1、1,材料化学的理论基础,第二章,2,何谓固体？,固体是物质存在的一种状态。与液体和气体相比固体有比较固定的体积和形状、质地比较坚硬。 固体有三种特性： 1）固体里的粒子是紧紧相扣，不易进行运动。2）固体是固定在物质里一个特定的空间。 当有外力对物质施加作用时，固体以上型态会被扭曲，引致永久性变形。3）尽管任何固体都会有热能量，粒子间可以相互震动，此粒子运动却相对不那么剧烈，并不轻易靠感觉来观察。 通过其组成部分之间的相互作用，固体的特性可以与组成它的粒子的特性有很大的区别。,3,固体材料按其质点的聚集状态 可分为：,晶体：金属与合金、大部分无机材料，某些有机高分子材料。 非晶体：玻璃（脆），橡
2、胶（弹性）等。,2.1 固体-晶体与非晶体,4,2.1 固体-晶体与非晶体,晶体：长程有序（单晶、多晶、准晶）单晶所有质点三维空间周期排列。例Si、Ge单晶是半导体的基础。多晶由无数个单晶组成，存在晶界缺陷。例如大部分晶体材料。准晶有取向序,无长程平移序的物质。1984年首次发现的二面体存在5次对称轴。 非晶体：只是短程有序，长程无序,5,2.1.1 固体的基本属性,微观：具有固体性（质点在确定的位置平衡振动） 宏观：有确定的外形。 晶体和非晶体都是真实的固体。具有固体的基本属性。思考题：气体、液体有什么不同？,流动性差别-气体和液体的原子可以自由的做长距离的不停的平移运动。,6,液体固化的两
3、种方式,相变1：（气相Tb液相） 相变2：（液相 固相） 液相Tf晶体：V、Q突变，有固定熔点Tf 液相Tg玻璃：V、Q渐变，无固定熔点（Tg范围） 热力学特征：晶 体能量最小，热力学稳定态；非晶体热力学亚稳态教材P19 图2-1 原子的集合体凝聚成固态的两种普通的冷却方式,7,一个明显的弯曲标志着随着温度的下降体系中发生了相变：在沸腾温度处首先发生气相到液相的转变。,随着温度的继续降低，液体的体积连续减小。,当温度足够低时将发生从液体到固体的转变。液体可以通过两种方式固化。,第一种方式：在某一个确定的温度 (凝固点) 下，晶态固体的体积突然收缩，在V T曲线上表现为斜率的不连续变化,之后固体
4、的体积随温度的降低缓慢减小。注意到曲线的斜率应该对应于体系的热膨胀系数：固体的热膨胀系数小于液体。,第二种方式：快速冷却时可以获得过冷液体,之后过冷液体凝固形成非晶态固体。,8,液体在缓慢降温过程中形成晶体。在这一过程中，原子有足够的时间发生重排，因此形成的固体中原子的排列呈有序状态。液体在急冷过程中形成非晶体。在这一过程中，原子没有足够的时间发生重排，因此形成的固体中原子的排列呈无序状态。,9,晶体和非晶体的根本区别,晶态材料具有长程有序的点阵结构，其组成原子或基元处于一定格式空间排列的状态； 非晶态材料则象液体那样，只有在几个原子间距量级的短程范围内具有原子有序的状态。(短程有序),10,
5、晶体与非晶体的结构特点,晶体：1 具有点阵周期性和对称性；2 三维空间有序排列（短程有序,长程序）。 非晶体：1 不具有点阵周期性和对称性；2 无序结构（短程有序,长程无序）。,11,2.1.2 晶体的宏观特性,1、具有规则外形：自发形成封闭多面体 2、晶面角守恒：P22 3、有固定熔点：why? 4、各向异性 ：同一晶体不同方向的性质不同思考题：非晶体呢？,因为融化的过程就是晶体长程序解体的过程。破坏长程序所需要的能量就是熔解热。,12,晶面角守恒定律,晶体最初给人们的印象就是具有规则外形，而对晶体开展的研究也是从这些规则外形开始的。1669 年，一个叫做斯丹诺 (Nicolas Steno
