1、第八章 立体几何本章知识结构图点与线空间点、线、面的位置关系点在直线上点在直线外点与面点在面内点在面外线与线共面直线异面直线相交平行没有公共点只有一个公共点线与面平行相交有公共点没有公共点直线在平面外直线在平面内面与面平行相交平行关系的相互转化垂直关系的相互转化线线平行线面平行面面平行线线垂直线面垂直面面垂直空间的角异面直线所成的角直线与平面所成的角二面角范围：(0，90范围：0，90范围：0，180点到面的距离直线与平面的距离平行平面之间的距离相互之间的转化cosqsinqcosqd空间向量空间直角坐标系空间的距离空间几何体柱体棱柱圆柱正棱柱、长方体、正方体台体棱台圆台锥体棱锥圆锥球三棱锥、
2、四面体、正四面体直观图侧面积、表面积三视图体积长对正高平齐宽相等第一节 空间几何体及其表面积和体积考纲解读了解球、棱柱、棱锥及台体的表面积和体积的计算公式.命题趋势探究高考中考查表面积和体积问题，主要分为以下三类：（1）柱、锥、台体的侧面积分别是侧面面展开图的面积，因此，弄清侧面展开图的形状及各棱的位置关系是求侧面积及解决有关问题的关键.（2）求柱、锥、台体的体积，关键是找到相应的底面积和高.可充分运用多面体的截面及旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题.（3）解决球的有关问题，要注意利用球半径、截面圆半径及球心到截面圆距离构成的直角三角形.柱、锥、台体的侧面积和体积以公式为主，一般情况下，
3、只要记住公式，题目就可以顺利求解因此，题目从难度上讲属于中、低档题，在高考中直接出题的可能性大，容易出现相关的选择题或填空题.知识点精讲 一、构成空间几何体的基本元素点、线、面 （1）空间中，点动成线，线动成面，面动成体.（1）空间中，不重合的两点确定一条直线，不共线的三点确定一个平面，不共面的四点确定一个空间图形或几何体（空间四边形、四面体或三棱锥）.二、简单凸多面体棱柱、棱锥、棱台1棱柱：两个面互相平面，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱.（1）斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱；（2）直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱；（3）正棱柱：底面是正
4、多边形的直棱柱；（4）平行六面体：底面是平行四边形的棱柱；（5）直平行六面体：侧棱垂直于底面的平行六面体；（6）长方体：底面是矩形的直平行六面体；（7）正方体：棱长都相等的长方体.2棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥.（1）正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心；（2）正四面体：所有棱长都相等的三棱锥.3棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台，由正棱锥截得的棱台叫做正棱台.简单凸多面体的分类及其之间的关系如图8-1所示.三、简单旋转体圆柱、圆锥、圆台、球1圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，
5、其余三边旋转形成的面所围成的几何体叫做圆柱.2圆柱：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，将其旋转一周形成的面所围成的几何体叫做圆锥.3圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台.4球：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称为球（球面距离：经过两点的大圆在这两点间的劣弧长度）.四、组合体由柱体、椎体、台体、球等几何体组成的复杂的几何体叫做组合体.五、表面积与体积计算公式（见表8-1和8-2）表8-1表面积柱体为直截面周长椎体台体球表8-2体积柱体椎体台体球题型归纳及思路提示题型103 几何体的表面积与体积思路提示 熟悉几何体的表面
