1、2009智轩考研数学创高分红宝书系列-高等数学 1序 本书是一本含金量较高、适应国家命题数学 1-4 类和各校自主命题的数学甲乙或 AB的考研全面基础延展复习与综合强化提高的全程讲义。本书采用了作者系统的原创性的陈氏秘技和形象记忆掌握法，尤其对三基的延拓层面独具匠心，奉献了读者渴望的评注，作者蛰伏 5 年完成，而且每年都对相关内容作了大篇幅修改，本书使用的效果近年来受到全国广大学子的高度认可。如何弥补本科生的公共数学学习深度与国家选拔考试的要求之差距，是考生成功的关键，同时也是一个实际性困难。智轩考研数学红宝书2009正是针对解决这一困难，参照教育部硕士研究生入学考试大纲 2008 和历年真题
2、及其数十名著名考研辅导专家的资料和经验，经过反复研究和提炼精心打造、独具匠心编纂而成，旨在为莘莘考研学子架设一座成功的桥梁。本书特别强调数学“三基”的全面训练，即基本概念与定义，基本性质与定理，基本运算与结论的夯实与正确拓展，然后全面分析 22年来的国题，分析其命题历年之间的重复规律，进而研究目前尚未考到的知识点中可能出现的题型及其有哪些交叉知识点综合的题型。作者深入而细致研究了教育部历年来主要知名考研命题专家的资料与风格，现已连续辅导了六届数学考研，积累了独特而卓有成效的经验，2007 年辅导的学员参加 2008 年数学考研，平均成绩达到 106 分，。作者的辅导思路是：1首先严格按照考研数
3、学大纲知识点全面抓三基，对教材的三基内容全面延伸，根据大纲的要求，恰当好处地拓宽拓深其外延与内涵，尤其是可能存在的死角与陷阱，帮助读者归纳总结。2全面研究了 22 年来（1987-2008）四类考研的国题和各校自主命题的数学 AB 或甲乙的真题，全方位揭密了考试范围、要求、难度、题型、题频及其解题方法和技巧。3广泛研究了 40 余位主要考研数学辅导资深专家（如蔡子华、潘鑫、单立波、铁军、李永乐、叶盛标、陈文灯、赵达夫、蔡燧林、胡金德、张天德、龚冬保、汪诚义、范培华、严守权、刘坤林、谭泽光、俞正光、葛余博、徐兵、王式安、余术、韩云端、曹显兵、黄先开、费允杰、尤承业、李昂、刘西恒、武忠祥、姚孟臣、
4、龚兆仁、陈殿友、胡显佑、陈光曙、于长千、李大华、吴晓平等 38 位专家）的考研分析、复习方法和他们出版的有关考研数学的资料共计 100 余种，尤其是题型，然后提炼为自己题型例题和题型习题，自成特色体系，奉献给读者。希望读者不遗余力重复三次地记忆、理解、练习和总结。4 对各知识点的应用进行了独家解题方法和技巧总结，以“20 技”奉献给读者。本套书分三部分，第一部分为高等数学（共八大知识点），以同济六版为基础教材，并添加了差分方程（针对数学 3）和边际与弹性函数在经济学中的应用（针对数学 3-4）；主要包括：函数、极限、连续；一元函数微分学；一元函数积分学；向量代数与空间解析几何；多元函数微分学；
5、多元函数积分学；无穷级数；常微分方程与差分方程共八大知识点。第二部分为线性代数（共六大知识点），以同济主编的四2009智轩考研数学创高分红宝书系列-高等数学 2版为基础教材，包括：行列式；矩阵；向量；线性方程组；矩阵的特征值和特征向量；二次型等六大知识点。第三部分为概率论与数理统计（共八大知识点），以浙江大学盛骤主编的第三版主编的概率论与数理统计为基础教材，包括：随机事件和概率；随机变量及其分布；多维随机变量及其分布；随机变量的数字特征；大数定律和中心极限定理；数理统计的基本概念；参数估计；假设检验等八大知识点。由于在大纲范围内整个数学体系所考知识点共有 24 个，所以一般考研数学题量在 24
6、 道左右。从2003-2008 年的试题来看，国家 4 类试题共用题目比例随年有大幅度提高，尤其是线性代数和概率论与数理统计近两年所考题目几乎完全相同，在各自的考试大纲范围内难度总体上趋于基本一致。经济类命题连续几年并无任何经济特色的题目，也没有像早几年试卷那样的物理问题应用题出现。而且，同一个考点，会在数学一、二、三、四试卷中按年份轮换出现。高数甲乙或 AB 的理科类试卷也竭力模仿国家四类特点命题。因此，本书提供的三基与拓展、例题与技巧、练习与模拟，都同时适应各类考生。使用本书的方法：由于本书含有六类数学的全部内容，所以，你必须先根据你所考的数学类型按照2008 年大纲在目录中圈定你需要的内
7、容，其余的内容不要管它。五星级提示：在正式考试之前一星期内必须把本书的重要结论全面复习一遍！只要是书就难免存在错误和不足之处，敬请批评指正。陈秋成 2008 年3 月 2009智轩考研数学创高分红宝书系列-高等数学 3 第一篇 高等数学 第一章 函数与极限 2008考试内容(本大纲为数学1，数学2-4需要根据大纲作部分增删)函数的概念及表示法 函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性 复合函数、反函数、分段函数和隐函数 基本初等函数的性质及其图形 初等函数 函数关系的建立 数列极限与函数极限的定义及其性质 函数的左极限和右极限 无穷小量和无穷大量的概念及其关系 无穷小量的性质及无穷小量的比较 极限
