1、考研数学复习全程指南2013 考研数学复习全程指南随着 2012 年考研的逐步远去，2013 考研的钟声正在逐渐临近，在 2013 考研的道路上，充满了困难与艰辛，在此仅以这篇文档赠送给 2013 年为考研而奋斗的战友们。我归纳考研数学复习分为四个阶段：第一阶段 了解大纲要求，学好基础知识 每年的大纲都不会有什么变化，应该沿着大纲的要点认真地去复习，基础知识的复习教材为主，通读并理解教材。 高等数学一定要把每个考点的细节都要搞懂，觉得难的地方仔细的思考，不能一遇到困难就翻书，看答案，要学会独立思考。教材上的题和考研题相差甚远，书上的题可以少做。加深对基本概念、公式、定理等重点内容的理解和正确应
2、用。学完一章复习全书中考核知识要点讲解部分，然后做历年真题对应的第三篇试题分类解析的题目。历年真题题型分类解析将历年同一内容的试题归纳在一起，并进行详细解答。这样便于学员复习该部分内容时了解到：该内容考过什么样的题目，是从哪个角度来命题的，并常与哪些知识点联系起来命题等，从而能让学员掌握考研数学试题的广度和深度，并在复习时能明确目标，做到心中有数。 第二阶段 了解题型，熟练解题据近十年特别是近两年的研究生入学考试试题分析显示，考试加强了对考生分析问题和解决问题能力的考核。在线性代数的两个大题中，基本上都是多个知识点的综合。从而达到对考生的运算能力、抽象概括能力、逻辑思维能力和综合运用所学知识解
3、决实际问题的能力的考核。因此，在打好基础的同时，通过做一些综合性较强的习题（或做近年的研究生考题），边做边总结，以加深对概念、性质内涵的理解和应用方法的掌握。 第三阶段 模拟考试，反思不足2012 年的真题是全新的题目，可以作为测试用，要全真模拟考场，第一天集中三个小时自我检测，对答案，打分，第二天总结错题知识点，把之前做过的相同知识点对应题目再做一遍。 建议大家根据历年的真题来总结出最可能出大题的重点部分，特别是如果这个重点部分自己还复习的不是太好的一定要抓住自己最后的机会。其实考研数学每年出大题的地方就只有几个点，而且题型也比较固定。另外还有一个记忆不是很深刻的公式也一定要抢记噢。第四阶段
4、 加强训练，善于合作同学们在复习的时候一定要和你周围的同学、老师多交流学习心得。只有你总结出来的方法才是最适合你的方法。同学们在复习的过程中肯定要遇到一些疑难问题、做错的题目，一定要在第一时间把他整理到你的笔记本里，方便的时候可以答疑。计划里明确了每章该看的知识点、该做的习题，后面备有大纲要求，学员要根据大纲要求合理学习知识点。考研高等数学复习第一讲 函数、连续与极限一、理论要求1.函数概念与性质函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期）几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数）2.极限 极限存在性与左右极限之间的关系夹逼定理和单调有界定理会用等价无穷小和罗必达法则求极限3.连续 函数连续（左
5、、右连续）与间断理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）二、题型与解法A.极限的求法 （1）用定义求（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子）（3）变量替换法（4）两个重要极限法（5）用夹逼定理和单调有界定理求（6）等价无穷小量替换法（7）洛必达法则与 Taylor 级数法（8）其他（微积分性质，数列与级数的性质）1. （ 等价小量与洛必达 ）612arctnlim)21ln(arcti 3030 xxx2.已知 2030 )(li(6si xffxx ， 求解： 2030 3cosli)il yfxfx 72)0(6)(32163cs1lim2sinlim0 y
6、y xyxxx（ 洛必达 ）3li2lili 0020xxf3. （ 重要极限 ）11)(limx4.已知 a、b 为正常数， xxba30)2(lim求解：令 ln)ln(l,)2(3xxxtt（ 变量替换 ）2/300)( )l(23)ll(linlimabt abbaxxxx5. )1ln(02coslixx解：令 )ln(cos)1l(,)(2)1ln(2 xttx（ 变量替换 ）/00alimli ettxx6.设 连续， ，求 )(f 0)(,)(ff 1)(lim022xxdtf（ 洛必达与微积分性质 ）7.已知 在 x=0 连续，求 a0,)ln(cos)2xaf解：令 （ 连
