1、第七节 空间角与距离考纲解读1. 掌握各种角的定义，弄清异面直线所成的角与两直线所成的角，二面角与二面角的平面角，直线与平面所成的角和斜线与平面所成的角，二面角与两平面所成的角的联系与区别 ，弄清他们各自的取值范围 。2. 细心体会求空间角的转化和数形结合思想，熟练掌握平移，射影等方法。知识点精讲一、 空间角的定义和范围（1） 两条异面直线所成角的范围是，当=时，这两条异面直线互相垂直。（2） 斜线AO与它在平面内的射影AB所成角叫做直线与平面所成的角。 平面的斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的任一直线所成角中最小的角，如果直线和平面垂直，那么直线与平面所成的角为；如果直线和平面平行
2、或直线在平面内，那么就是直线和平面所成的角为0.直线和平面所成的角的范围为；斜线和平面所成的角的范围为（3） 从一条直线出发的两个半平面所组成的角叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面，棱为，两个平面分别为，的二面角记做- -，二面角的范围是（4） 一个平面垂直于二面角的公共棱，且与两个半平面的交线分别是射线OA，OB，则AOB叫做二面角的平面角，平面角是直角的二面角叫做直二面角，相交成直二面角的两个平面垂直。二、 点到平面距离的定义点到平面的距离即点到它在平面内的正射影的距离。题型归纳及思路提示题型118 空间角的计算思路提示求解空间角如异面直线所成角，直线与平面所成
3、角，二面角的平面角的大小；常用的方法有：（1）定义法；（2）选点平移法；（3）垂线法：（4）垂面法；（5）向量法。一、异面直线所成的角 方法一：通过选点平移法将异面直线所成的角转化为共面相交的两直线的夹角来求解，但要注意两条异面直线所成角的范围是。 方法二：向量法，设异面直线a和b的方向向量为和，利用夹角余弦公式可求得a和b的夹角大小，且。例8.59 【2016高考新课标理】平面过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A，/平面CB1D1，平面ABCD=m，平面ABB1 A1=n，则m，n所成角的正弦值为A B C D变式1 如图8-219所示,在长方体中,是棱的中点,求异面直线和所成的角的正切
4、值.变式2 如图8-220所示,在三棱柱中,是正方形的中心,平面,求异面直线AC与所成角的余弦值.例8.60（2017全国卷理）已知直三棱柱中，则异面直线与所成角的余弦值为( )A. B. C. D. 变式如图所示，已知正方体，点是正方形的中心，点是棱的中点，设分别是，在平面内的正投影。求异面直线与所成角的正弦值。变式2 如图8-225所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA底面ABCD,E是PC的中点。已知AB=2,AD=,PA=2.求异面直线BC与AE所成的角的大小.二、直线与平面所成的角方法一:(垂线法)直线与平面所成的角就是直线与此直线在平面内的射影直线所成的角.过直线上
5、一点作出平面的垂线,得到垂足,而射影直线就通过斜足与垂足,因此作出平面的垂线是必要的一步.具体步骤是:先作出该角;在直角三角形中求解.方法二:(向量法)直线与平面所成的角为直线的方向向量与平面的法向量所成的锐角的余角.如图8-226所示，设直线l的方向向量为，平面的法向量为，直线l和平面所成的角为，则+=,或-=,因为的取值范围是，所以.方法三：（点面距法）利用相关方法求出直线上一点到平面的距离d，再求出此点与斜足间的距离l,设直线和平面所成角的大小为，则. 例8.61 （2017天津文17）如图，在四棱锥中，平面，（）求异面直线与所成的角的余弦值（）求证：平面（）求直线与平面所成角的正弦值变
6、式1 如图8-229所示，在棱长为2的正方体中，点E是的中点.求DE与平面ABCD所成角的正切值. 变式2 如图8-230所示，在三棱锥V-ABC中，VC底面ABC，ACBC，点D是AB的中点，且AC=BC=，VDC=.当变化时,求直线BC与平面VAB所成角的取值范围. 变式3 如图8-231所示,在RtAOB中，AOB=,斜边AB=4,RtAOC可以通过RtAOB以AO为轴旋转得到，且二面角B-AO-C是直二面角，动点D在斜边AB上，求CD与平面AOB所成角正切的最大值. 三、二面角的平面角求二面角的平面角的方法有：(1)根据定义，即在公共棱上取一点分别在两个半平面内作棱的垂线，两条垂线所成
7、的角即为二面角的平面角；（2）利用三垂线定理及其逆定理；（3）当二面角由两个等腰三角形构成时，利用底边的额两条中线；（4）求正棱锥侧面夹角时利用三角形全等；（5）在直棱柱中求截面与底面夹角时，用二面角的面积射影定理，其中为二面角的大小;(6)利用空间向量求解二面角，转化为两个平面的法向量夹角，公共棱不明显的二面角常用此法来求，但应注意法向量，的夹角与二面角的大小是相等或互补的（需要根据具体情况判断想等或互补）。例8.62 .（2017全国卷理）如图，四棱锥中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，E是PD的中点。（1）证明：直线CE平面PAB；（2）点M在棱PC上，且直接BM与底面ABC
8、D所成角为450，求二面角的余弦值.变式1 如图8-234所示,在四面体OABC中，OCOA, OCOB,AOB=120，且OA=OB=OC=1,求二面角O-AC-B的平面角的余弦值. 变式2 如图8-235所示,四棱锥S-ABCD的底面是正方形,SD平面ABCD，SD=，AD=。点E是SD上的点，且DE=。设二面角C-AE-D的大小为，直线BE与平面ABCD所成角为，若，求 值。变式3 如图8-236所示，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CEAC，EFAC,AB,CE,二面角A-BE-D的大小.例8.63（2017天津理）如图，在三棱锥中，平面，点分别为棱的中点，是线段的中
