1、福建省厦门市 2018 届高中毕业班第二次质量检查试题数学（文）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：将集合 中的元素，逐一验证是否属于集合 即可.详解：因为集合 ，所以 ，故选 B.点睛：研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合 且属于集合 的元素的集合. 本题需注意两集合一个是有限集，一个是无限集，按有限集逐一验证为妥.2.
2、复数满足 ，则在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】D【解析】分析：先利用复数模的公式求得 ，然后两边同乘以 ，利用复数运算的乘法法则化简，即可得结果详解： ,，在复平面内对应的点 ，在第四象限，故选 D.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3. 已知 ， ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：根据指数
3、函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出 的取值范围，结合函数的单调性，从而可得结果.详解：由指数函数的性质可得，由对数函数的性质可得， ，又 ，在 上递增，所以 ，故选 C.点睛：本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间） ；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.4. 如图所示的风车图案中，黑色部分和白色部分分别由全等的等腰直角三角形构成.在图案内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：设小黑色
4、三角形面积为 ，则整个在图案面积为 ，黑色部分总面积为 ，根据几何概型概率公式可得结果.详解：设小黑色三角形面积为 ，则整个在图案面积为 ，黑色部分总面积为 ，由几何概型概率公式可得，在点取自黑色部分的概率是 ，故选 B.点睛：本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视
5、验证事件是否等可能性导致错误.5. 等差数列 的公差为 1， 成等比数列，则 的前 10 项和为（ ）A. 50 B. C. 45 D. 【答案】A【解析】分析：根据 成等比数列列方程可求得首项 ，利用等差数列求和公式可得结果.详解： 等差数列 的公差为 1， 成等比数列，即 ，解得 ， ，故选 A.点睛：本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的前 项和公式，属于中档题. 等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量 ，一般可以“知二求三” ，通过列方程组所求问题可以迎刃而解.6. 已知拋物线 的焦点为 ，过 的直线与曲线 交于 两点， ，则 中点到 轴的距离是（ ）A.
6、 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B【解析】分析：将点到焦点的距离转化为到准线的距离，可得，从而求出中点横坐标，进而可得结果.详解：由 ，得 ，设 ，等于点 到准线 的距离 ，同理， 等于 到准线 的距离 ，中点横坐标为 ，中点到 轴的距离是 ，故选 B.点睛：与抛物线焦点、准线有关的问题，一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决7. 如图，在正方体 中， 分别是 的中点，则下列命题正确的是（ ）A. B. C. 平面
7、D. 平面【答案】C【解析】分析：取 中点 ，连接 ，可证明平面 平面 ，进而可得结果.详解：取 中点 ，连接 ，由三角形中位线定理可得 ，面 ，由四边形 为平行四边形得 ，面 ， 平面 平面 ，面 ， 平面 ，故选 C.点睛：证明线面平行的常用方法：利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.8. 如图是为了计算 的值，则在判断框中应填入（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析
8、】分析：模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到输出，即可得到输出条件.详解：由程序框图可知，判断框中，若填 ，则输出 ，若填 或 ，直接输出 ，应填 ，故选 A.点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.9. 函
9、数 的周期为 ， ， 在 上单调递减，则 的一个可能值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：由函数 的周期为 ，求得 ，由 结合 在上单调递减，即可得结果.详解：由函数 的周期为 ，得 ， ，或 ，令 ， 或 ，在 不是单调函数， 不合题意，故 ，故选 D.点睛：本题主要通过已知三角函数的性质求解析式考查三角函数的性质，属于中档题.利用最值求出 ,用周期公式求出 ，利用特殊点求出 ，正确求 是解题的关键.10. 设函数 若 恒成立，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：函数 恒成立等价于 是 的最小值，根据分段函数的性质列不等式可得结果.详解
10、： 若 恒成立，是 的最小值，由二次函数性质可得对称轴 ，由分段函数性质得 ，得 ，综上， ，故选 A.11. 已知某正三棱锥的侧棱长大于底边长，其外接球体积为 ，三视图如图所示，则其侧视图的面积为（ ）A. B. 2 C. 4 D. 6【答案】D【解析】分析：根据正三棱锥的性质可得球心在正三棱锥的高上，由正棱锥的性质可得顶点在底面的射影是正三角形的中心，列方程可解得棱锥的高，从而可得结果.详解：设正三棱锥外接球的半径为 ，则 ，由三视图可得底面边长为 ，底面正三角形的高为 ，底面三角形外接圆半径为 ，由勾股定理得 ，得 ，侧视图面积为 ，故选 D.点睛：本题主要考查三棱锥外接球问题，属于难题
