与感悟全称命题的否定是特称命题，对省略全称量词的全称命题可补上量词后进行否定.跟踪训练1写出下列全称命题的否定：(1)p：每一个四边形的四个顶点共圆；(2)p：所有自然数的平方都是正数；(3)p：任何实数x都是方程5x120的根；(4)p：对任意实数x，x210.解(1)綈p：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆.(2)綈p：有些自然数的平方不是正数.(3)綈p：存在实数x0不是方程5x0120的根.(4)綈p：存在实数x0，使得x11，使x2x030；(2)p：有些素数是奇数；(3)p：有些平行四边形不是矩形.解(1
5、) 綈p：x1，x22x30(假).(2) 綈p：所有的素数都不是奇数(假).(3) 綈p：所有的平行四边形都是矩形(假).反思与感悟特称命题的否定是全称命题，写命题的否定时要分别改变其中的量词和判断词.即p：x0M，p(x0)成立綈p：xM，綈p(x)成立.跟踪训练2写出下列特称命题的否定，并判断其否定的真假.(1)有些实数的绝对值是正数；(2)某些平行四边形是菱形；(3)x0，y0Z，使得x0y03.解(1)命题的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，即“所有实数的绝对值都不是正数”.它为假命题.(2)命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，即“每一个平行四边形都不是菱形”.由于菱
6、形是平行四边形，因此命题的否定是假命题.(3)命题的否定是“x，yZ，xy3”.当x0，y3时，xy3，因此命题的否定是假命题.类型三特称命题、全称命题的综合应用例3已知函数f(x)x22x5.(1)是否存在实数m，使不等式mf(x)0对于任意xR恒成立，并说明理由；(2)若存在一个实数x0，使不等式mf(x0)0成立，求实数m的取值范围.解(1)不等式mf(x)0可化为mf(x)，即mx22x5(x1)24.要使m(x1)24对于任意xR恒成立，只需m4即可.故存在实数m，使不等式mf(x)0对于任意xR恒成立，此时，只需m4.(2)不等式mf(x0)0可化为mf(x0)，若存在一个实数x0
7、，使不等式mf(x0)成立，只需mf(x)min.又f(x)(x1)24，f(x)min4，m4.所求实数m的取值范围是(4，).反思与感悟对于涉及是否存在的问题，通常总是假设存在，然后推出矛盾，或找出存在符合条件的元素.一般地，对任意的实数x，af(x)恒成立，只要af(x)max；若存在一个实数x0，使af(x0)成立，只需af(x)min.跟踪训练3已知f(x)3ax26x1(aR).(1)当a3时，求证：对任意xR，都有f(x)0；(2)如果对任意xR，不等式f(x)4x恒成立，求实数a的取值范围.(1)证明当a3时，f(x)9x26x1，364(9)(1)0，对任意xR，都有f(x)
8、0.(2)解f(x)4x恒成立，3ax22x10恒成立，即解得a，即实数a的取值范围是(，.1.已知a0且a1，命题“x01，logax00”的否定是()A.x01，logax00 B.x01，logax00C.x1，logax0 D.x1，logax0答案D解析a0且a1，命题“x01，logax00”的否定是“x1，logax0”.2.设xZ，集合A是奇数集，集合B是偶数集.若命题p：xA，2xB，则()A.綈p：xA，2xBB.綈p：xA，2xBC.綈p：x0A，2x0BD.綈p：x0A，2x0B答案D解析命题p：xA，2xB是一个全称命题，其命题的否定綈p应为x0A，2x0B.故选D.
