1、2017-2018 学年高三上学期协作校第二次阶段考试数学试题（理科）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 故选 D2. 设等差数列 的首项为 ，若 ，则 的公差为 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】设等差数列 的公差为 、故选 B3. 下列四个命题：若两条直线垂直于同一平面，则这两条直线平行；若直线 与平面 内的无数条直线垂直，则 ；若一个平面内的三个不共线的点到另一个平面的距离都相等，则这两个平面平行；若直
2、线 不垂直于平面 ，则平面 内没有与直线 垂直的直线.其中正确的命题的个数是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】若两个平面垂直于同一条直线，则这两个平面平行；所以正确若直线 与平面 内的无数条直线垂直， 可以与平面斜交，也可以在平面内；所以不对；若一个平面内的三个不共线的点到另一个平面的距离都相等，则两个面可以平行也可以相交，所以不对；若直线 不垂直于平面 ，也可以找到无数多条直线与 垂直；所以不对；故选 A4. 已知两直线 与 平行，则 （ ）A. B. C. 或 D. 【答案】D【解析】直线 与 平行 ，且故选 D点睛：（1）当直线的方程存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一
3、般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意 的系数不能同时为零的这一隐含条件；（2）在判断两条直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.5. 已知 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 故选 B6. 设 满足约束条件 ，则 的最大值是 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】作出不等式对应的平面区域，如图所示：由 ，得 ，平移直线 ，由图象可知当直线 经过点 时，直线 的截距最大，此时 最大由 ，得 ，即此时 的最大值为 8故选 C7. 在 中， 为重心，记 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 为 的重心 故选 A8.
4、 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】根据三视图可得，几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个边长为 4 的正方形，一条侧棱与该底面垂直，且这条侧棱的长为 3该几何体的表面积包括 5 部分，故选 B点睛：空间几何体的三视图是分别从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图，因此在分析空间几何体的三视图时，先根据俯视图确定几何体的底面，然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，再确定几何体的形状，即可得到结果9. 设 为等比数列 的前 项和， ，则 （ ）A. B. 或
5、C. D. 或【答案】C【解析】设等比数列 的公比为 ，且 ，即令 ， ，且 ，即 或 （舍去）故选 C10. 函数 的大致图象是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题 定义域为 ，且 ， 是奇函数，图象关于原点对称，排除 C，D；又当 时， 排除 A，故选 B11. 的内角 所对的边分别为 ，已知 ，若 的面积，则 的周长为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由 ，两边平方得 ，由 可得，由 得又 可得 再根据余弦定理可得解得 ，故 的周长为故选 D12. 已知数列 的前 项和 且 ，对一切正整数 都成立，记 的前 项和为 ，则数列 中的最大值为（ ）A. B. C
6、. D. 【答案】A【解析】由题数列 的前 项和 且 ，对一切正整数 都成立，则当 时， 当 时，得 -得， 结合 ，可解得 计算可得 则 ，它是一个等比数列，故 当 为奇数时， 随 的增大而增大，所以 当 为偶数时， 随 的增大而减小，所以 综上，当 时，总有 故选 A【点睛】本题利用数列的递推公式求解数列的通项公式及利用数列的单调性求解数列的和的最大项，在解题时需要一定的逻辑运算与推理的能力，其中根据 的奇偶判断 的单调性是解题的关键第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 若 ，则 _【答案】7【解析】故答案为14. 直线 经过点 且与曲线
