1、20172018 学年第一学期高三月考试卷数 学一、填空题1. 已知全集 ,集合 , ,则 _【答案】【解析】由 , 得： ，则 ，故答案为 .2. 已知 且 ，则 _【答案】【解析】 ， ， ，故 ，故答案为 .3. 公比为 的等比数列 的各项都是正数，且 ，则 _【答案】32【解析】试题分析：等比数列 公比为 ， ，又 ， .考点：等比数列的通项公式.4. “ ”是“ ” 成立的_条件 （从“充要” ， “充分不必要” ， “必要不充分”中选择一个正确的填写）【答案】必要不充分【解析】由 得 ；由 得： ；若 ，则 不成立；若 ，则 成立，故“ ”是“ ” 成立的必要不充分条件，故答案为必
2、要不充分.5. 不等式 的解集为_【答案】【解析】试题分析： ，不等式的解集是 .考点：解不等式.6. 设函数 的图象过点 A(2，1)，且在点 A 处的切线方程为，则 _【答案】0【解析】试题分析：由题意得： ， ，而 ， .考点：导数的运用.7. 若函数 的零点为 ，则满足 的最大整数 k =_【答案】2【解析】试题分析：令 ，则 ，由零点存在定理可知 在 上至少存在一零点，再由 在 上单调递增可知零点的唯一性， ，满足不等式 的最大整数 .考点：零点存在定理.8. 已知函数 ( 为常数)，若 在区间 上是增函数，则 的取值范围是_【答案】【解析】因为函数 （ 为常数） ，若 在区间 上是
3、增函数，由复合函数的单调性知，必有 在区间 上是增函数，又 在区间 上是增函数，所以 ，故有 ，故答案为 .点睛：本题考查指数函数单调性的运用及复合函数单调性的判断，集合包含关系的判断，解题的关键是根据指数函数的单调性将问题转化为集合之间的包含关系，本题考查了转化的思想及推理判断的能力，属于指数函数中综合性较强的题型.9. 已知实数 ,函数 ，若 ，则实数 的值为_【答案】 和 8【解析】试题分析：函数 满足 ，当 时， ，= ， ，当 时， ， ， ， =， ，则考点：1.分段函数；2.轴对称图形；10. 已知 ， ，则 用 表示为_【答案】【解析】 ， ， ， ， ，化为 ，故答案为 .1
4、1. 已知数列 an是等差数列，且 ，它的前 n 项和 Sn有最小值，则 Sn取到最小正数时n 的值为_【答案】12【解析】等差数列 的前 项和 有最小值， ， ，又 ， ，可得当 时， ， ， ，因此取到最小正数时 的值为 12，故答案为 12.12. 已知 时，不等式 恒成立，则 的取值范围是_【答案】.13. 已知函数 的图像与函数 的图像恰有两个交点，则实数 的取值范围是_；【答案】 或【解析】法一：数形结合图像法，函数 与函数 的恰好有两个交点，如图，因为 过定点所以 或 故 的范围为 .法二：直接法：函数与函数 的恰好有两个交点， ，当时，方程 得 在 与 单调递减，故 ；当，由
5、，有 ，解得， 或 ，则 与 每一段函数有且只有一个交点，那么 同时满足，故 .答案 .【考点定位】本题考察了分段函数数与未知函数交点情况去求参数取值范围的问题，着重强调了分段函数要分段讨论，特别体现了形结合这种思想在解题中的巨大作用，考察了学生对函数图像、性质的把握，对函数的分段讨论的思想，需要较强的想象、推理能力14. 已知定义在 上的可导函数 的导函数为 ，满足 ，且 为偶函数， ，则不等式 的解集为_【答案】点睛：本题首先须结合已知条件构造函数，然后考察用导数判断函数的单调性，再由函数的单调性和函数值的大小关系，判断自变量的大小关系，属较难题；首先构造函数 ，研究 的单调性，结合原函数
6、的性质和函数值，即可求解.二、解答题15. 已知 ， ，（1）若 ，求 ；（2）若 ，求实数 的取值范围【答案】 （1） ；（2）【解析】试题分析：（1）利用分式不等式的解法求出集合 ，二次不等式的解法求出集合 ，然后求解交集；（2）利用已知条件求出 ，转化为 不等式组，求解即可.试题解析：（1）若 ， ，（2） 又 , ，即实数 的取值范围为 .16. 已知定义域为 的函数 是奇函数.(1)求实数 的值；(2)解不等式 【答案】 （1） ；（2）【解析】试题分析：（1）根据奇函数的定义 ，代入化简可得对 恒成立，故可得 的值；（2）利用定义证明函数为减函数，结合奇偶性与单调性可将不等式等价转
7、化为 ，可得结果.试题解析：(1)由已知， ，即 = ，则 = ， 所以 对 恒成立，所以 (2)由 ，设 ，则 ，所以 在 R 上是减函数，由 ，得 ，所以 ，得 ，所以的解集为 点睛：本题主要考查了函数的奇偶性与单调性以及利用单调性解抽象函数的不等式的能力，注重对基础的考查，难度一般；若函数为奇函数，可得对于任意 ，均有 ，对于形如 这种形式的抽象函数不等式主要利用函数 的单调性与奇偶性来解，其转化为 .17. 已知函数 f(x)和 g(x)的图象关于原点对称，且 f(x) x22 x.(1)求函数 g(x)的解析式；(2)解不等式 g(x) f(x)| x1|；(3)若 h(x) g(x
