1、东北师大附中四模理科数学试题2018届高三第四次模拟考试理科数学一、选择题: 本题共 12小题，每小题 5分，共 60分.在每小题给出的四个选项中，只一项是符合题目要求的.1. 已知集合 ， ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：根据一元二次不等式的解法求得集合 B，之后根据子集的定义可以判断出，根据交集中元素的特征求得 ，根据并集中元素的特征，可以求得，从而求得结果.详解：由 可以求得 ，从而求得 ，所以 ， ，故选 B.点睛：该题以集合为载体，考查了一元二次不等式的解法，并考查了集合间的关系以及集合的交并运算，属于简单题目.2. 已知 ，为虚数单位，若 为实数，则的值为
2、（ ）A. 4 B. 3 C. 2 D. 1【答案】A【解析】分析：首先利用复数的运算法则，求得 ，再结合复数对应实部和虚部满足什么样的条件，从而对其进行分类的标准，得到 a所满足的等量关系式，求得结果.详解： ，若该复数是实数，只需 ，解得 ，故选 A.点睛：该题考查的是复数的有关问题，在解题的过程中，需要先将题中所给的复数利用其运算法则将其化简，之后利用复数的分类对实虚部的要求找出其满足的等量关系式，之后求解即可.3. 孙子算经是我国古代的数学名著，书中有如下问题:“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗.问: 五人各得几何?”其意思为: 有 5个人分 60个橘子，他们分得的橘子数成公差
3、为 3的等差数列，问 5人各得多少个橘子.这个问题中，得到橘子最多的人所得的橘子个数是（ ）A. 15 B. 16 C. 18 D. 21【答案】C【解析】分析：首先根据题意，先确定其为一个等差数列的问题，已知公差、项数与和，求某项的问题，在求解的过程中，经分析，先确定首项，之后根据其和建立等量关系式，最后再利用通项公式求得第五项，从而求得结果.详解：设第一个人分到的橘子个数为 ，由题意得 ，解得 ，则 ，故选 C.点睛：该题所考查的是有关等差数列的有关问题，在求解的过程中，注意分析题的条件，已知的量为公差、项数与和、而对于等差数列中， 这五个量是知三求二的，所以应用相应的公式求得对应的量即可
4、.4. 已知 ， ， 则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 ， ， ， ，故选 B.点睛：这个题目考查的是比较指数和对数值的大小；一般比较大小的题目，常用的方法有：先估算一下每个数值，看能否根据估算值直接比大小；估算不行的话再找中间量，经常和 ， 比较；还可以构造函数，利用函数的单调性来比较大小.5. 一个棱锥的三视图如图所示，则这个棱锥的外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：首先根据题中所给的三视图，将几何体还原，得到该几何体是由一个长方体切割而成的，从而能够确定该几何体的各个顶点都在同一个长方体的顶点处，所以该几何体的外接球即为其对应的长方体的
5、外接球，借助于长方体的对角线就是其外接球的直径，利用公式求得结果.详解：根据题中所给的三视图可以断定该几何体应该是由长、宽、高分别是 长方体所截成的四棱锥，所以该棱锥的外接球相当于对应的长方体的外接球，所以长方体的对角线就是其外接球的直径，所以有 ，从而求得其表面积为 ，故选 A.点睛：该题考查的是有关几何体的外接球的的问题，关键是需要利用三视图还原几何体，再者就是应用长方体的对角线就是其外接球的直径，之后利用相应的公式求得结果即可.6. 执行如图所示的程序框图，若输出结果为 15，则判断框中应填入的条件 为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：首先根据题中所给的框图，分析可知
6、其任务是对等比数列求和的问题，发现数列是以 1为首项，以 2为公比的等比数列，从而很容易发现其前 4项和等于 15，而对于 k的值为数列的项，结合题中的条件，分析各选项，可以求得正确结果.详解：根据题中所给的程序框图，可以确定该题要求的是 ，对应的正好是以 1为首项，以 2为公比的等比数列，该数列的前 4项和正好是 15，结合题中所给的条件，一一试过，可知选 A.点睛：该题考查的是有关程序框图的问题，该题属于补充条件的问题，在求解的过程中，注意数列的项的大小，以及项之间的关系，从而求得正确结果.7. 商场一年中各月份的收入.支出(单位:万元)情况的统计如图所示，下列说法中错误的是（ ）A. 2
