1、第七章 不等式 本章知识结构图可行域应用题目标函数不等式的性质基本不等式一元二次不等式简单的线性规划证明最值问题和定值,积最大；积定值,和最小应用时注意：一正二定三相等几何意义：是直线在轴上截距的倍,在轴上截距的倍：构造一次函数：构造两点间的距离：归结为一次型或点线距离型 ：构造斜率借助二次函数的图象三个二次的关系不等式第一节 不等式的性质考纲解读1. 了解现实世界和日常生活中的不等关系,了解不等式（组）的实际背景.2. 掌握不等式的性质及其应用,明确各个性质中结论成立的前提条件,理解绝对值不等式的性质.命题趋势探究高考中单纯考查不等式性质的题目不多,但不等式知识几乎可以渗透到高考的每一个考点
2、.不等式的性质是进行不等式变形、证明以及解不等式的依据,所以它仍是高考的一个重点内容. 主要考查一下几点：依据给定的条件,利用不等式的性质判断不等式或与证明不等式有关的结论是否成立；利用不等式的性质与实数和函数的性质相结合,进行大小比较；判断不等式中条件与结论之间的关系,是充分条件、必要条件还是充要条件；求参数的取值范围；证明不等式时往往使用不等式的推出特征,而解不等式时,则要求同解变形.从命题的趋势来看,预测2019年本专题在高考中会有如下动向：（1）对不等式性质的考查一般不会直接命题,往往与其他知识相结合,如与指数函数、对数函数、数列等结合.（2）若直接命题,则通常比较容易,会出现在选择题
3、或填空题中,若与其他知识相结合,则有可能在解答题中出现,作为求解或证明的一个步骤,为中档难度题.知识点精讲一、 基本概念不等关系与等量关系一样,也是自然界中存在的基本数量关系,他们在现实世界和日常生活中大量存在. 不等关系建立在表示数量的代数式之间,可以是常量、变量及稍复杂的代数式.用不等号（如“”,“”,“”,“”,“”等）连接的式子叫做不等式,其中“”或“”连接的不等式叫做严格不等式；用“”或“”连接的不等式叫做非严格的不等式. 不等式可分为绝对值不等式（不论用什么实数代替不等式中的字母,不等式都成立）、条件不等式（只能用某些范围内的实数代替不等式中的字母,不等式才能够成立）和矛盾不等式（
4、不论用什么样的实数代替不等式中的字母,不等式都不能成立）.二、基本性质不等式的性质是证明和解不等式的主要依据.运用时,对每一条性质要弄清条件和结论,注意条件加强和放宽厚条件和结论之间的变化；不仅要记住不等式运算法则的结论形式,还要掌握法则成立的条件,避免由于忽略某些限制条件而造成解题失误.1. 两个不等式的同向合成,一律为“”（充分不必要条件）（1）（传递性,注意找中间量）（2）（同向可加性）（3）（同正可乘性,注意条件为正）注：如,其逆命题不成立,如但是.2. 一个不等式的等价变形,一律为“”（充要条件）,这是不等式解法的理论依据（1）（2）（对称性）（3）（乘正保号性）（4） （5）（不等
5、量加等量）（6）（乘方保号性,注意条件为正）（7）（开方保号性,注意条件为正）（8）（同号可倒性）；.最为重要的3条不等式性质为：；在不等式问题中都有重要的应用,但应注意他们的适用条件,可以用口诀“同向同正可乘；同号取倒需反向”来记忆.题型归纳及思路提示题型88 不等式的性质思路提示应用不等式的基本性质,不能忽视其性质成立的条件,解题时要做到言必有据,特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时,有时可用特殊值验证法,以提高解题的效率.例7.1 对于实数,有以下命题：若,则；若,则；若则；若,则；若,则. 其中真命题的个数是（ ）A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 变式1 设,若,则下列
6、不等式中正确的是（ ）A. B. C. D. 变式2 设是非零实数,若,则下列不等式中成立的是（ ）A. B. C. D. 变式3 若,则下列结论中正确的是（ ）A. 和均不成立 B. 和均不成立 C. 不等式和均不成立 D. 不等式和均不成立变式4若,且,则下列代数式中值最大的是( )A. B. C. D. 题型89 比较数（式）的大小与比较法证明不等式思路提示比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性.比较法又分为作差比较法和作商比较法.作差法比较大小的步骤是：（1）作差；（2）变形； （3）判断差式与0的大小； （4）下结论.作商比较大小（一
7、般用来比较两个正数的大小）的步骤是：（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小； （4）下结论.其中变形是关键,变形的方法主要有通分、因式分解和配方等,变形要彻底,要有利于0或1比较大小.作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法,如果要比较的两数（式）均为正数,且是幂或者因式乘积的形式,也可考虑使用作商法,作商法比较大小的原理是：若,则;若,则;；例7.2 若且,试比较与的大小.变式1 若,试比较与的大小变式2 设且,试比较与的大小例7.3 在锐角中,若函数在上单调递减,则下列命题中正确的是（ ）A. B. C. D. 变式1 已知函数是上的偶函数,且在区间上是增函数,令,则（ ）A.
8、B. C. D. 变式2 已知函数那么的值( )A. 一定大于0 B. 一定小于0 C. 等于0 D. 确定题型90 已知不等式的关系,求目标式的取值范围思路提示在约束条件下求多变量函数式的范围时,不能脱离变量之间的约束关系而独立分析每个变量的范围,否则会导致范围扩大,而只能建立已知与未知的直接关系. 例7.4 已知且则的取值范围是 .变式1 已知且,求的范围.变式2 设为实数,满足,则的最大值是 .最有效训练题26（限时45分钟）1. （2016年北京高考）已知，且，则（ ）A. B. C. D.2. 设,则下列不等式中成立的是（ ）A. B. C. D. 3. 已知并且,那么一定成立的是（ ）A. B. C. D. 4. （2017山东理7）若，且，则下列不等式成立的是（ ）.A. B.C. D.5. 若，给出下列不等式 其中正确的个数是（ ）； ； A. B. C. D.6. 已知下列四个条件中,使得成立的必要而不充分条件是（ ）A. B. C. D. 7. 已知四个条件：能推出成立的有 个. 8. 若,则的取值范围是 .9. 已知下列三个不等式：；,以其中两个作为条件,余下一个作为结论,则可能成 个正确命题.10. 已知且,求的取值范围.11. 设且求的取值范围.12. 若实数满足,试比较的大小.
