1、第四章 三角函数本章知识结构图角的概念任意角的三角函数的定义同角三角函数的关系三角函数弧度制弧长公式、扇形面积公式三角函数线同角三角函数的关系诱导公式和角、差角公式二倍角公式公式的变形、逆用、“1”的替换化简、求值、证明（恒等变形）三角函数的 图 象定义域奇偶性单调性周期性最值 对称轴（正切函数除外）经过函数图象的最高（或低）点且垂直x轴的直线，对称中心是正余弦函数图象的零点，正切函数的对称中心为(，0)（kZ）.正弦函数ysin x=余弦函数ycos x正切函数ytan xyAsin(wxj)b图象可由正弦曲线经过平移、伸缩得到，但要注意先平移后伸缩与先伸缩后平移不同；图象也可以用五点作图法
2、；用整体代换求单调区间（注意w的符号）；最小正周期T；对称轴x，对称中心为(，b)（kZ）.值域图象对称性解三角形余弦定理面积正弦定理仰角、俯角、方位角实际应用SahabsinC（其中p）解的个数的讨论三角形形状的判定第一节 三角函数概念、同角三角函数关系式和诱导公式考纲解读1. 了解任意角弧度制的概念，能正确进行弧度与角度的互化2. 理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）定义3. 能利用单位圆中的三角函数线推导出的正弦、余弦、正切的诱导公式 ，会用三角函数线解决相关问题4. 熟练运用同角三角函数函数关系式和诱导公式进行三角函数式的化简、求值和简单恒等式的证明命题趋势探究1一般以选择题或填空题
3、的形式进行考查2角的概念考查多结合函数的基础知识3利用同角三角函数关系式和诱导公式进行三角函数式的化简、求值是重要考点知识点精讲一、基本概念（1）任意角角（弧度）（2）角的始边与轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，就叫做第几象限角，终边在坐标轴上的角不是象限角，称之坐标角（或象限界角、轴线角等）（3）弧度制度：半径为的圆心角所对弧长为，则（弧度或rad）（4）与角（弧度）终边相同的角的集合为，其意义在于的终边逆时针旋转整数圈，终边位置不变注：弧度或rad可省略（5）两制互化：一周角=（弧度），即1（弧度）故在进行两制互化时，只需记忆，两个换算单位即可：如：；（6）弧长公式：，扇形面积公式：注：
4、关于扇形面积公式的记忆,可以采用类似三角形面积公式的方法，把扇形的弧长类比成三角形的底，半径类比成三角形的高，则有，如图4-1所示 图 4-1二、任意角的三角函数1定义已知角终边上的任一点（非原点O），则P到原点O的距离此定义是解直三角形内锐角三角函数的推广类比，对，邻，斜，如图4-2所示（斜）（对）图 4-2（邻）2单位圆中的三角函数线以为第二象限角为例角的终边交单位圆于P，PM垂直轴于M， 的终边或其反向延长线交单位圆切线AT于T，如图4-3所示，由于取为第二象限角，=MP0, =OM0, =AT0图4-33三角函数象限符号与单调性在单位圆中，则：（1），即终边与单位圆交点的纵坐标即为的正
5、弦值如图4-4（a）所示，的特征为：（2），即终边与单位圆交点的横坐标即为的余弦值如图4-4（b）所示，的特征为：（3）如图4-4（c）所示，的特征为：三、同角三角函数的基本关系、诱导公式1 同角三角函数的基本关系平方关系：商数关系：减减增增+ + -010-1（a）减减增增 + + 10-10（b）增增增增 + -00（c）图 4-42 诱导公式（1）（2）奇偶性（3）奇变偶不变，符号看象限，说明：（1）先将诱导三角函数式中的角统一写作；（2）无论有多大，一律视为锐角，判断所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负；（3）当为奇数是，“奇变”，正变余，余变正；当为偶数时，“偶不变”函数名保