6、) 的意大利人对水晶进行了仔细的研究后发现：尽管不同的石英晶体，其晶面的大小、形状、个数都可能会有所不同，但是相应的晶面之间的夹角都是固定不变的。,13,天然的水晶 (石英晶体) 可以有各种不同的外形 尽管不同的石英晶体，其晶面的大小、形状、个数都可能会有所不同，但是相应的晶面之间的夹角都是固定不变的 其中的 a 晶面和 b 晶面之间的夹角总是14147，b 晶面和 c 晶面之间的夹角总是12000，而 c 晶面和 a 晶面之间的夹角总是11308。,14,此后，人们对各种不同的晶体进行了大量的观察，发现类似的规律对于其他的晶体也是存在。这就诞生了结晶学上的第一条经验定律 晶面角守恒定律,在同
7、一温度下，同一种物质所形成的晶体，其相同晶面的夹角是一个常数。,15,晶面角守恒定律是晶体学中最重要的定律之一，它揭露了晶体外形的一种重要的规律性，从而指导人们怎样去定量地、系统地研究各式各样的晶体。,在 19 世纪初，在晶面角守恒定律的启发下，晶体测角工作曾盛极一时，大量天然矿物和人工晶体的精确观测数据就是在这个阶段获得的。这些数据为进一步发现晶体外形的规律性 (特别是关于晶体对称性的规律) 创造了条件。 直至今天，测定晶面角仍然是从晶体外形来鉴别各种不同矿物的一种常用的可靠方法，为此人们还设计制作了一些晶体测角仪，专门用于这一目的。,16,晶面角守恒定律的发现，使得当时的人们坚信“晶体就是
8、具有规则形状的物体”。但是，这一定义显然只是考虑了晶体的宏观特征，还远远没有涉及到晶体的内在本质。于是，一些科学家们便开始思考这样一个问题：,是什么原因导致了晶体的规则外形？,晶胞学说 空间点阵学说,17,2.1.3非晶态与晶态的转化,1、非晶态是一种亚稳态热力学观点：玻璃不是最低能量状态，有向晶体转变的趋势不稳定；动力学观点：内能差别较小（速度慢） 亚稳存在。非晶态固体在一定温度下会自发结晶，转化到晶体状态。机械能、冲击波等能够破坏晶态材料的长程序，使晶态材料非晶化。 2、非晶态材料的稳定性（P83）,18,3、非晶态材料的转化,1） 结构松弛非晶态向能量较低的另一种非晶亚稳态的转变过程。特
9、点：不结晶，但能量有所降低，结构有所调整，并伴随性能的变化和稳定。 2） 部分晶化例 微晶玻璃 3） 结晶（晶化）向能量最低的晶态转化。,19,2.2 晶体材料的微观结构,2.2.1空间点阵一个理想晶体是由全同的称作基元的结构单元在空间作无限的重复排列而构成的；基元可以是原子、离子、原子团或者分子；晶体中所有的基元都是等同的，也就是说他们的组成、位形和取向都是相同的。因此，晶体的内部结构可以抽象为在空间作周期性的无限分布的一些相同的几何点，这些几何点代表了基元的某个相同位置，而这些几何点的集合就称作空间点阵，简称点阵。,20,一个含有两个原子 (分别用一大一小两个空心圆点表示) 的基元,这个基
10、元在二维空间作有规律的重复排列便得到了一个二维晶体结构,黑点为抽象出来的几何点，这些几何点就构成了一个二维空间点阵。,在这个抽象过程中，几何点位置的选取可以是任意的，只要是在基元所包括的范围之内就可以。,显然在这一抽象过程中，构成基元的原子的种类和大小并不影响到最终点阵的形状。对点阵最终形状产生影响的仅仅是基元在空间的排列规律。,21,NaCl 晶体的结构,22,NaCl 晶体结构中等同点的分布及其 相应导出的二维点阵,23,几个基本概念,基元在 NaCl 中，基元为 NaCl 分子等同原子在 NaCl 中，所有的 Na 离子均为等同原子，所有的 Cl 离子也为等同原子等同点所有等同原子所处的
11、位置抽象为等同点 空间点阵 所有的等同点在三维空间的排列就构成了空间点阵,24,空间点阵学说提出之后的相当一段长时间里一直被认为是一种假说，它的抽象理论当时并没有引起物理家和化学家们的注意，还有不少人仍然一直固执地认为在晶体中原子、分子是无规则地分布的。这一状况直到 20 世纪初才得到根本的改变，而导致这一改变的直接原因则是一项新的实验技术的诞生。这就是,X 射线衍射分析技术,25,在空间点阵中，分布在同一直线上的结点构成一个行列。很显然，任意两个结点就可以决定一个行列。行列中两个相邻的结点间的距离称为结点间距。连接分布在同一平面内的结点即构成一个面网，而连接分布在三维空间内的结点就构成了空间