9、点，（）求证：平面 （）求二面角的正弦值（）已知点在棱上，且直线与直线所成的角的余弦值为，求线段的长变式1 如图8-239所示，四棱锥S-ABCD中，SD平面ABCD,ABDC,ADDC，AB=AD=1，DC=SD=2，E为棱SD上的一点，平面EDC平面SBC，求二面角A-DE-C的大小。变式2 如图8-240所示，已知正三棱柱的各棱长都是4，E是BC的中点，动点F在侧棱上，且不与点重合，设二面角C-AF-E的大小为，求的最小值。变式3 如图8-241所示，在三棱锥P-ABC中，AB=AC，D为BC的中点，PO平面ABC，垂足O落在线段AD上.若BC=8,PO=4,AO=3,OD=2,求二面角
10、B-AP-C的大小.例8.64（2016年新课标I理18）如图，在已A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是（I）证明平面ABEFEFDC；（II）求二面角E-BC-A的余弦值变式1 如图8-244所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，DAB=60，AB=2AD,PD底面ABCD。若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值.变式2 如图8-245所示，在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD，底面ABCD为棱形，AB=2，,当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长。变式3 如图8-246所示，四棱锥P-
11、ABCD中，平面ABCD，BC=CD=2,AC=4,F为PC的中点，.(1) 求PA的长；(2) 求二面角B-AF-D的正弦值。变式4 如图8-247所示，四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，平面ABCD，,(1) 证明：;(2) 求平面与平面的夹角的大小。题型119 点到平面距离的计算思路提示 求解点到平面的距离，常用方法有:(1) 定义法，作出点到免的垂线，垂线段的长度就是点到平面的距离，通常是借助某个直角三角形来求解。(2) 转化法，利用等体积法或者线面平行的位置关系，将点A到平面的距离转化为与其相关的点B到平面的距离。(3) 向量法，点P为平面外一点，点
12、Q为平面上的任一点，为平面的法向量，点P到平面的距离。例8.65 如图8-248所示，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2,AP=BP=AB,求点C到平面PAB的距离。变式1 如图8-250所示，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是边长为1的棱形，,OA=2,求点B到平面OCD的距离。变式2 如图8-251所示，四棱锥P-ABCD为矩形，求直线AD与平面PBC的距离。例8.66 如图8-252所示，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点，求点C到平面A1BD的距离。变式1如图8-253所示，在四棱锥P-ABCD中，,点A到平面PBC的距离.变式2 如图8-254所示，三
13、角形BCD与三角形MCD都市边长为2的正三角形，平面MCD平面BCD，AB面BCD，求点A到平面MBC的距离。例8.67 如图8-255所示，在直三棱柱ABCA1B1C1 中，底面是等腰直角三角形，且AC=2，,侧棱AA1=2,D,E分别是CC1与A1B的中点。求点A1到平面AED的距离。变式1 如图8-257所示，已知ABCDA1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，O1为A1C1与B1D1 的交点，若点C到平面AB1D1的距离为，求正四棱柱ABCDA1B1C1D1的高。变式2 如图8-258所示，四棱锥P-ABCD中四边形ABCD中，ADAB,AB+AD=4,AB=AP。（1） 若直线PB
14、与平面PCD所成的角为，求线段AB的长；（2） 在线段AD上是否存在一个点G，使得点G到点P,B,C,D的距离相等？说明理由。最有效训练题37（限时45分钟）1. 正方体ABCDA1B1C1D1中AB=A1A=2,AD=1,E为CC1 的中点，则异面直线BC1 与AE所成角的余弦值为（ ） 2. 如图8-259所示，在正三棱柱ABCA1B1C1 中，AB=A1A，则AC1 与平面BCC1 B1所成角的正弦值为（ ） 3. 已知两平面的法向量分别为，则两平面所成的二面角为（ ） 4. 二面角的棱上有A,B两点，直线AC,BD分别在这个二面角的两个面内，且都垂直与AB，已知AB=4,AC=6,BD
15、=8,CD=2,则该二面角的大小为（ ） 5. 如图8-260所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，O为底面A1B1C1D1的中心，则点O到平面ABC1D1 的距离为（ ） 6.正四棱锥P-ABCD的底面边长为2，高为3，E,F分别为PC,PD的中点，则异面直线AC与 EF的距离为（ ） 7.如图8-261所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M,N分别为CD,CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成角的大小为 8.如图8-262所示，已知正三棱柱ABCA1B1C1 的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1CD所成角的正弦值为 9.在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，G为A1A的中点，则直线BD与平面GB1D1的距离为 .10.如图8-263，三棱柱ABCA1B1C1 中,D为AC的中点，则二面角的余弦值为 11.如图8-264所示，在四棱锥P-ABCD中，,PA=AD=2,AC=1;(1) 求证：；(2) 求二面角的正弦值；(3) 设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成角为，求AE的长。12. 如图8-265所示，在正三棱柱ABCA1B1C1 中，底面边长为，侧棱长为，D是棱A1C1的中点。（1） 求证：；（2）求二面角的大小；(3)求点到平面的距离.
