1、华东师范大学数学系编数学分析第三版上册教案 第七章 实数的完备性 兴义民族师范学院数学系第七章 实数的完备性1. 实数完备性的等价命题教学目的 使学生掌握运用闭区间上连续函数性质教学要求 了解闭区间上连续函数性质的证明思路和证明方法，理解上、下极限的定义、性质及上、下极限和极限的关系.教学重点 实数完备性的等价命题教学难点 实数完备性的等价命题的证明教学方法 课堂讲授教学程序一、 问题提出定理1.1（确界原理）非空有上（下）界的数集必有上（下）确界.确界存在定理(定理1.1)揭示了实数的连续性和实数的完备性. 与之等价的还有五大命题，这就是以下的定理1.2至定理1.6定理1.2 (单调有界定理
2、)任何单调有界数列必定收敛定理1.3(区间套定理）设为一区间套：则存在唯一一点定理1.4 (有限覆盖定理)设是闭区间的一个无限开覆盖，即中每一点都含于中至少一个开区间内则在中必存在有限个开区间，它们构成的一个有限开覆盖定理1.5 (聚点定理)直线上的任一有界无限点集至少有一个聚点，即在的任意小邻域内都含有中无限多个点（本身可以属于，也可以不属于）定理1.6 (柯西准则)数列收敛的充要条件是：，只要 恒有（后者又称为柯西（Cauchy）条件，满足柯西条件的数列又称为柯西列，或基本列）这些定理构成极限理论的基础我们不仅要正确理解这六大定理的含义，更重要的还要学会怎样用它们去证明别的命题下面通过证明
3、它们之间的等价性，使大家熟悉使用这些理论工具下图中有三种不同的箭头，其含义如下：(1)(3)基本要求类：(4)(7)阅读参考类：(8)(10)习题作业类二、回顾确界原理的证明我们曾引入有界数集的确界概念，今证明它的存在性（记号、表示实数）Dedekind定理设A/B是R的一个切割，则比存在实数使得，或，无其它可能.1 非空有上界的数集必存在上确界.证明 设非空，有上界： ，.（1） 若中有最大数，则即为上确界；（2） 若中无最大数，用下述方法产生实数的一个分划；取的一切上界归入上类，其余的实数归入下类，则是实数的一个分划. 、不空.首先.其次，由于不是的最大数，所以它不是的上界，即.这说明中任
4、一元素都属于下类； 、不漏性由、定义即可看出； 、不乱.设，.因不是的上界，使得，而内每一元素属于，所以. 由的证明可见无最大数.所以是实数的一个分划.由戴德金定理，知上类必有最小数，记作.，由知，即得.这表明是的一个上界.若是的一个上界，则，由此得，所以是上界中最小的，由上确界定义，为集合的上确界，记作 .推论 非空的有下界的集合必有下确界.事实上，设集合有下界，则非空集合有上界，利用集合上确界的存在性，即可得出集合的下确界存在.定理1解决了非空有上界集合的上确界存在性问题，我们可以利用上确界的存在性，得出我们所研究的某一类量（如弧长）的存在性.若全序集中任一非空有上界的集合必有上确界，我们
5、称该全序集是完备的.定理1刻划了实数集是完备的.例1 证明实数空间满足阿基米德原理.证明 ，要证存在自然数使.假设结论不成立，即 ， ，则数集有上界，因此有上确界，使，也就有，或 .这表明是集合的上界，与是上确界矛盾.所以总存在自然数，使.三、等价命题证明下面来完成(1)(7)的证明 (1)用确界定理证明单调有界定理 设单调上升，即，有上界，即，使得.考虑集合，它非空，有界，定理2推出它有上确界，记为.我们验证 .，由上确界的性质，使得，当时，由序列单调上升得，再由上确界定义，有 ，即，也就是说 . 同理可证若单调下降，有下界，也存在极限，且.若集合无上界，记作；若集合无下界，记作，这样一来，