12、点阵。,26,空间点阵也可以看成是由一个只在八个顶点上含有结点的平行六面体单元沿三维方向重复堆积而构成的。这样的平行六面体单元称为原始格子。注意到在空间点阵中，每个结点都由 8 个原始格子所共有，因此，每个原始格子中只含有一个结点。显然，对于一个给定的空间点阵，原始格子的划分方法有很多种，取决于我们所选择的平行六面体三条不共面的棱边 (行列) 的取向。,27,原始格子的划分方式是多种多样的。,28,空间点阵是一个三维无限大的图形，直接用空间点阵来描述晶体中原子的堆积方式显然是很不方便的，而构成空间点阵的基本单元体 原始格子又因边棱取向的随意性而不可能完整地反映出空间点阵的几何特征。因此，法国科
13、学家布拉维于1848 年提出了一套简便而准确描述空间点阵几何特征的方法。,29,2.3.2 布拉维格子,布拉维认为，对于任何一种晶体的结构抽象出来的空间点阵，都可以看成是由一个能够全面准确体现该点阵几何特征的平行六面体沿三维方向重复堆积而构成；这个能够全面准确体现空间点阵几何特征的平行六面体的选取必须遵循 4 个基本原则：,30,平行六面体的选取原则,(1) 所选取的平行六面体的对称性应该符合整个空间点阵的对称性； (2) 在不违反对称的条件下，应选择棱与棱之间的直角关系最多的平行六面体； (3) 在遵循上述两条的前提下，所选的平行六面体体积应该最小； (4) 在对称性规定棱间交角不为直角时，
14、在遵循前三条的前体下，应选择结点间距小的行列作为平行六面体的棱，且棱间交角接近于直角。,31,关于对称,所谓对称性指的是物体在经过一定的操作之后其空间构型能够完全复原的性质。这种“一定的操作”称为对称操作。 在进行对称操作时，如果物体中至少有一个点保持不动，那么相应的对称操作就称为点对称操作，也叫宏观对称操作。 对称操作一定与某一个几何图形相联系。换句话说，进行对称操作都必须凭借于一定的几何要素，这些几何要素可以是点、也可以是直线或者平面。进行对称操作所凭借的几何要素称为对称要素。,32,现实生活中的几个对称的例子,吊扇中的叶片以转子中心线为对称轴，三个叶片之间可以围绕这个对称轴每旋转120重
15、复一次。对称操作：绕对称轴旋转一定的角度 对称要素：旋转轴,对称性指的是物体在经过一定的操作之后其空间构型能够完全复原的性质,33,对称变换：镜子的反映 (注意这是一个虚拟操作) 对称要素：镜子构成的对称面,现实生活中的几个对称的例子,34,在晶体内部结构中 (以及在相应抽象出来的空间点阵中) 可能存在的对称要素以及相应可以进行的宏观对称操作主要有以下几类：,对称中心对称面旋转轴倒转轴 (有时也称为象转轴),35,对称中心是一个假想的几何点，其对应的对称操作是对于这个点的倒反 (反演)。通过对称中心作任意直线，在此直线上位于对称中心两侧等距离的两点是性质完全相同的对应点。在晶体中，如果存在有对
16、称中心，则对称中心肯定位于晶体的几何中心。 在结晶学中，对称中心一般用符号 “i” 表示。,36,对称面是一个假想的平面，相应的对称操作为对此平面的反映。对称面就像一面镜子，把物体的两个相同的部分以互成镜像反映的关系联系起来。垂直于对称面作任意直线，位于直线两侧等距离的两点是性质完全相同的对应点晶体中如果存在有对称面，则必定通过晶体的几何中心并将晶体分为互成镜像反映的两个相同部分 在结晶学中，对称面一般用符号“m” 表示。,37,旋转轴是一条假想的直线，相应的对称操作是绕此直线的旋转。 物体在旋转一周的过程中重复的次数称为该旋转轴的轴次。 在结晶学中，一般直接采用轴次表示旋转轴，如 “1” 即