8、的四则运算 极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则 两个重要极限：0sin 1lim 1,lim(1)xxxxexx=+=函数连续的概念 函数间断点的类型 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质 2008 考试要求 1.理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系。2.了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。4.掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系。6.掌握极限的性质及四则运算法则。7.掌握极限存在的两个准则
9、，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。8.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限。9.理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。一、函数的类型与特征 1 类 型 1.1 有界函数，如：|1 yxx=，()1lim sinxfx xx=等等；无界函数，如()1lim cosxfx xx=。注意无界量与无穷大量的区别，比如：()2011lim sinxfxx x=是一个无界量，因为()120
10、11lim sin 0 xnxfxxx=；而()01limxfxx=就是一个无穷大量。无界量的特征一般存在振荡情况。1.2 单调函数（12x x，12()()fxf x 或），注意单调函数一般指严格单调函数，注意它与单调不增函数或单调不减函数的区别。1.3 周期函数，满足：()()f xT fx+=，注意T 一般指最小的正周期。2009智轩考研数学创高分红宝书系列-高等数学 4如()2 tan 3tan23x xfx=的最小的正周期为 6。狄利克雷函数()1,1,xfxx=为有理数为无理数，则任何有理数都是其周期。1.4 复合函数，一般形式为：()()y fgx=，指具有中间变量的函数。1.5
11、 反函数，,x y存在一一映射的情况下，二者互为反函数。反函数有两种表达方式：不改变记号 若()x gy=为()y fx=的反函数，则在某些场合，常把()y fx=的反函数记为()1x fy=或()x gy=，没有改变记号的互为反函数()y fx=和()1x fy=的曲线重合 改变记号 若()x gy=为()y fx=的反函数，则在某些场合，常把()y fx=的反函数记为()1y fx=或()y gx=，此时已重新把x视为自变量，在反函数记号的使用中，一定要分清是否需要换变量记号，一般在纯粹需要求反函数时，需要改变记号。改变记号后，互为反函数的两个函数()y fx=和()()1y gx f x
12、=的曲线关于直线y x=对称；。对偶性()y fx=与反函数()gx的定义域与值域具有对偶性，即()y fx=的定义域必为()gx的值域，而()y fx=的值域必为()gx的定义域，并且()()()()()()1gfx fgx ff x x=。1.6 分段函数 如：()()lim,1 1,1 2lim 1 xkxkxknn x nfx x k fx xnnx nxk+=+=+=为整数时,虚点靠右()()2222 323,1,1max 1,1,1 max 1,1,1,1,1xx xxfx x x fx xx xxx xx 2009智轩考研数学创高分红宝书系列-高等数学 5()()1,0,0sgn
13、 0,0 sgn 0,0 sgn1,0,0 xx xf xxxx xxx xxx x=注意 在积分时可直接提出 著名的黎曼函数()()0,01,xfx n nmxnn=为无理数为整数，且为有理数 1.7 隐函数，如使用2sinyx e=，2,1;,1;,1;,1 Max x y Min x y Max x y Min x y=等方程表示函数（请读者画出后面四种函数的图形，在概率论中十分有用）。1.8 奇偶函数与对称性 常用的奇偶函数 奇函数()()()()()()21ln;ln 1;12fxfxxfx fx x x Fxx=+=+偶函数()()()(),2xxfxfxfxaa Fx+=+=在对
14、称区间(),aa 定义的任何函数()f x，都可以表示为奇函数和偶函数至之和，即()()()()()22fxfxfxfxfx+=+若()y fx=的图形有对称轴x a=，则有()()()()2axtf axfax ftfat=+=，且()f ax 为偶函数。若()y fx=的图形有对称中心(),0 a，则有()()()()2axtf ax fax ft fat=+=，且()f ax 为基函数。若()y fx=的图形有对称中心(),0 a 和(),0 b，且ab 则()()()()()()()()()()22,222 22,atuft fatft fbtf at fbt fu fu baTba=