7、至 3月份的收入的变化率与 11至 12月份的收入的变化率相同B. 支出最高值与支出最低值的比是C. 第三季度平均收入为 50万元D. 利润最高的月份是 2月份【答案】D【解析】由图可知 至 月份的收入的变化率与 至 月份的收入的变化率相同，故 正确；由图可知，支出最高值是 ，支出最低值是 ，则支出最高值与支出最低值的比是 ，故正确；由图可知，第三季度平均收入为 ，故 正确；由图可知，利润最高的月份是 月份和 月份，故 错误故选 D.8. 学校艺术节对同一类的 四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下: 甲说:“ 或 作品获得一等奖” ； 乙说
8、:“ 作品获得一等奖” ；丙说:“ , 两项作品未获得一等奖” ； 丁说:“ 作品获得一等奖”.若这四位同学只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是（ ）A. 作品 B. 作品 C. 作品 D. 作品【答案】B【解析】分析：首先假设每一项作品若获得一等奖，看看下边对应的预测，分析分别有几个同学说的是对的，如果有两位同学说的是对的，那就是该问题对应的那个结果，如果不是两位同学说的是对的，那就说明不是该作品获一等奖，从而完成任务.详解：若 B作品获得一等奖，则根据题中所给的条件，可以判断乙和丙两位说的话是对的，而甲和丁说的都是错的，满足只有两位说的话是对的，而若 A作品获一等奖，则没有一个同学说
9、的是正确的，若 C作品获得一等奖，则甲、丙、丁三人说的话正确，若 D作品获一等奖，则只有甲说的话是对的，故只能选 B.点睛：该题考查的是有关推理的问题，解决该题的关键是对每一项作品获一等奖时分析说话正确的同学的人数，如果不是两人，就说明不对，如果正好两人，那就是该题要的结果，注意只能一一验证.9. 设抛物线 的焦点为 ，过点 且倾斜角为 的直线与抛物线交于 两点，若 ,则抛物线的准线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：首先利用题的条件，写出直线的方程，涉及到直线与抛物线相交，需要联立方程组，消元化成关于 x的方程，利用韦达定理求得两根和，之后结合抛物线的定义，得到过于
10、p的等量关系式，进而求得抛物线的准线方程.详解：根据题意，设直线的方程为 ，与抛物线联立，可得 ，整理可得 ，从而有 ，根据 ，结合抛物线的定义可知 ，所以 ，所以抛物线的准线方程为 ，即 ，故选 A.点睛：该题考查的是有关直线与抛物线的问题，在解题的过程中，利用直线过的点以及直线的倾斜角，利用点斜式写出直线的方程，之后与抛物线联立，求得两根和，之后借助于抛物线的定义，转化得出 p所满足的等量关系式，最后求得题中所要的结果.10. 若函数 满足 且 的最小值为 ，则函数 的单调递增区间为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：首先根据诱导公式和辅助角公式化简函数解析式，之后应用题
11、的条件求得函数的最小正周期，求得 的值，从而求得函数解析式，之后利用整体思维，借助于正弦型函数的解题思路，求得函数的单调增区间.详解： ，根据题中条件满足 且 的最小值为 ，所以有 ，所以 ，从而有 ，令 ，整理得 ，从而求得函数的单调递增区间为 ，故选 D.点睛：该题考查的是有关三角函数的综合问题，涉及到的知识点有诱导公式、辅助角公式、函数的周期以及正弦型函数的单调区间的求法，在结题的过程中，需要对各个知识点要熟记，解题方法要明确.11. 已知双曲线 在左，右焦点分别为 ，以 为圆心，以 为半径的圆与该双曲线的两条渐近线在 轴左侧交于 两点，且 是等边三角形.则双曲线的离心率为（ ）A. 2