7、续性的概念 ）/1/)l(im2x三、补充习题（作业） 1. （洛必达）3cos1lim0xexx2. （洛必达或 Taylor）)in(li0tgx3. （洛必达与微积分性质）1li20xtxed第二讲 导数、微分及其应用一、理论要求1.导数与微分 导数与微分的概念、几何意义、物理意义会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导）会求平面曲线的切线与法线方程2.微分中值定理 理解 Roll、Lagrange 、Cauchy、Taylor 定理会用定理证明相关问题3.应用 会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图会计算曲率（半径）二、题型与解法基本公式、四则、复合、高
8、阶、隐函数、参数方程求导A.导数微分的计算1. 决定，求52arctn)(eyxy由 dxy2. 决定，求si)l3由 1|0x解：两边微分得 x=0 时 ，将 x=0 代入等式得 y=1yxyco3. 决定，则 xyy2)(由 dxdx)2(ln|0B.曲线切法线问题 4.求对数螺线 处切线的直角坐标/,/ee（），在 （方程。解： 1|),0(|),(sinco2/2/2/ yyxeyx2/5.f(x)为周期为 5 的连续函数，它在 x=1 可导，在 x=0 的某邻域内满足 f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+o(x)。求 f(x)在（6，f(6)）处的切线方程。解：需求 ，等
9、式取 x-0 的极限有：f(1)=0)1(,)6(,ff或 )6(2)1(8)(43limsini10sin xyff tfftxtxC.导数应用问题 6.已知 ，xeffxy 1 2满 足对 一 切，求 点的性质。)0()0xf若 ),(0y解：令 ，故为极小值点。0,0100 xexfx代 入 ，7. ，求单调区间与极值、凹凸区间与拐点、渐进线。23)1(xy解：定义域 ),1()(： 斜： 铅 垂 ；拐 点 及驻 点 200 3xyxy8.求函数 的单调性与极值、渐进线。exarctn2/)1(解： ，10arctn2/2 xyx与驻 点)(yxe与渐 ： D.幂级数展开问题 9. xd
10、td022sinsin x nnx nnnnxxxdtdt txtxtxdt txtttx0 2)12(62 4732 1417)12(622 si!)!1)sin(i )!()()!1)()sin( !i或： 20202 sinsi)(sinxduxdudxutx 10.求 )()1l()(2 ff 阶 导 数处 的在解： )213ln 222 nnxoxx= )(2)1(3543 nnxo2!)1(0)(nfnE.不等式的证明 11.设 ，,x 21)ln(12l)1(l)2 xx，求 证 （证：1）令 0,)(2gg； 得 证 。单 调 下 降 ， 单 调 下 降单 调 下 降 ，时 0
11、)()(,0)( )(,101l),(, 2xgxgxg2）令 单 调 下 降 ， 得 证 。,)(,1,)1ln()hxxhF.中值定理问题 12.设函数 具有三阶连续导数，且 ，在f 1)(,0)1(ff，求证：在（-1，1）上存在一点0)(f 3)(f， 使证： 32!1)0(!1)( xxfxfx 其中 ,(将 x=1，x=-1 代入有 )(61)0(2)(1021fff两式相减： 6)()(21ff 3)( 2121 f，13. ，求证： eba4ln2abeb证： )()(:fafLgrn令 l2l,l)(2bxf令 222 ln)(0ln1)(,ln)( eett （关键：构造函
12、数）4l22abeb三、补充习题（作业）1. 23)0(,1ln)(2yxxf求2.曲线 01),(cosi xyteyt 处 切 线 为在3. ex0)1ln(的 渐 进 线 方 程 为4.证明 x0 时 22)1(lnx证：令 3222 )1(),(,l)() xgxxg 01(01g，0),1(02,),( gxx第三讲 不定积分与定积分一、理论要求1.不定积分 掌握不定积分的概念、性质（线性、与微分的关系）会求不定积分（基本公式、线性、凑微分、换元技巧、分部）2.定积分 理解定积分的概念与性质理解变上限定积分是其上限的函数及其导数求法会求定积分、广义积分会用定积分求几何问题（长、面、体
