1、2017-2018 学年高三数学上学期期末考试题 文考试时间 120 分钟，分值 150 分。第卷选择题 （本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）1. 已知等比数列 的前 项和 ，则数列 的前 12 项和等于（ ）A. 66 B. 55 C. 45 D. 65【答案】A【解析】已知 ， ，两式子做差得到 ，故 ，故 是等差数列，首项为 0，公差为 1，则前 12 项和为 66.故答案为：66.故答案为选择：A。2. 如图所示，向量 在一条直线上，且 则( )A. B. C. D. 【答案】D化简得到 。故答案为：D。3. 函数 图象的大致形状是（ ）A. B. C. D. 【答案
2、】B【解析】根据表达式知道 ，故函数是奇函数，排除 CD；当 x1 时，故排除 A 选项，B 是正确的。故答案为：B。4. 定义域为 上的奇函数 满足 ，且 ，则 （ ）A. 2 B. 1 C. -1 D. -2【答案】C【解析】 ,因此 ，选 C.5. 已知函数 的图象与 轴的两个相邻交点的距离等于 ，若将函数的图象向左平移 个单位得到函数 的图象，则在下列区间中使 是减函数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】函数 f（x）=sinx cosx（0）的图象与 x 轴的两个相邻交点的距离等于 ，函数 f（x）=sin4x cos4x=2sin（4x ） ；若将函数 y=f（x）
3、的图象向左平移 个单位得到函数 y=g（x）=2sin（4x+ ）的图象令 2k+ 4x+ 2k+ ，可得 kZ，当 k=0 时，故函数 g（x）的减区间为 。故答案为 B 。6. 已知集合 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】集合 P=xx10=x|x1 ，CRP=x|x1，Q=x0x2，则（C RP）Q=x|1x2故选：C7. 下列命题中的假命题是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】A. ，x=1;满足。B. 不正确，当 x=0 时， 。C. ，当 x= 时, 。正确。D. ，是正确的。故答案为：B。8. 已知两条直线 ，两个平面 ，给出下面四个命题： ； ，
4、 ； ， ； 。其中正确命题的序号是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 ，则两条直线可以相交。故不正确的。 ， ，有可能其中一条直线 n 在平面内。故不正确的。 ， ，根据线面垂直的判定定理得到结论正确。 ，则 ,又因为 ，故 。结论正确；故正确的是。故答案为：B。9. 某几何体的三视图如图，则几何体的体积为A. 8+16B. 8-16C. 168D. 8+8【答案】B【解析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个半圆柱切去一个三棱柱所得的组合体，半圆柱的底面半径为 2，高为 4，故体积 V= 2 24=8，三棱柱的体积 V= 424=16，故组合体的体积 V=816，故答案为：B
5、。10. 已知变量 x，y 满足约束条 ，则 的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D故答案为:D .11. 设 为双曲线 的右焦点，过坐标原点的直线依次与双曲线 的左.右支交于点 ，若 ，则该双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】| PQ|=2|QF|, PQF=60, PFQ=90，设双曲线的左焦点为 F1,连接 F1P,F1Q，由对称性可知, F1PFQ 为矩形,且| F1F|=2|QF|, ，不妨设 ，则 ，故 .本题选择 A 选项.点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：求出 a， c，
6、代入公式 ；只需要根据一个条件得到关于 a， b， c 的齐次式，结合 b2 c2 a2转化为 a， c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以 a 或 a2转化为关于 e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 e(e 的取值范围)12. 设函数 是奇函数 （ xR）的导函数， ，且当 时，则使得 成立的 的取值范围是 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】设 g（x）= ，则 g（x）的导数为：g（x）= ， 当 x0 时，xf（x）f（x）0，即当 x0 时，g（x）恒大于 0，当 x0 时，函数 g（x）为增函数，f（x）为奇函数函数 g（x）为定义域上的偶函数又g（1）
7、= =0，f（x）0，当 x0 时， 0，当 x0 时， 0，当 x0 时，g（x）0=g（1） ，当 x0 时，g（x）0=g（1） ，x1 或1x0故使得 f（x）0 成立的 x 的取值范围是（1，0）（1，+） ，故答案为：A。点睛：本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，注意奇函数的在对称区间上的单调性的性质；对于解抽象函数的不等式问题或者有解析式，但是直接解不等式非常麻烦的问题，可以考虑研究函数的单调性和奇偶性等，以及函数零点等，直接根据这些性质得到不等式的解集。第 II 卷二. 填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分 ，共 20 分）13. 设向量 ，若 与 垂直，则 的值为_
