1、第二节 随机变量及其分布考纲解读1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性。2.理解超几何分布及其推导过程，并能进行简单的应用。3.了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解次独立重复实验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题。4.理解取有限个值的离散型变量均值，方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题。5.利用实际问题的频率分布直方图，了解正态分布密度曲线的特点及曲线所表示的意义。命题趋势探究1.高考命题中，该部分命题形式有选择题、填空题，但更多的是解答题。2.主要以离散型随机变量分布列为主体命题，计算离散型随机
2、变量的期望和方差，其中二项分布与超几何分布为重要考点，难度中等以下。3.有关正态分布的考题多为一道小题。知识点精讲一、条件概率与独立事件（1）在事件A发生的条件下，时间B发生的概率叫做A发生时B发生的条件概率，记作 ，条件概率公式为 。（2）若，即,称与为相互独立事件。 与相互独立，即发生与否对的发生与否无影响，反之亦然。即相互独立，则有公式。（3）在次独立重复实验中，事件发生次的概率记作，记在其中一次实验中发生的概率为 ，则 .二、离散型随机变量分布列、期望、方差及其性质（1）离散型随机变量的分布列（如表13-1所示）.表13-1 ; .（2）表示的期望：，反应随机变量的平均水平，若随机变量
3、满足，则.（3）表示的方差：，反映随机变量取值的波动性。越小表明随机变量越稳定，反之越不稳定。若随机变量满足，则。三、几种特殊的分布列、期望、方差011-（1）两点分布（又称0，1分布）= ，= .（2）二项分布：若在一次实验中事件发生的概率为，则在次独立重复实验中恰好发生次概率 ，称服从参数为的二项分布，记作 ，=，=.（3）几何分布：若在一次实验中事件发生的概率为 ，则在次独立重复实验中，在第次首次发生的概率为 ， 。（4）超几何分布：总数为的两类物品，其中一类为件，从中取件恰含中的件， ，其中为与的较小者，称 服从参数为的超几何分布，记作 ，此时有公式。四、正态分布（1）若是正态随机变量
4、，其概率密度曲线的函数表达式为 ， （其中是参数，且，）。其图像如图13-7所示，有以下性质：曲线在轴上方，并且关于直线对称；曲线在处处于最高点，并且此处向左右两边延伸时，逐渐降低，呈现“中间高，两边低”的形状；曲线的形状由确定，越大，曲线越“矮胖”，越小，曲线越“高瘦”；图像与轴之间的面积为1.（2）= ，= ，记作 .当时， 服从标准正态分布，记作 .（3） ，则在， ，上取值的概率分别为68.3%，95.4%，99.7%，这叫做正态分布的原则。题型归纳及思路提示题型178 概率的计算思路提示要分析题中事件是独立事件、互斥事件还是对立事件，然后考虑用相应的概率公式计算，若A，B为独立事件，
5、则有，若A,B为互斥事件，则 ，若A，B为对立事件，则 ，如果为条件概率，则需选用条件概率公式计算（其中A，B为两个事件，表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率）。例13.7【2016高考新课标2理数】某险种的基本保费为（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：上年度出险次数012345保费0.851.251.51.752设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：一年内出险次数012345概率0.300.150.200.200.100.05（）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；来源:Z。xx。k.Com（）若一续保人本年
6、度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；（）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值变式1 甲乙丙射手击中目标的概率分别为0.6，0.7，0.8，求：（1）甲乙丙3人各射击一次，恰一人击中目标的概率；（2）3人各射击一次，至少一次击中目标的概率；（3）每人射击3次，甲乙丙击中次数依次为1、2、3次的概率（甲乙丙每次击中目标与否相互独立）。变式2甲乙丙三人参加一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约，乙丙则约定：两人面试都合格就一周签约，否则两人都不签约，设每人面试合格的概率都是 ，且面试是否合格互不影响，求：（1）至少一人面试合格的概率；（2）没人签
7、约的概率。例13.8 如图13-8所示，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE（阴影部分）内”。则（1）=_;（2）=_.变式1 从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A表示“取到的两个数之和为偶数”，事件B表示“取到的2个数均为偶数”，则=（ ） A. B. C. D. 题型 179离散型随机变量分布列、期望、方差思路提示 求离散型随机变量概率分布列问题首先要清楚离散型随机变量的可取值有那些？当随机变量取这些值时所对应的事件的概率有是多少，计算出概率值后，列出离散型随机变量概率
8、分布列，最后按照数学期望公式计算出数学期望.；列出离散型随机变量概率分布列及计算数学期望. 一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布)，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式()求得.求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；第三
9、步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布)，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式()求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式. 例13.9 【2016高考山东理数】甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率
10、是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动，求：（I）“星队”至少猜对3个成语的概率；（）“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX.变式1 某市公租房的房源位于A、B、C三个片区。设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的。求该市的任意4位申请人中：(1)恰有2人申请A片区房源的概率；(2)申请的房源所在片区的个数x的分布列和期望。例13.10【2017天津，理16】从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为.（）设表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个
11、数，求随机变量的分布列和数学期望；（）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率.变式1某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历。假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙两公司面试的概率为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的。记X为该毕业生得到面试的公司个数。若，则随机变量X的数学期望E(X)=_。例13.11【2017天津，理16】从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为.（）设表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量的分布列和数学期望；（）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到
