1、第二节 平面向量的数量积考纲解读理解平面向量数量积的含义及其物理意义.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.掌握数量积的坐标表示，会进行两个平面向量数量积的运算.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题及其他一些实际问题.命题趋势探究平面向量数量积的运算、化简、证明及数量积的应用问题，如证明垂直、求夹角、距离等是每年必考内容，单独命题时，以选择、填空题的形式出现，注意考查向量的运算及性质，高考中，与向量有关的解答题一般与其他内容相结合（如解析几何、三角函数、平面几何）进行考查，重在考查向量的工具性作用，向量的应用是跨学科
2、知识的一个交汇点，应引起重视.预测2019年高考将考查平面向量的数量积的几何意义及坐标运算，同时与三角函数结合的解答题也是热点之一，每年高考分值一般保持在5分左右.知识点精讲平面向量的数量积(1) 已知两个非零向量和，作，AOB(0)叫作向量与的夹角记作，并规定.如果与的夹角是，就称与垂直，记为.(2) | |cos 叫作与的数量积(或内积)，记作,即| | |cos .规定：零向量与任一向量的数量积为0.两个非零向量与垂直的充要条件是=0.两个非零向量与平行的充要条件是| | |.二、平面向量数量积的几何意义数量积等于的长度| |与在方向上的射影| |cos 的乘积即| | |cos .(
3、在方向上的射影| |cos ;在方向上的射影| |cos).三平面向量数量积的重要性质性质1 .性质2 性质3 当与同向时；当当与反向时.或.性质4 性质5 注利用向量数量积的性质2可以解决有关垂直问题；利用性质3可以求向量长度；利用性质4可以求两向量夹角；利用性质5可解决不等式问题.四、平面向量数量积满足的运算律（1）（交换律）；（2）为实数）；（3）（分配律）。数量积运算法则满足交换律、分配律，但不满足结合律，不可约分.五、平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量由此得到（1） 若；（2） 设两点间距离（3） 设的夹角，则非零向量的充要条件是.由得.六、向量中的易错点（1）平面向量的数量积是
4、一个实数，可正、可负、可为零，且.（2）当时，由不能推出一定是零向量，这是因为任一与垂直的非零向量都有.当时，且时，也不能推出一定有，当是与垂直的非零向量，是另一与垂直的非零向量时，有，但.（3）数量积不满足结合律，即，这是因为是一个与共线的向量，而是一个与共线的向量，而与不一定共线，所以不一定等于，即凡有数量积的结合律形式的选项，一般都是错误选项.（4）非零向量夹角为锐角（或钝角）.当且仅当且（或，且题型归纳及思路提示题型79 平面向量的数量积思路提示平面向量的数量积的计算有其定义式和坐标式，若告诉坐标或容易建立坐标系利用坐标计算，否则运用定义式.这里要考虑将向量尽可能转化为共线或垂直.一、
5、平面向量的数量积例5.19 （1）在（ ）A -16 B. -8 C. 8 D.16（2）已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则_;的最大值为_.（3）在，M是BC的中点AM=1，点P在AM上且满足，则等于 ( )A B. C. D.分析利用向量数量积的几何意义（投影）求解.变式1 如图5-27所示，在平行四边形ABCD中，垂足为P，且，则=_.图5-27DOCAPB变式2 在，若G为的重心，则=_.图5-28DFCABE例5.20如图5-28所示，在矩形ABCD中，点E为BC的中点，点F在边CD上，若的值是：_.图5-30DCAB变式1 如图5-30所示在是边BC上一点，_.
6、变式2 如图5-31所示，在_.图5-31DCAB变式3 （2016天津理7）已知是边长为1的等边三角形，点，分别是边，的中点，连接并延长到点，使得，则的值为（ ）.A. B. C. D.例5.21 已知向量满足则_.变式1在则=_.变式2 向量满足且则_.变式3 设向量满足且若则_.例5.22 设是单位向量且则的最小值为（ ）.A B. C. D.变式1 已知是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足则的最大值是（ ）A1 B. 2 C. D.变式2若平面向量满足，则的最小值是：_.例5.23 在中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则=_.评注利用中线向量求解，可得衍生结论,利用这一结
7、论可求解向量数量积运算中有关中线向量所涉及的最值计算的问题，其变式题如下.变式1 设，是边上一点，满足且对于边上任一点，恒有,则（ ）A. B. C. C. 变式2 点P是棱长为1的正方体的底面上一点，则的取值范围是（ ）.A. B. C. C. 二平面向量的夹角求夹角，用数量积，由得，进而求得向量的夹角.例5.24 已知向量则的夹角是_.例5.25 已知是非零向量且满足则的夹角是（ ）.A B C D.评注求两向量的夹角主要是应用公式来解决，为此应该求出的值或与的关系，或在坐标已知的情况下直代带入计算.例5.26 已知向量满足则的夹角为（ ）A B C D.变式1 已知是非零向量，且满足，则
8、与的夹角是_.变式2 若平面向量满足，且以向量为邻边的平行四边形的面积为，则的夹角的取值范围是_.例题5.27 已知的夹角为，求使向量与的夹角为锐角的的取值范围.分析由公式可知，夹角若为锐角，则，即，同时也应注意从以上结果中排除同向共线这一情形.评注注意当时，已包括了向量与的夹角为，即方向相同的情况，故应排除.本题若改为“与的夹角为钝角，求的范围”，同样需用且排除两向量方向相反的情况.变式1 设两个向量，满足的夹角为，若向量与的夹角为钝角，求实数t的范围.变式2 (2017北京理6)设，为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的（ ）.A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C. 充分必要条件
9、 D.既不充分也不必要条件变式3 若向量与不共线，则向量与的夹角为（ ）A0 B C D.三、平面向量的模长求模长，用平方，.例5.28 已知，向量与的夹角为，求.评注在求解向量的模长时，常用到如下公式来求解.（1）或；（2）；（3）若则.变式1 已知向量满足的夹角为，则=_.变式2 已知向量满足=2,则等于( )A1 B C D.变式3在中，已知求.例5.29已知向量的夹角为,则等于（）A5 B4 C3 D.1变式1（2017全国1理13）13.已知向量，的夹角为， ，则 .变式2 已知，则的夹角为_.变式3 设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，,则（）A8 B4 C2 D.1例5.3
10、0 已知平面向量，满足，且的夹角，则的取值范围是_.变式1 若均为单位向量，且，则的最大值为（）A B1 C D.2变式2 已知为单位向量，若向量满足，则的取值范围是（）A B C D.例5.31 在平面上，若，则的取值范围是（）.A BC D.变式1 在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则（）A2 B4C5 D.10最有效训练题22（限时45分钟）1.下列四个命题中真命题的个数为（ ）若，则；若，且；.A1 B2C3 D.42.已知向量，则向量的夹角为（ ）.A B C D.3.已知向量，若向量满足，则=（ ）A B C D.4.（2017全国3理12）在矩形中，动点在以点为圆心且与相切的圆上若，则的最大值为（ ）.A3BC.D25.2017全国2理12）已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（ ）.A. B. C. D.6.（2017山东理12）已知是互相垂直的单位向量，若与的夹角为，则实数的值是 .7.已知向量满足的夹角为，则在方向上的投影是_.8.已知，且的夹角为锐角，则实数的取值范围是_.9.已知向量垂直，则=_.10.已知两点,且点P使成公差为非负实数的等差数列.（1）求点P的轨迹方程；（2）若为与的夹角，求的取值范围.11.已知向量且（1）求函数的表达式；（2）若，求的最大值与最小值.