12、 B. C. D. 【答案】A【解析】分析：首先将双曲线的焦距设出，之后借助于正三角形的特征，求得对应线段的长，从而进一步求得点 A的坐标，利用点在双曲线的渐近线上，得到点的坐标所满足的关系式，从而确定 的关系，结合双曲线中 的关系，进一步求得离心率的大小.详解：设 ，设 与 x轴相较于 M点，根据正三角形的性质，可以求得 ，从而求得 ，所以有 ，故选 A.点睛：该题考查的是有关双曲线的性质的问题，在解题的过程中，注意找渐近线上的点的坐标，也可以利用等边三角形的性质，可以确定出渐近线的倾斜角，从而求得 的关系，结合双曲线中 的关系，进一步求得离心率的大小，这样更省时间.12. 已知函数 ，若对
13、区间 内的任意实数 ， ， ，都有 则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：首先对题中的条件进行分析，任意实数 ， ， ，都有 ，让不等号的左边尽量小，右边尽量大，相当于 ，之后的任务就是求函数在区间 内的最大最小值，利用导数分析函数的单调性，从而求得函数的最值，代入求得参数的取值范围.详解：根据题意，题中条件可以转化为 ， ，当 时，恒成立，所以 在区间 上是增函数，即 ，即 ，解得 ，当 时， 恒成立，所以 在区间 上是减函数，即 ，即 ，解得 ，当 时，函数 在 上单调增，在 上单调减，所以有 ，即 ，解得 ，综上 ，故选 C.点睛：该题考查的是有关利用导
14、数研究函数的综合题，最关键的一步就是对题中条件的转化，归纳出结论 至关重要，之后就是利用导数研究函数的单调性，从而求得相应的最值，从而求得结果.二、填空题: 本题共 4 小题，每小题 5分，共 20 分.13. 二项式 的展开式中的常数项为_【答案】60【解析】由题额意得，二项式 的展开式的通项为 ，令 ，所以 ，所以展开式的常数项为 。14. 若 满足约束条件 ，则 的取值范围是_【答案】【解析】分析：首先根据题中所给的约束条件，画出相应的可行域，再结合目标函数中 z的几何意义，从而可以确定出目标函数在哪个点处取得最小值，之后由于可行域是开放区域，向上动的过程中，目标函数在逐渐的增大，能到正
15、无穷，从而求得最后的结果.详解：根据题中所给的约束条件，画出对应的可行域，其为直线 的上方，直线 的上方，y 轴的右侧的开放区域，且直线 与直线 交于点 A，由 得 ，由 的几何意义可知该目标函数在点 A处取得最小值，往上平移可到 ，由 解得 ，所以 的取值范围是 .点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，正确画出可行域是非常关键的，并且是一个开放的区域，这就决定了其没有最大值，并且会到正无穷，一定要分析清楚在哪个点处取得最小值，要明确对应的点是哪两条直线的交点，从而求得结果.15. 已知向量 与 的夹角为 ，且 ， 若 ，且 ,则实数 的值为_【答案】【解析】分析：首先根据题中
16、的条件，将向量垂直转化为向量的数量积等于零，利用向量的运算法则，将其转化为有关 的式子，借用向量数量积的定义式，得到 所满足的等量关系式，求得结果.详解：由题意可得 ，即，整理得 ，因为向量 与 的夹角为 ，且 ， ，所以有 ，解得 .点睛：该题考查的是有关向量的数量积的问题，主要是将向量垂直用向量的数量积等于零来表示，之后借助于向量的数量积的定义式，将其转化为关于 的等量关系式，从而求得结果.16. 已知在数列 中， ， 则数列 的通项公式为_【答案】【解析】分析：首先将题中的条件加以整理，求得 ，分析差式，可以利用累加法求得 ，整理可得 ，注意对递推公式的变形.详解：根据 ，可得 ，应用累
17、加法可以求得当 时， ，当 时，上式成立，故 ，从而可以求得 .点睛：该题考查的是有关数列的通项公式的求解问题，在解题的过程中，注意对题中的递推公式的变形，从而求得 ，之后利用累加法求得 ，整理可得 ，再用累加法求解的时候，一定要注意对 的验证. 三、解答题: 共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.17. 在 中，内角 所对的边分别为 ，且 .(1)求角 的大小:(2)若点 为的 中点，且 ,求的值 的值【答案】 （1） ；（2）【解析】分析：第一问利用正弦定理将题中的条件 转化为 ，从