13、）会用定积分求物理问题（功、引力、压力）及函数平均值二、题型与解法A.积分计算1.Cxxdxd2arcsin)2(4)(2. xedeee xtant1tan 2223.设 ，求xf)l()(df)(解： edfx1ln Cexde xxxxx )1ln()()()l(4. 1 1212 2l4lim|arctnarctnbdd B.积分性质 5. 连续， ,且 ，求 并讨论)(xf0)()(dxfAxf)(0)(x在 的连续性。解： xdyfxtyf 0)()(,0)()0(2/)0(lim2)0()()( 20 Axdffx x6. xtdfttfd020)()(222ydxC.积分的应用
14、 7.设 在0，1 连续，在（0，1）上 ，且)(f 0)(xf，又 与 x=1,y=0 所围面积 S=2。求23 xa)(f，且 a=?时 S 绕 x 轴旋转体积最小。)(xf解： 102 42)(3)(23)( acdxfcxafafd1022 5)()14(3)( adxyVxaxf 8.曲线 ，过原点作曲线的切线，求曲线、切线与 x 轴y所围图形绕 x 轴旋转的表面积。解：切线 绕 x 轴旋转的表面积为2/ 520yds曲线 绕 x 轴旋转的表面积为1y)5(621ds总表面积为三、补充习题（作业）1. Cxxdxcot2sinlcotsinl22. 13653.dxarcsi第四讲
15、向量代数、多元函数微分与空间解析几何一、理论要求1.向量代数 理解向量的概念（单位向量、方向余弦、模）了解两个向量平行、垂直的条件向量计算的几何意义与坐标表示2.多元函数微分 理解二元函数的几何意义、连续、极限概念，闭域性质理解偏导数、全微分概念能熟练求偏导数、全微分熟练掌握复合函数与隐函数求导法3.多元微分应用 理解多元函数极值的求法，会用 Lagrange 乘数法求极值4.空间解析几何 掌握曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的求法会求平面、直线方程与点线距离、点面距离二、题型与解法A.求偏导、全微分 1. 有二阶连续偏导， 满足 ，)(xf )sin(yefzxzezxyx2求解： u
16、uecff 21)(02. yxzxyfxz2)()(1， 求3. ，求决 定由 0),(, Ffzy dxz/B.空间几何问题 4.求 上任意点的切平面与三个坐标轴的截ax距之和。解： adzy000/5.曲面 在点 处的法线方程。2132x)2,(C.极值问题 6.设 是由 确定的函),(yz 0186zyxy数，求 的极值点与极值。x三、补充习题（作业）1. yxzgyxfz2),(,(求2. f求),(,(3. dzxyyxuz 求,arctn,ln,2第五讲 多元函数的积分一、理论要求1.重积分 熟悉二、三重积分的计算方法（直角、极、柱、球）Drbaxyrdfdyxyf21)(,),
17、(V rzzzbaxyyxdrfdrzfxyzf)(21),(212,)(21),(sin),),),(会用重积分解决简单几何物理问题（体积、曲面面积、重心、转动惯量） DyxzAyxfz 2),(2.曲线积分 理解两类曲线积分的概念、性质、关系，掌握两类曲线积分的计算方法L ttbaxdrrfr ytxtyxLyfdlyxf 22)sin,co()(: (1),)(:),(熟悉 Green 公式，会用平面曲线积分与路径无关的条件3.曲面积分 理解两类曲面积分的概念（质量、通量） 、关系熟悉 Gauss 与 Stokes 公式，会计算两类曲面积分 LSSVDxy yxyxzS dFrdtoke
18、sEGau dzyzfzf 旋 度 ）通 量 ， 散 度 ）()(: 1),(),( 2),(: 二、题型与解法A.重积分计算1. 为平面曲线 绕 z 轴旋转一周与,)(2dVyxI 02xyz=8 的围域。解： 31024)( 20802280 zzyx rddzxydI2. 为 与DDa,422 )(2axa围域。 （xy)16(I3. ，其 他,00,21),(2xyxyf求 (49/20)Ddf:2B.曲线、曲面积分4. L xx dyaeybeI )cos()(sin(0,2)0, OaA至沿从解：令 Ay至沿从132201 )()()( abdxbdxyabI aDL 5. ,Ly