6、积、体积的基本公式，注意直角等特殊角.例8-1三棱锥的侧棱，两两垂直，侧面积分别是，则三棱锥的表面积是 ，体积是 .,评注: 若三棱锥 的侧棱 两两垂直, 则类比直角三角形中的勾股定理有, (本题 ), .变式1 如图8-3所示,在 中, , 是 边上的高, 沿 把 折起, 使 . 若 , 求三棱锥 的表面积.变式2 如图8-4(a)所示, , 过动点 作 , 垂足 在线段 上且异于点 , 连接 ,沿 将 折起, 使 (如图8-4(b)所示). 当 的长为多少时, 三棱锥 的体积最大.DABCACDB(b)（a）ME.图 8-4变式3 已知正四棱锥 中, , 那么当该棱锥的体积最大时, 它的高
7、为( ).A. 1 B. C. 2 D.3例8.2 (2012江苏7)如图8-5所示, 在长方体 中, , , 则四棱锥 的体积为 cm3. .变式1 )如图8-7所示, 正方体 的棱长为1, 分别为线段 上的点, 则三棱锥 的体积为 .题型104 球的表面积与体积思路提示半径为 的球 , 表面积 , 体积 ; 球面上 两点的球面距离为 , 其中 (弧度制). 这里可知球的表面积、体积计算实质是求半径.例8.3 已知三个球的半径 满足 , 则他们的表面积 满足的等量关系是 .变式1 若球 的表面积之比 ,则他们的半径之比 .变式2 正方体的内切球与其外接球的体积之比为( )A. B. 1:3
8、C. D. 1:9题型105 几何体的外接球与内切球思路提示(1)半径为 的球 , 表面积 , 体积 .(2)设小圆 半径为 , 则 ; 若 是 上两点, 则 .(3)作出关键的轴截面, 在此轴截面内寻找集合体的棱长或母线长与球之间关系.例8.4 已知正方体外接球的体积是 , 那么正方形的棱长等于( )A. B. C. D. 变式1 一个长方体的各顶点均在同一球的球面上, 且一个顶点上的三条棱额长分别为1,2,3, 则此球的表面积为 .变式2 正四面体的棱长为 , 则该正四面体的外接球的表面积为 .例8.5 正三棱柱 内接于半径为2的球, 若 两点的球面距离为 , 则正三棱柱的体积为 .变式1
9、直三棱柱的各顶点都在同一球面上, 若 , 则此球的表面积等于 .变式2 直三棱柱的6个顶点都在球 的球面上, 若 , 则球 的半径为( ).A. B. C. D. 例8.6 一个正三棱锥的4个顶点都在半径为1的球面上, 其中底面的3个顶点在该球的一个大圆上, 则该正三棱锥的体积是( )A. B. C. D. 变式1 已知 是球 表面上的点, 平面 , 则球 的表面积等于( )A. B. C. D. 变式2已知三棱锥 的所有顶点都在球 的球面上, 是边长为1的正三角形, 为 的直径, 且 , 则此棱锥的体积为( ).A. B. C. D. 变式3 高为 的四棱锥 的底面是边长为1的正方形, 点
10、均在半径为1的同一球面上, 则底面 的中心与顶点 之间的距离为( )A. B. C. 1 D. 最有效训练题31(限时45分钟)1. 若圆锥的侧面展开图是圆心角为 , 半径为 的扇形, 则这个圆锥的表面积与侧面积的比是( ).A. 3:2 B. 2:1 C. 4:3 D. 5:32. 一个长方体上一个顶点所在的三个面的面积分别是, 这个长方体的体对角线长为( ).A. B. C. 6 D. 3. 如图8-8所示, 在等腰梯形 中, , E为 的中点, 将 与 分别沿 和 向上折起, 使 重合于点 , 则三棱锥 的外接球的体积为( ).A. B. C. D. 4. 过球的一条半径的中点作垂直于这
11、条半径的球的截面, 则此截面面积是球表面积的( ).图 8-8A. B. C. D. 5. 侧棱长为4, 底面边长为 的正三棱柱的各顶点均在同一个球面上, 则该球的表面积为( ).A. B. C. D. 6. 已知在四棱锥 , 则四棱锥 的体积 的取值范围是( ).A. B. C. D. 7. 若一个圆锥的侧面展开图是面积为 的半圆面, 则该圆锥的体积为 .8. 将圆心角为 , 面积为 的扇形作为圆锥的侧面, 则圆锥的表面积等于 .9. 正四棱锥底面边长为4, 侧棱长为3, 则其体积为 .10. 用一平行于圆锥底面的平面截这个圆锥, 截得圆台上下底面的半径的比是1:4, 截去的圆锥的母线长是3cm, 则圆台的母线长为 cm.11. 如图8-9所示, 长方体 中, , 并且 . 求沿着长方体的表面自 到 的最短线的长.12. 底面半径为1, 高为 的圆锥, 其内接圆柱的底面半径为 , 当 为何值时, 内接圆柱的体积最大?