17、代表 1 次旋转轴，“3” 即代表 3 次旋转轴等。1 次旋转轴相当于没有对称性,吊扇叶片每旋转一周就重复 3 次，相应的对称轴为三次对称轴,38,在旋转操作中，使物体复原所需的最小旋转角 称为基转角。轴次 n 可以写成,在晶体的宏观对称中，n 的数值不能是任意的。晶体对称定律证明：在晶体中只可能出现一次、二次、三次、四次和六次旋转轴。不可能出现五次以及高于六次的旋转轴。,晶体中如果存在旋转轴，则其必定通过晶体的几何中心。,39,倒转轴是一种复合对称要素，由一根假想的直线和在此直线上的一个定点组成。相应的对称操作是绕此直线旋转一定角度以及对此定点的倒反。 根据晶体对称轴定律，倒转轴也只有 1
18、次、2 次、3 次、4 次和 6 次等 5 种,倒反轴的表示方法,40,倒转轴是一种复合对称要素。各类倒转轴中，只有 4 次倒转轴是一个独立的基本对称操作，其他 4 种倒转轴都可以表示为对称中心、对称面、旋转轴的组合。,41,相当于旋转360后再对中心反演而图形不变。 由于旋转360将使图形回复到原始位置，因此，1 次倒转轴的效果与单纯的反演操作完全相同 1 次倒转轴也就是对称中心。,1 次倒转轴,42,相当于旋转180后再对中心反演而图形不变。,2 次倒转轴,2 次倒转轴就是对称面,43,相当于旋转120后再对中心反演而图形不变。 先旋转120图形能够复原，因此该图形具有 1 条 3 次旋转
19、轴 该图形显然具有一个对称中心,3 次倒转轴,因此 3 次倒转轴相当于 1 条 3 次旋转轴加上一个对称中心,44,相当于旋转90后再对中心反演而图形不变。 这是一个独立的对称操作。它既没有 4 次旋转轴也没有对称中心，不能分解成其他基本对称要素的组合。,4 次倒转轴,注意这里的 2、6、4、8 这四个点是不存在的，也是过渡点。,45,相当于旋转60后再对中心反演而图形不变。 先旋转120图形能够复原，因此该图形具有 1 条 3 次旋转轴 该图形显然具有一个对称面,6 次倒转轴,因此 6 次倒转轴相当于 1 条 3 次旋转轴加上一个对称面,46,晶体中只存在有 8 种独立的对称要素， 分别为。
20、,任何宏观晶体所具有的对称性都是这 8 种基本对称要素的组合。,47,晶体的宏观对称性,宏观晶体的几何外形是多种多样的，不同晶体中存在的对称要素也不同。 晶体中有几个对称要素共存时，它们在空间的分布也应该符合整体的对称关系。因此，对称要素的组合具有一定的规律。 晶体中对称要素的集合称为晶体的对称型。已经证明：在一切宏观晶体中，总共可能出现的对称型只有 32 种。,48,在晶体研究中经常遇到两个名词：点群：在宏观晶体中存在的所有对称要素都必定通过晶体的中心，因此不论如何进行对称操作，晶体中至少有一个点是不变的，因此对称型也称为点群。空间群：晶体结构中还有一些微观的对称要素，微观对称要素的核心是平
21、移轴，微观对称要素的集合构成平移群。晶体结构中存在的一切对称要素 (包括平移轴在内) 的集合称为空间群。晶体中可能存在的空间群只有 230 种,49,关于晶体宏观对称性的详细讨论不属于本课程的范围，有兴趣的可以阅读已经出版的大量的结晶学方面的专门著作。现在我们还是回过头来看看布拉维格子。,50,首先来建立一个描述空间点阵的坐标系,前面提到的布拉维的四条基本原则的目的在于在空间点阵中找出一个能够全面准确体现该点阵几何特征的平行六面体。确定了这个平行六面体，也就相当于确定了空间点阵的坐标系。,51,单位平行六面体的三根棱是三个坐标轴的方向棱之间的交角是坐标轴之间的交角棱长就是坐标系统的轴单位。,5
22、2,重温一下平行六面体的选取原则,(1) 所选取的平行六面体的对称性应该符合整个空间点阵的对称性； (2) 在不违反对称的条件下，应选择棱与棱之间的直角关系最多的平行六面体； (3) 在遵循上述两条的前提下，所选的平行六面体体积应该最小； (4) 在对称性规定棱间交角不为直角时，在遵循前三条的前体下，应选择结点间距小的行列作为平行六面体的棱，且棱间交角接近于直角。,53,14 种布拉维格子,布拉维通过数学推导发现，尽管存在有各种各样的晶体，但是按照四条基本原则，从各种晶体中抽象出来的空间点阵只有 14 种形式，称为 14 种布拉维格子，分别可以用一个根据上述四条基本原则划分出来的平行六面体来表