18、而求得 ，结合三角形内角的取值范围，求得 ，第二问利用余弦定理，得到 ，将代入上式，整理得到 ，结合正弦定理求得 .详解：（1）在 中，由正弦定理得 ， ，则 ， ，（2）在 中，由余弦定理得 ，在 中，由余弦定理得 ， ，整理得 ， ，由正弦定理得点睛：该题考查的是有关解三角形的问题，在解题的过程中，注意对正弦定理和余弦定理的正确使用，建立关于边或角所满足的关系，在求角的过程中，得到 ，在求角的时候，必须将角的范围写上.18. 如图 1,在正方形 中， 是 的中点，点 在线段 上,且 .若将 , 分别沿 折起，使 两点重合于点 ,如图 2.(1)求证: 平面 ;(2)求直线 与平面 所成角的
19、正弦值【答案】 （1）见解析；（2）【解析】分析：第一问首先要分析清在翻折的时候哪些量是不变的，哪些量是变化的，之后借助于勾股定理证得 ，再利用题的条件，证得相关的垂直关系，之后借助于线面垂直的判定定理证得结果；第二问建立空间直角坐标系，利用空间向量求得线面角的正弦值.详解：（1）证明：设正方形 的边长为 4，由图 1知 , , , , ,即由题意知，在图 2中， , , 平面 , 平面 ,且, 平面 , 平面 , .又 平面 , 平面 ,且 , 平面（2）解：由（1）知 平面 ，则建立如图所示空间直角坐标系，过点 作 ，垂足为 ，在 中， , ,从而, , , , .设平面 的一个法向量为
20、，则 ，令 ，则 ， ， .设直线 与平面 所成角为 ,则 , . 直线 与平面 所成角的正弦值为点睛：该题考查的是有关立体几何的有关问题，一是线面垂直的判定，一定要把握好线面垂直的判定定理的条件，注意勾股定理也是证明线线垂直的好方法，二是求线面角，利用空间向量来求解，即直线的方向向量和平面的法向量所成角的余弦值的绝对值等于线面角的正弦值，求得结果.19. 从甲、乙两种棉花中各抽测了 25根棉花的纤维长度(单位: ) 组成一个样本，且将纤维长度超过 315 的棉花定为一级棉花.设计了如下茎叶图:(1)根据以上茎叶图，对甲、乙两种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论（不必计算） ；(2)从样本
21、中随机抽取甲、乙两种棉花各 2根，求其中恰有 3根一级棉花的概率；(3)用样本估计总体，将样本频率视为概率，现从甲、乙两种棉花中各随机抽取 1根，求其中一级棉花根数 X的分布列及数学期望【答案】 （1）见解析；（2） ；（3）见解析【解析】分析：第一问根据题中所给的茎叶图中数据的分析，确定出哪种棉花的纤维平均长度大，从数据的集中程度来分析哪种棉花的纤维长度的分散程度大，排序之后找正中间的那个数就是中位数，分析数据的特征判断其是否对称，第二问用组合数求得对应的基本事件数，从而求得概率，第三问找到变量的可取值，求得其概率，列出分布列，利用公式求得其期望值.详解：(1) 1.乙种棉花的纤维平均长度大
22、于甲种棉花的纤维平均长度(或:乙种棉花的纤维长度普遍大于甲种棉花的纤维长度).2.甲种棉花的纤维长度较乙种棉花的纤维长度更分散.(或:乙种棉花的纤维长度较甲种棉花的纤维长度更集中(稳定)，甲种棉花的纤维长度的分散程度比乙种棉花的纤维长度的分散程度更大.)3.甲种棉花的纤维长度的中位数为 307 .乙种棉花的纤维长度的中位数为 318 .4.乙种棉花的纤维长度基本上是对称的，而且大多集中在中间(均值附近).甲种棉花的纤维长度除一个特殊值(352) 外，也大致对称，其分布较均匀.(2) 记事件 为“从样本中随机抽取甲、乙两种棉花各 2根，其中恰有 3根一级棉花”.则 (3) 由题意知， 的可能取值
23、是 0,1,2,其相应的概率为, , ,所以 的分布列为0 1 2点睛：该题考查的是有关统计的问题，在解题的过程中，注意对茎叶图的分析角度要找对，对平均值、离散程度、中位数知道怎么找，明确对应的事件的个数，注意分布列的求法，先确定可取值，再求对应的概率，之后借用公式求得期望值.20. 已知椭圆 的焦点坐标分別为 , , 为椭圆 上一点，满足 且(1) 求椭圆 的标准方程:(2) 设直线 与椭圆 交于 两点，点 ，若 ，求 的取值范围.【答案】 （1） ；（2）【解析】分析：第一问首先根据题中条件将涉及到的量设出来，之后结合椭圆的定义以及对应的线段的倍数关系，求得对应的边长，利用余弦定理借用余弦
