1、第五章 平面向量本章知识结构图第一节平面向量的线性运算及其坐标表示考纲解读1、了解向量的实际背景，理解平面向量的概念及两个向量相等的含义与向量的几何表示.2、掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义，掌握向量数乘的运算及其意义，理解两个向量共线的含义.3、了解平面向量的基本定理及其意义，掌握平面向量的正交分解及其坐标表示，会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算，理解用坐标表示平面向量共线的条件.命题趋势探究从内容上看，高考重点考查向量的基本概念及运算，尤其是向量数量积运算及其几何表示，平面向量的坐标运算也是运算的关键，通过坐标运算可将几何问题转化成代数问题，进行垂直、平行关系的判定及夹角
2、的求解，从形式上看，既有选择题，也有填空题，从能力上看，侧重于对学生运算和数形结合能力进行考查.平面向量的综合问题时新热点题型，其形式为与直线、圆锥曲线、三角函数等联系，解决角度、垂直、共线等问题，以解答题为主.预测2019年高考本专题主要考查形式及内容如下：（1）一道选择题或填空题，重点考查平行关系的判定，属于中低档题目.（2）一道解答题，可能以三角函数、数列、解析几何为载体，考查向量的运算和性质.知识点精讲一、向量的基本概念向量概念既有大小又有方向的量叫向量，一般用，来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如（其中A为起点，B为终点）.注：谈到向量必须说明其方向与大小.向量的大小，
3、有就是向量的长度（或称模），记作或.2.零向量、单位向量、相等向量、平行（共线）向量零向量：长度为零的向量，记为，其方向是不确定的.单位向量：模为1个单位长度的向量.当时，向量是与向量共线（平行）的单位向量.相等向量：长度相等且方向相同的向量.相等向量经过平移后总可以重合，记为.平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量，因为任何平行向量经过平移后，总可以移到同一条直线上.规定零向量与任何向量平行（共线），即.注：数学中研究的向量都是自由向量，可以任意平移；向量中的平行就是共线，可以重合，而几何中平行不可以重合；， ，不一定有，因为可能为.向量的线性运算向量的加法求两个向量和的运算叫做
4、向量的加法，已知向量，在平面内任取一点A，作，则向量叫做向量与的和（或和向量），即. 向量加法的几何意义：向量的加法符合三角形法则和平行四边形法则.如图5-1所示，向量=.注：若，为不共线向量，加法的三角形法则和平行四边形法则都适用；当，共线时，则只能用三角形法则求和向量，向量加法的本质是首尾相接.三角形法则可推广至若干向量的和.如图5-2所示.图 5-22向量的减法（1）相反向量.与长度相等、方向相反的向量叫做的相反向量，记作-.规定：零向量的相反向量仍为零向量；-（-）=,+(-)=;若，互为相反向量，则=-，=-，+=.（2）向量的减法.向量与的相反向量的和叫做向量与的差或差向量，即-=
5、+（-）.向量减法的几何意义：向量的减法符合三角形法则.如图5-3所示，则向量.注：向量加法的三角形法则是两向量首尾相连，和向量是以第一个向量的起点为起点，以第二个向量的终点为终点；向量减法的三角形法则是将两个向量的起点移到一起，差向量是连接两向量的终点，箭头指向被减向量的终点的向量.3.向量的数乘（1）实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作： ，它的长度和方向规定如下：当0时，的方向与的方向相同；当0时，的方向与的方向相反；当时，方向不确定；时，方向不确定.（2）向量数乘运算的运算律.设、为任意向量，、为任意实数，则 ；.三、平面向量基本定理和性质共线向量基本定理如果，则；反
6、之，如果且，则一定存在唯一的实数，使.（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）.平面向量基本定理如果和是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量，都存在唯一的一对实数，使得，我们把不共线向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为.叫做向量关于基底的分解式.注：由平面向量基本定理可知：只要向量与不共线，平面内的任一向量都可以分解成形如的形式，并且这样的分解是唯一的. 叫做，的一个线性组合.平面向量基本定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础.推论1：若，则.推论2：若，则.DA图5-4CB线段定比分点的向量表达式如图5-4所示，在ABC中
7、，若点D是边BC上的点，且（），则向量.在向量线性表示（运算）有关的问题中，若能熟练利用此结论，往往能有“化腐朽为神奇”之功效，建议熟练掌握. 三点共线定理平面内三点A，B，C共线的充要条件是：存在实数，使,其中，O为平面内一点.此定理在向量问题中经常用到，应熟练掌握.图5-5DACBA、B、C三点共线存在唯一的实数，使得;存在唯一的实数，使得;存在唯一的实数，使得;存在,使得.中线向量定理如图5-5所示，在ABC中，若点D是边BC的中点，则中线向量,反之亦正确. 四、平面向量的坐标表示及坐标运算（1）平面向量的坐标表示.在平面直角坐标中，分别取与轴，轴正半轴方向相同的两个单位向量作为基底，那