7、 在 处的切线垂直，则直线 的方程为._【答案】即答案为15. 在 中，角 所对的边分别为 ， 的面积为 ，则 _【答案】6【解析】 ， ，又 的面积 即答案为 616. 直线 与函数 的图象有且仅有一个交点，则 的取值范围是_【答案】【解析】如图函数 的图象是圆 的上半部分.即答案为三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在 中，角 所对的边分别为 ，已知 .（1）求 的值；（2）若 ，求 及 的面积.【答案】 （1）6；（2） , .【解析】试题分析：（1）已知 ，由正弦定理角化边直接得到 ；（2）由第一问已知 ， ，再由余弦定理
8、得到 ， ，有三角形面积公式得到。（1） ， ， ， .（2） ， ， . . ， .18. 已知圆 的圆心在直线 上，且圆 经过点 与点 .（1）求圆 的方程；（2）过点 作圆 的切线，求切线所在的直线的方程.【答案】 （1） ；（2） 或 .【解析】试题分析：（1）求出线段 的中点 ，进而得到线段 的垂直平分线为，与 联立得交点 ， .则圆 的方程可求（2）当切线斜率不存在时，可知切线方程为 .当切线斜率存在时，设切线方程为 ，由 到此直线的距离为 ，解得 ，即可到切线所在直线的方程.试题解析：（1）设 线段 的中点为 ， ，线段 的垂直平分线为 ，与 联立得交点 ， .圆 的方程为 .（
9、2）当切线斜率不存在时，切线方程为 .当切线斜率存在时，设切线方程为 ，即 ，则 到此直线的距离为 ，解得 ，切线方程为 .故满足条件的切线方程为 或 .【点睛】本题考查圆的方程的求法，圆的切线，中点弦等问题，解题的关键是利用圆的特性，利用点到直线的距离公式求解19. 如图，四棱锥 中，四边形 是菱形， ，平面 平面 ,.（1） 在 上运动，当 在何处时， 平面 ；（2）当 平面 时，求直线 与平面 所成角的正弦值.【答案】 （1）当 为 中点时， 平面 ；（2）【解析】试题分析：(1)当 为 中点时，由几何关系可得 ，利用线面平行的判断定理即可证得 平面.(2)由题意建立空间直角坐标系，结合
10、直线的方向向量和平面的法向量可求得直线 与平面所成角的正弦值为试题解析：（1）当 为 中点时， 平面 设 ，在 中， 为中位线，即，又 平面 平面 ， 平面 .（2） 四边形 是菱形， ，均为等边三角形.取 的中点 平面 平面 平面 .以 为坐标原点，射线分别为 轴的正方向建立如图所示的空间坐标系，则 . .设平面 的法向量为 ，则由 ，得 ，取 ，得 .记直线 与平面 所成角为 ，则.20. 数列 的前 项和 满足 ，且 成等差数列.（1）求数列 的通项公式；（2）设 ，求数列 的前 项和 .【答案】 （1） ；（2） .【解析】试题分析：（1）已知 再写一项做差可得 可知是等比数列，根据题
11、中条件，有等差和等比数列的概念通项得到 ；（2）由第一问的通项可代入得到 ，错位相减求和即可.（1） ，当 时， . ， ，故 为等比数列 .设 公比为 ，则 ， ， 成等差数列， ， ， . .（2） ， . ，相减得：， .点睛：这个题目考查了等比数列和等差数列的综合性质应用，数列求和的方法；数列求和经常采用的方法是：错位相减，一般适用于等差等比综合的；裂项相消，适用于分式型的；分组求和，适用于数列中相邻几项之和或差是定值的。21. 设向量 ，函数 .（1）求 在 上的值域；（2）已知 ，先将 的图象向右平移 个单位长度，再把得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，然后再把得
12、到的图象向上平移 个单位长度，得到 的图象，已知 的部分图象如图所示，求 的值.【答案】 （1） ；（2）2.【解析】试题分析：（1）根据向量的数量积运算化简可得 ，根据，可知 ，即可得到 在 上的值域；（2）由题意可知 ，在根据所给图像可得 ，最后由 即可得解试题解析:（1）因为 ，因为 ，所以 ，所以 ，所以 .（2）由题意可知 ，由图可知 ，由 ，可得 ，再将点 代入，得 ，解得 ，所以 .【点睛】本题考查两个向量的数量积公式，三角函数的恒等变换及化简求值，函数的图象变换规律等问题其中（2）解题的关键是根据图像得到22. 已知函数 .（1）讨论 的单调性；（2）若 ，求 的取值范围.【答
13、案】 （1） 在 上递增，在 上递减；（2） .【解析】试题分析：（1）1）当 时， ，在 上单调递减； 2）当 时，.当 时， ， 单调递减；当 时， 在 上大于 0，在 上单调递增， 在 上小于 0， 在 上单调递减；（2）当 时， ，满足题意；当 时， ，不满足题意；当 时， ，不满足题意；当 时，由（1）可知 令 ，则将上式写为 ，令，解得 当 时， ， ， 满足题意；当 时， ， 不满足题意；综上可得，当 时， .试题解析：（1）1）当 时， ，在 上单调递减；2）当 时， .当 时，在定义域 上， ， ， ， 单调递减；当 时， 的解为 ， （负值舍去） ，在 上大于 0， 在 上单调递增，在 上小于 0， 在 上单调递减；综上所述，当 时， 在 单调递减；当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减；（2）当 时， ，满足题意；当 时， ，不满足题意；当 时， ，由于 且 ，所以 为两负数的乘积大于 0，即 ，不满足题意；当 时，由（1）可知 令 ，则将上式写为 ，令 ，解得 ，此时 ，而当 时， ， ， 满足题意；当 时， ， ， 不满足题意；综上可得，当 时， .