23、示。,54,7 大晶系,根据相应的平行六面体的几个特征，14 种布拉维格子可以分为 7 类，称为 7 大晶系。这 7 大晶系按对称程度增加的次序分别为：,三斜晶系、单斜晶系、正交晶系、三方晶系、四方晶系、六方晶系、立方晶系。,55,7 大晶系的几何特征,(1) 立方晶系：a = b = c; = = = 90,(2) 四方晶系：a = b c; = = = 90,(3) 正交晶系：a b c; = = = 90,(4) 单斜晶系：a b c; = = 90； 90,(5) 三斜晶系：a b c; 90,(6) 六方晶系：a = b c; = = 90; = 120,(7) 三方晶系：a = b
24、 = c; = = 90,56,有 4 条 3 次旋转轴或 3 次倒转轴,唯一的 6 次旋转轴或 6 次倒转轴,唯一的 4 次旋转轴或 4 次倒转轴,唯一的 3 次旋转轴或 3 次倒转轴,有 3 个 2 次旋转轴或 2 次倒转轴,唯一的 2 次旋转轴或 2 次倒转轴,只有 1 次旋转轴或1 次倒转轴,57,立方晶系具有 4 条 3 次旋转轴： 4 条体对角线,这三个顶角构成了一个等边三角形。,58,这是六方晶系的六次对称轴。,59,简单格子:只有八个顶点处有结点,对于每一类格子，考虑到平行六面体选取原则，可能会出现四种情况,60,对于每一类格子，考虑到平行六面体选取原则，可能会出现四种情况,底
25、心格子：除了 8 个顶点外，上下两个表面的中心处各有 1 个结点。,61,对于每一类格子，考虑到平行六面体选取原则，可能会出现四种情况,体心格子：除 8 个顶点外，六面体中心处还有 1 个结点,62,对于每一类格子，考虑到平行六面体选取原则，可能会出现四种情况,面心格子：除了 8 个顶点外，六个表面的中心处各有 1 个结点。,63,对应于 7 大晶系，考虑原始、体心、面心和底心的存在，应该有 28 种格子。但是，这 28 种格子中，有的可能不满足对称性要求，有的则不符合选择原则。去掉了这些不符合要求的格子后，共有 14 种不同形式的空间格子。这就是通常所说的 14 种布拉维格子。,64,(1)
26、 立方格子 3 个：简单、体心、面心 (2) 四方格子 2 个：简单、体心 (3) 正交格子 4 个：简单、体心、底心、面心 (4) 单斜格子 2 个：简单、底心 (5) 三斜格子 1 个：简单 (6) 六方格子 1 个：简单 (7) 菱方格子 1 个：简单,14 种布拉维格子,65,为什么没有底心立方格子？,考虑这 4 个底心立方构成的图形,从中可以切出一个体积更小的长方体。即简单四方格子,底心立方的体对角线不是 3 次旋转轴。所以切成简单四方不违背对称性原则。,66,素格子和复格子、原胞和晶胞,原始格子、体心格子、面心格子和底心格子分别含有 1 个、2 个、4 个和 2 个结点 含有 1
27、个结点的格子有时也称为素格子；含有 1 个以上结点的格子相应地称为复格子 如果把空间点阵还原为晶体结构，也就是把每个结点位置上布置上晶体的基元，由原始格子所得到的描述晶体结构的平行六面体称为原胞，而由布拉维格子所得到的描述晶体结构的平行六面体则称为晶胞。 只含一个结构基元的晶胞称为素晶胞；含有 1 个以上结构基元的晶胞则称为复晶胞。,67,这个六方格子不是布拉维格子,这个六方格子才是布拉维格子,68,2.3.3 结点位置、晶向、晶面及其表示方法,69,在空间点阵中，分布在同一直线上的结点构成一个行列。还原为晶体结构后，行列的方向则称为晶向。 连接分布在同一平面内的结点即构成一个面网。还原为晶体