8、.【答案】【解析】根据题意得到 ， ，与 垂直，根据向量垂直的坐标表示得到（ ）*（ ）=故 .故答案为： 。点睛：这个题目考查的是向量基本定理的应用；向量的点积运算。解决向量的小题常用方法有：数形结合，向量的三角形法则，平行四边形法则等；建系将向量坐标化；向量基底化，选基底时一般选择已知大小和方向的向量为基底。14. 若函数 的两个零点是1 和 2，则不等式 的解集是_【答案】【解析】f（x）=x 2+ax+b 的两个零点是2，31，2 是方程 x2+ax+b=0 的两根，由根与系数的关系知 f（x）=x 2x2不等式 a（2x）0，即（4x 2+2x2）02x2+x10，解集为 故答案为
9、.点睛：此题体现了一元二次不等式的解法，解决一元二次不等式的解法的问题，常常需要向方程或图象方面转化，而数形结合正是它们转化的纽带，求解不等式联系方程的根，不等中隐藏着相等15. 数列 中， _ 【答案】【解析】数列 中， ，两边取倒数得到 故答案为： 。16. 已知 a，b，c 分别是ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边，若 ，三内角 A，B，C成等差数列，则该三角形的外接圆半径等于_.【答案】2【解析】设ABC 的外接圆的半径为 R，A，B，C 成等差数列A+C=2B，且 A+B+C=180，所以 B=60，由正弦定理得，2R= =4，则 R=2.故答案为：2.三. 解答题（本大题共
10、6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 ）17. 已知直线 过点（2，1）且在 x，y 轴上的截距相等（1）求直线 的一般方程；（2）若直线 在 x，y 轴上的截距不为 0，点 在直线 上，求 的最小值【答案】(1) 或 ；(2) .【解析】试题分析：（1）当截距为 0 时，得到 ；当截距不为 0 时设直线方程为，代入点坐标即可得方程。 （2）由第一问可得 ， ，由不等式得到结果。解析： 即 截距不为 0 时，设直线方程为 ，代入 ，计算得 ，则直线方程为综上，直线方程为 由题意得18. ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 （1）求 C；（2）
11、若 c= ，ABC 的面积为 ，求ABC 的周长【答案】(1) ；(2) + .【解析】试题分析：（1）由正弦定理得到 2cosCsinC=sinC，进而得到cosC= ，C= ；（2）根据第一问的已求角，可由余弦定理得到（a+b） 23ab=3，根据面积公式得到 ab=16，结合第一个式子得到结果。解析：（）在ABC 中，0C，sinC0 利用正弦定理化简得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，整理得：2cosCsin（A+B）=sinC，即 2cosCsin（A+B） ）=sinC,2cosCsinC=sinC cosC= ，C= （）由余弦定理得 3=a2+b22
12、ab ， （a+b） 23ab=3，S= absinC= ab= ， ab=16，（a+b） 248=3，a+b= ，ABC 的周长为 + .19. 记 为差数列 的前 n 项和，已知， .(1)求 的通项公式；(2)令 ， ，若 对一切 成立，求实数 的最大值.【答案】(1) ；(2) .【解析】试题分析：（1）根据等差数列的公式得到通项；（2）由第一问得到，故得到前 n 项和， 是递增数列， ，进而得到结果。解析：(1)等差数列 中， ， . ，解得 . ， . (2) ，是递增数列， ， ， 实数 的最大值为 . 点睛：这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求
13、法中有常见的已知 和 的关系，求 表达式，一般是写出 做差得通项，但是这种方法需要检验n=1 时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等。20. 如图，在棱长均为 1 的直三棱柱 中， 是 的中点 （1）求证： ；（2）求点 C 到平面 的距离【答案】(1)证明见解析；(2) .【解析】试题分析：（1）根据条件可得 ， ，进而得到线面垂直；（2）由等体积的方法得到 ，可求得距离。解析：(1)证明：（2）由(1)知 设21. 已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，焦距为 ，离心率为（1）求椭圆 C 的方程；（2）设直线 L 经过点 M（0，1） ，且与椭圆 C
14、交于 A，B 两点，若 ，求直线 L 的方程【答案】(1) ；(2) .【解析】试题分析：（1）由椭圆的几何意义得到椭圆方程；（2）将椭圆和直线联立得到二次方程，由 得 ，根据韦达定理得到参数值。解析：(1)设椭圆方程为 ，因为 ，所以 ， 所求椭圆方程为 .（2）由题得直线 L 的斜率存在，设直线 L 方程为 y=kx+1， 则由 得 ，且 设 ，则由 得 ，又 ，所以消去 解得 ， ， 所以直线 的方程为点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故
15、用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用22. 已知函数（1）当 时，求曲线 在 处的切线方程；（2）讨论 的单调性.【答案】(1) ；(2)答案见解析.【解析】试题分析：（1）根据导数的几何意义得到 ，进而得到切线方程；（2）对函数求导，研究导函数的正负，得到函数的单调性。解析：（1）当 时， ， ， ， 曲线 在 处的切线方程为： ；（2）若 ， ， 在 上递增；若 ，当 时， ， 单调递增； 当 时， ， 单调递减点睛：这个题目考查的是导数的几何意义，切线方程的求法；考查了导数在研究函数的单调性中的应用；一般在研究函数的单调性中，常见的方法有：图像法，通过图像得到函数的单调区间；通过研究函数的导函数的正负得到单调性。
