1、第二节 极坐标与参数方程(选修4-4)考纲解读1.理解坐标系的作用.2.了解在直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.3.能在极坐标中用极坐标表示点的位置.理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化.4.能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程,理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.5.了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中的点的位置的方法,并与空间直角坐标系中表示点的位置方法相比较,了解它们的区别.6.了解参数方程,了解参数的意义.7.能选择适当的参数写出直线、
2、圆和圆锥曲线的参数方程.8.掌握参数方程化普通方程的方法.命题趋势探究 本章是新课标新增内容,属选考内容,在高考中可能有所体现. 参数方程是解析几何、平面向量、三角函数、圆锥曲线与方程等知识的综合应用和进一步深化,是研究曲线的工具之一,值得特别关注.知识点精讲一、极坐标系 在平面上取一个定点,由点出发的一条射线 、一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向),合称为一个极坐标系.点称为极点,称为极轴.平面上任一点M的位置可以由线段的长度和从到的角度 (弧度制)来刻画(如图16-31和图16-32所示). 这两个实数组成的有序实数对称为点M的极坐标. 称为极径,称为极角.图 16-31图
3、16-32二、极坐标与直角坐标的互化 设为平面上的一点,其直角坐标为,极坐标为,由图16-31和图16-32可知,下面的关系式成立:或 (对也成立).三、极坐标的几何意义表示以为圆心,为半径的圆;表示过原点(极点)倾斜角为的直线,为射线;表示以为圆心过点的圆. (可化直角坐标: .)四、直线的参数方程 直线的参数方程可以从其普通方程转化而来,设直线的点斜式方程为,其中为直线的倾斜角),代人点斜式方程: ,即.记上式的比值为,整理后得,也成立,故直线的参数方程为(为参数,为倾斜角,直线上定点,动点 ,为的数量,向上向右为正(如图16-33所示). 图 16-33五、圆的参数方程 若圆心为点,半径
4、为,则圆的参数方程为.六、椭圆的参数方程椭圆的参数方程为(为参数,).七、双曲线的参数方程 双曲线的参数方程为.八、抛物线的参数方程 抛物线的参数方程为(为参数,参数的几何意义是抛物线上的点与顶点连线的斜率的倒数).题型归纳即思路提示题型196 极坐标方程化直角坐标方程思路提示 对于极坐标方程给出的问题解答一般都是通过化为直角坐标方程,利用直角坐标方程求解.这里需注意的是极坐标系与直角坐标系建立的对应关系及其坐标间的关系.例16.7 在极坐标系中,圆的圆心到直线()的距离是 .变式1在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C的极坐标方程为2sin ,则曲线
5、C的直角坐标方程为_.变式2 已知直线l的极坐标方程为2sin,点A的极坐标为A,求点A到直线l的距离.变式3 已知一个圆的极坐标方程是,求此圆的圆心和半径.例16.8(2015江苏卷)已知圆C的极坐标方程为22sin40,求圆C的半径.变式1 极坐标方程和参数方程(参数)所表示的图形分别是( )A.圆、直线 B.直线、圆 C.圆、圆 D.直线、直线变式2 在极坐标系中,点到直线的距离是 .变式3 (2012陕西理15)直线与圆相交的弦长为 .题型197 直角坐标方程化为极坐标方程思路提示 如果题目中已知的曲线为直角坐标方程,而解答的问题是极坐标系下的有关问题,这里要利用直角坐标与极坐标关系式
6、,将直角坐标方程化为极坐标方程.例16.9 【2015高考新课标1,理23】在直角坐标系中,直线:=2,圆:,以坐标原点为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.()求,的极坐标方程;()若直线的极坐标方程为,设与的交点为, ,求的面积. 变式1 【2016高考新课标理数1】在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数,a0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:=4cos .(I)说明C1是哪种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程;(II)直线C3的极坐标方程为=0,其中0满足tan 0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.题型198 参数方程化普通方程