8、么由平面向量基本定理可知，对于平面内的一个向量，有且只有一对实数使，我们把有序实数对（）叫做向量的坐标，记作=（）.(2)向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即有向量（）向量点（）.（3）设，则，即两个向量的和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.若=（），为实数，则，即实数与向量的积的坐标，等于用该实数乘原来向量的相应坐标.（4）设A，B，则=,即一个向量的坐标等于该向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标.五、向量的平行设，.的充要条件是.除了坐标表示外，下面两种表达也经常使用：当时，可表示为；当时，可表示为，即对应坐标成比例.题型归纳及思路提示题型72 平面向量的基
9、本概念思路提示准确理解平面向量的基本概念是解决向量题目的关键.共线向量即为平行向量，非零向量平行具有传递性，两个向量方向相同或相反就是共线向量，与向量长度无关，两个向量方向相同且长度相等，就是相等向量.共线向量或相等向量均与向量起点无关.例5.1已知下列三个命题：有向线段就是向量，向量就是有向线段；向量与向量共线，则四点共线；如果， ，那么.其中正确命题的个数是（ ）.A0 B .1 C.2 D.3评注 本题容易忽视零向量这一特殊向量，认为命题是正确的.变式1给出下列六个命题：两个向量相等，则它们的起点和终点相同；若，则；若，则ABCD为平行四边形；在平行四边形ABCD中，一定有；若， ，则；
10、若， ，则.其中不正确的命题的个数是（ ）.A.2 B.3 C.4 D.5题型73平面向量的线性表示1线段定比分点的向量形式在向量线性表示（运算）中的应用例5.2设P是ABC所在平面内的一点，则（ ）.A B. C. D. 变式1已知O是ABC所在平面内一点，D为BC边的中点，且,那么（ ）.A B. C. D. 变式2如图5-7所示，在平行四边形ABCD中，,M为BC的中点，则（用表示）. 例5.3在ABC中，若点D满足则=（ ）A. B. C. D. 评注 若则,利用此结论，本题可直接的到正确选项.变式1（2012大纲全国理6改编）在ABC中，AB边上的高为CD，若，则（用表示）. 变式2
11、 在ABC中，点D在边上，平分A，若，则等于（ ） 变式3 设D,E,F分别是ABC的三边BC,CA,AB上的点，且,则与 ( ).A.反向平行 B.同向平行 C.互相垂直 D.既不平行也不垂直变式4 如图5-10所示，在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若,其中，则.变式5 在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若，则=（ ） 2向量线性运算的几何意义在解题中的应用例5.4若非零向量满足，则（ ） 变式1 已知向量，满足对任意，恒有，则（ ）A. B. C. D. 变式2 已知在ABC中，若对任意，则ABC一定为 （
12、）A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.以上都不对题型74 向量共线的运用思路提示要证明A，B,C三点共线，只需证明与共线，即证=（）.若已知A,B,C三点共线，则必有与共线，从而存在实数，使得=.例5.5对于非零向量，“”是“”的（ ）.A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件变式1 平面向量共线的充要条件是（ ）.A. 方向相同 B. 两向量中至少有一个为零向量C. ， D.存在不全为零的实数，变式2（2017全国3理12）在矩形中，动点在以点为圆心且与相切的圆上若，则的最大值为（ ）.A3BC.D2变式3 已知A（1,3），B（4，
13、-1），则与向量同方向的单位向量为 （ ）A. B. C. D. 例5.6设两个非零向量与不共线.如果，求证：A，C，D三点共线；如果，且A，C，D三点共线，求实数的值.分析 三点共线问题可以转化为向量共线问题解决.例如若A,B,C三点共线，则或.变式1 已知向量，且，则一定共线的三点是（ ）.A.A,B,D B. A,B,C C. B,C,D D. A,C,D题型75 平面向量基本定理及应用平面向量的基本定理思路提示平面向量基本定理是指同一平面内的任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合，这就为向量的坐标表示奠定了基础，在向量运算及证明有关问题方面有广泛的应用.例5.7 已知向量满足，则
14、的值为_.例5.8如图5-12所示，在平行四边形ABCD中，M和N分别为DC和BC的中点，已知，试用，表示和.评注 注意转化思想在本题中的应用，通过本题可以发现，只要是平面内不共线的两个向量都可以作为一组基底，而恰当地选取平面的一组基底，往往可以提高解题效率.三点共线定理及其应用例5.9点P在AB上，求证：且（，O是AB外一点）.评注 本题考查平面向量基本定理即对共线向量的理解，所证明的结论即为三点共线定理.应该广泛应用本题所得到的结论进行解题.三点共线定理： A，B，P三点共线的充要条件是：存在实数，使,其中，O为AB外一点.变式1 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3,1），B