24、值建立边之间的等量关系式，从而求得 的值，借用椭圆中 的关系，求得 b的值，从而求得椭圆的方程，第二问将直线的方程与椭圆的方程联立，求得两根和与两根积，从而求得线段的中点，利用条件可得垂直关系，建立等量关系式，借用判别式大于零找到其所满足的不等关系，求得 k的取值范围.详解：（1）由题意设 ， 则 ，又 ， ，在 中，由余弦定理得， ，解得 ， ， ， 所求椭圆方程为（2）联立方程 ，消去 得 ，则 ， ，且 设 的中心为 ，则 ， ，, ,即， ，解得 把代入得 ，整理得 ，即解得点睛：该题考查的是有关直线与椭圆的综合题，涉及的知识点有椭圆的定义、余弦定理、椭圆的标准方程，以及直线与椭圆相交
25、的有关问题，要会将题中条件加以转化，再者要会找对应的不等关系.21. 已知函数 ，曲线 在点 处的切线方程为(1) 求 的值；(2) 证明: .【答案】 （1） ；（2）见解析【解析】分析：第一问结合导数的几何意义以及切点在切线上也在函数图像上，从而建立关于 的等量关系式，从而求得结果；第二问可以有两种方法，一是将不等式转化，构造新函数，利用导数研究函数的最值，从而求得结果，二是利用中间量来完成，这样利用不等式的传递性来完成，再者这种方法可以简化运算.详解：（1）解： ，由题意有 ，解得（2）证明：（方法一）由（1）知， .设则只需证明，设则 ， 在 上单调递增，使得且当 时， ，当 时，当
26、时， ， 单调递减当 时， ， 单调递增，由 ，得 ，设 ， ， 当 时， ， 在 单调递减，因此（方法二）先证当 时， ，即证设 ， 则 ，且， 在 单调递增，在 单调递增，则当 时，（也可直接分析 显然成立）再证设 ，则 ，令 ，得且当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增.，即又 ，点睛：该题考查的是有关利用导数研究函数的综合问题，在求解的过程中，涉及到的知识点有导数的几何意义，有关切线的问题，还有就是应用导数证明不等式，可以构造新函数，转化为最值问题来解决，也可以借用不等式的传递性，借助中间量来完成.22. 在直角坐标系 中，以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
27、的极坐标方程为 ，过点 的直线的参数方程为 （为参数） ，与 交于 两点(1) 求 的直角坐标方程和的普通方程；(2) 若 , , 成等比数列，求的值.【答案】 （1） ， ；（2）【解析】分析：第一问首先将等式两边同时乘以 ，之后借助于 ，从而将极坐标方程转化为平面直角坐标方程，对于参数方程向普通方程转化，就是消参即可；第二问将直线的参数方程代入抛物线的方程，得到关于 t的一元二次方程，借助韦达定理求得两根和与两根积，利用题的条件 , , 成等比数列以及直线的参数方程中参数的几何意义，得到 a所满足的等量关系式，从而求解.详解：（1）由 ，两边同乘 ，得化为普通方程为将 消去参数，得直线的普
28、通方程为（2）把 代入 ，整理得， ，由 ，得 或 ， ， ，, , 成等比数列，由的几何意义得 ，即，即 ，解得又 ，点睛：该题考查的是坐标系与参数方程的有关问题，涉及的考点有极坐标方程与直角坐标方程的转换，参数方程与普通方程的转化，还有直线与曲线相交有关线段的长度借用直线的参数方程中参数的几何意义来完成，这样可以简化解题步骤，并且还容易理解，再者，该题需要保证直线与抛物线有两个交点，此时判别式大于零就显得尤为重要.23. 已知定义在 上的函数 . .存在实数 使 成立，(1) 求实数 的值:(2)若 ， 且求证 ，求证【答案】 （1）1；（2）见解析【解析】分析：第一问首先将存在类问题转化
29、为最值来处理，在求含绝对值的式子的最值时用到的是有关绝对值不等式的性质，最后再结合 的取值，最后求得结果；第二问根据题中所给的参数的范围，将绝对值符号去掉，结合 ，可以整理成 ，该题就转化为已知两个正数的整式形式和为定值，求其分式形式和的最值的问题，相乘之后应用基本不等式求得结果，该过程中，要注意乘 1才是不变的.详解：（1）解： 存在实数 使 成立，则解得 ， ，（2）证明：由（1）知， ， ， ，同理， ，即当且仅当 ，又 ，得 ， 时取等号.点睛：该题考查的是有关绝对值不等式的问题，一是注意将有关存在类问题向最值靠拢，从而建立关于参数所满足的不等关系式，从而求得结果，二是根据题中所给的参数的取值范围，从而求得 这样一个整式形式和为定值的式子，在求解关于其分式形式和的最值的问题时，注意相乘即可建立关于积为定值的式子，从而应用基本不等式求得结果，但是需要注意在乘的过程中，时刻注意一个代数式乘以 1才是不变的.