6、持不变即可 例如（1）,因为，所以，即，（2），因为，所以，即，简而言之即“奇变偶不变，符号看象限”题型归纳及思路提示题型53 终边相同的角的集合的表示与区别思路提示（1） 终边相同的角的集合的表示与识别可用列举归纳法和双向等差数列的方法解决（2） 注意正角、第一象限角和锐角的联系与区别，正角可以是任一象限角，也可以是坐标轴角；锐角是正角，也是第一象限角，第一象限角不包含坐标轴角例41终边落在坐标轴上的角的集合为（ ）A B C D 评注 终边在轴的角的集合，公差为，取初始角；终边在轴的角的集合，公差为，取初始角例42 请表示终边落在图4-5中阴影部分的角的集合分析 本题是关于区域角的表示问题
7、，需要借助终边相同角的集合表示知识求解，只需要把握区域角初始角的范围和终边相同角的集合的公差的大小即可顺利求解(a) (b) (c) (d) 图 4-5评注 任一角与其终边相同的角，都可以表示成与整数个周角的和，正确理解终边相同的角的集合中元素组成等差数列，公差为，即集合的周期概念，是解决本题的关键变式1设集合M，N，那么()AMN B NMCMN DMN例43 下列命题中正确的是（ ）A. 第一象限角是锐角B. 第二象限角是钝角C. ，是第一、二象限角D. ，是第四象限角，也叫负锐角题型54 等分角的象限问题思路提示 先从的范围出发，利用不等式性质，具体有：（1）双向等差数列法；（2）的象限
8、分布图示例44 是第二象限角，是第 象限角评注 对于是第几象限角的问题，做选填题以记住图示最为便捷，解法三是一种只要答案的特值方法；解法一能准确找出的分布对于是第几象限角可使用象限分布图示的规律，如图4-8所示，那么对于“是第几象限角”的象限分布图示规律是什么？只需要把第一个象限平均分成部分，并从轴正向起，逆时针依次标注1，2，3，4，1，2，3，4，1，2，3，4，则数字（终边所在象限）所在象限即为终边所在象限例如：的象限分布图示如图4-8所示，若为第一象限角，则为第一、二、三象限角变式1 若是第二象限角，则是第 象限角；若是第二象限角，则的取值范围是 题型55 弧长与扇形面积公式的计算思路
9、提示（1） 熟记弧长公式：l|r，扇形面积公式：S扇形lr|r2（弧度制）（2） 掌握简单三角形，特别是直角三角形的解法例45 有一周长为4的扇形，求该扇形面积的最大值和相应圆心角的大小变式1 扇形OAB的圆心角OAB=1（弧度），则=（）A B C D 2变式2 扇形OAB，其圆心角OAB=，其面积与其内切圆面积之比为 题型56 三角函数定义题思路提示（1） 任意角的正弦、余弦、正切的定义；（2） 诱导公式；（3） 理解并掌握同角三角函数基本关系例46 角终边上一点，则=（ ）A B C 5 D5+变式1 已知角终边上一点，则=（ ）A2 B-2 C2 D 变式2 已知角终边上一点，则= 变
10、式3 已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边在直线上，则=（ ）A B C D 题型57 三角函数线及其应用思路提示正确作出单位圆中正弦、余弦、正切的三角函数线一， 利用三角函数线证明三角公式例47 证明（1）（2）（3）评注 用单位圆中的三角函数线证明诱导公式是新课标的要求，必须掌握，重点在在（1）证明中易得，相除得，在（2）证明 中易得，相除得角与的终边关于终边（即轴）对称，角与的终边关于终边所在的直线轴对称一般地，角,的终边关于终边所在直线轴对称二利用三角函数线比较大小例48 ，比较的大小变式1 求证：（1）当角的终边靠近轴时，及；（2）当角的终边靠近轴时，及；变式2 （1
11、）为任意角，求证：；（2），比较的大小变式3 比较大小（1）（2）（3）变式4 ，则（）A B C D 三、利用三角函数线求解特殊三角方程例49 利用单位圆中的三角函数线求解下列三角方程：（1）；（2）；（3）评注（1） ，；（2）当时，方程在有两解四、利用三角函数线求解特殊三角不等式例410利用单位圆，求使下列不等式成立 的角的集合（1）；（2）；（3）分析 这是一些较简单的三角函数不等式，在单位圆中，利用三角函数线作出满足不等式的角所在的区域，由此写出不等式的解集评注 解简单的三角不等式，可借助于单位圆中的三角函数线，先在内找出符合条件的角，再利用终边相同的角的表达式写出符合条件的所有角的