6、定理2证明了的单调上升（下降）有上界（下界）的序列，必有极限的定理现在有了严格的理论基础了.且对单调上升（下降）序列，总有 . (2)（用单调有界定理证明区间套定理） 由假设（1）知，序列单调上升，有上界；序列单调下降，有下界.因而有 ，. .再由假设（2）知 ，记. 从而有 .若还有满足，令，得.故是一切的唯一公共点.证毕.这个定理称为区间套定理.关于定理的条件我们作两点说明：（1） 要求是有界闭区间的这个条件是重要的.若区间是开的，则定理不一定成立.如 .显然有 ， 但 . 如果开区间套是严格包含： ，这时定理的结论还是成立的.（2） 若，但，此时仍有，但，于是对任意的，都有.全序集中任一
7、区间长趋于零的区间套有非空交集，则称该全序集是完备的，定理3刻划实数集是完备的（这里完备定义与上段完备定义是等价的）.定理3也给出通过逐步缩小搜索范围，找出所求点的一种方法.推论设为一区间套，则当时，恒有用区间套定理证明其他命题时，最后常会用到这个推论例2 序列由下列各式 ， ， 所确定（见下图）.证明极限存在，并求此极限. 证明 当时，故.当时，若取，.则由条件，显然可得一串区间套： .由已知条件 ，于是 由区间套定理，存在满足： .注意到，所以 . 下面来求.由，令得一串等式： ； ； .将它们相加，得 ，令，得所以 .(3) （用区间套定理证明确界原理） 证明思想：构造一个区间套，使其公
8、共点即为数集的上确界设, 有上界取；，再令如此无限进行下去，得一区间套可证：因恒为的上界，且，故，必有，这说明是的上界；又因，故，而都不是的上界，因此更不是的上界所以成立 证毕 * (4)（用区间套定理证明有限覆盖定理）设为闭区间的一个无限开覆盖反证法假设：“不能用中有限个开区间来覆盖”对采用逐次二等分法构造区间套，的选择法则：取“不能用中有限个开区间来覆盖”的那一半由区间套定理，导出矛盾：使记由推论，当足够大时， 这表示用中一个开区间就能覆盖，与其选择法则相违背所以必能用中有限个开区间来覆盖证毕说明当改为时，或者不是开覆盖时，有限覆盖定理的结论 不一定成立例如：1)是开区间的一个无限开覆盖，
9、但不能由此产生的有限覆盖2)是的一个无限覆盖，但不是开覆盖，由此也无法产生的有限覆盖 * (5)（用有限覆盖定理证明聚点定理）设为实轴上的有界无限点集，并设 由反证法假设来构造的一个无限开覆盖：若有聚点，则现反设中任一点都不是的聚点，即在内至多只有这样，就是的一个无限开覆盖 用有限覆盖定理导出矛盾：据定理9，存在为的一个有限开覆盖（同时也覆盖了）由假设，内至多只有所属个邻域内至多只有属于（即只覆盖了中有限个点）这与覆盖了全部中无限多个点相矛盾所以，有界无限点集必定至少有一个聚点证毕推论（致密性定理）有界数列必有收敛子列即若为有界数列，则使有子列的极限称为原数列的一个极限点，或称 聚点注：数列的
10、聚点与一般点集的聚点，含义稍有不同数列的聚点定义为：“，在内含有中无限多个项，则为的一个聚点”在此意义下，对于数列它有两个收敛子列:和，它们的极限和就是的两个聚点证：有界，则存在数使得 对成立将二等分为 、，则其中必有一个含有数列的无穷多项，记为；再将二等分为、，同样其中至少有一个含有数列的无穷多项，把它记为，一直进行这样的步骤，得到一闭区间套，其中每一个中都含有数列的无穷多项，且满足： 则由闭区间套定理，使得 下证中必有一子列收敛于实数先在中选取的某一项，记为，因中含有中的无穷多项，可选取位于后的某一项，记为，.继续上述步骤，选取后，因为中含有无穷多项，可选取位于后的某一项，记为且，这样我们