11、.要求外接球的表面积和体积，关键是求出求的半径，求外接球半径的常见方法有：若三条棱两垂直则用 （ 为三棱的长） ；若 面 （ ） ，则 （为 外接圆半径） ；可以转化为长方体的外接球；特殊几何体可以直接设出球心和半径，列方程求解.12. 设函数 ，直线 是曲线 的切线，则 的最小值是（ ）A. B. 1 C. D. 【答案】C【解析】分析：设切点是 ，求出切线方程，可得 ，利用导数研究函数的单调性，根据单调性求出 的最小值即可的结果.详解：设切点是 ，由 是切线斜率 ，切线方程为 ，整理得 ，记 ，当 ， 递减；当 ， 递增；故 ，即 的最小值是 故选 C.点睛：本题主要考查利用导数求曲线切线
12、方程以及利用导数研究函数的单调性与最值，属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出 在 处的导数，即 在点 出的切线斜率（当曲线 在 处的切线与 轴平行时，在 处导数不存在，切线方程为 ） ；（2）由点斜式求得切线方程 .第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 已知向量与 的夹角为 ， ，则 _【答案】【解析】分析：将 平方，把 ， 代入化简，再开平方即可得结果.详解： 向量与 的夹角为 ， ，故答案为 .点睛：平面向量数量积公式有两种形式，一是 ，二是 ，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， （此时 往往用坐标形式求解） ；（2）
13、求投影， 在 上的投影是 ；（3） 向量垂直则 ;(4)求向量 的模（平方后需求 ）.14. 已知 满足约束条件 则 的最小值为_【答案】2【解析】分析：画出可行域， 化为 ，平移直线 ，由图可得当直线经过 时， 有最小值，从而可得结果.详解：画出 表示可行域，如图，由 ，可得 ， 平行直线 ，由图知，当直线经过 时，直线在 轴上截距最小，此时最小为 ，故答案为 .点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线） ；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，
14、最先通过或最后通过的定点就是最优解） ；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.15. 若双曲线 的渐近线与圆 无交点，则 的离心率的取值范围为_【答案】【解析】分析：根据圆心到直线的距离大于半径，列不等式，结合 可得离心率的取值范围.详解： 曲线 的渐近线与圆 无交点，圆心 到直线 的距离大于半径 ，即 ， ，即 的离心率的取值范围为 ，故答案为 .点睛：本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间
15、的内在联系.求离心率问题应先将用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的不等式，从而求出的范围.本题是利用点到直线的距离大于圆半径构造出关于的不等式，最后解出的范围.16. 已知数列 满足 ， ， 是递增数列， 是递减数列，则 _【答案】【解析】分析：先判断 ， 可得， ，根据等差数列的通项公式可得结果.详解： 是递增数列， ，又 成立，由 是递减数列， ，同理可得 ， ，是首项为 ，公差为 的等差数列，故 ，故答案为 .三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在 中，角 所对的边分别为 ， .（1）求 ；（2）若 ，
16、的周长为 ，求 的面积.【答案】 （1） （2）【解析】分析：（1）由 ，根据正弦定理得，可得 所以 ，从而可得结果；（2）由 ，可得 ，可求得 ，由此以，根据周长为 可求得 ，从而可得结果.详解：（1）因为 ，由正弦定理得所以 所以 ，且所以 .（2）因为 ，所以 ，所以 ， ， 或 解得： 或 因为 ，所以所以， 所以因为 ，所以所以 .点睛：以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式
17、的各种变化形式要熟记于心.18. 在如图所示的四棱锥 中，底面 为菱形， , 为正三角形.（1）证明: ；（2）若 ，四棱锥的体积为 16，求 的长.【答案】 （1）见解析（2）【解析】分析：（1）由正三角形的性质可得 ， ，根据线面垂直的判定定理可得 平面 ，由线面垂直的性质可得结论；（2）根据勾股定理， ，结合可得， 平面 ，设 ，利用棱锥的体积公式列方程解得 ，由勾股定理可得 的长.详解：（1）证明：取 中点为 ,连接底面 为菱形， , 为正三角形，又 为正三角形，又 平面 , 平面 ， 平面 ， 平面 ， .（2）法一：设 ，则 ，在正三角形 中， ，同理 ， ， ，又 ， 平面 ，
18、平面 ， 平面 , ， ， .法二：设 ，则 ，在正三角形 中， ，同理 ， ， ，又 ， 平面 ， 平面 ， 平面 , ， ， 连接 ,在 中， ，由余弦定理得 ， 在 中， .点睛：解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推论 ；（3）利用面面平行的性质 ；（4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.19. 为提高玉米产量，某种植基地对单位面积播种数 与每棵作物的产量
19、之间的关系进行研究，收集了 11 块实验田的数据，得到下表：技术人员选择模型 作为 与 的回归方程类型，令 ，相关统计量的值如下表:由表中数据得到回归方程后进行残差分析，残差图如图所示:（1）根据残差图发现一个可疑数据，请写出可疑数据的编号(给出判断即可，不必说明理由）；（2）剔除可疑数据后，由最小二乘法得到 关于 的线性回归方程 中的 ，求关于 的回归方程；（3）利用（2）得出的结果，计算当单位面积播种数 为何值时，单位面积的总产量 的预报值最大？（计算结果精确到 0.01)附:对于一组数据 ，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘法估计分别为 ， ， .【答案】 （1）10（2） （3）【解析