12、集合，借助关于单位圆中的三角函数线，还可以比较三角函数值的大小例411利用单位圆解下列三角不等式：（1）；（2）；（3）；（4）若，则则（）A B C D 评注 三角函数线的应用(1)证明 三角公式；(2)比较大小；(3)解三角方程；(4)求解三角不等式变式1 已知函数,则的取值范围（）A B C D 题型58 象限符号与坐标轴角的三角函数值思路提示正弦函数值在第一、二象限为正，第三、四象限为负；余弦函数值在第一、四象限为正，第二、三象限为负；正切函数值在第一、三象限为正，第二、四象限为负例412（1）若，则的取值范围是 ；（2）= ；变式1 是为第一、二象限的（ ）A充分而不必要条件 B 必
13、要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件变式2 ，,是第 象限角，是第 象限角变式3 若，则的取值范围是 变式4 已知，则是第（ ）象限角A一或三 B 二或三 C三或四 D一或四变式5 若为第二象限角，则的符号为 变式6 若点在第三象限，则角的终边在第 象限角变式7 函数的值域为 题型59 同角求值-条件中出现的角和结论中出现的角是相同的思路提示（1） 若已知角的象限条件，先确定所求三角函数的符号，再利用三角形三角函数定义求未知三角函数值（2） 若无象限条件，一般“弦化切”例413 （1）已知，= , = （2）已知=2，1 ,= , = 2 = ,3 ,（3）已知，1 = ；2
14、评注 本题给出同角求值的几种基本题型（1）及（2）中的1体现了有象限条件的任意角三角函数与锐角三角函数的本质联系（只多了一个象限符号）；（2）中的2体现了无象限条件弦化切的解题策略（3）中无象限条件，表示函数在处取得极小值，导数，故有更简便做法： 如已知，则= 答案为-1，与本题（3）同理可解变式1 若=2，则=（ ）A B3 C D-3变式2 当时，函数取得最大值，则= ；例414 已知时，则=（ ）A B C D- 变式1 已知，则=（ ）A B C D 变式2 已知，则=（ ）A B C D 题型60 诱导求值与变形思路提示（1）诱导公式用于角的变换，凡遇到与整数倍角的和差问题可用诱导公
15、式，用诱导公式可以把任意角的三角函数化成锐角三角函数（2）通过等诱导变形把所给三角函数化成所需三角函数（3）等可利用诱导公式把的三角函数化例415 求下列各式的值（1）； （2）； （3）评注 利用诱导公式化简或求值，可以参照口决“负角化正角，大角化小角，化为锐角，再计算比较”变式1 若，且，则= ；变式2 若，则=（ ）A B C D 变式3 若,则tan 100的值为（ ）A B C D变式4 cos，则sin()A. B. C. D. 最有效训练题17（限时45分钟）1 的值为（ ）A B C D 2已知点落在角的终边上，且，则的值为（ ）A B C D 3若角的终边落在直线上，则（ ）
16、A 2 B C 1 D 04cos，则sin()A. B. C. D.5已知，对于任意角均成立若，则=（ ）A B C D 6已知，则=（ ）A B C D 7已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的正半轴，若是角终边上一点，且，则= 8已知是第四象限角，且sin，则tan_9如图4-23所示，已知正方形的边长为1，以为圆心，长为半径画弧，交的延长线于，然后以为圆心，长为半径画弧，交的延长线于，再以为圆心，长为半径画弧，交的延长线于，再以为圆心，长为半径画弧，交的延长线于，再以为圆心，长为半径画弧，如此继续下去，画出的第8道弧的半径是 ，画出第道弧时，这道弧的弧度之和为 10在平面直角坐标系中，将点绕点逆时针旋转到点B，那么点B的坐标为 ；若直线OB的倾斜角为，则的值为 11已知一扇形的圆心角为，半径为R，弧长为l.(1)若60，R10 cm，求扇形的弧长l；(2)已知扇形的周长为10 cm，面积是4 cm2，求扇形的圆心角；(3)若扇形周长为20 cm，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？12已知求的值
