1、第二节证明考纲解读1.了解直接证明的两种基本方法分析法和综合法,了解分析法和综合法的思考过程、特点2.了解间接证明的一种基本方法反证法。了解反证法的思考过程、特点3.了解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题命题趋势探究1.作为新课标的新知识点,该部分内容多作为数学方法隐含在许多题中.作为证明方法,一定要抓住证题模式,确保证明的严密性2.数学归纳法是高考的一个新热点,常与不完全归纳法相结合,形成“观察-归纳-猜想-证明”的热门考点知识点精讲1.直接法直接法包括综合法和分析法(1)综合法(又称顺推法或因导果法):从已知条件和已知结论出发,以演绎推理中的“三段伦”规则为工具,推出未
2、知结论,其模式为“”“成立”(2)分析法(又称逆推法或执果索因法):从欲证结论出发,对结论进行等价变形,建立未知结论和已知“条件、结论”的因果关系,其模式为:欲证D成立即证C成立,即证B成立,即要证A成立,因A成立故D成立。2间接法(反证法)间接法即反证法,就是证明欲证的命题的等价命题,逆否命题,其模式为:欲证若则,等价证则,可设不成立,推出不成立或与某已成立结论矛盾设不成立为错,故成立3.数学归纳法(1)数学归纳法也叫完全归纳法,可用来证明某些与自然数有关的数学命题,其直观模型为“多米诺骨牌”(2)数学归纳法的证题模式:先证当(为某一初始自然数,常取)时命题成立(第一块“多米诺骨牌”倒下);
3、假设 ()时命题成立,并在此前提下可以推出时命题也成立(每次倒下的骨牌具有“前倒推后倒”的功能);由,命题对一切的自然数恒成立,数学归纳法的完成,步缺一不可题型归纳及思路提示题型187 综合法与分析法证明 分析法与综合法是用唯物辩证的观点去思考解决问题的重要思维方法.数学上很多问题的解决都是通过分析,综合寻找出解题的突破口,对于证明的问题,无论是代数还是几何,无论是等式还是不等式,都要对其进行分析,综合才能完成.例14.7. (2017东北三省三校模拟)已知a,b,c0,abc1.求证:(1);(2).变式1(2017南通模拟试卷)已知为互不相等的正实数,求证:.变式2(2017全国II卷23
4、)已知,证明:(1);(2)例14.9.(2017年全国III卷 21) 已知函数(1)若,求a的值;(2)设m为整数,且对于任意正整数n,求m的最小值变式1 已知函数(1)求的单调区间;(2)记在区间上的最小值为,令对一切,不等式恒成立,求实数的取值范围;求证:变式2在数列中,且数列和数列分别是公比为2和的等比数列;(1)求的通项公式(2)当为正奇数,求证:;(2)当时,证明:题型188 反证法证明思路提示 反证法证题的理论依据是原命题与逆否命题同真同假,具体思路是:先否定所要证的结论,然后以否定的结论为条件进行逻辑推理,其结果与已知条件或已知事实相矛盾,一般适用于不易直接入手或否定性结论,
5、诸如“至少”,“至多”,“不成立”,“不存在”等命题.例14.10(2017济南质检)若f(x)的定义域为a,b,值域为a,b(a2),使函数h(x)是区间a,b上的“四维光军”函数?若存在.求出a,b的值;若不存在,请说明理由.变式1设数列an是公比为q的等比数列,Sn是它的前n项和.(1)求证:数列Sn不是等比数列;(2)数列Sn是等差数列吗?为什么?变式2给定实数且,设函数求证:经过该函数图像上任意两个不同点的直线不平行于轴题型189 数学归纳法思路提示 数学归纳法证题的具体思路是“两步结论”,第一步证明归纳的基础,第二步证明归纳具有递推关系.有了这两步才可下结论,数学归纳法一般用于与正
6、整数有关的命题的证明.例14.11用数学归纳法证明:(2017武汉调研)等比数列an的前n项和为Sn.已知对任意的nN*,点(n,Sn)均在函数ybxr(b0,且b1,b,r均为常数)的图象上.(1)求r的值;(2)当b2时,记bn2(log2an1)(nN*).变式1证明:1(nN*)变式2 已知数列中,表示其前项和,当时,成等比数列(1)求猜想的通项公式;(2)用数学归纳法证明(1)的结论例14.12 已知函数存在(1)证明在R上是单调增函数;(2)设证明:.变式1 用数学归纳法证明:变式2(2017年南通模拟试卷) 已知数列的前项和为,通项公式为,且.(1)计算的值;(2)比较与1的大小
7、,并用数学归纳法证明你的结论.最有效训练题(57)(限时45分钟)1.设( )若则 若则若则 若则2. ()设a,bR,且ab,ab2,则必有()A1ab Bab1Cab1 D.1ab3. 设f(n)(nN*),那么f(n1)f(n)等于()A. B.C. D.4.已知矩形ABCD,AB=1,BC=,将沿矩形的对角线BD所在直线进行翻折,在翻折过程中( )存在某个位置,使得直线AC与直线BD垂直 存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直 对任意位置,三对直线“AC与BD”, “AB与CD”, “AD与BC”均不垂直5.定义在上的函数,如果对于任意给定的等
8、比数列,仍是等比数列,则称为“保等比数列函数”.现定义在上的如下函数:,.则其中是“保等比数列函数”的序号为( ) 6.若,则下列等式恒成立的是( ) 7. 命题“a,b是实数,若(b1)20,则ab1”,用反证法证明时应假设_8.若,且恒成立,则n的最大值是_.9.设为正整数,则下列命题:若,则;若,则;若,则;若,则.其中的真命题有_(写出所有真命题的编号).10.设的内角所对边的长分别是,则下列命题中正确的是_(写出所有真命题的编号)若,则;若,则;若,则;若,则;若,则.11.在正方体中,棱的中点分别是,如图所示.(1)求证: 平面;(2)求证:平面;(3)判断点是否共面?并说明理由. 12.设函数.(1)当时,求函数的最小值;(2)证明:对,都有;(3)若,证明:.