20、】分析：（1)可疑数据为第 10 组 ; （2）根据平均数公式可求出 与 的值，从而可得样本中心点的坐标，结合样本中心点的性质可得 ，进而可得 关于 的回归方程；（3）根据（2）的结果并结合条件，可得单位面积的总产量 的预报值 ，变形后利用均值不等式求解即可.详解：（1)可疑数据为第 10 组 ; （2）剔除数据 后，在剩余的 10 组数据中， ，所以 ，所以 关于 的线性回归方程为则 关于 的回归方程为 ；（3）根据（2）的结果并结合条件，单位面积的总产量 的预报值当且仅当 时，等号成立，此时 ，即当 时，单位面积的总产量 的预报值最大，最大值是 1.83.点睛：求回归直线方程的步骤：依据样
21、本数据，确定两个变量具有线性相关关系；计算的值；计算回归系数 ；写出回归直线方程为 ； 回归直线过样本点中心 是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.20. 过椭圆 的右焦点 作两条互相垂直的直线 ，直线 与 交于 两点，直线 与 交于 两点.当直线 的斜率为 0 时， .（1）求椭圆 的方程；（2）求四边形 面积的取值范围.【答案】 （1） （2）【解析】分析：（1）由 得： ，由 ，所以 ，从而可得椭圆 的方程；（2）直线 的方程为 ，则直线 的方程为 .设 由 ，得 ，根据韦达定理、弦长公式求出 的值，三角形面积公式可得 ，结合 ，利用函数的单调性求
22、解即可.详解：（1）由已知得：将 代入 得 ，所以 ，所以所以椭圆 ；（2）当直线 条的斜率为 0，另一条的斜率不存在时，.当两条直线的斜率均存在时，设直线 的方程为 ，则直线 的方程为 .设 由 ，得，（或： ， ）用 取代 得又 ，当且仅当 取等号所以所以综上：四边形 面积的取值范围是 .点睛：本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不
23、等式法求解.21. 已知函数 ， .（1）讨论函数 的单调性；（2）当 时， 恒成立，求实数的取值范围. 【答案】 （1）见解析（2）【解析】分析：(1) 求出 ，分两种情况讨论的范围，在定义域内，分别令 求得 的范围，可得函数 增区间， 求得 的范围，可得函数 的减区间；（2）原不等式可化为 ，即 ，记 ，只需 即可，分三种情况讨论，分别利用导数研究函数的单调性，利用单调性求出函数 的最大值，利用最大值不大于零列不等式即可得结果.详解：（1）依题意，当 时， ，所以 在 上单调递增； 当 时， ， ，且 ，令 得 ，令 得 或 ，此时 在 上单调递增；在 上单调递减 综上可得， 时， 在 上
24、单调递增；当 时， 在 上单调递增；在 上单调递减（2）法一：原不等式可化为 ，即记 ，只需 即可.当 时，由 可知 ， ，所以 ，命题成立. 当 时，显然 在 上单调递减，所以所以 在 上单调递减，从而 ，命题成立.当 时，显然 在 上单调递减，因为 ，所以在 内，存在唯一的 ，使得 ，且当 时， 即当 时， ，不符合题目要求，舍去. 综上所述，实数的取值范围是 .法二：原不等式可化为 ，即记 ，只需 即可.可得 ，令 ，则所以 在 上单调递减，所以 . 时， ，从而 ，所以 ，所以 在 上单调递减，所以 ，原不等式成立当 时， ，所以存在唯一 ，使得 ，且当 时， ，此时 ， 在 上单调递
25、增，从而有 ，不符合题目要求，舍去 . 综上所述，实数的取值范围是 .点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性、求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题不等式恒成立问题常见方法： 分离参数 恒成立( 即可)或恒成立（ 即可） ； 数形结合( 图象在 上方即可)； 讨论最值 或 恒成立； 讨论参数.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 在直角坐标系 中，曲线 ，曲线 ( 为参数）.以坐标原点为极点，以 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求 的极坐标方程；（2）射线的极坐标方程为 ，若分别与 交于异于极点的 两点，求 的最大值.【答案】 （1） ，
26、 ；（2）【解析】分析：（1）将曲线 ，曲线 消去参数可得普通方程，然后利用 即可得 的极坐标方程；（2）将 分别代入的极坐标方程可得 ， ， ，换元后，结合三角函数的有界性，利用二次函数的性质求解即可.详解：（1） ， ，故 的极坐标方程： . 的直角坐标方程： ， ，故 的极坐标方程: .（2）直线分别与曲线 联立，得到，则 ，则 ，令 ，则所以 ，即 时， 有最大值 .点睛：参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如 等三角恒等式）消去参数化为普通方程，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式， 等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角
27、坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题23. 已知函数 ，其中 .（1）求函数 的值域；（2）对于满足 的任意实数 ，关于 的不等式 恒有解，求的取值范围.【答案】 （1） ；（2）【解析】分析：（1）将函数 ，写成分段函数形式，判断函数的单调性，利用单调性可得函数 的值域；（2）先利用作差法证明 ，再由 ，利用基本不等式可得 ，结合（1）可得 ，从而可得结果.详解：（1） ，故 .（2） ， ， ， ， .当且仅当 时， ，关于 的不等式 恒有解即 ，故 ，又 ，所以 .点睛：转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.本题中，将“任意实数 ，关于 的不等式 恒有解”转化为“”是解题的关键.
