1、3.3.3 点到直线的距离 3.3.4 两条平行直线间的距离,第三章 3.3 直线的交点坐标与距离公式,学习目标,1.了解点到直线距离公式的推导方法. 2.掌握点到直线的距离公式，并能灵活应用于求平行线间的距离等问题. 3.初步掌握用解析法研究几何问题.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 点到直线的距离,思考 点到直线的距离公式对于A0或B0时的直线是否仍然适用？ 答案 仍然适用，当A0，B0时，直线l的方程为ByC0，,梳理 点到直线的距离 (1)定义：点到直线的 的长度. (2)图示：(3)公式：d .,垂线段,知识点二 两条平行直线间的距离,思考 直线l1：xy
2、10上有A(1,0)，B(0,1)，C(1,2)三点，直线l2：xy10与直线l1平行，那么点A，B，C到直线l2的距离分别为多少？有什么规律吗？,梳理 两条平行直线间的距离 (1)定义：夹在两平行线间的 的长. (2)图示：(3)求法：转化为点到直线的距离. (4)公式：两条平行直线l1：AxByC10与l2：AxByC20之间的距离d,公垂线段,2.直线外一点与直线上一点的距离的最小值是点到直线的距离.( ) 3.两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的距离，也可以看作是两条直线上各取一点的最短距离.( ),思考辨析 判断正误,题型探究,例1 (1)求点P(2，3)到下列直线的距离
3、.,类型一 点到直线的距离,解答,3y4；,解 3y4可化为3y40，,解答,x3.,解 x3可化为x30，,(2)求过点M(1,2)，且与点A(2,3)，B(4,5)距离相等的直线l的方程.,解答,解 方法一 当过点M(1,2)的直线l的斜率不存在时， 直线l的方程为x1， 恰好与A(2,3)，B(4,5)两点距离相等， 故x1满足题意； 当过点M(1,2)的直线l的斜率存在时， 设l的方程为y2k(x1)， 即kxyk20. 由点A(2,3)与B(4,5)到直线l的距离相等，得,即x3y50. 综上所述，直线l的方程为x1或x3y50. 方法二 由题意得lAB或l过AB的中点， 当lAB时
4、，设直线AB的斜率为kAB，,即x3y50. 当l过AB的中点(1,4)时，直线l的方程为x1. 综上所述，直线l的方程为x1或x3y50.,反思与感悟 (1)应用点到直线的距离公式时应注意的三个问题 直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式. 点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用. 直线方程AxByC0，当A0或B0时公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解. (2)用待定系数法求直线方程时，首先考虑斜率不存在是否满足题意.,跟踪训练1 (1)若点(4，a)到直线4x3y0的距离不大于3，则a的取值范围是_.,解析,答案,(2)已知直线l过点
5、P(3,4)且与点A(2,2)，B(4，2)等距离，则直线l的方程为_.,解析,答案,2xy20或2x3y180,解析 过点P(3,4)且斜率不存在时的直线方程为x3，与A，B两点的距离不相等， 故可设所求直线方程为y4k(x3)，即kxy43k0，,所求直线l的方程为2xy20或2x3y180.,类型二 两平行线间的距离,例2 (1)两直线3xy30和6xmy10平行，则它们之间的距离为_.,解析,答案,将直线3xy30化为6x2y60，,(2)已知直线l与两直线l1：2xy30和l2：2xy10的距离相等，则l的方程为_.,解析,答案,解析 设直线l的方程为2xyC0，,2xy10,直线l
6、的方程为2xy10.,解得C32或C20， 故所求直线的方程为5x12y320或5x12y200.,解答,解 设所求直线的方程为5x12yC0，,跟踪训练2 (1)求与直线l：5x12y60平行且到l的距离为2的直线方程；,所以l1和l2的方程分别为y0和y5或5x12y50和5x12y600.,解答,解 由题意知，两直线的斜率都存在， 设l1：yk(x1)，即kxyk0， l2：ykx5，即kxy50. 因为l1与l2的距离为5，,(2)两平行直线l1，l2分别过P1(1,0)，P2(0,5)两点，若l1与l2的距离为5，求两直线方程.,类型三 利用距离公式求最值,命题角度1 由点到直线的距
7、离求最值,解析,答案,上式可看成是一个动点M(x，y)到定点N(0,1)的距离， 即为点N到直线l：6x8y10上任意一点M(x，y)的距离， |MN|的最小值应为点N到直线l的距离，,反思与感悟 解决此类题的关键是理解式子表示的几何意义，将“数”转化为“形”，从而利用图形的直观性加以解决.,P点坐标为(2,2).,解答,解 直线上的点到原点距离的最小值即为原点到直线的距离，此时OP垂直于已知直线，则kOP1， OP所在直线方程为yx.,跟踪训练3 (1)动点P(x，y)在直线xy40上，O为原点，求|OP|最小时P点的坐标；,即x2y50.,解答,解 由题意知过点P且与OP垂直的直线到原点O
8、的距离最大， kOP2，,(2)求过点P(1,2)且与原点距离最大的直线方程.,解答,解 设经过A点和B点的直线分别为l1，l2，,命题角度2 有关两平行线间距离的最值 例4 两条互相平行的直线分别过点A(6,2)，B(3，1)，并且各自绕着点A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d. (1)求d的取值范围；,解答,两直线的方程分别为3xy200或3xy100.,(2)求d取最大值时，两条直线的方程.,反思与感悟 两平行线间的距离可转化为两点间的距离，通过两点间的距离利用数形结合思想得到两平行线间距离的最值.,跟踪训练4 已知P，Q分别是直线3x4y50与6x8y50上的动点，则|PQ|的最小
9、值为,答案,解析,达标检测,1.已知点(a,1)到直线xy10的距离为1，则a的值为,1,2,3,4,答案,5,解析,2.直线x2y10与直线x2yC0的距离为2 ，则C的值为 A.9 B.11或9 C.11 D.9或11,答案,1,2,3,4,5,解得C9或11.,解析,3.已知点M(1,2)，点P(x，y)在直线2xy10上，则|MP|的最小值是,解析,1,2,3,4,5,答案,答案,1,2,3,4,5,4.两平行直线3x4y50与6xay300间的距离为d，则ad_.,10,解析,解析 由两直线平行知，a8,6x8y300可化为3x4y150，,ad10.,5.直线3x4y270上到点P(2,1)距离最近的点的坐标是_.,1,2,3,4,5,答案,解析,(5，3),解析 由题意知过点P作直线3x4y270的垂线， 设垂足为M，则|MP|最小，,所求点的坐标为(5，3).,1.点到直线的距离即是点与直线上的点连线的距离的最小值，利用点到直线的距离公式，解题时要注意把直线方程化为一般式.当直线与坐标轴垂直时可直接求之. 2.利用点到直线的距离公式可求直线的方程，有时需结合图形，数形结合，使问题更清晰. 3.已知两平行直线，其距离可利用公式d 求解，也可在已知直线上取一点，转化为点到直线的距离.,规律与方法,