19、xdI24为 半 径 的 圆 周 正 向为 中 心 ，为 以 )1()0,1(R。解：取包含(0,0) 的正向 ，sinco2:ryxL 1110LLL6.对空间 x0 内任意光滑有向闭曲面 S，且 在 x0 有连0)()(2S xzdyexyfdzxf )(xf续一阶导数， ,求 。1lim0x)(f解： s xdVefxffdVFSd )()(0 211)( 2xxeyeyx第六讲 常微分方程一、理论要求1.一阶方程 熟练掌握可分离变量、齐次、一阶线性、伯努利方程求法2.高阶方程 会求 )(),(),(),(),()( ypyfxpyxfyfyn 3.二阶线性常系数(齐次 )sinco()
20、00 211221122xeyixqqp (非齐次 )xnxn eQyandrPxf 2212)()(非 ),max(si)cos)(icos2 jixrxqeyippef nnjix 齐次 )二、题型与解法A.微分方程求解 1.求 通解。 （0)2()23( dyxdyx)32cxyx2.利用代换 化简 并求通uos xeyxycos3sin2o解。 （ ）cxcex 5is,4 213.设 是上凸连续曲线， 处曲率为 ，且过)(y),(y21y处切线方程为 y=x+1，求 及其极值。1,0( x解： 2ln1,2ln1|)4cos(|ln max2 yyy三、补充习题（作业）1.已知函数
21、在任意点处的增量 。)(xy )1(,)0(,12yxy求( ）4e2.求 的通解。 （ ）xy2 xxxecey22143.求 的通解。 （ ）0)(,(0)( d )1(2xy4.求 的特解。 （)(,2 yeyx e31第七讲 无穷级数一、理论要求1.收敛性判别 级数敛散性质与必要条件常数项级数、几何级数、p 级数敛散条件正项级数的比较、比值、根式判别法交错级数判别法2.幂级数 幂级数收敛半径、收敛区间与收敛域的求法幂级数在收敛区间的基本性质（和函数连续、逐项微积分）Taylor 与 Maclaulin 展开3.Fourier 级数 了解 Fourier 级数概念与 Dirichlet
22、收敛定理会求 的 Fourier 级数与 正余弦级数,l,0l第八讲 线性代数一、理论要求1.行列式 会用按行（列）展开计算行列式2.矩阵 几种矩阵（单位、数量、对角、三角、对称、反对称、逆、伴随）矩阵加减、数乘、乘法、转置，方阵的幂、方阵乘积的行列式矩阵可逆的充要条件，会用伴随矩阵求逆矩阵初等变换、初等矩阵、矩阵等价用初等变换求矩阵的秩与逆理解并会计算矩阵的特征值与特征向量理解相似矩阵的概念、性质及矩阵对角化的冲要条件掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法掌握实对称矩阵的特征值与特征向量的性质3.向量 理解 n 维向量、向量的线性组合与线性表示掌握线性相关、线性无关的判别理解并向量组的极大线性无关
23、组和向量组的秩了解基变换与坐标变换公式、过渡矩阵、施密特方法了解规范正交基、正交矩阵的概念与性质4.线性方程组 理解齐次线性方程组有非零解与非齐次线性方程组有解条件理解齐次、非齐次线性方程组的基础解系及通解掌握用初等行变换求解线性方程组的方法5.二次型 二次型及其矩阵表示，合同矩阵与合同变换二次型的标准形、规范形及惯性定理掌握用正交变换、配方法化二次型为标准形的方法了解二次型的对应矩阵的正定性及其判别法第九讲 概率统计初步一、理论要求1.随机事件与概率了解样本空间（基本事件空间）的概念，理解随机事件的关系与运算会计算古典型概率与几何型概率掌握概率的加减、乘、全概率与贝叶斯公式2.随机变量与分布
24、理解随机变量与分布的概念理解分布函数、离散型随机变量、连续型变量的概率密度掌握 0-1、二项、超几何、泊松、均匀、正态、指数分布，会求分布函数3.二维随机变量 理解二维离散、连续型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布理解随机变量的独立性及不相关概念掌握二维均匀分布、了解二维正态分布的概率密度会求两个随机变量简单函数的分布4.数字特征 理解期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数的概念掌握常用分布函数的数字特征，会求随机变量的数学期望5.大数定理 了解切比雪夫不等式，了解切比雪夫、伯努利、辛钦大数定理了解隶莫弗-Laplace 定理与列维-林德伯格定理6.数理统计概念 理解总体、简单随机样本、