8、) f (x)1 在1,1上是增函数，求实数 的取值范围【答案】 （1） ；（2） ；（3）【解析】试题分析：（1）设函数 的图象上任意一点 关于原点的对称点为，求出 ， 坐标关系，然后把 坐标代入 解析式即可；（2）把不等式表示出来，分 及 两种情况可解；（3）写出 的解析式，由题意可知 为函数的增区间的子集，分情况讨论可求 的范围.试题解析：(1)设函数 的图象上任一点 关于原点的对称点为 ，则 ，即 ，点 在函数 的图象上， ，即，故 .(2)由 可得： ，当 时， ，此时不等式无解；当 时， ， ，因此，原不等式的解集为 .(3) .当 时，得 在 上是增函数，符合题意， .当 时，抛
9、物线 的对称轴的方程为 .()当 ，且 时， 在 上是增函数，解得 .()当 ，且 时， 在 上是增函数，解得 ，综上，得 .18. 如图所示，有一块半径长为 1 米的半圆形钢板，现要从中截取一个内接等腰梯形部件ABCD，设梯形部件 ABCD 的面积为 平方米.(1)按下列要求写出函数关系式：设 (米)，将 表示成 的函数关系式；设 ，将 表示成 的函数关系式.(2)求梯形部件 ABCD 面积 的最大值【答案】 （1） ， ；（2）【解析】试题分析：（1）梯形上底和下底确定，故需表示梯形高即可过点 C 作于 E,则在 中， ，故梯形面积为；思路与第一问相同，不同的是变量的选取差异，在 中， ，
10、则梯形上、下底分别为和 2，高为 ，故梯形面积为；（2）以 为例，函数解析式变形为，利用导数求被开方数的最大值即可.试题解析：如图所示，以直径 所在的直线为 轴，线段 中垂线为 轴，建立平面直角坐标系，过点 C 作 于 E，（1） ， ，4 分 ， ， ， 8 分（说明：若函数的定义域漏写或错误，则一个扣 1 分）（2） （方法 1） ，令 ，则 ， 10 分令 ， ， （舍） 12 分当 时， ，函数在（0， ）上单调递增，当 时， ，函数在（ ，1）上单调递减， 14 分所以当 时， 有最大值 ， 16 分答：梯形部件 面积的最大值为 平方米（方法 2） ， 10 分令 ，得 ，即 ， （
11、舍） ， 12 分当 时， ，函数在 上单调递增，当 时， ，函数在 上单调递减 ， 14 分所以当 时， 16 分答：梯形部件 ABCD 面积的最大值为 平方米考点：1、函数解析式；2、函数的最大值.19. 已知各项均为整数的数列 满足 ， ，前 6 项依次成等差数列，从第 5 项起依次成等比数列(1)求数列 的通项公式；(2)求出所有的正整数 m ，使得 【答案】 （1） ；（2） 或【解析】试题分析：（1）本题是等差、等比混合计算题目，解题关键是等差数列和等比数列的公共项 ，由等差数列的定义设 ， （ 为整数） ，根据等比中项列方程得 求 ，进而确定等比数列公比，再写通项公式；（2）本题
12、考查分段数列的通项公式，当 ，等式同时涉及等差数列和等比数列的项，故可采取验证的方法，当 时，利用等比数列通项公式得关于 的方程，通过研究方程解的情况得出结论试题解析：（1） 设数列前 6 项的公差为 ，则 ， （ 为整数）又 ， ， 成等比数列，所以 ，即 ，得 4 分当 时， ， 6 分所以 ， ，数列从第 5 项起构成的等比数列的公比为 2，所以，当 时， 故 8 分（2）由（1）知，数列 为：3，2，1，0，1，2，4，8，16，当 时等式成立，即 ；当 时等式成立，即 ； 10 分当 时等式不成立； 12 分当 时， ，若 ，则 ，所以 14 分， ，从而方程 无解所以 故所求 或
13、16 分考点：等差数列和等比通项公式.20. 已知函数 ，(1)求函数 的单调区间；(2)若函数 有两个零点 ，( )，求证： 【答案】 （1）见解析；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）去绝对值，分为 时， ，函数单调递增；当 时，根据导数与 0 的关系得其单调性；（2）由（1）知，当 时，函数 单调递增，函数至多只有一个零点，不合题意；则必有 ，此时函数 的单调递减区间为 ；单调递增区间为 ，进一步得出 和 ，从而得出答案 .试题解析：(1)依题意有，函数的定义域为 ，当 时， ，函数 的单调增区间为 ， 当时， ，若 ， ，此时函数单调递增， 若 ， ，此时函数单调递减，综上所述，当 时，函数 的单调增区间为 ，当 时，函数 的单调减区间为 ，单调增区间为(2)由(1)知，当 时，函数 单调递增，至多只有一个零点，不合题意；则必有 ， 此时函数 的单调减区间为 ，单调增区间为 ，由题意，必须 ，解得 由 ， ，得 ，而，下面证明： 时，设 ，( )，则 ，所以 在 时递增，则，所以 ，又因为 ，所以 ，综上所述， .