15、+=但不一定是最小的正周期。2009智轩考研数学创高分红宝书系列-高等数学 6 可见，()f x 为周期为()2ba 的周期函数。2函数两个特性：定义域与对应法则 自变量表示法的无关性；3函数表示方法：数学式（参数表示、方程表示、分段表示）；表格式；图形；文字叙述。还可以是极限形式、导数、积分或级数等形式表示。二、七个基本初等函数 幂函数 y x=是常数，(),x 指数函数 xy a=0,1 aa，(),x 对数函数 logay x=0,1 aa，()0,x 三角函数()()s i n,;c o s,;t a n,;2cot,;sec,;csc,.2yx x x x x xkxx k xx k
16、 xx k=+反三角函数 arcsin y x=()1,1 x，,22y,a r c c o s y x=()1,1 x，0,y,a r c ta n y x=(),x，,22y c o t y arc x=(),x，()0,y 双曲函数与反双曲函数()()22ln 1;2ln 1211xtt l n21xxxxxxxxxeeshx arshx x xeechx archx x xeehx ar hxee=+=+=+常数函数.y const=初等函数：由 7 个基本初等函数经有限次四则运算和有限次复合并能用一个数学式子表达出 来的函数。非初等函数：如，(),0 1 0,21,1 2xxfx x
17、x xxx=2009智轩考研数学创高分红宝书系列-高等数学 7七个基本初等函数的定义域与值域及其图形，读者必须掌握，是考试重点。题型1 函数定义域与值域题法【例 1】()()()2 0,ln,0 xxxfx x x f xex=求 的定义域。解：()22ln ln 0 1 ln 1 ln 0 0 1 0 1 xxx xxfxxxxxx=【例 2】()()()2 sin,1,fx xf x x x=已知 求 的定义域。解：()()()222 s i nx1 x xa r c s i n 1 x 1 1 x 1 2 x 2=【例 3】求()2 2xs i nys i n1 21 xxyx=+和 的
18、值域。解：()()222222222111221 2 21 222 2 2sin sin,.22 2 2 21 21sin 111221 sin 1 sin 1 1,21 2 1 22xxxxxxxxyxxxxxxxxxxyxx+=+=+=+值域的值域 题型2 求反函数题法【例 4】()()323 2xxyfx x xxx=求 的反函数？解：()3322=1 2=2 1 2=2 1=2+1 2 1xyxyyxyxxyyxyxxyxxyxyy=由于 舍去 2009智轩考研数学创高分红宝书系列-高等数学 8()3=2+1 所以，的反函数为【例 5】求 xxy4 1 14 1 1+=的反函数。解 u
19、uy x u+=+=1141 22)1(11141114 111yyyyxyyxyyu+=+=+=+=由于一般求反函数要求交换变量，故 2)1(xxy+=题型3 函数方程题法【例 6】设 x x fxxf+=+)(21 21)(x f 求 解：令1 211 21+=+=ttxxxt 1 211 212)(+=ttttf t f 1 211 212)(+=xxxxf x f t x 1 21)(2 2+=xxx x f)2 1(31 4)(2xx xx f+=评 注 利用函数自变量表示的无关特性。【例 7】设 xxxf x f 21)(=+()0,1 x 求()f x。解：令11 1=txxxt
20、 2009智轩考研数学创高分红宝书系列-高等数学 9 tt ftf=+12)(11 xx fxf=+12)(11 再令 uxuux=11 111 uuufuuf)1(211 1=+xxxfxxf)1(211 1=+由原式和、联立即可得到 111 1)(+=x xx x f 三、函数的连续与间断 1、函数的连续要求)(x f 在0 x 的邻域内有定义；0lim()xxf x 存在；00lim()()xxfxfx=2、函数的间断点)(x f 在0 x 邻域无定义；0lim()xxf x 不存在，包括00()()fxfx+和 至少有一个不存在的情形；00lim()xxf x 单侧极限()()00li
21、m limxx xxfxf x+或 存在时的不连续点称为第类间断点。分为以下两类：000()()()fxfxf x+=可去间断点（通过增加函数在0 x 点的定义值），如()sinxfxx=。)()(0 0 x f x f+跳跃间断点，如()sgn fxx=。单侧极限()()00lim limxx xxfxf x+或 不存在时的不连续点称为第类间断点。分为以下两类：2009智轩考研数学创高分红宝书系列-高等数学 1000()()fxfx+和 至少有一个不存在，包含振荡间断点11 sin yx x=如 与无穷间断点1 yx=如。四、重要结论：1分段函数不一定是非初等函数，如()2,0,0 xxy