25、统计量、样本均值、样本方差及样本矩了解 分布、 t 分布、F 分布的概念和性质，了解分位数的概2念了解正态分布的常用抽样分布7.参数估计 掌握矩估计与极大似然估计法了解无偏性、有效性与一致性的概念，会验证估计量的无偏性会求单个正态总体的均值和方差的置信区间8.假设检验 掌握假设检验的基本步骤了解单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验第十讲 总结1.极限求解 变量替换（ 作对数替换） ，洛必达法则，其他（重要极限，1微积分性质，级数，等价小量替换）1. (几何级2)1(.)2()(limaxnxnaxn 数)2. (对数替换)2/10)arcos2(liexx3. 2tn1lix4. 21)6
26、3(limxx5. 21)()(liaxnnax6. ，求)0(cos,4,s)(02xtdxfx )(lim0xf2.导数与微分 复合函数、隐函数、参数方程求导1. )()(bax2. ，求 dy/dx0)sinrctyxy3. 决定函数 ，求 dytextio(4.已知 ，验证1ln2y0)124yxy5. ,求bxvueysin,l31,32xy3.一元函数积分 1.求函数 在区间 上的最小值。 （0）xdttI02)( 1,02.2|1|dx3. 02/3)（4.dx)1(5. 2t6.dx2414.多元函数微分1. ，求),(xyefzyxz,2. 由 给出，求证：),(0),(Fx
27、yzxzy3.求 在 O(0,0),A(1,1),B(4,2)的梯度。u2),(24. ，求lnsiyxxu6.证明 满足)(2fznzyz7.求 内的最值。18:4, 22xDxyxf 在5.多元函数积分 1.求证： brotatbadiv)(2. DyxyxI 2:,23. )(4.改变积分次序 201),(xdyfd5. 围域。 DxyxdyxI 1,2,:,)(26.常微分方程 1.求 通解。01ln12d2.求 通解。xey353.求 通解。264.求 通解。0)()(2 dyxdyx5.求 特解。)(,2cos146.求 特解。1,)(,yxey高等数学考研题型分析 填空题：极限（
28、指数变换，罗必达） 、求导（隐函数，切法线） 、不定积分、二重积分、变上限定积分选择题：等价小量概念，导数应用，函数性质，函数图形，多元极限计算题：中值定理或不等式，定积分几何应用，偏导数及几何应用，常微分方程及应用考研概率论复习第一章 随机事件和概率 （1）排列组合公式从 m 个人中挑出 n 个人进行排列的可能数。从 m 个人中挑出 n 个人进行组合的可能数。（2）加法和乘法原理加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由 m 种方法完成，第二种方法可由 n 种方法来完成，则这件事可由 m+n 种方法来完成。乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：mn 某
29、件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由 m 种方法完成，第二个步骤可由 n 种方法来完成，则这件事可由 mn 种方法来完成。（3）一些常见排列重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个）顺序问题（4）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。（5）基本事件、样本空间和事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。这样一组