9、3.命题“对任意一个实数x，都有0”的否定是_.答案存在一个实数x0，使得2x040解析“对任意一个实数x，都有0”的否定是“存在一个实数x0，使得0”是真命题，所以44m1，故实数m的取值范围是(1，)，从而实数a的值为1.5.已知函数f(x)x2mx1，命题p：“对任意xR，都有f(x)0”，命题q：“存在x0R，使xm20”，所以綈p：“不等式f(x)0在实数集上有解”，故m240，得m2或m2.又命题q：“存在x0R，使xm29”，即不等式x0，所以3m3.因为命题“綈p”与“q”均为真命题，所以m的取值范围为(3，22，3).1.对含有全称量词的命题进行否定需两步操作：第一步，将全称
10、量词改写成存在量词，即将“任意”改为“存在”；第二步，将结论加以否定，如：将“”否定为“0 B.xN*，(x1)20C.x0R，lg x00恒成立，而y2x1的图象是将y2x的图象沿x轴向右平移1个单位长度，函数的值域不变，故2x10恒成立，A为真命题；当x1时，(x1)20，故B为假命题；当0x10时，lg x1，故x0R，lg x01C.xR，sin x1 D.xR，sin x1答案B解析所给命题为全称命题，故其否定为特称命题，x0R，sin x01，故选B.4.命题“nN*，f(n)N*且f(n)n”的否定形式是()A.nN*，f(n)N*且f(n)nB.nN*，f(n)N*或f(n)n
11、C.n0N*，f(n0)N*且f(n0)n0D.n0N*，f(n0)N*或f(n0)n0答案D解析“f(n)N*且f(n)n”的否定为“f(n)N*或f(n)n”，全称命题的否定为特称命题，故选D.5.若命题p：x0，log2x0，命题q：x0R，2x00，x0R，命题q为假命题，p(綈q)为真命题.6.已知a0，函数f(x)ax2bxc，若x0满足关于x的方程2axb0，则下列选项中的命题为假命题的是()A.x1R，f(x1)f(x0)B.x1R，f(x1)f(x0)C.xR，f(x)f(x0)D.xR，f(x)f(x0)答案C解析当a0时，函数f(x)ax2bxc的图象为开口向上的抛物线，
12、若x0满足关于x的方程2axb0，则x0为抛物线顶点的横坐标，f(x)minf(x0)，故对于xR，f(x)f(x0)成立，从而选项A，B，D为真命题，选项C为假命题.二、填空题7.若“x0，tan xm”是真命题，则实数m的最小值为_.答案1解析0x，0tan x1，“x0，tan xm”是真命题，m1.实数m的最小值为1.8.命题“对任何xR，|x2|x4|3”的否定是_.答案存在x0R，|x02|x04|3解析全称命题的否定为特称命题.9.命题“每个函数都有奇偶性”的否定是_.答案有些函数没有奇偶性解析命题的量词是“每个”，即为全称命题，因此其否定是特称命题，用量词“有些、有的、存在一个
13、、至少有一个”等，再否定结论.10.已知p(x)：x22xm0，如果p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围是_.答案3，8)解析因为p(1)是假命题，所以12m0，解得m3.又因为p(2)是真命题，所以44m0，解得m8，故实数m的取值范围是3，8).三、解答题11.若p1p22(q1q2)，求证：关于x的方程x2p1xq10与x2p2xq20中至多有一个方程没有实数根.证明若两个方程都无实数根，则，得pp4(q1q2).pp2p1p2，2p1p24(q1q2)，p1p22(q1q2)，p1p22(q1q2)，这与已知条件矛盾.关于x的方程x2p1xq10与x2p2xq20中至
14、多有一个方程没有实数根.12.已知命题p：xR，4x2x1m0，若綈p是假命题，求实数m的取值范围.解綈p是假命题，p是真命题.也就是xR，有m(4x2x1)，令f(x)(4x2x1)(2x1)21，对任意xR，f(x)1.m的取值范围是(，1.13.已知f(x)ax2bxc的图象过点(1，0)，是否存在实数a，b，c，使得不等式xf(x)对于一切实数x均成立.解假设存在实数a，b，c，使得不等式xf(x)对于一切实数x均成立.f(x)的图象过点(1，0)，abc0.xf(x)对一切xR均成立，当x1时，也成立，即1abc1，故有abc1.b，ca.f(x)ax2xa.故xax2xa对一切xR均成立，即恒成立a，ca.存在一组实数a，b，c，使得不等式xf(x)对一切实数x均成立.8