7、思路提示已知直线或曲线的参数方程讨论其位置关系、性质问题一般要通过消参(代入法、加减法,三角法)转化为普通方程解答.例16.10 若直线与圆( 为参数)没有公共点,则实数的取值范围是 .变式1 在平面直角坐标系中,直线的参数方程(参数),圆的参数方程为(参数),则圆圆心坐标为 _,圆心到直线的距离为 .变式2 (2013湖北理16)在庄角坐标系中,椭圆的参数方程(为参数,),在极坐标系(与直角坐标系取相同的长度单位,且以原点为极点,以轴正半轴为极轴)中,直线与圆的极坐标方程分别为(为非零数)与.若直线经过椭圆的焦点,且与圆相切,则椭圆的离心率为 .变式3 参数方程(是参数)的普通方程是 .例1
8、6.11 已知动圆(是正常数,是参数),则圆心的轨迹是 .变式1 方程表示的曲线是( ) A. 线段 B. 双曲线的一支 C. 圆弧 D. 射线变式2 已知直线(为参数),(为参数).(1)当时,求与的交点坐标;(2)过坐标原点作的垂线,垂足为,为的中点.当变化时,求点轨迹的参数方程,并指出它是什么曲线.题型199 普通方程化参数方程思路提示 对于直线与圆锥曲线方程化为参数方程问题实质是引入第三个变量的换元法,这里有代数换元(如抛物线的参数方程)或三角换元(如椭圆的参数方程).例16.12 在平面直角坐标系中,设是椭圆上的一个动点,求的最大值.变式1 已知点是圆上的动点.(1)求的取值范围;(
9、2)若恒成立,求实数的取值范围.变式2 直线过,倾斜角. (1) 写出的参数方程; (2)与圆相交于两点,求到两点的距离之积.变式3 已知抛物线,点在轴的正半轴上,过的直线与相交于两点,为坐标原点.(1)若时,的斜率为,求以为直径的圆的方程; (2)若存在直线使得成等比数列,求实数的取值范围.题型200 参数方程与极坐标方程的互化思路提示 参数方程与极坐标方程的互化问题,需要通过普通方程这一中间桥梁来实现,先将参数方程(极坐标方程)化为普通方程,再将普通方程化为极坐标方程(参数方程).例16.13 (2016全国卷)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数,a0).在以坐标原点为极
10、点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:4cos .(1)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程;(2)直线C3的极坐标方程为0,其中0满足tan 02,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.变式1在极坐标系中,已知直线l的极坐标方程为sin1,圆C的圆心的极坐标是C,圆的半径为1.(1)求圆C的极坐标方程;(2)求直线l被圆C所截得的弦长.最有效训练题60(限时45分钟)1.极坐标方程表示的曲线为( )A. 一条射线和一个圆 B. 两条直线 C. 一条直线和一个圆 D. 一个圆 2.圆的圆心的一个极坐标是( )A. B. C. D. 3. 若以直角坐标系的原点为极点,x轴
11、的非负半轴为极轴建立极坐标系,则线段y1x(0x1)的极坐标方程为()A.,0B.,0C.cos sin ,0D.cos sin ,04.直线的参数方程为(为参数),则直线的倾斜角为( )A. B. C. D. 5.过点的直线的参数方程为(为参数),若此直线与直线相交于点,则=( )A. B. C. D. 6.设曲线的参数方程( 为参数),直线的方程为,则曲线上到直线的距离为的点的个数为( )A. B. C. D. 7.已知直线的极坐标方程为,圆的参数方程为( 为参数),则圆上的点到直线的最短距离为 .8.在平面直角坐标系中,曲线和的参数方程分别为(为参数,)和(为参数),则曲线与的交点坐标为 .9.已知抛物线的参数方程为(为参数),其中,焦点为,准线为,过抛物线上一点作准线的垂线,垂足为,若,点的横坐标是,则= .10.在极坐标系中,为极点,已知两点的极坐标分别为,,求的面积.11.已知椭圆,为坐标原点,为椭圆上的两动点,若,求的最大值.12. 已知曲线(为参数),曲线.(1)若分别是曲线和曲线上的两个动点,求线段长度的最小值;(2)若曲线上与轴、轴的正半轴分别交于点,是曲线上第一象限内的动点,是坐标原点,试求四边形面积的最大值.