30、事件中的每一个事件称为基本事件，用 来表示。基本事件的全体，称为试验的样本空间，用 表示。一个事件就是由 中的部分点（基本事件 ）组成的集合。通常用大写字母 A，B，C，表示事件，它们是 的子集。为必然事件， 为不可能事件。不可能事件（）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（）的概率为 1，而概率为 1 的事件也不一定是必然事件。（6）事件的关系与运算关系：如果事件 A 的组成部分也是事件 B 的组成部分， （A 发生必有事件 B 发生）：如果同时有 ， ，则称事件 A 与事件 B 等价，或称 A 等于 B：A=B。A、B 中至少有一个发生的事件：A B，或者 A+B
31、。属于 A 而不属于 B 的部分所构成的事件，称为 A 与 B 的差，记为 A-B，也可表示为 A-AB 或者 ，它表示 A 发生而 B 不发生的事件。A、B 同时发生：A B，或者 AB。A B=，则表示 A 与 B 不可能同时发生，称事件 A 与事件 B 互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。-A 称为事件 A 的逆事件，或称 A 的对立事件，记为 。它表示 A 不发生的事件。互斥未必对立。运算：结合率：A(BC)=(AB)C A(BC)=(AB)C分配率：(AB)C=(AC)(BC) (AB)C=(AC)(BC)德摩根率： ， （7）概率的公理化定义设 为样本空间， 为事件，对每一个事
32、件 都有一个实数 P(A)，若满足下列三个条件：1 0P(A)1，2 P() =13 对于两两互不相容的事件 ， ，有常称为可列（完全）可加性。则称 P(A)为事件 的概率。（8）古典概型1 ，2 。设任一事件 ，它是由 组成的，则有P(A)= =（9）几何概型若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何概型。对任一事件 A，。其中 L 为几何度量（长度、面积、体积） 。（10）加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)当 P(AB)0 时，P(A+B)=P(A)+P(B)（11）减法公式P(
33、A-B)=P(A)-P(AB)当 B A 时，P(A-B)=P(A)-P(B)当 A= 时，P( )=1- P(B)（12）条件概率定义 设 A、B 是两个事件，且 P(A)0，则称 为事件 A 发生条件下，事件 B 发生的条件概率，记为 。条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。例如 P(/B)=1 P( /A)=1-P(B/A)（13）乘法公式乘法公式：更一般地，对事件 A1，A2，An，若 P(A1A2An-1)0，则有 。（14）独立性两个事件的独立性 设事件 、 满足 ，则称事件 、 是相互独立的。若事件 、 相互独立，且 ，则有若事件 、 相互独立，则可得到 与 、
34、与 、 与 也都相互独立。必然事件 和不可能事件 与任何事件都相互独立。 与任何事件都互斥。多个事件的独立性 设 ABC 是三个事件，如果满足两两独立的条件，P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么 A、B、C 相互独立。对于 n 个事件类似。（15）全概公式设事件 满足1 两两互不相容， ，2 ，则有。（16）贝叶斯公式设事件 ， ， 及 满足1 ， ， 两两互不相容， 0， 1，2， ，2 ， ，则，i=1，2，n。此公式即为贝叶斯公式。， （ ， ， ） ，通常叫先验概率。 ， （ ，
35、 ， ） ，通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。（17）伯努利概型我们作了 次试验，且满足u 每次试验只有两种可能结果， 发生或 不发生； u 次试验是重复进行的，即 发生的概率每次均一样；u 每次试验是独立的，即每次试验 发生与否与其他次试验 发生与否是互不影响的。这种试验称为伯努利概型，或称为 重伯努利试验。用 表示每次试验 发生的概率，则 发生的概率为 ，用 表示 重伯努利试验中 出现 次的概率， 。第二章 随机变量及其分布 （1）离散型随机变量的分布律设离散型随机变量 的可能取值为 Xk(k=1,2,)且取各个值的概率，即事件(X=Xk)的
