1、高中数学 第一章 导数及其应用 1.1 变化率与导数教材习题点拨 新人教A版选修2-21(思考1)当空气容量从V1增加到V2时，气球的平均膨胀率是多少？答：气球的平均膨胀率为.2(探究)计算运动员在0t这段时间里的平均速度，并思考下面的问题：(1)运动员在这段时间里是静止的吗？(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？答：(1)运动员不是静止的；(2)在0t这段时间内的平均速度0，而运动员在这段时间内不是静止的，因此用平均速度描述运动员的状态不合适3(思考2)观察函数yf(x)的图象，平均变化率表示什么？答：表示yf(x)图象上两点A(x1，f(x1)、B(x2，f(x2)连线的
2、斜率(1)运动员在某一时刻t0的瞬时速度怎样表示？(2)函数f(x)在xx0处的瞬时变化率怎样表示？答：(1)运动员在某一时刻t0的瞬时速度为；(2)函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率为.练习解：在第3 h和5 h时，原油温度的瞬时变化率分别为1和3.它说明在第3 h附近，原油温度大约以1 /h的速率下降；在第5 h时，原油温度大约以3 /h的速率上升(问题)此处的切线定义与以前学过的切线定义有什么不同？答：初中平面几何中圆的切线的定义：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切这时直线叫做圆的切线，惟一的公共点叫做切点圆是一种特殊的曲线这种定义并不适用于一般曲线的切线比如图中的曲线C，直线l
3、1虽然与曲线C有唯一的公共点N，但我们不能认为它与曲线C相切；而另一条直线l2，虽然与曲线C有不止一个公共点，我们还是认为它是曲线C在点M处的切线因此，以上圆的切线的定义并不适用于一般的曲线通过逼近方法，将割线趋于的确定位置的直线定义为切线，适用于各种曲线所以，这种定义才真正反映了切线的直观本质练习1解：函数h(t)在tt3附近单调递增，在tt4附近单调递增并且，函数h(t)在t4附近比在t3附近增加得慢点拨：体会“以直代曲”的思想练习2029；0.18.习题1.1A组1解：在t0处，虽然W1(t0)W2(t0)，然而，所以单位时间里企业甲比企业乙的平均治污率大，因此企业甲比企业乙略好一筹点拨
4、：考查平均变化率的应用，体会平均变化率的内涵2解：4.9t3.3，所以h(1)3.3.这说明运动员在t1 s附近以每秒3.3 m的速度下降3解：物体在第5 s的瞬时速度就是函数s(t)在t5时的导数t10，所以s(5)10.因此物体在第5 s时的瞬时速度为10 m/s，它在第5 s的动能U3102150 J.4解：设车轮的角速度为，时间为t，则kt2(k0)由题意可知，当t0.8时，2.所以k，于是t2.车轮转动开始后第3.2 s时的瞬时角速度就是函数(t)在t3.2 s时的导数t20，所以(3.2)20.因此，车轮在开始转动后第3.2 s时的瞬时角速度为20弧度/秒5解：由题图可知，函数f(
5、x)在x5处切线的斜率大于零，所以函数在x5附近单调递增同理可得，函数f(x)在x4、2、0、1附近分别单调递增、几乎没有变化、单调递减、单调递减点拨：“以直代曲”思想的应用6解：第一个函数的图象是一条直线，其斜率是一个小于零的数，因此，其导数f(x)的图象如图(1)所示；第二个函数的导数f(x)恒大于零，并且随着x的增加，f(x)的值也在增加，如图(2)所示；对于第三个函数，当x小于零时，f(x)小于零，当x大于零时，f(x)大于零，并且随着x的增加，f(x)的值也在增加，如图(3)所示以下给出了满足上述条件的导函数图象中的一种点拨：本题意在让学生将导数与曲线的切线斜率相联系B组1解：高度关于时间的导数刻画的是运动变化的快慢，即速度；速度关于时间的导数刻画的是速度变化的快慢，根据物理知识，这个量就是加速度2解：如图所示点拨：由给出的v(t)的信息获得s(t)的相关信息，并据此画出s(t)的图象的大致的形状这个过程基于对导数内涵的了解，以及数与形之间的相互转换3解：由题意可知，函数f(x)的图象在点(1，5)处的切线斜率为1，所以此点附近曲线呈下降趋势首先画出切线的图象，然后再画出此点附近函数的图象同理可得(2)、(3)某点处函数图象的大致形状如图所示点拨：这是一个综合性问题，包含了对导数内涵、导数几何意义的了解，以及以直代曲思想的领悟本题的答案不唯一5