11、就得到的一个子列满足 ，由两边夹定理即得 #证明 设，用中点将一分为二，则两个子区间和中至少有一个含有中无穷多项，选出来记为，在其中选一项.用中点将一分为二，则两个子区间和中至少有一个含有中无穷多项，选出来记为，在其中选一项，使得.最后得一区间套，满足，.由区间套定理，又由于，有.*(6)（用聚点定理证明柯西准则）必要性 已知收敛，设由定义，当时，有从而有 充分性已知条件：当时欲证收敛首先证有界对于当时，有令，则有由致密性定理，存在收敛子列，设最后证，由条件，当时，有于是当（同时有）时，就有证毕证：“” 收敛，则存在极限，设，则，当时有当时有 “”先证有界性，取，则，特别地，时 设 ，则，再由
12、致密性定理知，有收敛子列，设， ，取，当时有 故 .列、基本列（满足收敛准则的数列）*(7)(用柯西准则证明单调有界原理)设 为一递增且有上界M的数列用反证法（ 借助柯西准则 ）可以证明：倘若无极限，则可找到一个子列以为广义极限，从而与有上界相矛盾现在来构造这样的对于单调数列，柯西条件可改述为：“ 当 时，满足 ”这是因为它同时保证了对一切，恒有倘若不收敛，由上述柯西条件的否定陈述：，对一切，使依次取把它们相加,得到故当时，可使，矛盾所以单调有界数列必定有极限 证毕 例1 用单调有界定理证明区间套定理即已知： 1 ） 单调有界定理成立；2 ）设为一区间套欲证：且惟一 证 证明思想：构造一个单调
13、有界数列，使其极限即为所求的为此，可就近取数列（或）由于因此为递增数列，且有上界（例如）由单调有界定理，存在，且又因 ，而，故；且因递减，必使这就证得最后，用反证法证明如此的惟一事实上，倘若另有一个，则由，导致与相矛盾 证毕 例 2 （10） 用区间套定理证明单调有界定理即已知： 1 ） 区间套定理成立2 ） 设为一递增且有上界M的数列欲证：存在极限 证 证明思想：设法构造一个区间套，使其公共点即为的极限为此令.记 ，并取再记 , 同理取如此无限进行下去，得一区间套根据区间套定理，下面用数列极限定义证明 ：，一方面，由于恒为的上界，因此 ；另一方面，由；而由区间套的构造，任何不是的上界，故；再
14、由为递增数列，当时，必有这样，当 时，就有 , 即 证毕 例 3 （9） 用确界定理证明区间套定理 即已知： 1 ） 确界定理成立（非空有上界的数集必有上确界）； 2 ） 设为一区间套欲证：存在惟一的点 证 证明思想：给出某一数集，有上界，使得的上确界即为所求的为此，取，其上界存在（例如 ）由确界定理，存在 首先，由为的一个上界，故再由是的最小上界，倘有某个，则不会是的上界，即，这与为区间套相矛盾（）.所以任何这就证得关于的惟一性，与例1中的证明相同 证毕 注 本例在这里所作的证明比习题解答中的证明更加清楚在以上六个等价命题中，最便于推广至中点集的，当属聚点定理与有限覆盖定理为加深对聚点概念的
15、认识，下例所讨论的问题是很有意义的例证明“是点集的聚点”的以下三个定义互相等价：(i) 内含有中无限多个点(原始定义)；(ii) 在内含有中至少一个点；(iii) ，时，使证：(i)(ii)显然成立(ii)(iii)由(ii），取，；再取；一般取；由的取法，保证，(iii)(i)时，必有，且因各项互不相同，故内含有中无限多个点证毕四、实数系的完备性实数所组成的基本数列比存在实数极限实数系完备性；有理数域不具有完备性，如：（无理数）.六、压缩映射原理（不动点原理）1、函数f(x)的不动点指什么？设yf(x)是定义在a,b上的一个函数，方程xf(x)的解称为f(x)的不动点.2、在什么样的条件下不动点一定存在呢？存在时唯一吗？如何求出不动点？ 压缩映射：如果存在常数k，满足0k1，使得对一切成立不等式，则称f是a,b上的一个压缩映射.压缩映射必连续.压缩映射原理（不动点原理） 设是a,b上压缩映射，且，则在a,b上存在唯一的不动点.例4 证明Kapler方程在时，存在唯一实数.第 14 页 共 14 页