36、概率为P(X=xk)=pk，k=1,2,，则称上式为离散型随机变量 的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出：。显然分布律应满足下列条件：（1） ， ， （2） 。（2）连续型随机变量的分布密度设 是随机变量 的分布函数，若存在非负函数 ，对任意实数 ，有， 则称 为连续型随机变量。 称为 的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。密度函数具有下面 4 个性质：1 。2 。（3）离散与连续型随机变量的关系积分元 在连续型随机变量理论中所起的作用与 在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。（4）分布函数设 为随机变量， 是任意实数，则函数称为随机变量 X 的分布函数，本质上是一个累积函数。可以
37、得到 X 落入区间 的概率。分布函数 表示随机变量落入区间（ ，x内的概率。分布函数具有如下性质：1 ；2 是单调不减的函数，即 时，有 ；3 ， ；4 ，即 是右连续的；5 。对于离散型随机变量， ；对于连续型随机变量， 。0-1 分布 P(X=1)=p, P(X=0)=q二项分布 在 重贝努里试验中，设事件 发生的概率为 。事件 发生的次数是随机变量，设为 ，则 可能取值为 。， 其中 ，则称随机变量 服从参数为 ， 的二项分布。记为 。当 时， ， ，这就是（0-1）分布，所以（0-1）分布是二项分布的特例。泊松分布 设随机变量 的分布律为， ， ，则称随机变量 服从参数为 的泊松分布，
38、记为 或者 P( )。泊松分布为二项分布的极限分布（np=，n） 。超几何分布 随机变量 X 服从参数为 n,N,M 的超几何分布，记为H(n,N,M)。几何分布 ，其中 p0，q=1-p。随机变量 X 服从参数为 p 的几何分布，记为 G(p)。（5）八大分布均匀分布 设随机变量 的值只落在a，b内，其密度函数 在a，b上为常数 ，即axb其他，则称随机变量 在a，b上服从均匀分布，记为XU(a，b)。分布函数为axb0， xb。当 ax1x1 时，有 F（x2,y）F(x1,y);当 y2y1 时，有 F(x,y2) F(x,y1);（3）F（x,y）分别对 x 和 y 是右连续的，即（4
39、）（5）对于.（4）离散型与连续型的关系离散型 X 的边缘分布为；Y 的边缘分布为。（5）边缘分布连续型 X 的边缘分布密度为Y 的边缘分布密度为离散型 在已知 X=xi 的条件下，Y 取值的条件分布为在已知 Y=yj 的条件下，X 取值的条件分布为（6）条件分布连续型 在已知 Y=y 的条件下，X 的条件分布密度为；在已知 X=x 的条件下，Y 的条件分布密度为一般型 F(X,Y)=FX(x)FY(y)离散型 有零不独立连续型 f(x,y)=fX(x)fY(y)直接判断，充要条件：可分离变量正概率密度区间为矩形二维正态分布 0（7）独立性随机变量的函数 若 X1,X2,Xm,Xm+1,Xn
40、相互独立， h,g为连续函数，则：h（X1，X2,Xm）和 g（Xm+1,Xn）相互独立。特例：若 X 与 Y 独立，则：h（X）和 g（Y）独立。例如：若 X 与 Y 独立，则：3X+1 和 5Y-2 独立。（8）二维均匀分布设随机向量（X，Y）的分布密度函数为其中 SD 为区域 D 的面积，则称（X，Y）服从 D 上的均匀分布，记为（X，Y）U（D） 。例如图 3.1、图 3.2 和图 3.3。y 1D1 O 1 x 图 3.1y D2 11O 2 x 图 3.2y D3 d c O a b x 图 3.3（9）二维正态分布设随机向量（X，Y）的分布密度函数为其中 是 5 个参数，则称（X
41、，Y）服从二维正态分布，记为（X，Y）N（由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布，即 XN（但是若 XN（ ，(X，Y)未必是二维正态分布。Z=X+Y 根据定义计算：对于连续型，fZ(z)两个独立的正态分布的和仍为正态分布（ ） 。n 个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。， Z=max,min(X1,X2,Xn)若 相互独立，其分布函数分别为 ，则Z=max,min(X1,X2,Xn)的分布函数为：分布 设 n 个随机变量 相互独立，且服从标准正态分布，可以证明它们的平方和的分布密度为我们称随机变量 W 服从自由度为 n 的 分布，记为 W ，其中所谓