28、结构后，面网则称为晶面。,70,结点位置的表示方法,以布拉维格子的任意一个顶点为原点，以三条棱作为坐标轴建立空间坐标系。用结点在这一空间坐标系中的坐标即可表示结点的位置。,71,简单格子：只有八个顶点处有结点。坐标值分别为：,000, 010, 001, 100 101, 110, 011, 111,这 8 个结点对于布拉维格子而言只相当于 1 个结点，其位置可以统一写成：000,72,体心格子：除了八个顶点外，体心处还有 1 个结点。坐标值分别为：,同样，8个顶点位置处的结点可以统一写成：000,体心,73,体心格子：除了八个顶点外，体心处还有 1 个结点。坐标值分别为：,8个顶点位置处的结
29、点可以统一写成：000 底心的的两个结点相当于 1 个：,底心,74,面心格子：,8个顶点位置处的结点可以统一写成：000 面心的的结点相当于3 个：,面心,75,晶向及其表示方法,空间点阵的结点可以看成是分列在一系列相互平行的直线上，这些直线系称为晶列 同一个点阵可以形成方向不同的晶列 每一个晶列定义了一个方向称为晶向 如果从一个结点沿晶向到最近的结点的位移矢量为 ha + kb + lc，则该晶向就可以写成 h k l。h, k, l 均为整数，通常称为晶向米勒指数 如果 h、k、l 中某一个或几个的值为负数，则需要将负号标注在该数的上方,76,X,Y,Z,77,考虑到空间点阵的平移对称性
30、，不难理解一组晶向指数事实上代表了相互平行、方向一致的所有晶向。如果两个晶向相互平行但方向相反，则晶向指数中的数字相同但符号相反,78,晶体中原子排列情况相同但空间位向不同的一组晶向称为晶向族，可以用符号 加以表示。,立方晶系的四条体对角线构成的 8 个晶向 (方向不同) 上原子的排列是完全相同的，只是取向不同，所以构成了一个晶向族，可以用符号 表示。 但是，正交晶系中的 100、010 和 001 这 3 个晶向就不是等同的，因为在这 3 个晶向上的原子间距分别为 a、b、c，原子的排列情况不同，所以不属于同一晶向族。,79,晶面及其表示方法,空间点阵的结点可以从各个方向被划分为许多组平行且
31、等距的平面点阵。这些平面点阵所处的平面称为晶面 晶面具有两个特点 晶面族一经划定，所有结点都全部包含在晶面族中而无一遗漏 一族晶面平行且两两等距，这是空间点阵周期性的必然结果 晶面可以采用一组米勒指数 (h k l) 来表示,80,晶面米勒指数 (h k l) 的确定,因为所有的结点都在所考虑的晶面族上，所以必然有一个晶面通过原点，而其他晶面既然相互等距，就将均匀切割各坐标轴 选择一个不过原点的晶面，找出这个晶面在各坐标轴上的截距x, y, z。 将截距的倒数化成互质的整数 h, k , l。 如果晶面族与某一轴平行，则截距为无穷大，相应的米勒指数就为 0。 如果 h、k、l 中某一个或几个的
32、值为负数，则需要将负号标注在该数的上方。,81,待标晶面在三个轴上的截距分别为：1/2，2/3，1.2。取倒数后得到 2, 3/2, 2。化为互质整数则得到 4, 3, 4 三个数。 因此该晶面的米勒指数为 (4 3 4)。,82,Y,X,Z,83,在立方晶系中，晶向 h k l 总是垂直于同指数的晶面 (h k l) 的。 可以试着证明一下 但是这一关系在其他晶系中并不普遍适用。,84,2.3.4 晶面间距,晶面间距指的是两个相邻的平行晶面之间的距离。 对于给定的空间点阵，晶面间距与晶面指数、点阵常数之间存在一定的关系。了解这些关系对于计算 X 射线衍射图具有重要意义。,85,根据空间解析几何中点与面之间距离的计算公式即可以得到：,晶面方程为：,考虑 = = = 90 的情况,86,对于立方晶系，a = b = c, 因此可以简化为：,87,其他晶系的晶面距与晶面指数、晶格常数之间的关系较为复杂。有兴趣的可以自己推导一下，一些教科书 上也能找到。,88,一个简单立方点阵结构的 (110) 晶面的间距为 3.03 nm，试计算其 (111) 晶面的间距。,习 题,
