1、数学方法介绍1教案倒推与反证（一）1将一个数做如下运算：乘以4再加上112，减去20，最后除以4，这时得结果100。这个数是多少?解析：所求数为：（1004+20112）4=77 说明：按题中叙述的运算顺序无法求出答案，把这个过程倒过来，除法变乘法，减法变加法，加法变减法乘法变除法。2两个两位数之和为198，求这两个两位数解析：将198拆分为两个数之和，有很多方法，但要求两个加数都是两位数，只有： 198=99+99 所以这两个两位数都是99 说明：如果已知两个加数，求它们的和，这是正常的思路，现在把这个思路倒过来，想一想哪两个数的和是198。3已知3个互不相同的自然数之和为55，其中每两个数
2、之和分别都是平方数，求这三个数解析：小于55的完全平方数有： 49，36，25，16，9，4，l其中三个数之和为55的2倍只有： 49+36+25=110所以每两个数之和分别为49，36，25，这三个自然数分别为： 55496，553619，552530 说明：本题的关键是求出每个数之和是多少，而这要从小于55的平方数中去寻找。4两个两位数质数之和是66，求这两个质数解析：将66写为两个两位质数之和有以下四种方式： 6613+53，6623+43，66=29+37，6619+47。 说明：数学题经常有答案不唯一的情况，这时要注意找出所有答案。5小明在计算某数除以3.75时，把除号看成了乘号，得
3、结果225。这道题的正确答案是多少？解析：正确结果是：2253.753.75=16 说明：先想结果225是怎么想出来的，它是原题中被除数乘以3.75得来的，由此不难求出这个被除数，从而原题的正确结果也就可以求出来了。6李白买酒无事街上走，提壶去买酒遇店加一倍，见花喝一斗三遇店和花，喝光壶中酒壶中原有多少斗酒？（行进顺序：店花店花店花）解析：第三次见花前应有酒1斗。 第三次遇店前应有酒12=1/2(斗)。 第二次见花前应有酒1/2+1=3/2(斗)。 第二次遇店前应有酒3/22=3/4(斗)。 第一次见花前应有酒3/4+1=7/4(斗)。 第一次遇店前应有酒(即壶中原有酒) 7/42=7/8(斗
4、)7有甲、乙两堆棋子，其中甲堆棋子多于乙堆。现在按如下方法移动棋子：第一次从甲堆中拿出和乙堆一样多的棋子放到乙堆；第二次从乙堆中拿出和甲堆剩下的同样多的棋子放到甲堆，照此移法，移动三次后，甲、乙两堆棋子数恰好都是32那么，甲堆棋子原来有多少个？解析：我们从最后一步倒着分析。因为第三次是从甲堆拿出棋子放到乙堆，这样做的结果是两堆棋子都是32个，因此，在未进行第三次移动之前，乙堆只有322=16个棋子，而甲堆的棋子数是32+16=48个。这样再倒推下去倒推的过程可以用下表来表示。 所以甲堆原有44个棋子，乙堆原有20个棋子。 乙堆棋子甲堆棋子第三次移动后3232第二次移动后322=1632+16=
5、48第一次移动后24+16=40482=24原有棋子402=2020+24=44说明：借助一张表格，把两堆棋子的数量列在一起，随时可以对照，倒推起来也很方便，而且不容易搞错。8井底有一只青蛙，已知井深24米，这只青蛙白天向上跳6米，夜里又落下4米，这只青蛙几天(一昼夜算一天)可跳出井外？答案：9.5天解析：由于最后一天的白天青蛙跳出井外，就不再下落了，先算这之前的天数为：(246)(64)=9(天)这说明青蛙在第10天傍晚就跳出井外了。 、 说明：这只青蛙白天向上跳6米，夜间向下落4米，相当于一昼夜上升2米，但如果认为答案为：24(64)=12(天)，就错了。倒着想一想，在这之前青蛙已经跳出井
6、外了。9如图，一支箭头表示一段有方向的路，从A至I有多少条不同的路可走？解析：因为路数总是有限的，于是很自然的想法，是用枚举法试试，但是试过几条路后，就会觉得由于通路的错综复杂，哪条路算过，哪条路还没算都搞不清了，所以我们不妨换一条思路，用倒推法试一试。从右图上可以看出来，要想到I，就必须经过F、M、H，因此从A到F、M、H各有几条路，其总和便是从A到I所有不同的路数，对F、M、H可做同样的倒推分析，这样一步一步地倒推下去，最后归结为找A到B、C、D的不同路数，因此再倒推过去，便得到如下的计算方法：如果把A至某点的路数记在表示该点的字母旁边，那么，要求A到达某点的路数，只要看有几只箭头到达该点