22、fx y xxx=就是初等函数。2周期函数定义域不一定是一个区间，如 cos 1 y x=的定义域为一系列离散的点；不一定有最少的周期，如1,rational 0,irrationalxyx=没有最小正周期。3 无穷小是指以 0为极限的函数；无穷大是指函数的绝对值无限增大。等价无穷小是当 0 x 时二者比的极限为 1，在求极限时，只有在因式情况下可作部分代换。4 初等函数在其定义域内不一定连续，如 cos 1 2 y xxn=，任何一点都不存在邻域，故不连续。而初等函数在其定义子区间内一定连续。五、分段函数的复合方法 一般方法：我们把复合函数分为外层函数（如()()f gx 中的()f x）和
23、内层函数（如()()f gx中()gx）。如求()()f gx 1先将内层函数()gx的代入外层函数()f x 中，便得()gx的值域。2再解关于()gx的不等式，确定x的取值范围。3 求出2中的x的取值范围与()gx的原定义域的交集。4根据 3中的交集分段把()gx的具体函数段代入()f x 的具体函数段。题型4 分段函数的复合题法【例 8】设()()1,1,0,11,1xxgx efx xx 求()()()(),f gx gfx。解：注意本题的()gx定义域为全数轴。2009智轩考研数学创高分红宝书系列-高等数学 11()()()()()()()()11,1 1 0,10,1 1 0;1,
24、1,11,1 1 0 xfx xxgx e xexfgx gx e x gfx e xexgx e x【例 9】设()()21,1 2,1;0,1 2,1x xxfx gxx x=求()()()(),f gx gfx。解：()()()()1,1 0,1gxfgxgx=()()()22 1 1,111 10,11xxgx x x fgxxx=只与 有交集()()()()()()222,1 1,122,1 2,1 fx fx xgfx fxx fx=恒成立无交集【例 10】设()()()2,0,01;0,0 2,0 xxx xxfx xx gxxex=+=求()()()(),f gx gfx。解：
25、()()()()()()2,0,0,0 0,0 xgx gxxxfgx gxex gx=恒成立无交集()()()()()()()222,0,00,0,0fxfx fxxxgfx fxxef x=恒成立无交集【例 11】()()22,0,1;,1 1,0 xxxexfx gxxx x x+=求()()f gx.解：()()()()()(),1,1gxeg xfgxgx gx=()1 当()()()()1g xgx fgx e=求交集()()()20121xxx fgx egx x+=+求交集()()()212002110 2xxx fgx egx x x=()2 当()()()()1 gx fg
26、x gx=求交集()()()()010 221 1xxf g xg xxgx x x=+=+2009智轩考研数学创高分红宝书系列-高等数学 12 求交集()()()()2202111 2xxf g xg x xgx x x=所以：()()2212,12,1 0,0 21,2xxexxxfgxexxx+=求()()f fx。解：()()()()()()24,2 3,2fx fxffxfx fx=()1 当()()()()224 fxf f xf x=求交集()()()()222424222 4 4 81 22fx xxf f xxxxx=+求交集()322fx xx=，无交集。()2 当()()
27、()()23 f x ffx fx=求交集()()()()2242231 2 32fx xx ffx fx xx=，无交集。所以：()()42281 2,2 212 3,29,2xx xffx x xxx+=题型5 函数连续性题法 2009智轩考研数学创高分红宝书系列-高等数学 13【例 13】讨论()111fxx=的间断点。解：方法：先找出函数的全部无定义点，他们一定都是间断点，然后再逐个检查无定义点的极限，再判断他们所属间断点的具体类型。无定义点 0,x=1 01lim 011xx=为第一类可去间断点；11lim11xx=为第二类无穷大间断点。【例 14】()()()2,2,1;2 1,2
28、 51,13,5xxxxfx gx x xxxxx=+讨论()()f gx 的连续性。解：()()()()()()()()()()222,1,11,1 2,1 1,1 232,2 5 1 2 1,2 51,12,51 3,5x x only this temsxxxx gx gx xxfgxxx xxgx gxxxxx=+当 1,2,5 x 时，()()f gx 分别在相应的区域连续；当 1 x=边界点时，()()()()()11211lim lim 1 0lim lim 1xxxxfgx xfgx x+=故为第一类跳跃间断点；而当 2,5 x=分界点时，()()f gx 都连续。【例 15】研究函数()21,0 1,1 2x xfxxx=的连续性。解：方法：先检查每一个分段上有无间断段；然后检查边界点的单极限；最后检查分界点的左右极限。001 x 时，()()000lim 1xxfxxf x=，01 x 连续()()0lim 1 0 1 0 xfx f+=，在 0 x=右连续 同理：()f x 在12 x 连续，在 2 x=左连续。在分界点 1 x=：