12、1个红灯的概率.变式1 根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3。设各车主购买保险相互独立。(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；(2)X表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数，求X的期望。变式2 【2017浙江，8】已知随机变量满足P（=1）=pi，P（=0）=1pi，i=1，2 若0p1p2，则来源:学科网ZXXKA，BC，例13.12【2017山东，理18】（本小题满分12分）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲
13、种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.（I）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含的频率。（II）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望EX.变式1.某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别。公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料。若4
14、杯都选对，则月工资定为3500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2800元；否则月工资定为2100元。令X表示此人选对A饮料的杯数。假设此人对A和B没有鉴别能力。(1)求X的分布列；(2)求此员工月工资的期望。例13.13【2017课标3，理18】某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：）有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前
15、三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温10，15）15，20）20，25）25，30）30，35）35，40）天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元）.当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？变式1 经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元。根据历史资料，得到销售季度内市场需要量的频率分布直方图，如图13-11所示。经销商为下一个
16、销售季度购进了130t该农产品。以X(单位：t，100x150)表示市场需要量，T表示下一个销售季度内经销该农产品的利润。(1)将T表示为X的函数；(2)根据直方图估计利润了不少于37000元的概率；(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需要量取该区间中点值的概率(例如：若X100,110)，则取X=105，且X=105的概率等于需求量落入100,110)的频率)，求T的数学期望。0.0300.0250.0200.0150.010 100 110 120 130 140 150 图 13-11频率/组距题型 180正态分布思路提示正态分布概
17、率密度函数，记为XN(m,s2)，概率计算P(aXb)=F(b)-F(a)，期望E(X)=m，D(X)=s2，要明确密度函数曲线是关于直线x=m对称，曲线y=(x)与x轴之间面积为1。例13.14已知随机变量x服从正态分布N(2,s2)，且P(x4)=0.8，则P(0x0,s20)的密度函数图像如图13-14所示，则有( )。A. m1m2，s1s2 B. m1s2 C. m1m2，s1m2，s1s2 图 13-14变式2【2016高考天津理数】某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4,.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.（I
18、）设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；（II）设为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列和数学期望. 最有效训练题54(限时40分钟)1. 设随机变量xB(8,)，则P(x=3)等于( )。A. B. C. D. 2. 在运动会上，小明参加了乒乓球和网球两个项目的比赛，获得乒乓球冠军的概率是，获得网球冠军的概率是，则小明获得冠军个数x的数学期望是( )。A. B. 1C. 2D. 3.【2017浙江，8】已知随机变量满足P（=1）=pi，P（=0）=1pi，i=1，2 若0p1p2，则A，BC，4. 已知某一个随机变量x的分布列如表13-5
19、所示，且Ex=6.3，则a的值为( )。x4a9P0.50.1b5. 设随机变量x服从正态分布N(0,1)，P(x1)=p，则P(-1x0)等于( )。A. B. 1-pC. 1-2pD. 6. 甲、乙两人下棋，甲单场获胜的概率为0.6，没有平局，且不同场次胜负相互独立。规定先胜3场者获胜，现已知前两场比赛甲、乙各胜一场，则甲最终获胜的概率为( )。A. 0.432B. 0.288C. 0.648D. 0.67.【2016年高考四川理数】同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是 .8. 若随机变量xB(n,p)，且，则P(x=2
20、)=_。9. 【2017课标II，理13】一批产品的二等品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取次，表示抽到的二等品件数，则 10.已知随机变量X，Y，其中Y=12X+7，且E(Y)=34，若X的分布列如表13-6所示。表13-6X1234Pmn则m的值为_。11. 甲、乙两人参加某种选拔测试，在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率为，乙能答对其中的5道题，规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道进行测试，答对一题加10分，答错一题(不答视为答错)减5分，至少得15分才能入选。(1)求乙得分的分布列和数学期望；(2)求甲、乙两人中至少有一人入选的概率。12. 【2016年高考北
21、京理数】A、B、C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）；A班6 6.5 7 7.5 8B班6 7 8 9 10 11 12C班3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5（1）试估计C班的学生人数；（2）从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙，假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；（3）再从A、B、C三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7，9，8.25（单位：小时），这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记 ，表格中数据的平均数记为 ，试判断和的大小，（结论不要求证明）