7、，这几只箭头的尾部数据之和即为所求。为统一起见，A点数据记为1，于是由A到B、C、D的路数分别记为1，3，1，到E的路数为1+3+1=5，其他类推。最后得以至I的路数为： 24+12+6=4210有一天，三位小朋友在图书馆相会，其中一个说：我每隔一天来一次第二个说：我每隔两天来一次第三个说：我每隔三天来一次管理员告诉他们说：每逢星期三闭馆，小朋友们说：如果预定来的日子正好闭馆，那就次日来，从今天开始，他们按上述办法来，下一次在星期一他们三人又在图书馆相聚，上次谈话离这个星期一最近可能是星期几？解析：设这三个小朋友分别为A、B、C。对A来说，星期一的前一次是星期六，再前一次是星期四，再前一次是星
8、期几呢?有两种可能性，星期二或星期一。对B，C二人也作类似的倒推分析。我们把分析的结果列成下表，表中符号“”表示可能去图书馆。星期人六日一二三四五六日一AABCC从表中可以看出，对A和C来说，都是星期四去了图书馆，而星期四的前一次有两种可能性。所以离星期一最近的相遇时间可能是星期六。11任意改变某一个三位数的各位数字的顺序得到一个新数，那么新数与原数的和有可能等于999吗？解析：我们把原数记为，新数记为。根据题意，原数的三个数字a，b，c，适当交换顺序后，就变成，。因此 a+b+c=+从而a+b+c与+的奇偶性相同。 另一方面，假设我们有那么c+=9，b+=9，a+=9，从而(a+b+c )+
9、(+)=27。 因为27是奇数，所以a+b+c与+的奇偶性不同。这与我们上面已经得到的结论“a+b+c与+的奇偶性相同”矛盾。 这个矛盾说明，与 的和不可能等于999。 说明：如果在我们自己给出的某个假设下，得出一个与事实矛盾的结果，那就说明我们自己给出的这个假设是不可能出现的。这种思考问题的方法就是反证法。12存在正整数a，b，c，使得等式abca=1993 abcb=1995 abcc=1997 同时成立吗？解析：假设存在自然数a，c，c使得等式、都成立，那么由可得a(bc1)1993 因为1993是奇数，所以a一定是奇数。由可得 b(ac1)=1995 因为1995是奇数，所以b一定是奇
10、数。由可得 c(ab1)=1997 因为1997是奇数，所以c一定是奇数。 由于a，b，c都是奇数，因此a bc是奇数，从而abca是偶数。这一结论与等式矛盾。 这个矛盾说明，不可能存在同时使等式，都成立的自然数a，b，c。13某小学40名同学参加数学竞赛，用15分制记分(分数为0，1，2，15)。经统计，全班总分为209分，而且相同分数的学生不超过5人，那么得分超过12分的学生至多有9人。试说明这是为什么。解析：假设“得分超过12分的学生至少有10人”，那么全班总分至少有：5个13分，5个14分，5个0分，5个1分，5个2分，5个3分，5个4分，5个5分，合计：(0+1+2+3+4+5+13
11、+14)5=210(分)，它大于209分，与条件矛盾。因此，假设是错的，假设的反面(“得分超过12分的学生至多有9人”)是正确的。14两个人轮流报数，但报出的数不得超过10，也不为0。同时把所报的数一一累加起来，谁先得到100 谁就获胜。先报者如何报数，就能确保获胜？解析：我们要解决的问题是，为确保获胜，应该先报数，还是后报数?以后每次报数应遵循什么规律?为了叙述方便，我们假设甲、乙二人做这个游戏，并且甲先得到100。为了得到甲获胜的方法，我们可以倒着想，甲得到100之前那一次应得到多少。因为每个人报的数最大是10，最小是1，所以乙最后一次报完数后，总和最大是99，最小是90，这样就知道乙报数之前的总和应该是89。不断重复这样的分析，我们可以知道甲每次报数应占领的“制高点”是： 100，89，78，67，56，45，,34，23，12，1 所以，甲确保获胜的方法是： (1)先报1； (2)乙若报口(1a10)，则甲就报11a，这样，甲每次都可以占领一个“制高点”，最后先报到100。 说明：要注意我们这里所寻求的是必胜的方法，碰巧获胜的方法是不算正确的。另外，这类问题经常要用到倒推法。4