15、（-1,3），若点C满足,其中,，则点C的轨迹方程为 （ ） 变式2 已知数列为等差数列，前项和为.若点，且P,A,B三点共线，则=_.变式3 如图5-14所示，在ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M和N，若，则的值为_.例5.10给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为，点C在以点O为圆心的圆弧上运动.若，其中，则的最大值是_.评注 本题解法一利用三点共线的向量形式，巧妙地利用转化思想化曲为直，解法之妙值得品味.变式1 如图5-16所示，在扇形OAB中，AOB=，C为弧AB上一个动点，若，则的取值范围是_.例5.11如图5-17所示，在平行四边形ABC
16、D中，E,F分别是BC，CD的中点，DE与AF交于点H，设，则等于 （ ） 评注 应熟练掌握平面向量解决三点共线问题的基本方法，即A,B,C三点共线有且只有一组实数，使得，且.O为平面ABC内任意一点.变式1 如图5-19所示，设是OAB的重心，过G的直线与OA，OB分别交于P和Q，已知，求证：.题型76 向量与三角形的四心思路提示用向量有关知识表示三角形的内心、外心、垂心、重心的位置实质是描述三角形的角平分线、垂直平分线、高及中线.（1）内心：三角形的内心在向量所在的直线上. P为ABC的内心.（2）外心：P为ABC的外心.（3）垂心：P为ABC的垂心.（4）重心：P为ABC的重心.一、内心
17、例5.12 O为ABC所在平面内一定点，动点P满足,则点P的轨迹一定通过ABC的（ ）.A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心变式 1 已知非零向量与满足=0,且，则ABC为 （ ）A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.三边均不相等的三角形二、重心例5.13 若O为ABC内一点，,则O是ABC的 （ ）A.外心 B.内心 C.垂心 D.重心变式1 在ABC中，O为平面上任意一点，证明：G为ABC的重心.三、垂心例5.14 求证：ABC中，O为ABC的垂心.变式1 O是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足，（）则点P的轨迹一定通过ABC（ ）.A. 内心
18、 B. 外心 C. 重心 D. 垂心四、外心例5.15 求证：若O是ABC的外心，H是ABC的垂心，则（欧拉定理的引理）.评注 由三角形重心的性质定理可以很快地得到欧拉定理：对于ABC的重心G，再由上述引理，所以，即三角形的外心、重心、垂心三点共线（欧拉线），且重心到垂心的距离是重心到外心距离的2倍.变式1 已知点O，N,P在ABC所在平面内，且，则点O，N，P依次是ABC的 （ ）A.重心、外心、垂心 B.重心、外心、内心C.外心、重心、垂心 D.外心、重心、内心题型77 平行向量的坐标运算思路提示 向量的坐标是向量的代数表示，每一种向量运算都对应着其坐标运算，因此解决向量的相关问题可以通过
19、向量的代数运算去进行.例 5.16 已知平面向量，向量,其中和是不同时为零的实数.若，求此时和满足的函数关系式.）.变式1 平面内给定3个向量，回答下列问题.（1）求；（2）求满足的实数；（3）若，求实数；（4）设满足，且=1，求.题型78 向量共线（平行）的坐标表示思路提示向量平行（共线）问题，可以转化为向量的几何表示，如果涉及到坐标,则有其坐标表示形式如下：平面向量，若，则=0，（或，）.但要问同向或反向还需求.例 5.17 已知两个向量，当实数取何值时，向量与平行？评注 本题从两向量平行的线性表示与坐标表示形式两个角度来解决问题，两种方法的本质是一样的，在研究两向量平行时，若向量的坐标的
20、坐标已知，用解法二更简单一些.变式1 设向量满足，且的方向相反，则的坐标为_.例5.18 已知向量，且A，B，C三点共线，则的值为（ ） 变式1 设，且，则锐角为_.变式2 ABC的三内角A，B，C所对边的长分别为，设向量，若，则角C的大小为 （ ）. 最有效训练题21（限时45分钟）1.下列各命题中：向量的长度与向量的长度相等；向量与平行，则与的方向相同或相反；两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；两个有公共终点的向量，一定是共线向量；向量与向量是共线向量，则点必在同一条直线上；有向线段就是向量，向量就是有向线段.假命题的个数为（ ）A2 B.3 C.4 D.52.如图5-22所示，在
21、中，O为对角线BD，AC的交点，E为AO中点，连接DE并延长交AB于F，若，则（ ）.A. B. C. D. 3.已知向量，不共线，（），.如果，那么（ ）.A. 且同向 B. 且反向C. 且同向 D. 且反向 4. （2017全国2文4）设非零向量，满足，则（ ）.A B. C. D. 5.若向量，则（ ）.A. B. C. D. 6.已知ABC和点M满足.若存在实数使得成立，则=（ ）.A. 2 B. 3 C. 4 D.57.（2017天津文14）在中，.若，且，则的值为 .8.已知，的模长是1，且与所成的角与与所成的角相等，=_.9.如图5-23所示，在中，AC与BE相交于点F，则=_.10.(2017浙江理15)已知向量，满足，则的最小值是 ，最大值是 .11.如图5-24所示，在OAB中，点是点关于点的对称点，和交于点E,设.(1)用和表示向量,;(2)若,求实数的值. 图 5-2412.设两个非零向量与不共线,(1)若,.求证: A,B,D三点共线;(2)试确定实数使和共线.
