1、“恒成立”的几种常用的解法已知不等式恒成立，求参数范围的问题，涉及函数、方程、不等式，综合性强，在高考中常常涉及，许多学生对此类问题不知从何着手，本文结合实例，谈谈这类问题常见的几种方法。一 判别式法此方法适用于二次函数的情况，利用的解集是R；的解集是R，这类问题的特点是二次函数在R上恒成立。例1已知函数，当时，恒成立，求a的取值范围。解：要使恒成立，必须且只需二 图象法此方法主要用于二次函数，指数对数函数，三角函数等，由其函数图象确定值域，进而解之。类型1：作一个函数的图像：例2已知函数，若时，恒成立，求a的取值范围。解：（1） 当 由（2） 当 由（3） 当 由综上得类型2：作两个函数的图
2、像：1.当，不等式恒成立，则实数的取值范围是_.【答案】k1 【解析】作出与的图象，要使不等式成立，由图可知须k1。三换元法此方法主要将复杂的形式转换成比较熟悉的样式，使它简化，使问题易于解决。例3已知，若对任意实数恒成立，求实数m的范围。解：令，则题意转化为在时恒成立。由得，（1）得m=1；（2）即（3）即综上得。三 分离参数法将含参数的恒成立式子中的参数分离出来，化成形如或恒成立的形式。恒成立； 恒成立 .例4设函数若当时，恒成立，求a的取值范围。解：要使在恒成立，即在恒成立，即恒成立，由都是减函数，故为增函数，在上的最大值为，故a的取值范围是五 构造函数法对于恒成立的式子两边都在变化时，
3、我们常把它移到一边构造一个函数，转化为一个函数与0的大小关系。例5设函数f(x)(x1)ln(x1)，若对所有的x0，都有f(x)ax成立，求实数a的取值范围解：令g(x)(x1)ln(x1)ax，则g(x)ln(x1)1a (i)当a1时，对所有x0， g(x)0，所以g(x)在0，)上是增函数，又g(0)0，所以对x0，都有g(x)g(0)，即当a1时，对于所有x0，都有f(x)ax (ii)当a1时，令g(x)0，解得xea11，对于0xea11，g(x)0，所以g(x)在(0，ea11)是减函数，又g(0)0，所以对0xea11，都有g(x)g(0)，即当a1时，不是对所有的x0，都有
4、f(x)ax成立综上得a的取值范围是（，1六 选定变量法此类问题主要涉及多变元的问题，方法是告诉哪个变量的范围，就把这个变量当作自变量，其他的变量当作常量这样构成一个函数，再利用函数问题解之。例6设不等式对满足m2的一切实数m都成立，求x的取值范围。解：原不等式为设，则问题转化为求一次函数（或常数函数）f(m)的值在区间内f(m)0恒成立，得，即解得七 几何意义法此方法是将代数问题与转化为图形问题，再利用图形直观地得到解答。例7若不等式对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围。解： 表示数轴上任一点到1和5的距离之和，由知，要使恒成立，则有a4。练习：1.已知（a0）的最大值比最小值大4，（1）求a的值；（2）当时，恒成立，求实数b的取值范围。2.已知二次函数（1）若在区间1,1内至少存在一个实数m，使得f（m）0，求实数a的取值范围；（5,7）（2）若对区间1,1内的一切实数m都有f（m）0，求实数a的取值范围。（1,3）3.若函数，在上总有恒成立，求a的取值范围。4.已知函数，若对于恒成立，求实数x的取值范围。 4