42、自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量分布中的一个重要参数。分布满足可加性：设则t 分布 设 X，Y 是两个相互独立的随机变量，且可以证明函数的概率密度为我们称随机变量 T 服从自由度为 n 的 t 分布，记为 Tt(n)。（10）函数分布F 分布 设 ，且 X 与 Y 独立，可以证明 的概率密度函数为我们称随机变量 F 服从第一个自由度为 n1，第二个自由度为 n2 的 F 分布，记为Ff(n1, n2).第四章 随机变量的数字特征离散型 连续型期望期望就是平均值设 X 是离散型随机变量，其分布律为 P( )pk，k=1,2,n，（要求绝对收敛）设 X 是连续型随机变量，其概率密度为
43、 f(x)，（要求绝对收敛）函数的期望 Y=g(X) Y=g(X)方差D(X)=EX-E(X)2，标准差，矩 对于正整数 k，称随机变量 X 的 k 次幂的数学期望为X 的 k 阶原点矩，记为 vk,即k=E(Xk)= , k=1,2, .对于正整数 k，称随机变量 X 与 E（X）差的 k 次幂的数学期望为 X 的 k 阶中心矩，记为 ，即= ， k=1,2, .对于正整数 k，称随机变量X 的 k 次幂的数学期望为 X 的k 阶原点矩，记为 vk,即k=E(Xk)=k=1,2, .对于正整数 k，称随机变量X 与 E（X）差的 k 次幂的数学期望为 X 的 k 阶中心矩，记为 ，即=k=1
44、,2, .（1）一维随机变量的数字特征切比雪夫不等式 设随机变量 X 具有数学期望 E（X）=，方差 D（X）=2，则对于任意正数 ，有下列切比雪夫不等式切比雪夫不等式给出了在未知 X 的分布的情况下，对概率的一种估计，它在理论上有重要意义。（2）期望的性质（1） E(C)=C（2） E(CX)=CE(X)（3） E(X+Y)=E(X)+E(Y)，（4） E(XY)=E(X) E(Y)，充分条件：X 和 Y 独立；充要条件：X 和 Y 不相关。（3）方差的性质（1） D(C)=0；E(C)=C（2） D(aX)=a2D(X)； E(aX)=aE(X)（3） D(aX+b)= a2D(X)； E
45、(aX+b)=aE(X)+b（4） D(X)=E(X2)-E2(X)（5） D(XY)=D(X)+D(Y)，充分条件：X 和 Y 独立；充要条件：X 和 Y 不相关。D(XY)=D(X)+D(Y) 2E(X-E(X)(Y-E(Y)，无条件成立。而 E(X+Y)=E(X)+E(Y)，无条件成立。（4） 期望 方差0-1 分布 p 二项分布 np 泊松分布几何分布超几何分布均匀分布指数分布正态分布n 2n常见分布的期望和方差t 分布 0 (n2)期望函数的期望 方差协方差 对于随机变量 X 与 Y，称它们的二阶混合中心矩 为 X 与 Y 的协方差或相关矩，记为 ，即与记号 相对应，X 与 Y 的方
46、差 D（X）与 D（Y）也可分别记为 与 。相关系数 对于随机变量 X 与 Y，如果 D（X）0, D(Y)0，则称为 X 与 Y 的相关系数，记作 （有时可简记为 ） 。| |1，当| |=1 时，称 X 与 Y 完全相关：完全相关而当 时，称 X 与 Y 不相关。以下五个命题是等价的： ；cov(X,Y)=0;E(XY)=E(X)E(Y);D(X+Y)=D(X)+D(Y);D(X-Y)=D(X)+D(Y).协方差矩阵（5）二维随机变量的数字特征混合矩 对于随机变量 X 与 Y，如果有 存在，则称之为 X 与 Y 的 k+l阶混合原点矩，记为 ；k+l 阶混合中心矩记为：（6）协方差的性质(i) cov (X, Y)=cov (Y, X);(ii) cov(aX,bY)=ab cov(X,Y);(iii) cov(X1+X2, Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y);(iv) cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).（7）独立和不相关（i） 若随机变量 X 与 Y 相互独立，则 ；
